CC BY
17УДК 541.124:541.126:517.9
МЕДЛЕННЫЕ ПОВЕРХНОСТИ В ЗАДАЧАХ ХИМИЧЕСКОЙ КИНЕТИКИ*)
Л, И, Кононенко
Ведение. Рассматривается сингулярно возмущенная система обыкновенных дифференциальных уравнений
х = Ях,УЛе), еу = д(х,УЛе), (!)
где х € Кт — медленные, у € К" — быстрые переменные, /, д — достаточно гладкие функции, £ € К е — положительный малый параметр.
Система рассматривается в ограниченной выпуклой инвариантной притягивающей области Ш.
Качественный анализ системы с малым параметром основан на методе интегральных многообразий и его модификации в связи с прикладными задачами [1,2].
Основная идея метода состоит в следующем. Мы сводим качественный анализ всей системы к анализу так называемой медленной подсистемы на медленной поверхности. Напомним некоторые понятия. Под интегральным многообразием системы (1) понимается некоторое множество в пространстве Кт х К" х К, состоящее из интегральных кривых этой системы. Медленная поверхность задается уравнением д(х, у,£, 0) = 0. Это уравнение медленной поверхности может иметь одно или несколько решений, каждое из которых задает лист медленной поверхности.
*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 12-01—00074) и СО РАН (междисциплинарный интеграционный проект № 80).
©2012 Кононенко Л. И.
Согласно методу интегральных многообразий мы должны сделать следующее:
1) найти количество и форму листов;
2) найти границы листов;
3) проверить характер устойчивости листов;
4) провести качественный анализ медленных подсистем на устойчивых листах (в частности, найти стационары, их классификацию; особый интерес вызывают колебания различных типов и решения-утки);
5) провести анализ системы в целом.
Листы интегрального многообразия медленных движений (или медленного интегрального многообразия) являются уточнением при учете малого параметра е листов медленной поверхности и получаются из них с помощью асимптотического разложения по степеням е:
h(x, t, е) = ho(x, t) + eh\ (x, t) + • • • + ekhk(x, t) + ....
Среди интегральных многообразий системы (1) нас интересуют m-мерные интегральные многообразия (размерность медленных переменных), которые представимы в виде графика вектор-функции y = h x, t, е
Выполняется соотношение
h x, t, е h x, t ,
£—>0
h x, t поверхности.
Цель данной работы — изучить геометрию медленной поверхности, комбинируя численные и аналитические средства исследования, в частности, параметризацию. Мы не затрагиваем здесь собственно качественный анализ системы, исследуя лишь строение медленных поверхностей.
В качестве примеров рассмотрим две модели из химической кинетики.
I. Математическая модель реактора идеального смешения.
1. Рассматривается система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая бимолекулярную реакцию на поверхности катализатора
х\ = а — х\ — + (щ — <ш\ — щ)х±], ¿2 = Ь — х — + щ + (шз — <ш\ — ш], (2)
Ух= — ш3 — У2= — Шз),
где щ = кхЛ{1 — у1 — у2)2 — к— у\, щ = кх2(1 — У1 — у2) — к_2 у2, шз = У1У2, щ = к ХУ1 — обезразмеренные скорости четырех стадий реакции. Областью изменения переменных является множество
Ш = {{хЛ,х2,У1,У2) | О < X < а, 0 < х2 < Ь, О < уь О < у2, У1+У2 < 1}.
Данная система изучалась в [3,4].
Скорость реакции на поверхности катализатора существенно выше, чем скорости адсорбции. Предполагается, что основным механизмом реакции является адсорбционный, а ударный механизм учитывается как дополнительный. Поэтому при анализе модели используем следующую иерархию параметров:
к_2, к—, к С к, к С 1.
Константы десорбции предполагаются малыми по сравнению с константами адсорбции. Кроме того, а С р. Нас будет интересовать ситуация, в которой е = 1/в С к_2, к—, к- Эти предположения о параметрах системы позволяют считать, что
где я — малый параметр, к® 1, , — величины порядка 0(1).
2. Систему (2) перепишем в следующей форме:
х =/(х,у,1/,/я), еу = д{х,у,и,я),
где х = (х^хг) — медленные, у = {у\,у2) — быстрые переменные, V = (а,Ь,а, к, К, к—, к—, / = (/ьЛ), д = (дьдг), е,« — независимые малые параметры. Функции /1,/2,дъд2 от £ не зависят и имеют вид
Л = а — х — а(^1 + (^з — ^ — ^2)х1)), / = Ь — х2 — а(^2 + + (^з — — д! = 2^ — — д2 = и2 — ^з-
е
медленная поверхность, задается уравнением д(х, у, V, «) = 0. Каждое из решений этого уравнения задает лист медленной поверхности. Во всех внутренних точках листа медленной поверхности выполняется условие
# 0. (3)
Уравнения медленной поверхности для системы (2) имеют вид 2ш\ — — = 0, и2 — ^з = 0, или, более подробно,
2 [к — уг — у2)2 — «к0 ^ — йй — /«К1 х2у\= 0,
(4)
К х2(1 — у1 — у2) — «К— у2 — уш = о. Введем обозначения: ¿1 = 1 — у\ — у2, ¿2 = у1у2, = Кх\, т2 =
кх вид
2^^ — ¿2 = 0, ^^ — ¿2 = 0. Эта система уравнений имеет два решения:
= 0, = 0;
1гю\ " 2т\ Первое уравнение задает две поверхности:
у1 = 0, у2 = 1; (5)
у1 = 1, уг = о. (6)
Второе решение также определяет две поверхности. Они задаются системой уравнений
Wo
Z1 = 1 -У1 -У2 = тНЧ
W
¿2 = У1У2 =
2
W
2wT
т. е.
W
УУ
W
УУ
2(i-yi-y2)2' ^ 1 — г/1 — г/2' (7)
Сечения всех четырех поверхностей плоскостями x = const, У2 = const показаны на рис. 1. Легко видеть, что из двух поверхностей, определяемых уравнениями (7), только одна пересекается с областью W.
У1
Рис. 1.
Выразим в системе (7) быстрые переменные через медленные:
1 2 Л А ,
Решая квадратное уравнение, находим уравнения поверхностей
У1 = 1(Р+Уд), У2 = 1(Р_уд), (8)
У1 = 1(Р_Уд), У2 = 1(Р+уд), (9)
где
P=\-
W
2w7
Q = 1-
W
W W
L
L
2
3
4
i
6
Каждая из систем (8), (9) задает часть поверхности (7). В области Ш системы (8) и (9) задают два различных листа медленной поверхности. На рис. 1 системе (8) соответствует участок Ьз, а системе (9) — участок Ь сечения рассматриваемой поверхности. Геометрически очевидно, что их общая граница должна быть точкой срыва для медленной поверхности.
Итак, медленная поверхность системы (2) задается уравнениями (5), (6), (8) и (9) и состоит из 10 листов (см. рис. 1). В работе [3] выяснено, что при х_ ф 0, к ф 0 в физической области Ш лежат только три листа медленной поверхности, а при х_ = Х4 = 0 — только четыре листа медленной поверхности (в этом случае лист у\ = 1, у2 = 0 лежит па границе области Ш). Ограничимся изучением только этих
Ь Ь Ь Ь (9) соответственно.
Границы листов задаются системой уравнений
д(х, у, V, ¡л) = 0, det /л)^ = 0. (10)
Для нахождения границ листов медленной поверхности вычислим матрицу 7 = || для системы (4) при ¡л = 0:
^ _ дд_ _ ( -4^1X1(1 — г/1 — у2) ~ У2 —4X1X1 (1 -у\- у2) - у\
ду \ — х2 х^ — у2 —х2 х2 — у\
Найдем значение <1еЬ 3 на листах медленной поверхности. Ограничиваясь членами пулевого приближения по считаем листы Ь и Ь2
у у у у
ЬЬ
det 3 = Х2х на Ь; detJ = —кX на Ь2;
(И)
с1еи=у^ на Ь3; detJ = — у ^ наЬ-Анализируя собственные числа матрицы выясняем, что при х_ ф 0, Х ф 0 в области Ш имеются два устойчивых и один условно устойчивый лист. При х_1 = Х4 = 0 в области Ш имеются два устойчивых, один условно устойчивый и один неустойчивый лист.
Подчеркнем, что в данной работе нас не интересует динамическое поведение фазовых траекторий на листах, а следовательно, и устойчивость листов. Нас интересует строение медленной поверхности.
Перейдем к более подробному изучению границ листов. Учитывая (8) и (9), замечаем, что кривая
является границей листов Ьз и Ь в области Ш. Напомним, что
к XI
/ у к XI / К XI
Нас интересуют только проекции границ листов па плоскость (х1, Х2). Проекции границ листов являются линиями кратности (точнее, линиями кратных стационаров) быстрой подсистемы, в которой переменные х 5 Х2 рассматриваются как параметры. Поэтому для их изучения применимы традиционные аналитические и численные средства качественной теории дифференциальных уравнений.
В нулевом приближении / = 0 проекции границ листов медленной поверхности задаются уравнениями
кХ Х ,
^ Х2Х2 >¿2X2 А Л Х2Х2 Х2Х2 \ _ д
Х\Х\ \Jx\X\) \ 2^1X1 ^рн\Х\) ' полученными из (5), (6). Последнее уравнение распадается на два. Только уравнение
кХ
Х2 =
н2{\ + 2л/2ж1х1)
задает границу листов Ьз, Ь4 в Ш. Второе уравнение задает границу
листов, лежащих вне области Ш, поэтому выписывать его не будем. /
кость (х1, х2) можно также выразить аналитически. Подробный расчет проведен в [3].
Быстрая подсистема имеет точку трехкратности. Ей соответствует особенность медленной поверхности. В этой точке «склеиваются» границы трех листов Ь, Ьз и Ь. Точка трехкратности имеет следующие координаты:
53
Х\ =
2^1(1 + 5)(1 - 25)'
53(1 + 5)
Х2 = —Тл-^Т' У1 = У2 = <5(1 + д),
х2(1 — ¿о)
где х_2 = 53. Она является проекцией точки «склейки» листов Ь, Ь Ь
На рис. 2 изображены линии кратности при / = 0 и / ф 0. Заметим, что линии кратности подправлены в сравнении с [3]. Из рисунка видно, что точка трехкратности является точкой возврата на линии кратности. Сама линия имеет характерный вид проекции линии особенностей на поверхности катастрофы «сборки».
Рис. 2.
Ошибочно считать, что «сборка» теряет гладкость в точке трехкратности [5]. Покажем, что многообразие катастрофы сборки является гладким подмногообразием в М3. Доказательство этого факта применительно к нашей задаче приведено в [6]. Для упрощения выкладок ограничимся случаем х_1 = Х4 = 0. Тогда система уравнений (4), задающая медленную поверхность, имеет вид
2X1 Х1(1 — У! — у2)2 — У1У2= 0, К Х2(1 — У1 — У2) — К_2 У2 — У1У2 = 0.
(12)
X
Выразим из второго уравнения: у2 = Кхг(1 — У\)/{КХ2 +У1 + к_2). После подстановки в первое уравнение и элементарных преобразований
У
Ц^(1 - Уг) М2+У1+ К_2
2^1
(У1 + Х_2)2( 1 — — У!^! + У1 + Х_2)
= 0,
где = кX) = Кх2-
Нас интересуют листы медленной поверхности, описанные вторым сомножителем, приравненным к нулю. Имеем уравнение третьей сте-
У
У1 + (с — 1 + 2х_2)у| + [с(ад2 + х_2) — 2Х_2 + х_2]^ — к_2 = 0, (13)
где с = №2/(2^1).
Введя обозначения ^ = с — 1 + ^ = с(^2 + — 2х_2 +
сз = — перепишем уравнение (13) в виде
У1 + сш? + сч,у\ + съ = 0.
При помощи замены У\ = х — с^/З устраним квадратичный член и придем к уравнению
ах + Ь = 0,
(14)
где а = с2 — с|/3, Ь = 2с|/27 — С1С2/З + сз. Множество М точек (х, а, Ь), удовлетворяющих уравнению (14), имеет вид поверхности со сборкой и показано на рис. 3.
х
Рис. 3.
М х, а, Ь
емое уравнением (14), гладким многообразием.
Определим отображение катастрофы сборки х '■ М ^ С, которое проецирует точки М та плоскость С координат а и Ь по правилу
в окрестности начала сборки — точки Q. Покажем, что многообразие катастрофы М является гладким подмногообразием в М3. Для доказательства введем функцию-проектор п : У ^ М, для которой п(х, а) = (х, а, Ь), где Ь определяется из условия х3 + ах + Ь = О, У — х а Ь
и, очевидно, имеет ранг 2 независимо от того, какие значения прини-ах
мпожество М гладкое, причем не только в окрестности точки Q.
Следовательно, лист медленной поверхности системы (12), описы-
М
Найдем критические точки отображения катастрофы х М ^ С. Продифференцируем левую часть уравнения (14). Получим уравнение ха
получим а = —3х2, Ь = 2х3. Таким образом, критические точки ле-
хх
а = —3х2, Ь = 2х3, где х — вещественный параметр. Это скрученная
М
на рис. 3 она обозначена через
(х, а, Ь) ^ (а, Ь) (х € М)
■к(х, а) = (х, а, — х3 — ах),
или п (х, а) = х, П (х, а) = а П (х, а) = —х3 — а; Матрица Якоби для п : У ^ М3 имеет вид
з
х ах
(15)
М
Убедимся, что Р — гладкая кривая. Рассмотрим указанную параметризацию у : М ^ Р, у(х) = (х, —Зх2,2х3). Матрица Якоби равна (1, —6х,6х2)т и всегда имеет ранг 1. Поэтому у является гладкой функцией без критических точек, так что Р — гладкая кривая.
Решая совместно уравнения а = —3х2 и Ь = 2х3, получим равенство
4а3 + 27Ь2 = О
— полукубическую параболу, которая является проекцией линии кратности Р та плоскость (а, Ь) (см. рис. 3). Точка О является для нее
а, Ь
«клюва» с «острием» в точке недифференцируемости. О
(14). Эта точка трехкратности является проекцией точки «склейки» листов медленной поверхности.
Итак, в нашей задаче медленная поверхность оказалась несвязным множеством, состоящим из некоторого числа связных компонент (таковыми являются 10 листов медленной поверхности, среди которых и лист медленной поверхности, описываемый поверхностью сборки), эти компоненты являются гладкими многообразиями.
II. Математическая модель каталитической реакции окисления.
1. Рассматривается детальный механизм реакции СО + О2 на иридии. Кинетической схеме этой реакции соответствует система дифференциальных уравнений с безразмерными переменными
х = 2Ь1х2 — ^хх — х2 = Ь4х7 — Ьбх2 — ^хх — ^хх — Ь^хх, хз = — 2Ьзх§ — Ьех + — Ьдхх + 2Ьюх4х5 + (16)
= — ^О^х — Ь^хх, х5 = Ьех — Ь7х — Ьюхх — Ьцх5, где х = 1 — х — X — х) X = 1 — х — х — х — X — х5.
Система (16) исследовалась в [7-10]. Там же приведены выражения для коэффициентов Ьг (г = 1,2, ...,12). Областью изменения переменных является множество
Ш = <| (х, • • •, х) | 0 ^ х г ^ 1, ^^ х^ ^ 1, г = 1,..., 5 ^.
При анализе модели используем следующую иерархию параметров:
Ью > Ь8 > Ь7 > Ь1,Ь2,Ь3,Ь4,Ьв,Ь11,Ь12 > Ь5,Ь9.
Система (16) имеет вид ег = ^^^де г € Мт+", 4 € М, 0 <
е ^ 1, вектор-функция Z достаточно гладкая по всем переменным [11]. В ней переменные х, х,..., х5 не разделены на медленные и быстрые. Сделав в (16) линейную замену переменных
в = х± — х, и = х — х, V = х + х^ + (17)
хх
ной:
в = 2Ь3хд — ^2хх — Ьех3 + Ь7х5 + Ьхх х, й = 2Ь\х| — Ь2хх е — ^х + Ь^х2 + Ьдхх + ^2хх,
V = ^хх — Ьдхх — Ьц х, (18)
х2 = ^х — Ьбх — ^хх — ^хх — Ь^хх, х5 = Ьех — Ь7х — Ыхх — Ьцх,
где х = й + х, х = V — в — 2х, X = в + х5.
Замена переменных (17) приводит систему (16) к сингулярно возмущенной системе уравнений вида
x = /(xy,£), ^^(Ху^^
где х = (в, й, V) — медленные, У = (х, хб) — быстрые переменные, е = 1/Ью — положительный малый параметр, / = (/, /2, /3), д = (^//Ь§, /б/Ью)> & = Ь^/Ью, /¿, г = 1, 2,..., 5, — правые части уравнений (18). Нахождение решения данной системы сводится к отысканию решения
вырожденной системы, получаемой из исходной, если параметр е формально положить равным нулю. Этот факт следует из работ А. Н. Тихонова [12,13], в которых доказаны теоремы о предельном переходе к решению вырожденной задачи при стремлении малого параметра к 0. Правые части системы (16) являются полиномами, поэтому удовлетворяют требуемым условиям, в частности, обеспечивают единственность решения. Порядок исходной системы равен 5, а медленной подсистемы равен 3.
е
ется уравнением д(х, у,0) = 0 (уравнение медленной поверхности).
Имеем систему из двух уравнений, описывающую медленную поверхность:
(и + х)х2 = 0, (в + х)х5 =0. (19)
Эта система имеет четыре решения:
1) и + х = 0, в + х5 = 0;
2) и + х = 0, х5 = 0;
3) х2 = 0, в + х5 = 0;
4) х2 = 0, х5 = 0.
Каждое из решений задает лист медленной поверхности. Следовательно, медленная поверхность системы (18) состоит из четырех листов $2) £з и £4:
(£) х = —и, х = —в,
— 1 < в о, —1 < и <0, 0< < 1, 0< V — и <1;
(£) х = —и, х = 0,
0 < в < 1, — < и < 0,
(£3) х = о, х = —в,
— 1 < в о, 0 < и < 1,
(£4) х = 0, х5 = 0,
0< в < 1, 0< и < 1, 0< V — в < 1, 0< u + v < 1. Неравенства вытекают из ограничений, заданных в области Ш.
0 < V — в < 1, 0 < V — и <1;
(20)
0 < в V < 1, 0 < u + v < 1;
Для нахождения границ листов медленной поверхности вычислим
К уравнению медленной поверхности, заданной системой (19), добавляется уравнение (2х2 + и)(2х5 + в) = 0. На всех четырех листах Я^, г = 1,..., 4, это уравнение имеет вид ив = 0. Из (20) вытекает, что 0 < V < 1, следовательно, поверхности в = 0, и = 0, V = 1 являются границами листов Я^, г = 1,..., 4.
2. На устойчивом листе Я (х = 0, х4 = в) х5 = 0 и медленная подсистема системы (18) в координатах и, V, в примет вид
и = 2^(1 + и — V)2 — Ь4(1 + и — V) — ^и — Ьди^ — в) — Ь^ив,
где и = — х2, V = х + в, в = х4. Система (21) имеет шесть особых точек:
1) щ = 0, = 1, = 1;
2) и2 = 0, v2 = 1 — Ь4/2Ьь в2 = 1 — Ь4/2Ь1;
3) и3 = 0, в3 = 1 — Ь6/2Ь3;
4) и4 = 0, ^^ 1— Ь4/2Ьь в4 = 1— Ь4/2Ь1 — Ь6/2Ь1;
5)^ = ^1 — Й2)/4Ьь ^0, в5 = 0;
6) щ = (Й1 + Д2)/4Ьь ^^ = 0, в6 = 0,
где Й1 = 64 + 65 - 4&1, Д2 = -861(261 — 64) = + 65)2 - 86165.
Для существования особых точек 5 и 6 необходимо, чтобы (Ь4 + Ь§)2 — 8^5 ^ 0, что выполняется, когда мало.
Используя иерархию параметров, проанализируем систему (21), ЬЬ
Применив к системе (21) метод интегральных многообразий, сведем анализ системы к рассмотрению медленной подсистемы, состоящей в данном случае из одного уравнения, на одномерном интегральном
матрицу J = для системы (19):
т _ { —2 х — и 0
V 0 — 2х5 —«
V = Ьди^ — в), в = 2Ьз^ — в)2 — Ье^ — в) + Ь^ив,
(21)
многообразии. Использование метода возможно в силу того, что в системе имеется малый параметр 69.
Сделаем замену переменных т = 69t. Тогда tT = I/69, ит = • tT = и/69, vT = • tT = v/69, sT = s/69. Обозначив правые части (21) через f (и, v, s), /г(и, v, s), f (и, v, s) юответственно, имеем = f (и, v, s), vT = /г(и, v, s), = f (u, v, s). Таким образом, система (21) — система с малым параметром, v —медленная переменная, и, s — быстрые переменные, vT = f(u,v,s) — медленная подсистема на медленной кривой (при 65 = 69 = 0), описываемой системой двух уравнений
F (и, v, s) = ka(l + и — v)2 — (1 + и — v) — 6us = 0,
, (22) ^(и, v, s) = a(v — s)J — (v — s) + = 0,
где a = 263/6ß, 6 = 612/60, k = 61/63. Учитываем,что в данной модели 66
Медленная поверхность является пересечением двух гладких поверхностей (второго порядка) и будет одномерным многообразием (кривой) Г. В общем случае эта кривая гладкая. В точках общего положения (регулярные точки) она гладко проектируется на ось Ov (одномерное пространство, отвечающее медленной переменной). Условием возможности такого проектирования по теореме о неявной функции является отличие от нуля якобиана v, s) = det , ^)/д(и, s). Участки кривой, образованные регулярными точками, являются листами. Границы листов задаются условием 7(и, v, s) = 0.
3. В [14] предложен следующий способ описания кривой Г (без учета ограничений (20)).
Введем параметр в = us. Тогда, обозначив а = т/1 — 4аЬв, ß = а/1 + 4аЬкв и решив квадратные уравнения относительно 1 + u — v и v—s
2&а(1 + и — v) = 1± в, 2a(v — s) = 1± а. (23)
Рассмотрим четыре возможных случая сочетания знаков в выражениях (23), задающих медленную кривую.
В первом случае имеем
— в) = 1 + а, 2ка(1 + и — V) = 1 + в
Исключая V го обоих равенств и учитывая, что в = 0/и, вычисляем и
41) = 1(4 + у^ну), = 1(4-^ + 40),
где
и для каждого из них
5(1) - — - 5(1) + — ¿—12
В остальных случаях и, в, V вычисляются по аналогичным формулам.
Во втором случае имеем
2а^ — в) = 1 — а, 2ка(1 + и — V) = 1 — в,
мр} = I(4 + у/(%+4в), и^ = \{<]'2- ^ + 40),
где
<*2 = ^((1-/?) + А(1-а))-1,
(2) _ 0 (2) _ (2) 1 — а . _
В третьем случае
2а^ — в) = 1 + а, 2ка(1 + и — V) = 1 — в,
43) = 1 (4 + ^¡+40), 43) = 1 (4 - ^ + 40),
где
У >
0.5
0.0
-0.5
-0.5
0.0
0.0
Рис. 4.
5(3) - — г-(3) - *(3) + г - 1 2
В четвертом случае
— в) = 1 — а, 2ка(1 + й — V) = 1 + в,
«Г = ^ (^4 + + 46»), м<4) = ^ где
2ка
(4) '
¿4) = 44)
Соответствующие участки кривой Г будем называть ветвями и
Таким образом, медленная поверхность является пересечением двух гладких поверхностей (второго порядка) и будет одномерным многообразием (кривой) Г. В [10] построена эта медленная поверхность с использованием указанной параметризации.
На рис. 4 видим, что имеются предпосылки для возникновения решений-уток (траектории, которые проходят сначала вдоль устойчивого участка, потом вдоль неустойчивого) [15].
1. Митропольский Ю. А., Лыкова, О. В. Интегральные многообразия в нелинейной механике. М.: Наука, 1963.
2. Гольдштейн В. М., Соболев В. А. Качественный анализ сингулярно возмущенных систем. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1988.
3. Гольдштейн В. М., Кононенко Л. И., Лазман М. 3., Соболев В. А., Яблонский Г. С. Качественный анализ динамических свойств каталитического изотермического реактора идеального смешения // Математические проблемы химической кинетики. Новосибирск: Наука, 1989. С. 176-204.
4. Кононенко Л. И. О гладкости медленной поверхности сингулярно возмущенных систем // Сиб. журн. индустр. математики. 2002. Т. 5, №2. С. 116-119.
5. Постов Т., Стюарт И. Теория катастроф и ее приложения. М.: Мир, 1980.
6. Кононенко Л. И. Катастрофа сборки в математической модели каталитического реактора идеального перемешивания // Сиб. журн. индустр. математики. 2001. Т. 4, №1. С. 116-119.
7. Воронин А. И., Низовский А. И., Елохин В. И., Яблонский Г. С., Савченко В. И. Экспериментальное обоснование механизма реакции СОг на иридии и его численное моделирование // Тез. докл. 4 Всесоюз. конф. по механизму каталитических реакций. Ч. 2. М., 1996. С. 196-200.
8. Гайнова И. А., Фадеев С. И., Елохин В. И., Воронин А. И. Реакция окисления СО на поликристаллической фольге иридия. Моделирование кинетики поверхностных процессов // Тр. Междунар. конф. по вычисл. математике. Ч. 1. Новосибирск, 2004. С. 449-454.
9. Кононенко Л. И. Интегральные многообразия в математической модели реакции каталитического окисления. Новосибирск, 1990. (Препринт / Ин-т математики СО АН СССР; № 13).
10. Кононенко Л. И., Волокитин Е. П. Параметризация и качественный анализ сингулярной системы в математической модели реакции каталитического окисления // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 1. С. 43-52.
обозначать через Гъ= 1,2,.? = 1, 2,3,4 (рис. 4).
ЛИТЕРАТУРА
11. Васильева, А. В., Бутузов В. Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1978.
12. Тихонов А. Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Мат. сб. 1948. Т. 22, №2. С. 193-204.
13. Тихонов А. Н. Системы дифференциальных уравнений, содержащие малые параметры при производных // Мат. сб. 1952. Т. 31, №3. С. 575-576.
14. Кононенко Л. И. Параметризация медленной кривой в одной задаче химической кинетики // Сиб. журн. индустр. математики. 2010. Т. 13, №3. С. 51-57.
15. Арнольд В. И., Афраймович В. С., Ильяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. М.: ВИНИТИ, 1986. Т. 5. С. 5-218.
г. Новосибирск
30 августа 2012 г.
