Механика деформационного старенияпо моделям Максвелла и Кельвина—Фойхта Текст научной статьи по специальности «Физика»

2006_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 4

МЕХАНИКА

УДК 539.389

Р. А. Арутюнян, Н. В. Бражникова

МЕХАНИКА ДЕФОРМАЦИОННОГО СТАРЕНИЯ ПО МОДЕЛЯМ МАКСВЕЛЛА И КЕЛЬВИНА—ФОЙХТА

В связи с массовым внедрением полимерных материалов в машиностроении, медицине, строительстве и др., прогнозирование длительной работоспособности этих материалов и композитов на их основе с учетом процессов старения является актуальным. Проблема старения исследовалась многими авторами как в теоретической, так и в экспериментальной постановке. В механике материалов значительное место уделяется исследованию старения бетона и металлических сплавов. В случае полимеров основные исследования выполнены для старения в различных климатических условиях [1-4] и старения после закалки [5]. В монографии [5], например, отражены результаты опытов на ползучесть различных полимерных материалов после закалки с аморфного состояния и после длительного старения (до 4 лет). В работе [3] исследуются процессы старения и изменения свойств полиэтилена высокой плотности в результате климатического старения на воздухе, когда процессы старения определяются, в основном, ультрафиолетовой составляющей солнечного света. Для описания опытов по старению, как правило, применяется принцип физико-химико-временного соответствия [6-9], который, как известно, приводит к горизонтальному смещению кривых податливости. При этом описывается поведение реологически простых материалов без учета внутренних физико-химических изменений. Для моделирования поведения сложных, а также деформационно стареющих материалов следует применять такие подходы, которые способны учитывать как горизонтальный, так и вертикальный сдвиг. Для этого в рамках простых упруго-вязких моделей Максвелла и Кельвина—Фойхта в работе вводится параметр эффективного времени [10], который определяется следующим образом. При «мгновенных», активных нагружениях он соответствует «деформационному» времени. В состоянии разгрузки и стабилизации параметр сводится к реальному времени и учитывает кинетику химических процессов старения. Таким образом, в шкале эффективного времени описываются процессы деформационного старения и старения после закалки.

Для описания деформационного старения полимерных материалов рассматривают© Р. А. Арутюнян, Н. В. Бражникова, 2006

ся вязко-упругие реологические модели Максвелла

£2 а + па = Е2Щ (1)

и Кельвина—Фойхта

а + та = Ее + тт, Н = Еъ г = —, (2)

Е1 + Е2 Е1 + Е2

В классическом представлении в уравнениях (1), (2) коэффициенты вязкости и упругости (п, £^£2) предполагаются независимыми от времени. Такое положение допустимо при рассмотрении стабильной упруго-вязкой среды. Для нестабильной, стареющей среды эти коэффициенты будут функциями времени и деформации, и их следует определять из опыта.

Воспользуемся соотношением п = Е2Т, которое связывает основные характеристики полимерной среды — вязкость п, максимальное время релаксации т и модуль упругости Е. С учетом этого соотношения уравнение (1) запишется в следующем виде:

¿е ! / а \ а

л = л \Е2(г)) + Е2(г)т ^ '

Приняв в (3) экспериментальную зависимость изменения модуля упругости при старении [12] в виде

£2 = £о(1 + (1 - в-ы)), (4)

в работе [11] получили решение уравнения (3). На основании полученного решения построен сравнительный график теоретических и экспериментальных кривых ползучести (податливости Б = е/ао) и теплового старения для различных полимерных материалов. С учетом естественного разброса экспериментальных данных теоретические кривые ползучести согласуются с соответствующими экспериментальными кривыми. Таким образом, уравнение Максвелла, записанное через реальное время, может быть использовано для описания процессов теплового и климатического старения полимеров. При таком подходе не учитываются процессы деформационного старения. Для их описания введем параметр эффективного времени с помощью следующего соотношения [10]:

¿ш = /1(ш,е,Ь)Л + /2(ш,е,Ь)!е. (5)

Параметр ш рассматривается нами как обобщенное время, способное описать эффекты как климатического и теплового, так и деформационного старения. В частности, из (5) следует, что при «мгновенных», активных нагружениях этот параметр соответствует «деформационному» времени е. В состоянии разгрузки и стабилизации параметр ш описывает кинетику химических процессов старения и сводится к обычному времени Ь. Вначале ограничимся следующей конкретизацией кинетического уравнения (5):

= кггчг, (6)

где к,п — постоянные.

Записав (1) и (2) через параметр ш согласно соотношению (6), получим уравнения модифицированной среды Максвелла и Кельвина—Фойхта:

!е а \ а

de Ei (со) d du n (u) du

E2 (u)

+

Ei(uo) + E2(OJ) n (u )E2 (u )

-a.

(8)

Рассмотрим процессы ползучести и старения согласно полученным уравнениям. Принимая а = const, Ei,E2,n = const и начальные условия u = 0,t = 0,£ = а/E2, решения этих уравнений для функции ползучести (податливости D) имеют, соответственно, вид

£ J_

Е~2

D = - =

а

1

E2ktn+1\

г](п + 1) J

(9)

^ £ Ei + -Ё/2 ~ о- ~ Е\Е2

1

E2

-L-

Ei + E2

_е г,(тг+1)

(10)

Теоретические кривые ползучести (податливости Б = г/^о) согласно формулам (9) и (10) представлены на рис. 1. Кривые построены при следующих значениях коэффициентов: Е1 =3 МПа, Е2=2500 МПа, =18 сМПа, п2=29 сМПа, к=0.07 с"1, п = -0.92. На этом рисунке представлены также экспериментальные кривые ползучести, полученные в работе [13] в опытах на ползучесть образцов из полиэтиленовой пленки после теплового старения при температуре 353 К в течение семи суток. Как видно из этого рисунка теоретические кривые податливости с учетом естественного разброса хорошо согласуются с соответствующими экспериментальными кривыми. Из графика также видно, что опытные кривые описываются более точно уравнением Кельвина—Фойхта.

Рис. 1. Сравнительный график кривых податливости.

Рассмотрим решение задачи о релаксации напряжений для модифицированных моделей Максвелла и Кельвина—Фойхта, записанных в масштабе приведенного времени по формуле (6). Считая деформацию заданной и решая модифицированные уравнения Максвелла и Кельвина—Фойхта, получим следующие выражения для релаксации напряжений:

В2к £п+1

а = сгое ? (ц)

_Е1 + Е2_ь П+1-\ Е1+Е2 и+п+1

1-е *>(*+!) +сг0е *>(*+!) , (12)

а =

Е\Е2

ех + е2

а

tn

Для сравнения дадим также соответствующие соотношения для релаксации напряжений, записанных в масштабе реального времени. Согласно классическим уравнениям, решения задачи о релаксации напряжений записываются по модели Максвелла

а = а0 e

(13)

и по модели Кельвина-Фойхта

а =

E\Ej2 ^ E\ + E2

_Ei±E2t 1-е v

_Е1±Е2

+ сг0е v ,

(14)

Кривые релаксация напряжений (11)—(12) и (13)-(14) показаны на рис. 2. Кривые построены при уровне деформации £=0.5 и при следующих значениях параметров: Е1 =3 МПа, Е2=2500 МПа, п=1000 сМПа, к=0.07 с"1, п = -0.5.

Рис. 2. Кривые релаксации.

Из этих графиков видно, что предложенные уравнения для стареющего материала описывают качественную картину релаксации напряжений в стареющей среде как по устаревающей модели Максвелла, так и по модели Кельвина—Фойхта. Для количественной оценки требуются дополнительные экспериментальные исследования кривых релаксации напряжений, полученных в опытах на старение.

Для учета процессов деформационного старения будем исходить из кинетического уравнения (5) и рассмотрим следующую конкретизацию этого уравнения:

du = aekt dt + bde, (15)

где a, к, b — постоянные.

Эффективное время, записанное в виде соотношения (15) позволяет учитывать взаимосвязь временных и деформационных эффектов. Записывая уравнения Максвелла и Кельвина—Фойхта с учетом формулы (15) и решая полученные уравнения при

а = const, Е2, г] = const и начальных условиях cj = 0,t = 0,£ = —, получим следу-

E2

ющие соотношения для деформации ползучести и времени, соответственно, по модели

Максвелла и Кельвина—Фойхта:

£ =

E2

aekt — 1

кт 1 -

ab Е2т

1 л ( пк , , , _ _ ч _ _ ч bk пк л , _ ч Ьак

t = - In--\n(aa(Ei + Е2) - аЕ1Е2е)--£ + -!— Ы(ааЕ2) + —— + 1

к у aEi a aEi aE2

(17)

На рис. 3 показаны графики кривых ползучести по модели Максвелла (16) с учетом приведенного времени (15) при следующих значениях параметров: Е2=1000 МПа,

0,025 -I 0,02 -0,015 0,01 -0,005 -

t0 =1час

.......т! = 1час

-----т2=5

-тЗ=10

----т4=15

Т-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1

* Ф $ ф * *

Ъ ч" 1п(Ш0),час

Рис. 3. Зависимости ползучести по модели Максвелла при du = aekt dt + bde.

t,4ac

120 n

100 -80 60 -40 -20 -0

■t(M)

-t(K-V) E1 =200 МПа

-i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i—i ^ ^ J3 С& J& ¿P £

> ^ ^ ¡f^ cf

Рис. 4- Кривые ползучести: Ь(Ы) по модели Максвелла, t(K — V) — Кельвина—Фойхта.

а

ri=1 час, t2=5 час, т3=10 час, т4=15 час, к = —0.001 [1/час], а=1.05 МПа, a = 0.5, b =3 час.

Как видно из графиков, уравнение (16) хорошо описывает качественную картину ползучести и старения полимерных материалов.

Расчеты показывают, что при различных величинах параметров уравнений (16) и (17) кривые ползучести по модели Максвелла и Кельвина—Фойхта могут существенно отличаться друг от друга, в частности, могут и совпадать. Вариант таких расчетов представлен на рис.4, на котором показаны кривые t(e) при следующих значениях параметров: Ei=200 МПа, E2=1000 МПа, т=5 час, к = —0.001 [1/час], а=1.05 МПа, a = 0.5, b =3 час.

Как видно из этого рисунка, процесс старения по модели Кельвина—Фойхта протекает более интенсивно, чем по модели Максвелла. Так как достоверные экспериментальные данные по деформационному старению полимерных материалов в мировой литературе отсутствуют, при выборе оптимального варианта для параметров уравнений (16) и (17) требуются дополнительные экспериментальные исследования.

Summary

R. A. Arutyunyan, N. V. Brazhnikova. The description of deformation aging of polymers by means of modified Maxwell and Kelvin—Voight equations.

Taking into account the processes of deformation aging a specific differential relation for the parameter of effective time is suggested. Analytical solutions of creep and stress relaxation problems for Maxwell and Kelvin—Voight models are received. Comparison of theoretical creep and aging curves with the experimental curves of the specimens made of polyethylene films is given. It is shown, that the equation of aged Maxwell model on accuracy of description of experimental curves gives in the corresponding Kelvin—Voight equation. As to description of the stress relaxation process, only the qualitative analysis of the received solutions is presented. For a quantitative estimation additional experimental results of stress relaxation curves, received in aging experiments, are required.

Литература

1. Бочкарев Р.Н., Филатов И. С. Старение материалов на основе поливинилхлорида в условиях холодного климата. Новосибирск, 1990. 118 с.

2. Мелкумов А. Н., Татевостьян Г. О. Старение изделий из пластмас в климатических условиях. Ташкент, 1975. 176 с.

3. Bruijn de J. C. M. The failure behavior of high density polyethylene with an embrittled surface layer due to weathering. Delft: Delft University press, 1992. 167 p.

4. Kulich D. M., Gaggar S. K. Weathering of Acrylonitile Butadiene-Styrene Plastics: compositional effects on impact and color // Polymer durability. Advances in Chemistry. Series 249. American chemical society. Washington, 1996. P. 483-501.

5. Struik L. C. E. Physical aging in amorphous polymers and other materials. Amsterdam, Oxford, New York: Elsevier Sci. Publ. Comp. 1978. 229 p.

6. Бартенев Г. М., Зуев Ю. С. Прочность и разрушение высокоэластичных материалов. М.; Л.: Химия. 1994. 387 с.

7. Гуль В. Е. Структура и прочность полимеров. М.: Химия, 1971. 344 с.

8. Москвитин В. В. Сопротивление вязко-упругих материалов. М.: Наука, 1972. 327 с.

9. Valanis K. C. On the foundation of the endochronic theory of viscoplasticity // Archiwum mechanici stosowanej. 1975. Vol.27. N5-6. P. 857-868.

10. Арутюнян Р. А. Проблема деформационного старения и длительного разрушения в механике материалов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2004. 252 с.

11. Арутюнян Р. А., Бражникова Н. В., Нанзай Ю. Упруго-вязкая модель стареющей полимерной среды // Проблемы механики деформируемого твердого тела. К 70-летию со дня рождения академика Н. Ф. Морозова. СПб., 2002. С. 37-43.

12. Арутюнян Н. Х. Некоторые вопросы теории ползучести М.; Л.: Гостехиздат, 1953. 324 с.

13. Пестриков В. М. Об определяющих соотношениях стареющих материалов с учетом протекающих физико-химических процессов // Известия РАН. Мех. тверд. тела. 1999. №4. С. 134140.

Статья поступила в редакцию 30 августа 2006 г.