Механизм образования вихрей в нестационарном потоке идеального газа Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XX

1989

№ 2

УДК 532.527

МЕХАНИЗМ ОБРАЗОВАНИЯ ВИХРЕЙ В НЕСТАЦИОНАРНОМ ПОТОКЕ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА

Р. Я. Тугаэаков

В рамках уравнений Эйлера проведен анализ нестационарной задачи о внезапном движении частиц газа, находящихся в покоящемся или движущемся потоке данного же газа. Показано, что в результате внезапного движения частиц в сдвиговых слоях образуются вихревые течения, из которых формируются крупномасштабные вихревые структуры. При этом частицы генерируют звуковые волны во внешнее поле. В работе приведены также картины взаимодействия вихревых структур друг с другом.

1. В нестационарных задачах газовой динамики, таких как: внезапное движение тела с заданной скоростью, задача о распаде двумерного произвольного разрыва — в начальный момент времени течение газа в расчетном поле является безвихревым. Со временем, из-за разрывных начальных данных, в этих задачах движущиеся потоки газа становятся вихревыми. Здесь следует отметить две основные причины, в результате которых зарождаются вихри. Во-первых, это ударные волны и контактные разрывы, появляющиеся в поле течения из-за разрывных начальных данных. Во-вторых, это сдвиговые слои, которые возникают в потоке газа и в общем-то, тоже вызваны разрывом начальных и граничных условий задачи. Со временем в этих сдвиговых слоях, как показывает численный эксперимент [1], повышаются величины завихренности и энтропии. Прирост их может быть больше, чем от образовавшихся ударных волн. В некоторых задачах сдвиговый слой из-за специфических граничных условий совпадает с зарождающимся контактным разрывом. Так при рассмотрении задачи о распаде двумерного разрыва в начальный момент времени может возникнуть контактный разрыв с ненулевой касательной составляющей скорости вдоль него. Такие разрывы неустойчивы и со временем размываются из-за влияния вязкости. В то же время известно, что при больших числах Рейнольдса влияние вязкости существенно лишь в узких областях: на поверхности тела или же на первоначальной границе разрыва. Основную же область течения можно считать невязкой. Это позволяет во многих случаях изучать вихревое течение газа в рамках уравнений Эйлера.

Так в [1] при внезапном движении пластины изучен вопрос об образовании (зарождении) вихря. Но в указанной работе в формировании вихря основную роль играет пластина, а в реальной жидкости в окрестности кромки пластины существенна роль вязкости. Чтобы исключить влияние вязкости (или почти исключить), в настоящей работе для изучения вихревых нестационарных течений газа рассматривается движение отдельных частей (частиц) газа относительно друг друга с разными скоростями. При такой постановке вопроса можно, например, моделировать произвольное движение частицы в газе при развитой турбулентности потока, где существенна лишь турбулентная вязкость. Кроме того, такой подход позволяет решать задачу о взаимодействии нескольких вихрей, находящихся в потоке газа, так как в каждой частице в процессе движения реализуется вихревое движение. Важность последней задачи в оценке влияния вихрей на стационарные и нестационарные аэродинамические характеристики летящего тела — общеизвестна.

2. Рассматривается течение идеального газа с отношением удельных теплоемкостей 7= 1,4 в верхней полуплоскости (рис. 1), где в зависимости от рассматриваемого варианта з.-дачи в начальный момент времени помещены одна или несколько частиц, отличающихся друг от друга и от основного поля течения составляющими скорости, плотности или совокупностью этих величин.

В работе изучается поведение плоских или осесимметричных частиц конечно-разностным методом установления Лакса—Вендроффа, который применяется к уравнениям Эйлера. Этот

Рис. 1

метод расписан в двухшаговой интерпретации Бурштейном. Точность его по координате и времени равна двум. Численный алгоритм метода изложен, например, в [1]. Расчет текущей точки в методе осуществляется по девятиточечному шаблону в прямоугольной системе координат. При нахождении первых и вторых производных по х, у и / в методе применяется осреднение их значений относительно центральной расчетной точки. Граничные точки рассчитывались с учетом близлежащих внутренних точек.

Сформулируем начальную задачу для рассматриваемых течений газа. В случае, когда в поле течения газа находится одна частица, отличающаяся своими газодинамическими параметрами от параметров основного поля, в начальный момент времени для компонент скорости, давления и плотности имеем:

/ = 0

и = и00, о = 0, р = р00, Р = Рсо —в поле течения,

и = ич, £1 = 0, Р = Роо. Р = Рч —в частице.

(1)

В последующие моменты времени (00) на границе частицы происходит распад двумерного произвольного разрыва и под действием возникающих нестационарных сил частица, замедляясь или ускоряясь, движется в потоке. При этом происходит ее деформация, распад на две части, образование вихревых течений внутри частицы.

В случае, когда в поле течения имеются несколько частиц, то начальные условия задачи ставятся с учетом местоположения частиц таким же образом, как в (1). При рассмотрении пар частиц, движущихся в потоке газа, возможно изучить их взаимодействие, слияние, а так как частицы представляют собой вихревые образования, то и — взаимодействие двух вихрей. Результаты расчетов полей течения выводились в определенные моменты времени в виде линий постоянной нлотности, давления, энтропии и завихренности. Как и ожидалось, в области зарождения вихрей линии постоянной энтропии и завихренности совпадали.

3. На рис. 1 представлена картина течения газа в момент / = 0,63 при движении однородной круглой частицы (рч = роо) со скоростью ич = 1 в невозмущенном газе. Указанное время приведено к безразмерной форме обычным способом путем отнесения его ко времени, за которое звуковое возмущение пробегает расстояние, равное длине частицы газа. Штриховыми кривыми на рис. 1 нанесены изобары, а сплошными — изэнтропы (мгновенные линии тока, совпадающие с формой частицы). Так как картина течения симметрична относительно оси х, то приведена лишь верхняя ее половина. Течение — плоское, частица совершает движение в положительную сторону оси х.

В начальный момент (/ = 0) величина энтропии в покоящемся газе и движущейся частице равны. В результате движения происходит рост энтропии в частице за счет головной ударной волны и вихревого слоя, который образуется на верхней границе частицы в сдвиговом слое НК, где сходятся волна разрежения АВ и головная ударная волна СД. Эта высокоэнтропийная область НК, деформируясь, со временем передвигается в кормовую часть частицы. При приближении области НК к оси х наблюдается накопление возмущений на оси. Газ, который разгоняется волной разрежения АВ, движется к центру частицы, а вихрь в области НК этот газ тормозит. В результате здесь (рис. 2, а) реализуется волна сжатия, интенсивность которой со временем растет, и она противодействует головной волне СД. Но, как только вихрь НК противодействует с симметричным ему вихрем, волна, образующаяся в хвостовой части частицы, уходит во внешний поток в сторону, противоположную движению частицы.

На рис. 2, а представлены изобары и изэнтропы в момент <=1,23, когда головная волна и волна разрежения ушли достаточно далеко от частицы и на рисунке не изображены. В хвостовой части видна волна сжатия. На рис. 2, б для сравнения приведены изэнтропы и линии постоянной завихренности в момент ¿ = 3,1. Видно, что только в области прилежащей к оси х заметно

Рис. 2

различие в поведении этих линий. Волна сжатия на данном рисунке «убежала» далеко от частицы и здесь не изображена.

В последующие моменты времени частица продолжает движение, почти не изменяясь по величине. Все возмущения во внешнем потоке, вызванные первоначальным движением, со временем сглаживаются. А сама частица представляет собой слабовозмущенную вихревую структуру в виде двух вихревых ядер с минимальными величинами давления и плотности в ядрах. В то же время величины энтропии и завихренности в них максимальны.

Посмотрим на поведение вихря в области НК с точки зрения возникновения вихревой структуры в турбулентном сдвиговом слое, сходящем с кромки плоской пластины. Известно [2], что в таком турбулентном сдвиговом слое группа малых вихрей объединяются, образуя крупно-масшабные структуры. В поле течения происходит периодический обмен энергией между полем среднего течения и полем флуктуирующей скорости. Этот обмен связан с периодической нутацией вихрей и зависит от наклона большой оси вихря, имеющего эллиптическую форму к оси х [5]. В частности, во время вихрей их большие оси проходят через вертикаль. В нашем случае нет бесконечной цепочки вихрей, а изучается эволюция нестационарных вихревых течений газа, которые возникают на границе частица — газ. Как видно из результатов расчетов, в процессе эволюции этих вихревых течений образуются крупномасштабные вихревые структуры, которые взаимодействуют между собой. Так на рис. 1 в начальный момент движения вихревое течение в области НК ориентировано так, что оно извлекает энергию из среднего поля. Здесь большая ось образует положительный угол с осью х. В момент приближения вихрей к оси х, их большие оси становятся перпендикулярны оси х. В хвостовой части частицы образуется волна сжатия, которая уходит во внешнее поле, унося с собой энергию вихрей, как только наклон осей становится отрицательным. Все это соответствует результатам экспериментальных исследований турбулентных слоев смешения. Отличие состоит только в том, что в дэнной работе рассматриваются изолированные вихревые структуры.

Величины энтропии и давления от одной изолинии к другой на рис. 1 и 2 меняются в диапазоне 1 — 1.1 и 0.49—2 соответственно с шагами AS = 0,006 и Др— 0,094.

На рис. 1, 2, 4, 5 изоэнтропы со значением энтропии S = 1 + K&S, /С — 1,.... 7 обозначены соответственно цифрами /'—7; изобары со значением давления р= 1 К= 1,..., 11 обозна-

чены соответственно цифрами / — //.

На рис. 3 приведено поле изэнтроп в момент t = 6 при внезапном движении частицы с плотностью вдвое меньшей, чем плотность в окружающем газе. В данном варианте задачи величина энтропии газа в частице значительно больше, чем в окружающем газе. И с момента движения частицы в этом случае не просматривается такой высокоэнтропийной зоны НК, как в предыдущем варианте, так как уже имеется сильная вихревая зона в виде границы меньшей частицей и газом. Но все же влияние образующейся вихревой зоны проявляется в сильной

деформации хвостовой стороны этой границы. Так же как и на рис. 2, а, в момент / = 1, когда вихрь взаимодействует с осью, в хвостовой части частицы образуется изэнтропическая волна сжатия. Со временем геометрические размеры ее растут, но интенсивность сохраняется. Влияние этой хвостовой волны в данном случае значительно сильнее, чем в результатах приведенных на рис. 2. Это проявляется в сильном вдавливании тыльной части во внутрь частицы. Кроме того, следует отметить, что до момента ¡—I в центре частицы величина энтропии, несмотря на протекающие здесь существенно нестационарные процессы, практически равна первоначальному значению. Но после этого момента, когда вихрь, зарождающийся в сдвиговом слое, начинает взаимодействовать с симметричным ему вихрем, величина энтропии в центре частицы начинает падать, т. е. процесс обмена «горячего» газа из частицы с газом из окружающего внешнего потока происходит в результате взаимодействия вихрей. На рис. 3 в момент / = 6 частица деформирована так, что стремится к раздвоению. Значения энтропии вдоль обозначенных на рис. 3 цифрами /—6, принимают соответствующие значения: 1 — 0,4; 2 — 0,46; 3 — 0,52; 4 — 0,57; 5 — 0,62; 6 — 0,68.

В случае, когда частица имеет еще и вертикальную составляющую скорости, картина течения не симметрична, но это не оказывает принципиального влияния на поведение вихрей в хвостовой части частицы и генерирования звуковой волны. Направление звуковой волны противоположно направлению вектора скорости частицы. Это относится к изолированной частице, расположенной внутри поля течения. Если же рассмотреть две частицы, расположенные симметрично относительно оси и совершающие как горизонтальные, так и вертикальные движения одновременно, то картина течения существенно меняется. Так при вертикальном движении частицы вверх в направлении оси х (рис. 4) «побежит» волна разрежения, которая, отражаясь от оси, взаимодействует с волной сжатия, генерированной движением частицы в хвостовой ее части. В результате на оси х образуется область сильного сжатия, перепад давления в которой в несколько раз больше, чем в головной волне перед частицей.

На рис. 4 приведены результаты для модельной осесимметричной задачи, где штриховой линией изображены изэнтропы, а сплошной — изобары при внезапном движении квадратной частицы через границу сдвигового слоя, представляющего собой разрыв горизонтальной составляющей скорости. В верхней части течения скорость равна нулю, а в нижней—единице. Составляющие скорости частицы равны: иг= 1, Vг— 1,4. Величины давления и плотности во всем поле течения равны 1, т. е. имеется струя, шириной в три раза большей, чем размер частицы.

В первоначальный момент частица примыкает к границе струи изнутри. В момент /=1,3 частица сливается со сдвиговым слоем, деформируясь в двойную вихревую структуру. Первая из них представляет рихрь (циклон) с локальными минимальными значениями давления р 'и плотности р и максимальными значениями энтропии 5 в ядре.' Во втором вихре (антициклон) имеются локальные максимумы р, р и Как было сказано выше, в направлении оси х движется волна сжатия, генерированная взаимодействием вихрей в частице. Если бы скорость в струе равнялась 0, то форма этой волны представляла бы собой сферу. В случае же движения газа в струе, симметрия течения нарушается. Так волна АВ значительно интенсивнее, чем волна СД. В результате отражения от оси х волн АВ и СД образуется зона значительного повышения давления и плотности. Наблюдается кумулятивный эффект. В последующие моменты

Рис. 4

времени интенсивность вихрей в сдвиговом слое уменьшается, расстояние между их центрами растет. Скорость движения ядра первого вихря изменяется от 0,44 до 0,3 с момента (=1,3 до 4. Это значительно меньше средней скорости, равной 0,5. За указанное время волна СД сносится вниз, а волна АВ медленно движется против течения, постепенно ослабевая. Интенсивность ее у основания на' оси симметрии уменьшается в 3,3 раза.

Аналогичный вариант задачи, просчитанный без сдвигового слоя, показывает, что во-первых, сдвиговый слой тормозит скорость движения частицы, деформируя ее в вихревые структуры, которые сносятся вниз по течению вдоль границы сдвигового слоя, т. е. частица при равных приращениях скоростей на ее границе и границе сдвигового слоя не проходит через него. Во-вторых, интенсивность волн, образующихся в струе и на оси симметрии, значительно выше, чем в безграничном потоке. Это объясняется торможением потока и сужением - ширины струи из-за образовавшихся вихревых структур. Диапазон изменения значений энтропии и давления на рис. 4 такой же, как на рис. 1.

Результаты расчета для двух частиц, движущихся параллельно друг другу в свободном потоке газа, представлено на рис. 5 в виде поля изэнтроп в момент < = 5,2. Диапазон изменения энтропии здесь такой же, как на рис. 1. Первоначально рассматривались круглая частица, расположенная на оси симметрии, и частица, имеющая форму полукруга с диаметром, параллельным оси х, расположенная над целой частицей на расстоянии 1 в долях диаметра частиц.

При внезапном движении частиц в положительном направлении оси х в обоих частицах образуются вихревые структуры, которые со временем начинают взаимодействовать между собой. Причем, в верхней частице, имеющей в два раза меньший объем, завихренность потока больше. Это происходит из-за большей длины сдвигового слоя вдоль диаметра получастицы. В результате в первый момент движения нижняя частица обгоняет верхнюю, но затем начинают взаимодействовать между собой образовашиеся вихри. Все это приводит к деформации частиц и их слиянию. По отношению же к внешнему потоку первоначальные частицы не размываются и долго сохраняют свою «индивидуальность» в виде вихревых структур. Это относится и к другим задачам, как рассмотренным • в работе, так и задачам, результаты которых в работе не приведены. В частности, была рассмотрена задача о взаимодействии двух круглых частиц, движущихся друг за другом вдоль оси х. В случае, когда их плотность была меньше, чем плотность окружающего газа, вихрь, образующийся во второй частице, был мощнее, чем в первой. В случае же частиц однаковой плотности в первой частице образовывался более мощный вихрь, чем во второй. Частицы со временем в обоих случаях сливались.

Таким образом, проведены расчеты по выяснению механизма образования вихревого слоя в рамках уравнений Эйлера. Показано, что вихри в данных задачах (без учета диссипативной вязкости) образуются в результате нестационарного течения, вызванного разрывом начальных данных, Т. е. в этих задачах действует вязкость, аналогичная турбулентной, которая появляется из-за нестационарных пульсаций в газе. Действительно, если рассмотреть в какой-то момент времени частицу газа в развитом турбулентном движении, то она в данный момент имеет значения газодинамических параметров, отличающиеся от параметров основного потока. В следующий момент времени на границе между частицей и потоком происходит распад двумерного произвольного разрыва, соответствующий одной из рассмотренных в данной статье задач.

Рис. 5

ЛИТЕРАТУРА

1. ТугазаковР. Я- Исследование схода газодинамического разрыва с кромки пластины в рамках уравнений Эйлера.— Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 1.

2. X о ш и Мин, У э р р е П. Возмущенная в свободных сдвиговых слоях.— М.: Мир, Механика, 42, 1987.

3. PozrikidisC. The nonlinear instability of Hill's vortek.— J. Fluid Mech.. 1966, vol. 168.

4. Pozrikidis C. and H i g d о n I. I. L. Instability of compound vortex layers and wakes. — Phys. Fluids, 1987, vol. 30, N 10.

5. В г о w a n d F. К., Но С. M. The mixing layer: an example of quasi two-dimensional turbulence.— J. Mec., 2, 1983.

Рукопись поступила 20/1 1988 г.