CC BY
47
УДК 534.014 И. П. ПОПОВ
Курганский государственный университет
МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ, СОСТОЯЩИЕ ТОЛЬКО ИЗ ОДНОРОДНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ,
И ВОЗНИКНОВЕНИЕ В НИХ СВОБОДНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ__________________________________________
Рассматриваются механические колебательные системы, состоящие только из инертных (тт-, ттт-системы) или только упругих (кк-, ккк-системы) элементов. Показана возможность возникновения в таких системах свободных гармонических колебаний. В тт-, ттт-системах происходит взаимный обмен кинетической энергией между инертными элементами. В кк-, ккк-системах происходит обмен потенциальной энергией между упругими элементами.
Ключевые слова: колебательные, инертные, упругие, гармонические, частота.
Свободные гармонические колебания основаны на обмене энергией между элементами колебательной системы.
В механическом линейном гармоническом осцилляторе происходит обмен энергией между разнородными элементами — грузом массой т (инертным элементом) и пружиной с коэффициентом упругости к (упругим элементом). При этом кинетическая энергия груза преобразуется в потенциальную энергию пружины и наоборот.
Ниже рассматриваются колебательные системы, состоящие только из инертных (тт-, ттт-системы) или только упругих (кк-, ккк-системы) элементов и возникновение в этих системах свободных гармонических колебаний. Механизм обмена энергией между однородными элементами в таких колебательных системах позволит, в частности, расширить возможности нейтрализации реакции этих элементов на внешние периодические воздействия.
Синтез тт-системы. Синтез системы осуществляется на основе двух исходных условий.
Первое исходное условие. Система содержит два инертных элемента — два груза с массами т1 и т2. Каждый из элементов совершает гармонические колебания
Х1=Asin(z+Q'
x2 = A2sin(Z + Q,
—1 ^ Y + —2 Г ^ 12 = const,
2 I dt 0 2 I dt 0
m1 A? cos2 (v + V1) + — 2A-2 cos2(v + V2) = const2 Последнее справедливо при условиях:
—il m2 = КI Ai2
Zi-Z2 = ±p/2.
Полученные соотношения позволяют определить связующее звено между инертными элементами. Таким звеном является устройство, состоящее из двух кривошипно-кулисных механизмов, установленных на одном валу. При этом а+Р = р/2, где а —угол между кривошипами, а Р — угол между кулисами. В частном случае, когда а = 0 система может быть выполнена с одним общим для обеих кулис кривошипом, при этом Р = р/2 (рис. 1). В случае равенства длин кривошипов (Я 1 = Я 2) массы грузов также равны между собой (т1 = т2).
Анализ тт-системы. Вращающий момент равен нулю. Массы кулис и кривошипов, а также потери на трение не учитываются. Координаты грузов, соответственно,
x1 = R1cosj + A, x2 = R2sinj + B.
(1)
где х1, х2 — текущие координаты грузов, А1, А2 — амплитуды колебаний, ^ — фаза, ^1, С2 — начальные фазы.
Второе исходное условие. Энергия системы при колебаниях не меняется
W+ W2 = const.
Здесь А и В — константы, определяемые конструктивными размерами механизма. Запись второго закона Ньютона для грузов и моменты соответствующих сил, приложенные к кривошипу,
Fi
d2 x1
Одновременный учет обоих исходных условий дает представление о характере связи между инертными элементами. Действительно,
и d x 2 F2 = m2-772T
dt2
m
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
177
Рис. 1. .mm-система
d2x
М, = m, —21 R, sin ф,
1 1 dt2 1
мг
Запись аналога третьего закона Ньютона для моментов применительно к кривошипу с учётом (1)
dф
dt
d\
R, m1 cos ф sin ф — I - R, m1 sin ф —2- +
dt2
+ R2m2 sin j cos j(— | - R2m2 cos2 j = 0. (2)
2 2 Д dt 0 2 2 dt2
При выполнении условия mj m2 = R^j Rt2 (2) принимает вид:
(3)
(4)
(5)
(б)
энергия первого груза равна нулю, а второго — максимальна. После этого первый груз начинает ускоряться за счет энергии второго груза, который приобретает отрицательное ускорение.
Упругая кк-система. Система отличается от тт-системы тем, что вместо массивных грузов к кулисам прикреплены пружины с коэффициентами упругости к1 и к2. При ф = 0 первая пружина максимально сжата, вторая — не деформирована. При ф = р/2 первая пружина не деформирована, вторая — максимально сжата. При ф = р первая пружина максимально растянута, вторая — не деформирована. Запись закона Гука для пружин и, соответственно, моменты сил, приложенные к кривошипу,
Fl=-klДxv Ґ2 k2ДX2,
а 2ф/йг 2=о.
Решение этого уравнения:
Мф/М=Сг, ф = С^+С2. Пусть начальные условия
Ф(0) = Фо, ^ (0) = ®о.
Тогда
С2 = Фо, С1 = Фо.
При этом (1) принимает вид:
x1 = R1cos(ю0^ + ф0) +А, х2 = Я^т(ю^ + ф0)+В.
Таким образом, грузы с массами т1 и т2 совершают свободные гармонические колебания (внешний вращающий момент к системе не приложен).
В рассмотренной колебательной системе происходит взаимный обмен кинетической энергией между инертными элементами. При ф = 0 кинетическая
М,= — k1Ax1R1sinф, М2=—k2Ax2R2cosф.
(7)
Здесь Дх1=х1— А = Д1со8ф, Дх2 = х2 — В = Я^іпф. С учётом этого запись аналога третьего закона Ньютона для моментов применительно к кривошипу
- k1R12 cos ф sin ф + k2R22 sin ф cos ф
0.
(8)
При выполнении условия к1/к2 = Я^/Я2 (8) превращается в тождество. Другими словами, суммарный момент равен нулю при любой скорости вращения кривошипа. При начальных условиях (5) и в соответствии с аналогом первого закона Ньютона для вращательного движения
ф ю>'
dt
ф0
: J w0dt = w0t + C = w0t + ф0. (9)
При этом (1) принимает вид
x1 = R1cos(ю0t + ф0)+A, x2 = R2sin(ю0t + ф0)+B.
2
0
Таким образом, пружины с коэффициентами упругости к1 и к2 совершают свободные гармонические колебания. При этом если Я1 = Я2, то к1 = к2.
В рассмотренной колебательной системе происходит взаимный обмен потенциальной энергией между упругими элементами. При ф=0 потенциальная энергия первой пружины максимальна, а второй — равна нулю. После этого вторая пружина начинает сжиматься за счет энергии первой пружины, которая начинает разжиматься.
Инертная ттт-система. Упрощённая схема системы содержит три одинаковых груза массой т (Я1 = Я2 = Я3 = Я), три кулисы, ориентированные под углами 2 р/3 относительно друг друга, и один кривошип. Координаты грузов
x1 = Rcosф + A, x2 = Rcos^ — 2p/3) + A, x3 = Rcos^ — 4p/3) + A. Моменты сил, приложенных к кривошипу,
(10)
М.
■■ mdxi R sin ф, dt2
M2 = m 22 R sin(ф - 2p / 3),
M3 = m^^T R sin(j- 4p/3).
Запись аналога третьего закона Ньютона для моментов применительно к кривошипу
п2Гdj1 . п2 -2 d j
- mR I—-I cos j sin j- mR sin j—2- -Vdt0 dt
- mR | dj | cos(ф - 2p /3) sin(ф - 2p / 3) -
- mR2 sin2(ф - 2p / 3) “~фф -dt2
mR2сов(ф - 4p/ 3) sin^ - 4p / 3) ■
- mR2 sin2 (ф - 4p / 3) “ф = 0 dt2
Уравнение сводится к (3). С учётом (4) и (б) x, = Rcos(w0t+ ф0) +A, x2 = Rcos(ю0t + ф0 — 2л/3)+A, (11)
x3 = Rcos(ю0t + ф0 — 4л/3)+A.
Таким образом, все три груза совершают свободные гармонические колебания, обмениваясь между собою кинетической энергией.
Нетрудно показать, что суммарная кинетическая энергия системы при колебаниях не изменяется.
Аналогичным образом может быть построена колебательная система с любым количеством инертных тел.
Упругая ЯЯЯ-система. Система включает в себя три одинаковые пружины и такой же, как в mmm-системе, кривошипно-кулисный механизм. По аналогии с (8) с учётом (7) и (10) механическое состояние системы имеет вид:
— AЯ2cosфsinф — kR^os^ — 2л/3^т(ф — 2p/3) — —kR2cos(ф — 4л/3)sin(ф — 4л/3) =0.
Выражение сводится к тождеству. Сумма моментов, действующих на кривошип, равна нулю. В соответствии с аналогом первого закона Ньютона для вращательного движения, (5), (9) и (10) выполняются (11). Таким образом, все три пружины совершают свободные гармонические колебания, обмениваясь между собою потенциальной энергией.
Аналогичным образом может быть построена колебательная система с любым количеством упругих элементов.
Заключение. Установлена возможность возникновения свободных гармонических колебаний в системах, состоящих только из инертных (mm-, mmm-системах) или только упругих элементов (kk-, kkk-системах), которая реализуется при обеспечении сдвига по фазе между колебаниями элементов.
В отличие от традиционных [1—3] или смешанных [4 — 6] колебательных систем при энергообмене между однородными элементами представленных систем вид энергии не меняется. В mm- и mmm-системах происходит взаимный обмен кинетической энергией между инертными элементами. В kk- и kkk-системах — потенциальной энергией между упругими элементами. При этом суммарная энергия системы при колебаниях не изменяется.
Другим отличием является то, что частоты свободных колебаний систем с однородными элементами не зависят от параметров элементов и определяются исключительно начальными условиями. Другими словами, рассмотренные системы могут совершать свободные гармонические колебания с любой изначально заданной частотой.
Колебательные свойства mm- и mmm-систем могут учитываться при проектировании двигателей внутреннего сгорания, поршневых пневмосистем и прочих преобразователей возвратно-поступательного движения во вращательное в плане взаимной компенсации реактивного характера масс движущихся частей — поршней, штоков и пр.
Принцип обмена энергией между элементами в kk- и kkk-системах может использоваться для само-нейтрализации квазиупругих воздействий в пневмосистемах.
Библиографический список
1. Tongue, Benson. Principles of Vibration. Oxford University Press. 2001. 367 p.
2. Inman, Daniel J. Engineering Vibration. Prentice Hall. 2001. 418 p.
3. Thompson, W.T. Theory of Vibrations. Nelson Thornes Ltd. 1996. 295 p.
4. Попов, И. П. Свободные гармонические колебания в упруго-емкостной системе / И. П. Попов // Вестн. Курганского государственного университета. Сер. Естественные науки. — 2011. - Вып. 4. - № 2(21). - С. 87-89.
5. Попов, И. П. Установление частной функциональной зависимости между емкостью и массой / И. П. Попов // Вестн. Курганского государственного университета. Сер. Естественные науки. - 2011. - Вып. 4. - № 2 (21). - С. 85-87.
6. Попов, И. П. Реактивные элементы электрических цепей с «неэлектрическими» параметрами» / И. П. Попов // Вестн. Самарского государственного технического университета. Сер. Технические науки. - 2010. - № 4(27). - С. 166-173.
ПОПОВ Игорь Павлович, старший преподаватель кафедры «Технология машиностроения, металлорежущие станки и инструменты».
Адрес для переписки: ророу_1р@китдапоЫ.т
Статья поступила в редакцию 01.03.2012 г.
© И. П. Попов
2
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 (113) 2012 МАШИНОСТРОЕНИЕ И МАШИНОВЕДЕНИЕ
