Метод частотного преобразования для радиоинтерферометрических сигналов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 681.518.22

Булатов В.Н., Худорожков О.В.

Оренбургский государственный университет E-mail: [email protected]

МЕТОД ЧАСТОТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ РАДИОИНТЕРФЕРОМЕТРИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

В статье представлен метод формирования по точкам перехода через ноль отраженного от объекта сигнала и гетеродинного колебания в последовательность прямоугольных импульсов и последующего их преобразования как логических событий с использованием конъюнкции и фильтрации низких частот. Для предложенного метода преобразования приведен анализ и получена оценка методической погрешности трансформации фазы отраженного сигнала в низкочастотную область.

Ключевые слова: сигнал, спектр, частотное преобразование.

Фаза в качестве носителя измерительной информации особенно эффективно используется в радиотехнических системах (системы радионавигации, доплеровские системы и тому подобное). Сама фаза, содержащая информацию о скорости и удаленности объекта, в этих системах является функцией времени с медленным законом модуляции, при котором с установленной погрешностью угловая скорость на любом произвольно выбранном сечении времени [ tC + тПР ] принимается постоянной.

Наибольший интерес для разработчиков неизменно представляет гетеродинный способ переноса фазы в низкочастотную область, который теоретически неограниченно позволяет формировать интервал времени, пропорциональный фазовому сдвигу. Традиционно этот способ реализуется перемножением гетеродинного (излучаемого) сигнала с частотой юг и отраженного от объекта сигнала с частотой юс посредством смесителя с фильтром низких частот (ФНЧ) для выделения колебания с разностной частотой и усилителя с автоматическим регулированием усиления (АРУ), необходимого для поддержания постоянной амплитуды на выходе смесителя. Наличие АРУ неизбежно вызывает переходные процессы, сопровождающиеся амплитудно-фазовой конверсией [1], в результате чего измерительный сигнал в канале подвергается паразитной фазовой модуляции, что приводит к появлению инструментальной погрешности.

Существенно уменьшить амплитудно-фазовую конверсию можно формированием по точкам перехода через ноль отраженного от объекта сигнала и гетеродинного колебания в последовательность прямоугольных импульсов (с целью подавления амплитудной модуляции) и пос-

ледующего их преобразования как логических событий с использованием конъюнкции и фильтрации низких частот. Основной задачей исследования при этом остается оценка методической погрешности трансформации фазы отраженного сигнала в низкочастотную область.

В общем случае радиоинтерферометричес-кие сигналы, которыми по существу являются гетеродинное (излучаемый) и отраженное колебания, являются некогерентными. Вместе с тем для анализа измерительной части спектра сигнала, полученного в результате конъюнкции указанных колебаний, можно оттолкнуться от теоретических положений, используемых в [2] и [3], суть которых представлена на рисунке 1, где имеет место когерентность между гетеродинным сигналом ег ^) и информационным (в нашем случае - отраженным) сигналом ех ^), выраженная в соотношении

(1)

™C m

—^ = —,m е Zp ,l е Zp, шг l ' р' р'

где - область целых положительных чисел. Исходя из этого интервал когерентности

ТПР = тТг = т / 2люг = 1ТС = I / 2пюс. (2) Из теоретических выкладок в [2] следует, что интервал tX, пропорциональный текущему значению фазы отраженного сигнала, в преобразованном сигнале в(г) после логического перемножения и отфильтрованном низкочастотном сигнале енч (0 , по форме близкой к треугольной, увеличивается в т раз, то есть во столько раз увеличивается потенциальная разрешающая способность определения информационной фазы.

Если для соотношения (1) невозможно подобрать т и п, то нарушается когерентность. Но именно этот момент и представляет практичес-

кий интерес для применения данного вида преобразования двух сигналов ег (7) и ех (7) на практике. В начале, исходя из гипотезы, что процесс радиоинтерференции когерентен, запишем выражения комплексных амплитудных спектров гетеродинного и отраженного колебаний, представленных на рисунке 1, используя методику, изложенную в [4], с учетом равенства амплитуды колебаний единице (логическое событие): а) для функции ег (7):

1

-5

КП

(3)

б) для функции ес (7):

; 1 .И Ю с Т с . .

К =— 51п-^ ехр(-/июct х). (4)

и п 2 4 '

Пусть частота гетеродина будет нижней, а значит т > I. Введем величину 5 = т -1. С учетом этого разностную частоту, с которой связан конечный результат преобразования частоты, можно представить как юм = юс - юг, а частоту повторения О результата произведения как 2 п юг ю

О = ■

т

А гт

_С_

т

-, т = 3,4,5,6,... (5)

Выражение спектра произведения е^), представленного на рисунке 1, в общем виде ничем не отличается от приведенного в [2], поэтому для дальнейшего анализа возьмем из него слагаемое, которое содержит низкочастотные составляющие произведения для разностных частот:

ер0) = ^ 2| яК || КИ |СОБ[ (кюг-иЮс )t+ИЮ^х ]

К = 1

И =1

и произведем в них замены с учетом (5):

ер00 = Х21 ааК II К |соб {[ ит-к1 ] Оt-итОt х }. (6)

К=1

И = 1

Выражение в квадратных скобках, по сути, есть номер гармоник вновь полученного линейчатого спектра (изменение знака этой разности всего лишь меняет знак фазы гармоники), за исключением постоянной составляющей: N=1 ит-к1 | ф 0. Решим целочисленное уравнение N=1 ит-к1| относительно пи к , учитывая, что все переменные в этом уравнении целые и положительные числа.

1) При и = к : N = ит - и1 = кт -к1 = И5 = К5 . Отсюда

И = к = N / 5 = г (7)

для N делящихся без остатка на 5.

2) При ит - к1 > 0 : ит - к1 = ит - к(т - 5) = N к-И = (К5 - N)т = где р е .

Отсюда

к=(дт + /«)/5 ;1 и = (Л1 + N)/ 5.

Очевидно, что множество целых чисел р1 имеет интервал 5 и некое начальное значение начала множества, зависящее от выбранного номераN

Л = + 9 = °Л,2Д.... (9)

Для определения были использованы положения и приемы, изложенные в [5] и результаты анализа множества числовых вариантов.

Методика определения заключается в следующем. В начале определяется коэффициент некратности е между т и I как остаток от деления т на 5 или I на 5:

(8)

Рисунок 1

кюгтг

2

£= D [m/s ]= D [(1 + S )/s ] = D [ I / S ]. (10) Причем, если остаток ноль, то в качестве остатка берется s.

Затем составляется уравнение целочисленной зависимости для случая nm -к( m - s) > 0: цs-Ap1е=+1, где це Zp, а Ap является множеством смещений начальных значений p1N для любых N, при этом естественно, что Ap е Zp. Отсюда

Ap = (ц--1)/£ . (11)

Далее составляется искомая положительная целочисленная зависимость:

P1N = D[ ApN / s], (12)

причем при D[ApN / s] = 0 в качестве остатка от деления, как и для (10), берется s.

3) При к1 - nm > 0: к - nm = к(m - s) - nm = N ; к-n = (Ks + N)m = p, p2 е Z .

Отсюда

к=(p2m- N)/s, n=(p2l-г««)/s,

(13)

где, как и для (9): р = p2N + qs, q = 0,1,2,3,....

Составляем уравнение целочисленной зависимости для случая

nm-к(т-s) < 0 : цs-Ар 1 £=-1, (14)

где це Zp, а Ар является множеством смещений начальных значений p2N для любых N, при этом Ар е Zp. Отсюда

Ар2 = (ц +1)/£ . (15)

И, наконец, составляется положительная целочисленная зависимость:

P2N = D[Ар2N / у], (16)

причем при D[ApN / s] = 0 в качестве остатка от деления, как и для (12), берется s.

Полученные зависимости (7)-(16) позволяют разложить низкочастотную составляющую (6) на следующие слагаемые:

e р (t) = £ 21¿r IIЬ Icos [rЮм t-rmЮм tx /s)] +

r = 1

+ £ £ 21¿к I{к=(pm + N)/s}-1bn |{n = (p/ + N)/s}-

N = 1 p i ( q = 0)

■ cos [N Q t - (p 1l + N) mil tx / s ] + + £ £ 21 a к |{ к= (p 2 m - N)/s} ■ | b „ |{ n = (p1 - N)/s} ■

N = 1 p 2 (q = 0)

■ cos [NQt + (pl-N)mitx /s].

(17)

Анализ (17) показывает, что имеется сумма колебаний в двух базисах: первое слагаемое имеет интервал ортогональности TM = 2лтам, а два других - TПP = 2п / О. Обозначим первое как енч (7) (полезное) а последние как еФЛ (О (флюктуационное - паразитное). Произведем прямое преобразование Фурье первого слагаемого с учетом (7):

1 ™

С = — J £ I ¿r II b |exp{j[rraMt-rmrnMtx / s)]}

exp{- j [r^MÍ ]}dt =

1 гюг Тг ГЮ cTc ..„.

= 2 2 sin—-—sin—-—exp[-y'mMmt x/ s]. (18)

Аналогично произведя преобразование Фурье на интервале тПР = 2п / Q, получим выражение спектра для второй половины (17):

dN =Г2 п

s2 exp[-j(p,l + N)mQt. /sК (p, m + N)IQtг

(p, l + N)(p, m + N)

2s

. (pl + N)mixC X sin—---- +

2s ,

s2 exp[ j ( p 21-N ) mQtx / s ( P21-N )( P2 m-N )

X

X sin

(p2m-N)lQTr . (p21 -N)mil,

2s

2s

(19)

Общий характер поведения спектра, представленного суммой (18) и (19), показан на рисунке 2.

Из сопоставления фазовых множителей информационного спектра (4) и преобразованного (18) следует, что в результате спектрального преобразования произошло увеличение интервала tX в m/s раз (рисунок 1), который можно измерять счетными методами. При этом линейный характер увеличения сопровождается методической погрешностью, вносимой составляющей еФЛ (t), влияние которой необходимо установить.

При скважности перемножаемых импульсных последовательностях ег (t) и ех (t), равной двум (рисунок 1: TC / тс = 2;Тг / тг = 2 - принадлежность рассматриваемого метода преобразования), первое слагаемое (17) принимает вид: ^ ^ 2

еНч (t) = У -Т7 cos [ /та м (t - mtx / s )], r=1,3,5,7...,

7=1 П Г

(20)

которое представляет собой колебание треугольной формы. Решением аргумента по момен-

X

1=Í1N+Ís

ту пересечения временной оси дает следующим результат:

гк = (п/2±кп)/юм + шгх /л, к = 0,1,2,3,..., (21) Таким образом, существует линейная зависимость между моментами пересечения гк и величиной информационного параметра гх. Следовательно, в качестве регистрируемого параметра можно взять моменты пересечения через ноль отфильтрованного из произведения е(0 сигнала квазитреугольной формы. Приставка «квази» появляется в связи с тем, что выражение (20) трансформируется в выражение с конечным числом и слагаемых:

и ^ 2

енч и) = X С08[ гюм( - т'х / л)], г=1,3,5,7...и,

(22)

где величина и определяется граничной частотой фильтрации ФНЧ и должна удовлетворять условию: и < юГ / юм (на практике и < т/2). При этом очевидно, что данное ограничение на корни решения (21) не влияет.

Для оценки методической погрешности линейного преобразования, представленного (21), рассмотрим влияние сигнала со спектром (19) на погрешность этого преобразования. С учетом условия преобразования тс / тс = 2;ТГ / тГ = 2 выражение (19) примет вид:

с1„ =-

п2N2

ехр [-у р11 ю с / л ] (/ N + 1)(т / N +1)

ехр [ у (р 21 ю / л]

(-1)

( + »1)/2-

Р1 =ЛЫ+я* q = 0

Р2= Р2Ы+Я* Я=0

(/ N - 1)(р2т / N -1)

(-1)

(к2 + »2 )/ 2-1

ехр-

- у NmQ.tx

(23)

гдек1,п1 и к2,п2 —только нечетные и определяются соответственно выражениями (8) и 12).

Для упрощения последующего анализа перенесем систему координат по оси Ь на величину гсм = тгх / л в точку 0' (рисунок 3), так как это не изменит взаимосвязь информационной и флюктуационной составляющих. В этом слу-

чае выражение (23) приобретает более простой вид:

dnN ~

п^2

Р1 =ЛЫ+Я* Я=0

ехр [-у'Р; I ю с Ьх / л ] (( / N + 1)(т / N +1)

(-1)

(к1 + П1)/ 2-1

Р2=Р2Ы+Я*

Я=0

ехр[у (р 2/ ю¿х / л] (р21 / N - 1)((2т / N -1)

(-1)

(к2 + »2 )/ 2-1

(24)

Учитывая, что р1 и р2 являются многозначными решениями системы сложных целочисленных уравнений с положительными переменными т и /, где по крайней мере одно из них должно быть простым числом, то весь последующий анализ базировался на большом количестве эмпирического числового материала, полученного для различных значений т и I. Было рассмотрено и систематизировано множество значений р1, р2, к1, к2, п1, п2 и с1ш для более чем 100 вариантов комбинаций между т и I. Выводы анализа систематизированных численных результатов приводятся ниже.

1) Установлено, что спектр с1ш представлен только половиной гармонических составляющих с номерами

N = D[s/2], ф[5/2]+2),..., 5, (5+2),..., (25) где D[s/2] — остаток от деления 5 на 2, причем, если остаток ноль, то вместо остатка берется число 2.

2) Выражение (24) с номерами спектральных составляющих (25) содержит суммы только половины членов рядов - с четными парами р1 и р2, начиная с некоторых значений рчш, рч2ДГ, причем всегда рчш + рчш = , за исключением значений ¿0п, совпадающих по частоте с компонентами сг.

На основании этих выводов для определения методической погрешности оказалось достаточным ограничиться только первыми значащими членами рчш, рч ш рядов в выражении

Рисунок 2

+

+

(24). Поскольку при этом было зарегистрировано, что знаки этих слагаемых в зависимости от перебираемых множеств {т} и {/} равновероятно принимают «+» и «-», то окончательная

запись для ¿0Л. будет выглядеть так:

/ / N +1)( ш т / N +1)

п2 N2

ехр[ у 2 /ю сгх ]

' (ч2,/ / N -1)2Nт / N -1)

X ехР[-/юсгх / . ]■

(26)

Очевидно, максимум энергии флюктуаци-онной составляющей еФП (г) будет при максимальном значении амплитуд ее гармонических составляющих. Это возможно в двух случаях:

1) слагаемые в больших скобках с одинаковыми знаками:

2/юсгп = 2Хп, Хе zp, откуда = Хп/(/юс) ;

2) слагаемые в больших скобках с противоположными знаками:

2/юсгп = (2Х + 1)п, Хе Zp ,

откуда

¿хх = (2Х + 1)п /(2/юс ) .

Но поскольку только в первом случае фазовый множитель в (26) - в смысле главного значения аргумента - может принимать нулевое значение в точках , независимо от N, при некотором множестве Х = п. , пе zp, когда все вектора комплексных амплитуд оказываются на одной линии, то именно он и представляет интерес для дальнейшего исследования, так в указанные моменты фиксируется амплитудное значение синтезируемого сигнала еФП (г). Теперь на базе (26) можно получить асимптотическое выражение спектра флюктуационной составляющей:

п2 N2

/ / N + 1(ш т / N +1)_

' (ш//N-1Хе™т / N-1)

У

р2уШ ± Р 2Ч2N I . А

п2/т

п 2/т'

(27)

где А,, = (^2ЧШ ± ^ 2Ч2N )/(^2ЧШ ■ ^ 2Ч2N ) .

Сигнал еФП (г) со спектром (27) для информационной составляющей еЯЧ (г) является аддитивной помехой. Следовательно, остается оп-

ределить его аналитическое выражение в соответствии с (27) и установить влияние на смещение точек перехода через ноль суммарного сигнала еЯЧ (г) + (г) .

С учетом установленной выше периодичности значений ¿>ЧШ, р2Л,, а также симметричности их значений с числом симметричных пар V и одинаковости знаков симметричных частотных компонент относительно компонент с номерами N=3^ г=1,3,5,..., синтез математической модели флюктуационной составляющей со спектром (27) будет выглядеть следующим образом:

ефл (г) = 2[2 /(п2/т)]± А cos( .Пг) ± Л5-2 [^((. - 2)Ш) + + еов((5 + 2)0г)]± [[((Я - 4)0г) + + 4)0г)]±...

± Ах-2у [((Я - 2г)0г)+СОБ((Я + 2г )0г)] ±... ± А еos(3sOг) ± Ах_2 [((3. - 2)0г) + соэ((3,5 + 2)0г)]± ± Ах-4 [^((3. - 4)аг) + соз((3.5 + 4)0/)]±...

± Л5-2у [^((3. - 2У ) + еos((3s + 2У )0г)]±...}.

(28)

Учитывая, что информационная составляющая еЯЧ (г) при переносе системы координат по оси Ь на величину гсм = тгх /. в точку 0' (рисунок 3) пересекает ось Ьв моменты г0 = тм / 4 ± тм / 2 и что .0 = юм = 2п/тм , после подстановки г = г0 = тм / 4 в (28) получим: (г0) =0. Таким образом, составляющая еФП (г) не влияет на момент пересечения информационной составляющей еЯЧ (г), несмотря на то, что в целом обладает максимальной амплитудой колебаний. Однако реальные ФНЧ в системе частотного преобразования обязательно нарушат симметричность пар V по амплитуде. И максимум методической погрешности, вызываемой полученной математической моделью еФП (г) возможна в том случае, если одна из симметричных пар вообще будет нарушена. Рассмотрим этот случай.

Поскольку спектр сигнала еФЛ (г) — периодический, то достаточно ограничится первым периодом: Nе [(.-2у),(. + 2у-2)].Флюктуаци-онная составляющая (28) при г = г0 = тм / 4:

(¿0) « ±Л_2,2[.2 /(п2/т)]еos((. - 2У) =

= ±А_2,2[.2 /(п2/т)]еos(Д./2]2пТм /(4.ТМ)) « = ±Л_2,2[.2 /(п2/т)] = .

На рисунке 3 представлен сигнал

ес (г ) = еЯЧ (г) + е<м (г)

для этого случая.

1

N

22 Р ЧШ ■ р Ч2,

Рисунок 3

Из рисунка 3 методическая погрешность Кг определяется графически:

Кг = (г, - г0) = иФЛ /1 (йвнч / &) И иФЛгм. Относительная методическая погрешность:

g _ ^ _ UФЛТЫ _ A M rj-, rj-, S-

T M T M

и2[s2 /(2lm)]. (29)

Так как величина а5-2у в зависимости от перебираемых множеств {т} и {/} носит случайный характер, то для придания функции (29) предельного (асимптотического) характера необходимо выбрать максимально возможное значение А3-2,. Из проведенного числового анализа (27) было установлено, что эта величина не превышает 0,25. С учетом этого окончательное выражение для асимптотической методической погрешности:

Sm

2 п lm 2 п 2<иг юг

(50)

Таким образом, получен эффективный инструмент оценки методической погрешности в виде (50) для линейного преобразования фазы высокочастотного сигнала в моменты пересечения через ноль низкочастотного широкополосного сигнала, реализованного посредством логического перемножения и фильтрации нижних частот. При этом предложенный метод преобразования исключает АРУ, вызывающего амплитудно-фазовую конверсию, которая вносит погрешность преобразования информационной фазы в измерительный интервал времени.

14.10.2014

2

и

м

Список литературы:

1. Крылов, Г.М. Амплитудно-фазовая конверсия / Г.М. Крылов [и др.] ; под ред. Г.М. Крылова. - М.: Связь, 1979. -256 с.: ил.

2. А.с. 1408383 СССР, МПК G 01 R 25/00. Способ измерения угла сдвига фаз между двумя гармоническими сигналами / В.Н. Булатов [и др.] - 4112696/24-21; Заявлено 23.06.86; Опубл. 07.07.88, Бюл. 25.

3. А.с. 1626187 СССР, МПК G 01 R 25/00. Способ измерения угла сдвига фаз между двумя гармоническими сигналами / В.Н. Булатов [и др.] - 4662640/24-21; Заявлено 27.12.88; Опубл. 07.02.91, Бюл. 5.

4. Булатов, В.Н. Метод выделения информативной части спектра зашумленных доплеровских сигналов с использованием нелинейной системы времени / В.Н. Булатов, С.В. Дегтярев // Вестник Оренбургского государственного университета. -Оренбург: ОГУ, 2004. - №2. - С. 163-167.

5. Гельфонд, А.О. Решение уравнений в целых числах / А.О. Гельфонд // Популярные лекции по математике. - Изд. 3-е. - М.: Наука, 1978. - 63 с.

Сведения об авторах:

Булатов Виталий Николаевич, профессор кафедры промышленной электроники и информационно-измерительной техники электроэнергетического факультета Оренбургского государственного университета, доктор технических наук, профессор

460000, г. Оренбург, Шарлыкское шоссе, 5, ауд. 15319, e-mail: [email protected]

Худорожков Олег Викторович, заведующий кафедрой промышленной электроники и информационно-измерительной техники электроэнергетического факультета Оренбургского государственного университета, кандидат технических наук, доцент

460000, г. Оренбург, Шарлыкское шоссе, 5, ауд. 15237, e-mail: [email protected]