CC BY
20
МИ КРОЭ КОНОМИЧЕС КИЙ АНАЛИЗ: МЕТОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ
УДК 33.0.46
С. Ю. Кучерук
Новосибирский государственный университет ул. Пирогова 2, Новосибирск, 630090, Россия E-mail: [email protected]
МЕТОД АНАЛИТИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ИННОВАЦИОННОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ В ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ
Целевое направление исследования - определение сбалансированных индикаторов инновационных тенденций в социально-экономической динамике и выявление между ними функциональных отношений.
Ключевые слова: инновационная составляющая, коэффициент эластичности инновационного фактора, многофакторная степенная производственная функция, суммарный инновационный индикатор.
Методологические основания
Операциональное определение понятия инновация в технико-экономическом контексте может быть представлено как иными, заведомо востребованными технологическими направлениями современного производства, так и новыми измерениями в пространстве социальноэкономического развития.
Современная методология экономико-математического моделирования позволяет до определенной степени адекватно отображать полимерию и мультифакторность социальноэкономической динамики посредством как линейных балансовых, так и нелинейных многофакторных моделей [1; 2].
Вместе с тем отражение инновационного фактора, в рамках экономико-математического моделирования, может осуществляться посредством задания экономического пространства как нелинейного, в результате экспоненциального воздействия инновационной составляющей научно-технического ускорения.
В рассматриваемом методе в качестве аналитического модулятора выступает многофакторная степенная производственная функция (МСПФ), в альтернативных вариантах ее представления, которая, наряду с другими замечательными свойствами, корректно приводится к линейному виду. В результате степенные показатели независимых переменных МСПФ оказываются достаточно информативными для аналитического отображения актуальной технико-экономической динамики, с поправкой на инновационную составляющую.
Инструментальная методика
В процессе отображения инновационного потенциала целостного экономического объекта (^ - индекс объекта: экономической системы, ее отрасли, регионального комплекса предприятий) в ходе реализации МСПФ вида
Инновационные составляющие могут отображаться как в явном виде - посредством включения новых независимых факторов [3; 4], так и имманентно - поэлементно в комплексных коэффициентах эластичности а^, экономическая интерпретация которых непосредственно следует из первой производной от МСПФ по независимым переменным:
M (t)
M (t)
(1)
— = asL*US(t), (s = 1...S; i = 1...M(t)).
dx, xi
ISSN 1818-7862. Вестник НГУ. Серия: Социально-экономические науки. 2010. Том 10, выпуск 4 © С. Ю. Кучерук, 2010
При условии, что число независимых факторов МСПФ может варьироваться: М = М(г).
Исходная производственная функция может иметь альтернативное представление, с выявлением инновационной составляющей в «чистом» виде:
М (г)
и5 (X, г) = С05 х ехр(Х5 х г) х п х,ь (г), (0 <Х5< 1). (3)
г=1
Здесь X 5 рассматривается в качестве индикатора, отображающего посредством функции реального времени инновационную составляющую динамики экономического объекта ^, как интегральный эффект его научно-технического развития.
Ря - «рафинированные» коэффициенты эластичности, представляющие исторически сложившиеся технико-экономические тенденции.
Таким образом, в альтернативном варианте составляющие МСПФ по отношению к инновационному фактору оказываются в состоянии «биполярности».
Посредством преобразований - логарифмирования и дифференцирования МСПФ в синхронном представлении (1) и (3), приходим к структурированному балансу темпов прироста:
Ии М (г) Иг М (г) ИХ
= У = X5 + У Р^-^Ч (* = 1... 5). (4)
и5 х Иг ,=1 х^ х Иг ,=1 л, х Иг
В приведенном уравнении показатель X5 представляется как инновационная доля темпа прироста конечного продукта (КП) д-го объекта.
Из полученного соотношения следует:
М (г) ИХ;
Х5 = У К - Рй-)х —7Г. • (5)
;=1 х х аг
В данном уравнении индикатор X5 конкретизируется уже как инновационный темп прироста КП в результате суммарной разницы между коэффициентами эластичности из (1) и (3).
Для оценки отношений между задействованными коэффициентами аи рассмотрим соотношения производных МСПФ
dUs /dUs = asi xxk = Psi xxk
dxi / dxk ask X Xi P Sk X Xi
откуда выясняется, что
, где i, k = 1...M(t),
(i, k = l.M(t)).
a Sk P Sk
Далее, посредством суммирования, получаем:
asi = Me)Si , (i, k = l.M(t)); или
Z Psi i =1
M (t )
Psi = asi x Z Psi , (^ k = 1-M(t))-i =l
Применив данное соотношение к (5), получим:
M (t) M (t) dx
h = (1 - Z Psi ) x Z “si X —d • (6)
i=1 i=1 xj x dti
В итоге, показатель Xs представляет собой суммарный результат «извлечения» из совокупности исходных коэффициентов эластичности asi, изначально неявно представленного в них инновационного потенциала.
Исходя из (6), с учетом (4):
M ( t ) dU
"s = (1 - Z вsi)X ицБ' (7)
Из приведенного уравнения следует, что при положительном значении X5 следует:
М (г) М (г)
0 < У Рет- <1; иначе, если: У Ря > 1, то < 0, что противоречит исходным условиям 1.
г=1 =
При обозначении темпа прироста КП:
, Ч Ии,
и, (г) =----—,
5 и, х Иг
исходя из (7), приходим к компактному представлению структуры темпов прироста в контексте МСПФ (3):
М (г)
Х5 + и5 (г) х У = и5 (г). (8)
;=1
Введем операциональные определение коэффициента эластичности V*, в отношении задействованного в МСПФ (3) инновационного фактора.
X
Исходя из задания X5 = V, х и* (г) следует определение Vs = ——.
и, (г)
Далее, разделив обе части уравнения (8) на значение и, (г), приходим к нормированию всей совокупности коэффициентов эластичности из (2), включая инновационные:
М (г)
VS + У Ря = 1
г=1
Итак, мы пришли к однозначному представлению в отношении суммы степенных показателей и коэффициентов эластичности производственной функции типа (3), несмотря на устоявшееся нечеткое мнение по данному вопросу [5. С. 455].
М(г) М(г)
При обозначении а, =У а« , Р* = У Р„ и условии V, + Р, = 1 с учетом (7) получаем
г=1 г=1
новую версию МСПФ, с явным представлением инновационного фактора:
( М (г)
м/ М (г)
и (х,г) = ^о5х (ехр(ихг))Vs х п ха- (г) Iг=1
(5 = 1 ... 5).
Следовательно, представляется темп прироста МСПФ, с выявлением его инновационной и традиционной составляющих и коэффициентами эластичности их обозначающих:
М (г) Их
и5 (0 = V х и5 (0 + Р,х У ^ х---------------г— ;
¿=1 Х;х Иг
поскольку и* (г) = У а5г х-г—, то и* (г) = vs х и* (г) + р, х и* (г).
г =1 хгх Иг
Таким образом, соотношение между инновационной и традиционной составляющими темпа прироста КП, является выпуклым.
Рассмотрим соотношение представленных коэффициентов эластичности в пределах единичной окружности, с радиусом а*. Определим новое (ортогональное), по отношению к направлению Р*, измерение Н* - в качестве инновационной меры.
Тогда координаты вектора а* характеризуются парой значений - Р*, Н* .
М(г)
1 Если Р 5г > 1, т. е. при X5 < 0, следует констатировать «экономическую аномалию».
г=1
Теорема. Инновационная (ортогональная) мера представляет собой среднегеометриче-
ское значение от произведения отрезков [ А, в* ] и [Р*, 5] (см. рисунок ниже), на которые делится диаметр окружности высотой, исходящей из точки а *.
h„
A
і і
( a s /ъ
0 в s
B
Доказательство.
Исходя из соотношения а2 = Р^ + h2s следует, что
hS = а2 - Р2, или
h2= ( «s + Ps ) X ( «s - Ps ) = (1 + Ps ) X (l-ps ).
Так как VS = 1 - Ps, то
h* = >/VsX(as +ps) =y¡VsX(1+ps).
Итак, приходим к операциональному определению инновационной меры hs как среднегеометрического значения от коэффициента эластичности инновационного фактора VS и альтернативной части диаметра единичной окружности, представляющей сумму as + Рs =1+Ps. Теорема доказана.
Обозначим угол между направлениями 0 as и 0 Рs через угловое значение ф*. Тогда:
h* = sin Ф* = V1 - cos^s
и
V. 2 2
Sin ф5 + cos ф5 .
Рассмотрим гипотезу об оптимальном значении угла поворота ф5 вектора as. Если исходить из максимизации площади образуемого при этом прямоугольника, построенного на hs и Ps, то приходим к условию:
s^ * і . 2—
Tg ф5 = ------ = 1; таким образом, ф5 = 45°. Следовательно: as = J2srn ф_! , т. е.
cosф
1 7 * I /~\ £ *
sin2 ф5 = /2, откуда hs = -у/0,5 = 0,707 и, следовательно, Vs = 0,293.
Таким образом, оптимальное значение инновационной доли темпа прироста КП представляется как X = 0,293 X us (t).
Оптимизационный подход
В задаче максимизации целевой функции вида (1), при условии ограничений в отношении бюджета В*:
М (г)
У а. х X. (г) < В8 (г), Х(г) > 0, X (г) = (хДг) ...хм (г)),
I=1
где а*. — оценки технологической значимости независимых переменных МСПФ (1),функция Лагранжа имеет вид:
М (г)
Ц (X, г) = и8 (X (г)) - Хх ( У а. х х*.(г) - В(г)). .=1
Из соотношения производных целевой функции в условиях оптимизации с учетом (2):
dU /dU aSi así X x
dx¡I dXj aSj aSj Xxi ’
следует, что
am =
aSi X XSi
Si M (t) ,
Z aSi X XSi i=1
или, в оптимальном случае, получаем динамическое представление:
* * (x A aSiXx¡
aSi = aSi (Xi ’ ) =
B
(10)
S
Применяя полученное уравнение к (1) и (3), имеем с учетом (9) оптимизационные версии МСПФ:
и* (Xs, t) = Соs X
( м (t)
П xaXXi
\Ув,
(s = 1... S; t = 1... 7)
или с явным представлением инновационной составляющей:
( м (t)
U* (Xs, t) = Соs X (exp(«s *t))Vs П X
P,/
\/Bs
(s = 1...S; t = 1. T).
Далее, исходя из (10), представление показателя Ás в уравнении (6) преобразуется следующим образом:
1 м (t) dX
К = (1 -Р.)X B-х Z asi X^ ,
i=1
dt
отсюда оптимальная доля бюджета, участвующая в инновациях В* , оценивается как
- М (I) Лх
В*- = Х* хВ, = (1 -Р,)х У а„хЛ- .
i=1
Если, исходя из уравнения (6), рассматривать показатель Х3 как составной:
м (t)
ХS = Z ХSí , (s = 1...S),
i =1
то следует допущение его детализированного представления в МСПФ версии (3):
i =1
i=1
Us (X, t) = Ños X exp
С M (t) ^ M (t) M (t)
t X Z XSi хП Л?- ( t ) = Cos хП Xt X xf-
V 1 =1 у '=1 '=1
При сопоставлении полученной модификации производственной функции с заданным видом МСПФ из (1), в системе уравнений аналогичной (4), поэлементно выявляется:
Х„ = (ая-|3Я)х-
x¡ X dx¡ ’
или в случае детализированного представления Xs :
^Si =х B (t) = (1 -Ps) х as, х dr.
dt
Таким образом, появляется возможность непосредственного выхода на функциональную взаимосвязь между бюджетом инновационного проекта и динамикой актуальных оценок технологических коэффициентов asi = asi (t):
a. (t) = X - х dt х B
(1 -p,) х dx, '
Основные результаты
1. В контексте современных экономико-математических методов представлен аналитический метод по идентификации инновационной составляющей многофакторной степенной производственной функции (МСПФ).
2. Представлена инструментальная разработка метода оценивания и моделирования инновационной меры темпов прироста КП.
3. Определено понятие коэффициента эластичности инновационного фактора в сбалансированной взаимосвязи с другими степенными коэффициентами МСПФ.
4. Установлено функциональное отношение между инновационными коэффициентами эластичности и актуальными значениями оценок технологических коэффициентов, что позволяет в режиме реального времени осуществлять мониторинг инновационной активности предприятия, отрасли, региона и народного хозяйства в целом.
5. Представлены новые версии МСПФ, с включением инновационного фактора в явном виде, в том числе исходя из оптимизационного подхода.
Список литературы
1. Суслов В. И. и др. Эконометрия. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2005. 731 с.
2. Баркер А. Алхимия инноваций: Пер. с англ. М.: Вершина, 2003.
3. Stewart T. A. Intellectual Capital: New Wealth of Organizations. N. Y., 1997.
4. Barro R. J., Sala-i-Martin X. Technological diffusion, convergence, and growth // Journal of Economic Growth. 1997. Vol. 2 (1). P. 1-25.
5. Математика и кибернетика в экономике: Словарь-справочник. 2-е. изд., перераб. и доп. М.: Экономика, 1975. 700 с.
Материал поступил в редколлегию 03.09.2010
S. Yu. Kucheruk
METHOD OF ANALITICAL REPRESENTATION OF INNOVATIVE COMPONENT IN ECONOMIC-MAHTEMATICAL MODELING
Target line of research - definition of balanced indicators of innovative trends in the socio-economic dynamics and the identification of relationship between them.
Keywords: innovation components, the coefficient of elasticity of innovation factor, multi-degree of production function, total innovation indicator.
