Механические характеристики трехфазных асинхронных двигателей при однофазном питании Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.313.33

doi: 10.20998/2074-272X.2016.3.03

В. С. Маляр, А.В. Маляр

МЕХАН1ЧН1 ХАРАКТЕРИСТИКИ ТРИФАЗНИХ АСИНХРОННИХ ДВИГУН1В ПРИ ОДНОФАЗНОМУ ЖИВЛЕНН1

Запропоновано метод розрахунку Mexani4uux характеристик трифазних асинхронних двигушв, ят живляться eid однофазно'1 мережь Обертове магттне поле створюеться завдяки вмиканню послдовно в одну фазу конденсаторiв. Задача розв'язуеться як крайова у трифазнш нерухомш системi координат. В математичнш моделг двигуна врахову-еться насичення магнiтопроводу та вит1снення струму. Бiбл. 5, рис. 3.

Ключовi слова: мехашчна характеристика, асинхронний двигун, однофазне живлення, крайова задача, проекцшний метод, конденсатор.

Предложен метод расчета механических характеристик трехфазных асинхронных двигателей, которые питаются от однофазной сети. Вращающееся магнитное поле создается за счет включения последовательно в одну фазу конденсаторов. Задача решается как краевая в трехфазной системе координат. В математической модели двигателя учитывается насыщение магнитопровода и вытеснение тока. Библ. 5, рис. 3.

Ключевые слова: механическая характеристика, асинхронный двигатель, однофазное питание, краевая задача, проекционный метод, конденсатор.

Вступ. Асинхронш двигуни (АД) в основному виготовляться з трифазними обмотками, яш живляться симетричною трифазною системою напруг. Однак на практищ може виникати потреба вмикання Гх в однофазну мережу [1], для чого використовують кон-денсатори, як створюють зсув за фазою струму в од-нш обмотщ, i магштне поле двигуна стае не пульсую-чим, а обертовим, внаслщок чого виникае електрома-гнггаий момент. Крiм того, розроблеш i знаходять широке застосування конденсаторш електричш двигуни, яш призначеш для роботи вщ однофазно! мережа [5]. I в першому, i в другому випадках юнуе проблема розрахунку гх пускових характеристик й вибору емностi конденсаторiв.

В техшчнш лiтературi вiдомi методи розрахунку моменту при рiзних значеннях емност конденса-торiв [1, 2], однак щ методи не мають достатньоГ точностi, оск1льки не враховують адекватно таш чинники, як несиметрш живлення, насичення магш-топроводу та вилснення струму. Проблема аналiзу роботи несиметричних режимiв роботи АД методами математичного моделювання потребуе вирiшення двох задач: вибору математичноГ моделi двигуна i методу розрахунку. Цi проблеми взаемопов'язанi, тому що з використанням спрощеноГ математичноГ моделi АД неможливо адекватно врахувати чинники, якi визначають точнiсть розрахункiв, а застосування бшьш складних моделей потребуе застування вщпо-вiдного математичного апарату.

Метою роботи е розроблення методу i алгоритму розрахунку мехашчних характеристик асинхронних двигушв, яш живляться ввд однофазно! мереж1.

Система рiвнянь. Трифазний АД з конденсаторами в однш фазi за визначенням е несиметричним зi сторони статора, а тому для аналiзу електромагнiтних процеав у них найбiльш адекватною i оптимальною е трифазна система координат, але не фiзична, а так звана загальмована [4]. В цш системi контури статора не перетворюються, що дае змогу адекватно описати

процеси в них, а трифазна обмотка ротора замiнюeть-ся екывалентною нерухомою трифазною, осi яко! збь гаються з осями обмотки статора.

С Га

Система рiвнянь, яш описують електромагнiтнi процеси в АД, трифазна обмотка статора якого живиться ввд однофазно! мереж1 за зображеною на рис. 1 схемою, мае вигляд [4]

йш а йшв

а в =-гА'А + ГБ'Б - ик;

= -гвгв + гс1с + ивс;

dt dt

d^B dVC

dt dt

iA + iB + iC =

dVa dWb _

dt dt

dVb d^c _

dt dt ia + ib + 1с = 0;

duk = Ia

dt C '

де uBC =43üm sin(®gt_ 2) — лiнiйна напруга живлення; üm, w0 - амплпуда фазно! напруги та кутова частота; а = ®o(1-s)/V3; s - ковзання; щ, i^, r^ (Z=A, B, C, a, b, с) - потокозчеплення, струми та акти-внi опори контурiв; ык - напруга на конденсаторi eмнiстю C.

© В.С. Маляр, А.В. Маляр

aa

Метод i алгоритм розрахунку. Запишемо систему (1) одним векторним рiвнянням т = 7-го порядку вигляду

dy _ _ _ А— = By + Dx + u dt

де

А =

-1

-1

-1

-1

У =

У А

Ув

Wc

Wa

УЪ

Ус

uk

iA

iB

iC

; X = la ; u =

ib

ic

uk

B =

D =

uBC

a a - 2a

- 2a a a

- rA rB -1

- rB rC

1 1 1

- ra rb

- rb rc

1 1 1

= z(y dt ^

(2)

сплайнами третього порядку [3]. Формування крайо-во! задачi здiйснюeться на сггщ п вузлових точок пе-рiоду Т. Результатом апроксимацп одного ДР системи (3) е система алгебричних рiвнянь п-го порядку

ИУ - 2 = и , (4)

де И - матриця переходу ввд неперервних координат до !х вузлових значень, елементи яко! визначаються

лише сiткою вузлiв [3]; У = (у17уП) ; 2 = гп )*;

и = (и, ип) , а системи ДР (2) - т векторних рiвнянь вигляду (4)

" " " (5)

HcYc Zc Uc,

де Hc =

diag (нь Hm );

Yc = 1 УХ

Zc =

Zi, Zm

ис =\иъит

Нелiнiйна система (5) алгебричних рiвнянь тп-го порядку е дискретним воображениям нелшшно! системи ДР (2) порядку т i апроксимуе И на перiодi Т. I! розв'язком е вектор X, компонентами якого е зна-чення струмiв вiток та напруги на конденсаторi у вуз-лах сiтки. За И допомогою можна не тiльки розрахува-ти усталений режим, але й дослвдити вплив на режим роботи двигуна змiни будь-яко! координати, що входить до ще! системи. Для розрахунку усталеного режиму при заданому ковзаиш застосовуеться метод продовження по параметру. Для цього в систему (5) вводимо параметр е шляхом множення вектора при-кладених напруг на е i диференцшемо И по ньому. У результат отримаемо диференцiйне рiвняння (ДР)

W= uc

(

де W =

Нс c дУ

ds

дУ dZr

(6)

c /

dXc дХ„

Hi елементи яко1

ду dz dz

дХ j' dy j dX

- матриця Якоб^ блоч-

визначаються зна-

чениями парамет^в АД в j-му вузлi.

dz

Система ДР (2) у формi Кошi мае вигляд

, t). (3)

Оскiльки вектор u (t) = u (t + T) е перiодичною функцiею часу, в усталеному режимi (при s = const) розв'язком системи ДР (3) е T-перюдичш залежносп компонент вектора X(t) = X(t + T). Визначення перь одичних функцiональних залежностей компонент вектора X шляхом розрахунку перехвдного процесу до усталення неприйнятний з багатьох мiркувань. Така задача найб№ш ефективно може бути розв'язана в позачасовш областi шляхом розв'язування крайово1 задачi розробленим на основi загально! теорп нелшш-них коливань проекцiйним методом, теоретичною основою якого е апроксима^ координат стану

дУ

дХ

LJ 0

0 1

ду

= B; 4

дХ

= D;

j

Lj =

LAAj Labj LACj LAaj LAbj LAcj

LBAj LBBj LBCj LBaj LBbj LBcj

LCAj LCBj LCCj LCaj LCbj LCcj

LaAj LaBj LaCj Laaj Labj Lacj

LbAj LbBj LbCj Lbaj Lbbj Lbcj

LcAj LcBj LcCj Lcaj Lcbj Lccj

1нтегруючи систему ДР (6) по е ввд е = 0 до е = 1, знаходимо значення вектора X при заданш напрузi живлення, яке можна уточнити методом Ньютона.

Для дослщження впливу на режим роботи АД змши будь-яко! координати необхвдно, вважаючи вектор прикладено! напруги незмiнним, продиференщю-

1

1

1

1

*

*

1

0

*

0

0

0

0

0

вати систему (5) по цш координап як параметру. Зок-рема у разi розрахунку механiчноï характеристики отримаемо систему ДР

ds

dzс ds

(7)

iнтегруючи яку, отримаемо багатовимiрну характеристику. При цьому матриця Якобi така, як в (6), а вектор правих частин складаеться з n векторiв вигляду

dz_

ds

дБ ds

У}:

де öß/ös дорiвнюе матрицi В, в як1й а = -щ/ V?.

Задача розрахунку мехашчно1 характеристики розв'язуеться в два етапи: на першому розраховуемо усталений режим при ковзаннi s = 1,0, а на другому -залежносп координат в функцп ковзання вiд s = 1,0 до заданого значения. i на 1х основi механiчну характеристику Me = Me(s). Електромагнiтний момент АД обчислюеться за формулою [4]

Me =-p1ß (ß " 'ßC )a + ((ßC - '¿A )ß + (iß - '¿ß )'C ) .

Для визначення елементiв матриц Lj диференць альних iндуктивностей використовуеться характеристика намагнiчувания головного магштного шляху i залежиостi потокозчеплень розсшвання статора (s) та ротора (r) ввд вiдповiдних струмiв [4]

Уц = УцО'Д Was = WaÀ's), Wer = WrrO'r),

де is, ir - модулi зображувальних векторiв цих струмiв.

З метою врахування витiснения струму в стержнях ротора кожен з них разом iз короткозамикаючими шльцями роздiляеться по висоп на k шарiв. Тобто вважаеться, що на роторi е к короткозамкнених обмоток з ввдповщними розмiрами i кожна з них екивале-нтуеться трифазною. За таких умов в системi рiвнянь (1) замiсть трьох рiвиянь для ротора необхщно запи-сати 3к рiвнянь вигляду

dWak - dWbk = dt dt •

= -rak'ak + rbk'bk - a(Wbk - 2Wck + Wak )

dWbk - dWck = dt dt •

= -rbk'bk + rck'ck - a(Wck - 2Wak + Wbk У 'ak + 'bk + 'ck = 0 .

Збiльшения кiлькостi рiвиянь не призводить до змiни алгоритму розрахунку i мало впливае на обсяг обчислень, осшльки матриця Якобi слабо заповнена, що дае змогу для розв'язування системи рiвиянь ви-користовувати алгоритм, який враховуе ïï структуру.

Приклад результалв математичного моделюван-ня наведено на рис. 2, 3.

Рис. 2. Перюдичш залежностi струмгв фаз двигуна 4A80B2Y3 при ковзанш s = 1,0 i емносп коидеисаторiв С = 100 мкФ

25

M

1.25

0

1.0 0.51 0.02

Рис. 3. Статичш мехашчш характеристики двигуна 4Л80Б2У3 при рiзних емностях конденсаторгв: С = 100 мкФ (а) i С = 200 мкФ (Ь)

Висновок.

Розроблений метод розрахунку статичних мехашчних характеристик трифазних АД з коротко-замкненим ротором, яш живляться ввд однофазно! мереж^ дае змогу дослiджувати вплив емносп кон-денсаторiв на перебк- процесу пуску i вибирати та-ке 11 значення, яке забезпечуе необхiдний пусковий момент. В основу розробленого алгоритму покла-дено математичну модель АД, в якiй враховуеться насичення магштопроводу й витiснення струму в стержнях ротора, i диференщальний метод розрахунку статичних характеристик на основi розв'язування крайовоГ задачi для системи дифере-нцiальних рiвнянь електричноГ рiвноваги.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Беспалов В.Я., Мощинский Ю.А., Петров А.П. Динамические показатели трехфазных асинхронных двигателей, включаемых в однофазную сеть // Электротехника. - 2000. -№1. - С. 13-19.

2. Бешта А.С., Семин А.А. Определение параметров схемы замещения асинхронного двигателя при несимметричном питании статоров // Електромехашчш та енергозбер^акга системи. - 2014. - №2. - С. 10-16.

3. Маляр В.С., Маляр А.В. Математическое моделирование периодических режимов работы электротехнических

устройств // Электронное моделирование. - 2005. - Т.27. -№3. - С. 39-53.

4. Фильц Р.В. Математические основы теории электромеханических преобразователей. - К.: Наукова думка, 1979. -208 с.

5. Шуруб Ю.В. Математическая модель асинхронного конденсаторного двигателя с тиристорным управлением // Техшчна електродинамжа. - 1999. - №4. - С. 52-56.

REFERENCES

1. Bespalov V.Ya., Moshchynskyy Yu.A., Petrov A.P. Dynamic indicators of three-phase induction motors connected to single-phase supply. Elektrotekhnika - Electrical engineering, 2000, no.1, pp. 13-19. (Rus).

2. Beshta A.S., Semin A.A. Evaluation of parameters of the equivalent circuit of the induction motor for asymmetrical power supply to the stator. Elektromekhanichni i enerhozberi-haiuchi systemy - Electromechanical and energy saving systems, 2014, vol. 2, pp. 10-16. (Rus).

3. Malyar V.S., Malyar A.V. Mathematical modeling of periodic modes of electrotechnical devices. Electronnoe modelirovanie - Electronic Modeling, 2005, vol.27, no.3, pp. 39-53. (Rus).

4. Fyl'ts R.V. Matematicheskie osnovy teorii elektromekhani-cheskikh preobrazovatelei [Mathematical foundations of the theory of electromechanical transducers]. Kyiv, Naukova Dumka Publ., 1979. 208 p. (Rus).

5. Shurub Yu.V. A mathematical model of an asynchronous capasitor engine with a thyristor control. Tekhnichna elek-trodynamika - Technical electrodynamics, 1999, no.4, pp. 52-56. (Rus).

Надшшла (received) 09.03.2016

Маляр Василь Сафронович1, д.т.н., професор, Маляр АндртВасильович1, д.т.н., професор, 1 Нацюнальний ушверситет «Львiвська полгтехшка», 79013, Львш, вул. С. Бандери, 12, тел/phone +38 032 2582119, e-mail: svmalyar@polynet.lviv.ua

V.S. Malyar1 А. V. Malyar1

1 Lviv Polytechnic National University,

12, S. Bandera Str., Lviv, 79013, Ukraine.

Mechanical characteristics of three-phase induction motors

with single-phase power supply.

Aim. Development of a method for calculating mechanical characteristics of three-phase induction motors with single-phase power supply. Methods. The developed algorithm is based on the high-adequacy mathematical model of motor and projection method for solving the boundary problem for equations of electrical circuits balance presented in the three-phase coordinate system. As a result of asymmetry ofpower supply to the stator windings, in steady state, fluX-linkage and current change according to the periodic law. They are determined by solving the boundary problem. Results. The developed mathematical model allows determining periodic dependence of coordinates as a function of slip and, based on them, mechanical characteristics of motors. Academic novelty. The developed method relies on a completely new mathematical approach to calculation of stationary modes of nonlinear electromagnetic circuits, which allows obtaining periodic solution in a timeless domain. Practical value. Using the developed calculation algorithm, one can select capacitance required to start an induction motor with single-phase power supply and calculate static mechanical characteristics at a given capacitance. References 5, figures 3.

Key words: mechanical characteristic, induction motor, single-phase power supply, boundary problem, projection method, capacitor.