Метод "близкой" задачи и его применение к решению задачи Сен-Венана о кручении стержней Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XIV

19 8 3

№ 6

УДК 519.6

624.071.3

МЕТОД „БЛИЗКОЙ" ЗАДАЧИ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧИ СЕН-ВЕНАНА О КРУЧЕНИИ СТЕРЖНЕЙ

Я. М. Пархомовский

Изложен способ приближенного решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. Он ставит в соответствие данной краевой задаче другую—близкую в определенном смысле к поставленной. Эта близкая задача имеет точное решение.

Способ применен к решению задачи Сен-Венана о кручении изотропных призматических стержней. Дано решение для нескольких типов сечений.

Мы хотим обратить внимание на один способ приближенного решения краевых задач для уравнений эллиптического типа. При его помощи получают точное решение задачи, близкой к поставленной. С этой точки зрения он занимает промежуточное место между точными способами, в которых удовлетворяются как уравнение, так и краевое условие, и способами приближенными, в которых оба этих условия удовлетворяются приближенно.

1. Рассмотрим для примера „плоскую11 краевую задачу для уравнений Лапласа, когда требуется найти гармоническую внутри односвязной области О функцию и(х, у):

, д2 и . д2 и „ ...

Ам==^ + ^ = °- 0)

удовлетворяющую на контуре Г, ограничивающем £>, условию

/?[Ц] = а(5)« + Р(5)-^=Ф(5), (2)

где а(я) и р(в) — известные функции, 5 — параметр, и — нормаль.

Пусть функции ик(х, у) (£ = 0, 1, . . .) образуют полную систему частных („координатных11) решений уравнения (1), так что

Ди*(.х, у) = 0. (3)

Как и в методе разделения переменных (методе Фурье), искомое решение краевой задачи ищем в виде

«(■*. y) = sA«ft(*. у)- (4а)

Отличие заключается в способе задания ик{х, у). В методе разделения переменных функции ик (х, у) — специального вида:

“•(*’Н^Ть\Х,У’г (5>

lATft(x)shXA_y J

где ^(^ — собственные функции, а X*— собственные значения обыкновенного дифференциального уравнения ^*(л:) + л|Х(л*) = 0 и краевого условия, определяемого видом оператора R [и]. Такое задание ик[х, у) налагает жесткие условия на вид оператора Н\и] и на область D.

Между тем можно отказаться от такого специализированного выбора координатных решений. Это может быть произвольная полная система частных решений уравнения (1), например, действительная (и мнимая) части любой упорядоченной системы аналитических функций

и т. д. zn, cos nz, enz (6)

(n = 0, 1,2,.. .) и, конечно же, любая система типа (5) и притом безотносительно к тому, собственными функциями какой именно краевой задачи являются функции Хк(х).

Ограничимся теперь в сумме (4а) конечным числом членов и будем искать решение поставленной задачи (1), (2) в виде

N

Акик(х, у). (4)

k=0

Тем самым мы намеренно ищем не точное ее решение, а некоторое к ней приближение, которое удовлетворяет уравнению (1). Остается рассмотреть условие (2).

Подставляя выражение (4) в левую часть условия (2), получим

,V N

R\u\ = ^AkR [ик (х, у)] | г = £ Л Tk (s),

k=0 k=0

где

7*(s) = #[»*(-*> J0]|r.

Выберем теперь коэффициенты Ак полинома ZAkTk(s) так, чтобы он аппроксимировал в некотором, задаваемом нами смысле, правую часть условия (2).

Можно, в частности, потребовать, чтобы для некоторой задаваемой системы „весовых" функций рi(s) имели место равенства:

N г г

X Tk(s)Pi{s)ds = j ф (5-) р/ (S) cfs, / = 0, 1, ..., N, (7) £=0 о о

где I—„длина" контура Г.

Это приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно Ак:

N \

^ , &1к^к УI

1г=()

1 1 I

а1к=$ РЛ«) Тк (5) у> = $Ф (8)^(5) ёБ, г, /г = 0, 1, . . . , N. |

О 0 )

В зависимости от выбора рг(«) получают различные варианты способа.

Если, например, за рг(з) выбрать дельта-функцию Дирака рг(5) = о(5, 5;), где 5г — заданная совокупность точек контура Г, то

а1к = тА*1), Л=ф(5/), (9)

и это означает, что в заданной совокупности точек (50, 5], . . . , 5Л,) совпадают значения полинома и краевого условия—прямая интерполяция.

Если принять р; (я) = (я), то

I I

а,* = /7, 7^, у1 = {ФТ1с1з, (10)

о о

и Ф (х) аппроксимируется в смысле минимума средней квадратичной ошибки. В этом случае полученные формулы совпадают с формулами вариационного метода Треффца. В некоторых случаях может оказаться удобным одновременно использовать две системы весовых функций—дискретную (Дирака) и континуальную.

Таким образом, и притом безотносительно к характеру поставленной краевой задачи (задача Дирихле, Неймана, смешанная), дело сводится к задаче об аппроксимации функции Ф(я) полиномом, составленным из функций Т’Дх)*.

Вычислим „невязку11:

в (в) = Ф (5) — Ф (5),

/V

где Ф(«> = 2 А Тк(*)-

к=0

По известному свойству гармонических функций разность между точным и приближенным решениями внутри области О будет меньше, чем в (я). Это позволяет с двух сторон оценить допускаемую ошибку в величине и(х, у), т. е. установить меру близости задач заданной—„точной11 и приближенной.

Полученное решение можно трактовать и по-иному. Получив коэффициенты Аь мы для заданного контура Г реализуем точное решение другой задачи, близкой к той, которую надлежало решить.

Можно рассуждать и следующим образом. Имея систему коэффициентов Ак, можно найти уравнение той кривой Г, на которой точно выполняется данное условие, т. е. на которой

1? [и] | г* = Ф (5).

* В этом и заключается суть приема. И если до сравнительно недавнего времени такой элементарный прием не был ходовым, то теперь, когда решение системы большого числа линейных уравнений—дело ординарное, не видно, почему его нельзя использовать в повседневной практике.

( (8)

Иными словами найти тот контур Г* (и область D*, им ограниченную), на котором точно решается данная задача. Приведенный способ, следовательно, реализует точное решение задачи не на контуре Г, а на контуре Г*, в известной степени близком к данному.

Таким образом, мы получаем либо решение задачи, „близкой к заданной11 в данной области D (на контуре Г), либо решение заданной краевой задачи, но на „близкой области" (контуре Г*). В обоих случаях меру этой близости можно сделать наглядной и использовать „невязку11 e(s) для оценки точности полученного результата. Сказанное позволяет назвать приведенный прием способом точного решения близкой задачи.

Следует остановиться на некоторых особенностях приема. Он дает, так сказать, решение „регуляризованной" задачи. Ограничиваясь конечным числом членов, мы на контуре Г получим условие, „близкое11 к данному, но уже не имеющее разрывов. При заданном же условии контур Г* также получается „сглаженным"—без угловых точек. (Надо, впрочем, заметить, что наличие угловых точек на контуре или скачков в краевых условиях—часто следствие математической идеализации реальной задачи).

Заметим, что, как и при любой аппроксимации, „близкая" кривая Г* [или „близкое" условие Ф(5)] „обвивает" данную кривую Г или Ф(я).

Все сказанное легко распространяется и на другие краевые задачи. Так, при решении внешней задачи на систему uk(x, у) надо наложить еще условие ограниченности при х, у -> оо. При решении пространственных (внутренних) краевых задач за систему координатных решений можно принять систему шаровых функций

(х, У) = rn Yn (©, ft), где ft) — сферическая функция.

Такими же координатными решениями могут быть к примеру функции:

cos пх cos ту ch Ут2 + я3 z, cos пх cos ту sh Ут2 + п2 z, т, п — 0, 1, ....

В заключение остановимся на вопросе о предельном переходе при N-+ оо. Здесь возникают очевидные трудности, и нам представляется, что в ряде (4) сознательно следует ограничиваться конечным числом членов, не стремясь к чрезмерному его увеличению. Надо считаться и с тем, что при численной реализации любого, даже теоретически безупречного метода он часто бывает неустойчивым. Такая ситуация может иметь место и в нашем случае: ведь речь идет о решении системы алгебраических уравнений, элементы матрицы которой—интегралы [как, например, в вариантах (8) или (10)]. С ростом порядка матрицы коэффициентов уменьшается, и притом достаточно резко, точность определения ее элементов*. Выбирая тот или иной вариант аппроксимации, с этим

* С этой точки зрения, при большом числе уравнений использование для определения Л* процедуры (8) иногда может оказаться предпочтительней, нежели процедуры минимума квадратичной ошибки, хотя теоретически последняя, конечно, предпочтительнее.

обстоятельством следует считаться, ограничиваясь „средним11 значением числа /V, и оценивать точность полученного результата по величине е(Б) или по близости кривых Г и Г*.

2. В качестве иллюстрации возможностей способа дано его применение к решению задачи Сен-Венана о кручении сплошных изотропных призматических стержней*.

Дело сводится [1—3] к решению следующей задачи Дирихле.

Дф = 0; ф|г = -1-(х2+з;2). (11)

Здесь Г — контур, ограничивающий поперечное сечение. Геометрическая жесткость на кручение С вычисляется по формуле

С = 2 Л 'Ъйхйу—(12)

5

здесь 5 —площадь поперечного сечения, а —его полярный момент инерции относительно начала координат.

Для решения ее в качестве ик(х, у) были приняты действительные и мнимые части аналитических функций гк\

Г г* соэ 1 , „ , ч

“*(■*. .У) = {* . , /г = 0, . . . , (12а)

[ г эт № ]

Если уравнение контура Г в координатах г, &

г=/(»), 0<&<2тг (13)

является однозначной функцией угла его и выбирают в качестве

параметра я**. В других же случаях за 5 можно выбрать, напри-

мер, длину дуги и рассматривать параметрическое уравнение контура

Г=/1(5), ’>=/г(5). (14)

Итак, ищем приближенное решение ']> в виде

N

ф = ^ (Ак сое £0- + Вк бш Н)г*. (15)

А=0

Использование процедуры, указанной в п. 1, приводит решение задачи к аппроксимации функции Ф (&) = -^-/2 (&) полиномом

/V

+ (16)

*=о

где

ик (&) = /* (8) сое &&, Ук (0) = /* (&) £9.

* Это—одна из наиболее изученных задач теории упругости. Ей посвящена обстоятельная монография Н. X. Арутюняна и Б. Л. Абрамяна [1].

** Все приводимые ниже рабочие формулы написаны именно для этого случая.

Требуя выполнения равенств (7), получаем:

N

где

£ К» А+ = У/. * = 0, 1..........N, (17)

k=o

2% 2%

aik = J Ь (&) Uk (ft) d&; bik = j Pl (0) V, (ft) dft;

0 0

2ic

y« = 4-i &(»)/*(&№ l> ■■■> N>

(18)

a o(.(ft) — выбранная система весовых функций (вариант 3).

При p(.(ft) = 8(ft, &г), где ft,-— задаваемая последовательность точек ft0, ftj, . . . , &2/v контура , получаем (вариант /):

a;*=/ft(8») cosAsft,; bik = /* (»f)sin Aft,; y, = -^-/2(ft,). (19)

Вариант 2, реализующий минимум квадратичной ошибки, получим, если в (17) и (18) примем

Pi (ft) = £/,(») (л == 0, 1, . . . , N); Р|(»)= У|_*(0), 1, JV+2, . . . , 2N.

Вычислив Ak и Вк, можно затем установить „невязку11—разность

е (») = 4-/2 (&) - 2 и* иь (&) + в* ^ (&)), (2°)

*=0

характеризующую точность полученного решения.

Второе слагаемое в (20) дает ту „близкую11 задачу, которая решается при данных значениях Ak и Bk.

Пусть — г, (ft)-< е2. Тогда истинное решение задачи лежит в границах

— Si<<]> - Ф<е2. (21)

Используя неравенство (21) и формулу (13), получаем

С — 2st 5 < С < С + 2е2 S, (22)

где С и С—-соответственно, точное и приближенное значения геометрической жесткости.

Неравенство (22) позволяет в каждом отдельном случае получить оценку (хотя и достаточно грубую) точности решения. Что касается величины С, то, подставляя в (12) вместо ф его значение по (15) и производя интегрирование, получим:

N 2л

С = 2 2 ТТТ i fk+2 W [A cos кЬ + Bk sin kd®-Jp- (23)

k=o + о

Вычисляя, далее, для разных значений 8 меньший корень г* уравнения

N

-4- г2 — У\ rk (Ak cos/гВ + Bk sin ftft) = 0 (24)

A = 0

и строя график г* =/(&), получим тот контур Г* (ту область D*), для которого полученный полином решает задачу кручения.

Если область имеет одну ось симметрии, то, отсчитывая от нее угол 0 и принимая во внимание, что краевое условие (11) обладает центральной симметрией, замечаем, что в сумме (15) Вк=0. При двух взаимноперпендикулярных осях симметрии в сумме (15) остаются только члены A2k r2kco% 2kb.

3. Ниже дается решение задачи кручения дли нескольких призматических стержней, сечения которых приведены на рис. 1. Эти сечения обладают двумя взаимноперпендикулярными осями

Ч

2Ъ

т

2h

У

Л*

X

г2Ъ

В)

У \

2с

S)

2Ъ

г)

Рис. 1

симметрии, принятыми за координатные оси. В этом случае решение задачи ищем в виде

N

ф = Ак г2ксо$ 2Ш, (25)

к=0

а жесткость С будет

г N Т-./2

С = 4 X 1 Рк+2 (&) — .1р . (25а)

й-о и

Основная цель заметки —показать эффективность способа. Поэтому во многих случаях решение проводилось всеми указанными в п. 2 вариантами.

3,1. Кручение прямоугольника. Эта задача, решение которой приводится во всех курсах теории упругости, была выбрана в качестве „эталонной11. Для прямоугольника (см. рис. 1а) в ряде (25) мы намеренно ограничились только тремя членами (/V — 2). Был произведен расчет стержня квадратного сечения и стержня, у которого Н : Ь — tg-g- ~ 0,414.

Для каждого из этих сечений коэффициенты Ак определялись:

а) в варианте 1 из условия, чтобы (для первого квадранта) 0(s,) =

| 2

= —г, в вершине прямоугольника и в точках (Ь/2, К) и (b, Л/2);

б) по варианту 2; в) по варианту 3, причем р*(&) = cos 2&&.

Таблица 1 дает представление о том, как разнятся между собой решения, полученные различными вариантами. В ней даны (с пятью знаками) значения Ак, приближенное С и табличное С (по [3]) значения геометрической жесткости на кручение.

Таблица 1

b : h = \ b = =0,707, С = =0,5624 h : b — tg я/8, Ь - = 0,924, С =0,2042

Вариант А<) Ai А С А, А] A*l С

1 0,28947 0 -0,21053 0,5474 0,11842 0,53963 —0,1905 0,1871

2 0,29483 0 —0,19230 0,5640 0,14086 0,45513 —0,11774 0,20822

3 0,29524 0 -0,18893 0,5647 0,13977 0,47285 -0,14805 0,21124

„Интегральные" варианты 2 и 3 дают близкие друг к другу значения С, причем они мало отличаются от табличного. Близки между собой и сами решения (т. е. коэффициенты Ак).

Несколько худшие результаты дает вариант 1. Погрешность его заметно возрастает с ростом отношения Ь : И.

Если использовать для оценки С неравенства (22), то для

И:Ь = получаем следующую „вилку“:

0,1731 < С < 0,2140 — вариант 1,

0,200 <С<0,2115 — вариант 2,

0,196 < С < 0,2130 — вариант 3.

Графики, приведенные на рис. 2, позволяют судить, какая краевая задача для указанных двух прямоугольников решается трехчленом (25). Заданное краевое условие отмечено цифрой 0. Цифрами /, 2, 3 отмечены результаты, которые получают при

использовании соответствующего варианта. На рис. 2,-----•

На рис. 3 даны кривые Г*, для которых трехчлен (25) решает задачу кручения. Там же нанесены „исходные11 контуры Г. Контуры Г* не имеют угловых точек и „обвивают11 исходный прямоугольник. Для /г/6=^я:/8 наиболее уклоняется от данного контура решение по варианту /.

Используя вариант 1 можно получить простую формулу для жесткости

- Шг. С== 285

(62 + /г2)2

(.Ь2 + /г2)

Для прямоугольников 1«;Ь/Л<;3,5 она дает заниженные (отличающиеся от табличных не более чем на 5%) значения С. Расчеты показывают, что если в ряде (25) сохранить 4 члена, то величина С отличается от табличной не более чем на 0,5% при 1 <Ь/к < 5,5.

0,75

0,50

3.2. Кручение стержня крестообразного сечения*. Такое сечение (см. рис. 1, б) было выбрано потому, что оно используется при изготовлении лонжеронов динамически подобных моделей. Но главное заключалось в другом —в стремлении проверить эффективность метода на весьма „неудобной11 задаче.

* Приводимые в 3.2 вычисления были по нашей просьбе выполнены А. Е. Орловым.

Метод решения задачи для такого профиля дан в монографии [1]. Он приводит к сложной бесконечной системе уравнений, и числовые результаты даны лишь для равнобочного симметричного креста.

Эти-то результаты для ряда значений при Ь = Н =

= Хг- были сопоставлены с нашими расчетами (нижняя строка

табл. 2), в которых для (25) принималось N = 5 и использовался вариант 2.

Таблица 2

6/Л 1 1,5 2 2,5 3 4

по [1] 0,458 0,276 0,1503 0,0910 0,0391

С 0,467 0,263 0,1563 0,0905 0,0362

Как видим, результаты обоих расчетов достаточно близки между собой.

Приведем еще результаты расчета сечения одного лонжерона, параметры которого Ь = 0,44Я, /г = 0,5Я, /г1=0,15Я, Ьх = 0,25Я, где Н — характерный размер. Расчет проводился при ЛГ= 11.

На рис. 4 дано сравнение заданного краевого условия (сплошная кривая) и полученного (пунктирная) на исходном контуре

(0 < & . Из его рассмотрения следует, что на основной части

\ г 1

контура невязка достаточно мала. Она значительна лишь вблизи угловых точек, особенно в области входящего узла.

„Близкий11 контур (рис. 5)—„волнистый"—воспроизводит форму исходного креста. При М= 11 он заметно отличается от исходного только в окрестности угловых точек. С ростом N число волн возрастает, а амплитуда их уменьшается.

Значение С, полученное по расчету, оказалось равным 0,04088//!. Неравенство (22) дает следующую оценку для С:

Рис. 4

•S'

\1

)

/

(0,04088 - 0,00518)Я4< С <(0,04088 +

+ 0,00346) H\

3.3 Кручение ромбовидного профиля. Уравнение этого профиля (на участке 0<. Й -< т:/2) (обозначения см. на рис. 1, в) будет:

bh

Г =----------sх

h cos ft + b sin

\

Рис. 5

Для получения решения применялись варианты 2 и 3. В последнем /Д&)—соз2£& (ДА—0, 1, . . . , 14). При /V = 14 оба варианта дают для С значения, отличающиеся в 5—7-й значащих цифрах. Для Л/&> 0,1 можно было ограничиться и шестью членами ряда. Однако чем меньше отношение Н/Ь, тем большее число членов ряда следует оставлять, чтобы получить невязку )гК2-10~5&5. Если жесткость на кручение профиля определять формулой С = = -^/г3, то для коэффициента 7 расчеты (по вариантам 2 и 3) дают значения (табл. 3):

Таблица 3

hjb 0,05 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0

7 1,3051 1,300 1,2271 1,134 1,0355 0,939 0,8478 0,7645 0,703 0,622 0,5623

При А^= 14 разность г(9) между заданным краевым условием и полученным не превосходила по модулю 1-10-6Ь2при Л >0,1 Ь и была 2-10~ъ Ь2 при А = 0,05й. Взяв эту, последнюю, величину за исходную, получаем [(см. (22)], что значение С при 0,051,0 лежит в следующих пределах:

7-0,8-10-

< С<

0,8-10"

ъ_ '2 \ h

bh3.

Расчеты показали, что „близкий11 контур Г* практически совпадает с исходным.

3.4. Ромбовидный профиль с площадкой. Уравнение этого профиля (см. рис. 1, г) будет

Ко

і

h cos & + (b — с) sin ( h

sin 9 ’

0<»<&0, tg &0 = A/C,

Такой профиль применяется в ленточных подвесках моделей в аэродинамических трубах.

Ниже приводятся значения жесткости на кручение для профилей, у которых ШЬ — 0,05; 0,1; 0,2. При этом для каждого из профилей ширина „площадки11 изменялась в пределах с = 0,1 Ь -ь 0,9 Ь.

Если жесткость на кручение определять по формуле с = -(й/г3, то коэффициент ~{ — /(с\Ь) дается табл. 4.

\С/6 А/6\ 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

0,05 1,7260 2,1229 2,5196 2,9193 3,3433 3,7238 4,1109 4,5125 4,8860

0,1 1,7025 2,0913 2,4833 2,8803 3,2668 3,6575 4,0384 4,4088 4,7444

0,2 1,653 1,9998 2,360 2,7438 3,1125 3,4760 3,8218 4,1512 4,4383

Здесь все вычисления были проведены по варианту 2 и в (25) удерживалось 15 членов. Тогда „близкие11 задачи практически не отличаются от исходной.

Л ИТЕРАТУРА

1. А р у т ю н я н Н. X., Абрамян Б. Л. Кручение упругих тел.—

М.: ГИФ МЛ, 1963.

2. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. —М.: АН СССР, 1954.

3. Тимошенко С. П., Д ж. Гудьер. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

Рукопись поступила 7/VI 1982 г.

5—«Ученые записки ЦАГИ» № 6