Научная статья на тему 'Метод динамического программирования при принятии микроэкономического решения'

Метод динамического программирования при принятии микроэкономического решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
2754
236
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Вестник НГИЭИ
ВАК
Область наук
Ключевые слова
ДИНАМИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ / ДОХОД / ЗАДАЧА / МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ / ПРИНЦИП ОПТИМАЛЬНОСТИ Р. БЕЛЛМАНА / РЕКУРРЕНТНАЯ ФОРМУЛА / СОСТОЯНИЕ СИСТЕМЫ / УПРАВЛЕНИЕ / ЦЕЛЕВАЯ ФУНКЦИЯ / DYNAMIC PROGRAMMING / INCOME / PROBLEM / MATHEMATICAL MODEL / A PRINCIPLE OF AN OPTIMALITY OF BELLMAN / RECURRENT FORMULA / CONDITION OF SYSTEM / MANAGEMENT / CRITERION FUNCTION

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сутягина Наталья Игоревна

Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации, в котором процесс принятия решения разбит на отдельные этапы. В отличие от линейного программирования динамическое программирование не содержит универсального метода решения задач, поэтому многие задачи имеют свою индивидуальную особенность и требуют специального подхода. Основным методом динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, основанный на использовании принципа оптимальности. Основа принципа такова, что каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому система придет в конце данного шага. В статье приводится доказательство принципа оптимальности на основе его геометрического представления, формулируется задача динамического программирования в общем виде и предлагается ее рекуррентное уравнение. Основная суть динамического программирования рассмотрена на примере предприятия, занимающегося разведением и продажей рыбы. Функциональная зависимость дохода предприятия от количества продаваемой рыбы характеризует состояние процесса, то есть параметры состояния. Посредством математических операций выводится рекуррентная формула, позволяющая вычислить оптимальный доход на любом шаге. С учетом практической значимости предлагаемая модель усложняется и в дальнейшем доход предприятия рассматривается в зависимости от разного вида производимой продукции. В итоге полученная математическая модель используется для разработки оптимального плана работы крестьянско-фермерского хозяйства Нижегородской области.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сутягина Наталья Игоревна

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

METHOD OF DYNAMIC PROGRAMMING AT ACCEPTANCE OF THE MICROECONOMIC DECISION

Dynamic programming represents a method of optimization in which process of decision-making is broken into separate stages. Unlike linear programming dynamic programming does not contain a universal method of the decision of the problems, therefore many problems have the specific feature and require the special approach. The basic method of dynamic programming is the method of recurrent parities based on use of a principle of optimality. The basis of a principle is those, that what initial condition on any step and the management chosen on this step was, the subsequent managements should get out optimum concerning a condition to which the system will come in the end of the given step. In the article the proof of a principle of an optimality on the basis of it geometric concepts is resulted, the problem of dynamic programming in a general view is stated and its recurrent equation is offered. The basic essence of dynamic programming is considered on an example of the enterprise, engaged by cultivation and sale of a fish. Functional dependence of the income of the enterprise on quantity of a sold fish characterizes a condition of process that is parameters of a condition. By means of mathematical operations the recurrent formula is deduced, allowing calculating the optimum income on any step. In view of the practical importance the offered model becomes complicated and in the further of a profitable enterprise is considered depending on a different type of made production. As a result the received mathematical model is used for development of the optimum plan of work of farms of the Nizhniy Novgorod area.

Текст научной работы на тему «Метод динамического программирования при принятии микроэкономического решения»

The review of concepts of a net cost of production with objective of definition of objects of auditor activity and criteria of an assessment of activity of audited persons is executed. Questions of structure of a net cost of production of animal industries are investigated.

The structure of elements and articles of the expenses connected with manufacture of milk and meat in the organizations of animal industries is certain by Methodical recommendations on accounting of expenses for manufacture and calculating of a net cost of production (works, services) in the agricultural organizations. Elements and articles of expenses recommended to application in the organizations of animal industries according to the above-named recommendations are considered.

Positions MSFO № 41 «Agriculture» with objective of an establishment of interrelation of the Russian and international standards of the account and the financial reporting are considered.

Keywords: the analysis, actives, animal industries, expenses, the organizations, branch, sale, production, manufacture, profitability, resources, a net cost, technology.

УДК 519.85

МЕТОД ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ ПРИ ПРИНЯТИИ МИКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РЕШЕНИЯ

© 2014

Н. И. Сутягина, кандидат экономических наук, доцент кафедры «Физико-математические науки» Нижегородский государственный инженерно-экономический институт,

Княгинино (Россия)

Аннотация. Динамическое программирование представляет собой метод оптимизации, в котором процесс принятия решения разбит на отдельные этапы. В отличие от линейного программирования динамическое программирование не содержит универсального метода решения задач, поэтому многие задачи имеют свою индивидуальную особенность и требуют специального подхода. Основным методом динамического программирования является метод рекуррентных соотношений, основанный на использовании принципа оптимальности. Основа принципа такова, что каковы бы ни были начальное состояние на любом шаге и управление, выбранное на этом шаге, последующие управления должны выбираться оптимальными относительно состояния, к которому система придет в конце данного шага. В статье приводится доказательство принципа оптимальности на основе его геометрического представления, формулируется задача динамического программирования в общем виде и предлагается ее рекуррентное уравнение. Основная суть динамического программирования рассмотрена на примере предприятия, занимающегося разведением и продажей рыбы. Функциональная зависимость дохода предприятия от количества продаваемой рыбы характеризует состояние процесса, то есть параметры состояния. Посредством математических операций выводится рекуррентная формула, позволяющая вычислить оптимальный доход на любом шаге. С учетом практической значимости предлагаемая модель усложняется и в дальнейшем доход предприятия рассматривается в зависимости от разного вида производимой продукции. В итоге полученная математическая модель используется для разработки оптимального плана работы крестьянско-фермерского хозяйства Нижегородской области.

Ключевые слова: динамическое программирование, доход, задача, математическая модель, принцип оптимальности Р. Беллмана, рекуррентная формула, состояние системы, управление, целевая функция.

Постановка проблемы в общем виде и ее связь с важными научными и практическими задачами. Метод динамического программирования хорошо известен и имеет большое прикладное значение [1-13]. Принцип оптимальности, разработанный Р. Беллманом, позволил многим исследователям решать задачи экономико-математического моделирования и внедрять их в практическую деятельность.

Широкий класс задач стал доступен для рас-четно-теоретических исследований с использова-

нием эффективных алгоритмов, базирующихся на единой основе [14].

Анализ последних исследований и публикаций, в которых рассматривались аспекты этой проблемы. Использованию метода динамического программирования в задачах экономического содержания уделяется достаточно много внимания в работах отечественных и зарубежных авторов (Е. С. Вентцель [15], М. С. Красс [16], Н. Ш. Кре-мер [17], В. И. Соловьев [18], А. И. Стрикалов [19], С. И. Чернышев [14], Дж. Лайтхилл [20] и др).

Высоко оценивая результаты, полученные в работах перечисленных авторов, можно отметить, что с учетом экономических преобразований конкретные практические задачи, решаемые с использованием метода динамического программирования, актуальны и в настоящее время.

Формирование целей статьи. На основе метода динамического программирования составить модель оптимальной политики предприятия по производству и реализации продукции на примере предприятия, занимающегося разведением и сбытом рыбы.

Изложение основного материала исследования с полным обоснованием полученных научных результатов. Математические модели при описании экономических процессов должны отражать реальные ситуации. Как правило, переменные этих процессов связаны между собой нелинейными за-

конами. К задачам нелинейного распределения и планирования, решение которых можно рассматривать как многошаговый процесс, применим метод динамического программирования. Главная идея, лежащая в основе динамического программирования, известна как принцип оптимальности, сформулированный Р. Беллманом. Основная его суть заключается в следующем: оптимальная политика обладает тем свойством, что каковы бы ни были начальное состояние и начальное решение, последующие решения должны соответствовать оптимальной политике по отношению к состоянию, вытекающему из первого решения.

Приведем доказательство принципа, несмотря на то, что многие авторы рассматривают его как очевидное утверждение. На рисунке 1 показано его интуитивно-геометрическое представление.

Рисунок 1 - Геометрическое представление принципа оптимальности

Непрерывная кривая соответствует оптимальной политике ведения дела от начального состояния А до конечного М через промежуточные состояния В, С, D, ... ,М, появляющиеся в результате последовательных решений. Пусть теперь оптимальная политика перехода от В к М изображена пунктирной линией и предположим, что она отличается от политики, представленной сплошной линией. Отсюда следует, что политика, представленная кривой В, С*,В* ...,М, оказывается лучше, чем политика, представленная кривой В, С, D,..,М. Следовательно, и политика, представленная кривой A,B,C*,D...,M лучше политики А, В, С, В,...,М. Но последняя, по определению, является оптимальной, а значит, наше предположение о нарушении принципа оптимальности ведет к противоречию. Поэтому можно сделать вывод, что принцип оптимальности выполняется.

В общем виде задачу динамического программирования можно сформулировать следующим образом.

Пусть имеется последовательность состояний

системы и0,щ.

ип_1,ип. Вектор X (х1, Х2,..., Хп )

управление, переводящее систему из состояния и в состояние ип. Состояние ик системы в конце к-то шага зависит только от предшествующего состояния ик_х и управления на к-м шаге хк и не зависит от предшествующих состояний и управлений. Таким образом, ик = /к (ик_1, хк), к = 1,2,...., п . Это уравнения состояний. Показатель эффективности к-го шага процесса управления обозначим через Ок = gk (ик_ 15 х). Целевая функция является аддитивной от показателя эффективности каждого

п

шага: в = £ gk (Ххк). к=1

Таким образом, задача пошаговой оптимизации формулируется таким образом: определить совокупность допустимых управлений х, X,..., X, переводящих систему из начального состояния и в конечное состояние ип и максимизирующих (или минимизирующих) целевую функцию.

Принцип оптимальности Р. Беллмана позволяет свести эту многомерную задачу оптимизации к последовательности простых задач. Рассмотрим одношаговый процесс ип_х ^ ип. Для того чтобы

и

к

весь процесс из и0 в ми был оптимальным необходимо, чтобы последний шаг был выполнен оптимально. Итак, находим максимальный доход S (ип_ 1) за один шаг:

SMn-1) = max g„ (un-1> Xn).

Теперь рассмотрим двухшаговый процесс Un_2 ^ ии_! ^ u. Доход за два шага будет равен 8п-\(ип-2,x„_i)+ S(u„-1), поскольку второй шаг обязательно должен быть оптимальным! Но U-i = Л-i(u„~2,хи_i). В результате этого для получения максимального дохода S2 (ии_2) за два последних шага надо опять решить простую задачу:

S2 (Un-2 ) = maX {gn-1 (Un-2 > Xn-l) + S1 (fn-1 (Un-2 > Xn-1 ))}

xn-1

Таким образом, мы получаем рекуррентные уравнения Р. Беллмана

Sk+1(«n-k-1) = max {gn-k ^n-k-U Xn-k ) + Sk (fn-k ^n-k-U Xn-k ))} .

В частности, при k = n -1 мы получим:

Sn (u0) = max {g1 (u0, x1) + Sn-1(u0, x1))}.

Рассмотрим суть динамического программирования на примере крестьянско-фермерского хозяйства, занимающегося разведением и продажей рыбы. Основной экономической проблемой всех товаропроизводителей является ответ на вопрос: какую часть доходов следует сохранить, а не тратить?

Пусть фермер решил разводить рыбу на продажу. Он приобрел и0 тонн рыбы и запустил ее в пруд. Через год у него будет еи0(с > 1) тонн рыбы. Часть x тонн рыбы он продаст, а другую часть и тонн оставит на вырост, и т.д. Таким образом, мы получаем уравнения состояний: и = си0 -x, и = c^i -X, ... ,и = сиИ_1 -xn. Пусть на каждом k - том шаге фермер имеет доход g(xk). Анализируя рыбный рынок региона, можно сделать вывод, что доход зависит от количества продаваемой рыбы следующим образом: g(xt) = M^/X". Таким образом, на последнем шаге имеем:

= max MJ7n = MJc

Максимальный доход за последние два шага будет определяться из уравнения Р. Беллмана:

82("п-2) = таХ + М>/С(СИИ_2 - Хп_1) ) .

0<х„_, <си„~ V * * /

Дифференцируя функцию в фигурных скобках и приравнивая производную к нулю:

M

1

4~с

V^T Vе

с и о x 1

n-2 n-1 /

= 0

получим, что значение хи-1 =

ляет этой функции максимум. Таким

1 + с

достав-

образом,

S2(U„.2) = M.

си , , , (с2и ,

И-2 + м' n - 2

1 + с V 1 + с Аналогично, находим:

= M^ (с + с2)и„_2.

5,3(и„-3) = max {MVXn-T + MV(с + ^ )(cun-3 - Х„-2)

0<Xn_2 <^3 I * 4 ;

= MyJ (с + с2 + с3)и„-3,

n-2^ 2

1 + с + с

И так далее. В итоге:

Sn(и) = max jM^C"+MJ(с + с2 +... + cn-1)(cM0 -x)}:

0<x <си0 У ^ )

сип

X =

1 1 + с + с2 +... + cn-1'

В общем, получаем рекуррентную формулу:

Sk+1 (^-k-1) = W (с + с2 +... + ск +>n-k-1 ,

при X =

ч 9 к

1 + с + с + ... + ^

Теперь мы можем вычислить оптимальный доход фермера на любом шаге. Чтобы определить оптимальную политику ежегодного вылова и продажи рыбы, которая приводит к максимальному доходу, необходимо использовать промежуточные значения ^(ип-1),^(и„_2)>•••>(и0), но в обратном порядке.

Выше мы не рассматривали доход фермера в зависимости от разных видов рыб. Усложним модель и рассмотрим, к примеру, в качестве производимой продукции два основных вида рыб. Рассуждения аналогичны вышерассмотренным. Итак, пусть приобретено и0 тонн рыбы одного вида и у0 тонн другого вида. Через год у него будет си0 (с > 1) тонн рыбы первого вида и гу0 (г > 1) тонн рыбы другого вида. Х тонн рыбы первого вида и у тонн рыбы второго вида он продаст.

Уравнения состояний:

и = си0 - x, V = rv0 - У, и = и = си ,- x ,v = rv ,-y .

n n-1 n' n n-1 J n

си, - X , V = rv, -

У2 '

2

си

n-2

си

n-3

си

На каждом к - том шаге фермер имеет доход. Исследуемой отрасли в зависимости от разного вида производимой продукции доход определяется следующим образом:

F (Хк; ук) = + N ^у к ■ Получаем:

SMn-i'vn-x) = max nmax {М7ХП+N^K} =

0<xn <cun-1 0<yn <rvn-1

cu

rv

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

=MVcuI7 + NJrvZ;

Si&n-l, Vn-2) = max „ max {M4XI~1 + N3yH +

0 <Хп-1 <CUn-2 0 < у n-\<rvn-

+Мф(еип_2 _ Хп_1) + }.

Вычислим частные производные, приравняем их к нулю. Найдем соответствующие значения, максимизирующие функцию. Частная производная по х„_1 рассмотрена выше, частная производная по уп-1 имеет вид:

N

\

3/уЕ\ 3(rVn-2 - Уп-\)2

Отсюда,

Уп-\ =

\ +yfr

= 0

. Это значение лежит в

допустимом интервале (0; rvn_2).

Учитывая так же, что хи-1 =

1 + c

S (Un-2 , Vn-2 ) = M^Jc(1 + c)Un-2 + N^Г (1 + yfT)2 Vn-2 ■

Рассуждая далее аналогичным образом, находим

S3 (Un-3 , Vn-3) = max n max ^MTXn-T + N+

0<Xn-2 <cUn-3 0<yn-2 <rvn-3

+Мф(\ + c)(cu„-3 -Xn 2) + N3r(1+ JT)2(rv„-3 -Уп-2)}

= M^c(1 + c + с2)ии_3 + N tfrQ. + yfr + r)2 vn_3 ■ Что достигается при

cun - 3 rvn - 3

1 + c + с

У =

1 + л/г

+ r

Таким образом, получаем следующую рекуррентную формулу:

+1 (u„-k-1, v„-k-1) = MVc(1 + c + c2 + ■■■ + c" )и„-к-1 +

+N 3

3 r(1 + л/г + r + ... + 4?^)2

пРи х = ,-2_к_-Т' =-г-""-ГТ•

1 + с + с +... + с 1 + 77 + г + ... + ^гк

Используем полученную математическую модель для разработки оптимального плана работы крестьянско-фермерского хозяйства Нижегородской области, занимающегося разведением и продажей рыбы. Хозяйство специализируется на разведении рыб семейства карповых, преимущественно это линь и карп. План составляется на три года (п = 3) из расчета общего объема вылова и продажи рыбы: линь — 3 тонны (коэффициент прироста с =1,1), карп — 90 тонн (коэффициент прироста г =1,9). Исследуя экономические показатели хозяйства, а также рынок региона, полагаем коэффициенты М и N соответственно равными 300 и 500: ^ (х; у) = 300ТХ + 500^у.

Таким образом, (щ , V) = 300^3 • (1 +1,1 +1,12) + 500-^90 • (1 +^19 +1,9)2 = 6850 тысяч рублей, что дает значение наибольшего дохода за 3 года. С учетом округления находим далее, что

X =-3-г = 0,9, у =-Д-= 21,

1 1 +1,1 +1,12 1 + -719 +1,9

т. е. за первый год собственник должен продать 0,9 тонны линя и 21 тонну карпа. К началу второго года у него имеется 1,1^(3—0,9) = 2,3 тонны линя, 1,9^(90—21) = 131,1 или 131 тонна карпа.

^ (щ , V) = 300^/2,3 • (1 +1,1) + 500^131 • (1+-719)2 = 5184;

2,3 1 +1,1

= 1,1, >2

131

1+719

= 55.

Получаем, что за второй год хозяйство должно реализовать 1,1 тонну линей и 55 тонн карпа.

К началу третьего года имеется: 1,1^(2,3—1,1) = 1,32 тонны линя;

1,9 (131-55) = 144 тонны карпа.

^ (и, V) = 3007132 + 5003144 = 2965.

Результаты вычислений объединим в таблицу 1.

3

rv

n-2

cu

n-2

v

Таблица 1 - Оптимальная политика вылова и продажи рыбы КФХ на трехлетний период

Год К началу года Вылов и продажа Ежегодный Оптимальный доход за

имеется рыбы, тонн рыбы, тонн доход, тыс. оставшиеся годы, тыс. руб.

линь карп линь карп руб.

1 3 90 0,9 21 1 666 6 850

2 2,3 131 1,1 55 2 219 5 184

3 1,32 144 1,32 144 2 965 2 965

Всего 3,32 220 6 850

Выводы исследования и перспективы дальнейших изысканий данного направления. Таким образом, предложенная модель, основой которой является принцип Р. Беллмана, позволяет разработать оптимальную политику предприятию по производству и продаже продукции на многолетний период. В реально функционирующих крупных экономических системах постоянно требуется принимать микроэкономические решения. При решении данных задач целесообразно использовать модели динамического программирования, которые позволяют оптимизировать стандартный подход использованием информационных технологий. Основное достоинство принципа оптимальности в том, что он позволяет свести задачу с большим числом измерений к более простому виду и решать конкретную задачу не изолированно, а во взаимосвязи со множеством подобных задач.

Рассмотренный подход предлагается использовать на рынке производства и реализации рыбной продукции при принятии управленческих решений с целью максимизации прибыли. Эффективная система управления обеспечит стабильное развитие предприятий, увеличит инвестиционную привлекательность территорий.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вакулина Г. М., Тимофеева Г. А. Динамическое программирование с использованием нечеткой логики в планировании инвестиционных проектов // Известия уральского экономического университета. 2014. № 2 (52). С. 109-114.

2. Григорьев А. М., Иванко Е. Е., Ченцов А. Г. Динамическое программирование в обобщенной задаче курьера с внутренними работами: элементы параллельной структуры // Моделирование и анализ информационных систем. 2011. Т. 18. № 3. С.101-124.

3. Дегтерев Д. А., Панков Э. П. Решение задачи синдицированного кредитования методом динамического программирования // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета

им. Академика М. Ф. Решетнева. 2007. № 7. С. 48-50.

4. Евдокимов Ф. И., Бородина О. А. Оптимизация воспроизводства мощности угледобывающего предприятия методом динамического программирования // Экономика промышленности. 2009. Т. 45. № 2. С. 133-142.

5. Емельянова Т. В. Метод ветвей и границ и метод динамического программирования для задачи о ранце // Новые компьютерные технологии. 2008. Т. 6. № 1 (6). С. 58.

6. Зелоско Б., Мошков М. Ю., Чикалов И. В. Оптимизация решающих правил, основанная на методах динамического программирования // Вестник Нижегородского университета им. Н. И. Лобачевского. 2010. № 6. С. 195-200.

7. Коробочкин М. И., Дмитриева Е. Е. Планово-высотное проектирование рельефа методами динамического программирования // Науки о Земле. 2012. № 2. С. 13-19.

8. Левит-Гуревич Л. К. Метод динамического программирования для выбора рационального во-дораспределения в дельте реки // Известия Самарского научного центра Российской академии наук. 2010. Т. 12. № 1-4. С. 950-956.

9. Ляхов А. В., Шмидт Д. С. Использование метода динамического программирования при решении дискретных технико-экономических задач // Экономика промышленности. 2011. Т. 56. № 4. С. 131-134.

10. Попова О. Н. Календарное планирование ремонтно-строительных работ на основе технологии поэлементной эксплуатации методами динамического программирования физического износа // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 1. С. 253.

11. Филатов А. Г. Оптимизация последовательного и дихотомического поисковых алгоритмов методом динамического программирования // Журнал радиоэлектроники. 2001. № 7. С. 7.

12. Ченцов А. Г. Метод динамического программирования в экстремальных задачах маршрутизации с ограничениями // Известия Российской

академии. Теория и системы управления. 2010. № 3. С. 52-66.

13. Ченцов А. Г., Ченцов П. А. Динамическое программирование в одной нестационарной задаче маршрутизации // Известия Института математики и информатики Удмуртского государственного университета. 2012. № 1. С. 151—154.

14. Чернышев С. И. Об использовании метода динамического программирования Р. Беллмана в задачах экономического содержания // Бизнес ин-форм. Научно-исследовательский центр индустриальных проблем развития РАН Украины. 2013. № 6. С. 110-119.

15. Вентцель Е. С. Исследование операций: задачи, принципы, методология. М. : Наука. 1988. 208 с.

16. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложения в экономическом образо-

вании: учебник. 6-е изд., испр. М. : Издательство «Дело» АНХ, 2008. 720 с.

17. Кремер Н. Ш., Путко Б. А., Тришин И. М. Фридман М. Н. Исследование операций в экономике: учеб.пособие для вузов. М. : Издательство Юрайт, 2013. 438 с.

18. Соловьев В. И. Методы оптимальных решений: учебное пособие. М. : Финансовый университет, 2012. 162 с.

19. Стрикалов А. И., Печенежская И. А. Экономико-математические методы и модели: пособие к решению задач. Ростов н/Д: Феникс, 2008. 348 с.

20. Лайтхилл Дж., Хиорнс Р. У., Холлингдейл С. Х. и др. Новые области применения математики / Мн : Выш. школа, 1981. 494 с.

METHOD OF DYNAMIC PROGRAMMING AT ACCEPTANCE OF THE MICROECONOMIC DECISION

© 2014

N. I. Sutyagina, the candidate of economic sciences, the associate professor of the chair

«Physics and mathematics»

Nizhny Novgorod State Engineering-Economic Institute, Knyaginino (Russia)

Annotation. Dynamic programming represents a method of optimization in which process of decision-making is broken into separate stages. Unlike linear programming dynamic programming does not contain a universal method of the decision of the problems, therefore many problems have the specific feature and require the special approach. The basic method of dynamic programming is the method of recurrent parities based on use of a principle of optimality. The basis of a principle is those, that what initial condition on any step and the management chosen on this step was, the subsequent managements should get out optimum concerning a condition to which the system will come in the end of the given step. In the article the proof of a principle of an optimality on the basis of it geometric concepts is resulted, the problem of dynamic programming in a general view is stated and its recurrent equation is offered. The basic essence of dynamic programming is considered on an example of the enterprise, engaged by cultivation and sale of a fish. Functional dependence of the income of the enterprise on quantity of a sold fish characterizes a condition of process that is parameters of a condition. By means of mathematical operations the recurrent formula is deduced, allowing calculating the optimum income on any step. In view of the practical importance the offered model becomes complicated and in the further of a profitable enterprise is considered depending on a different type of made production. As a result the received mathematical model is used for development of the optimum plan of work of farms of the Nizhniy Novgorod area.

Keywords: dynamic programming, the income, a problem, mathematical model, a principle of an optimality of Bellman, the recurrent formula, a condition of system, management, criterion function.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.