CC BY
6Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454
Volume 2 | Issue 5 | May, 2022 | SJIF: 5,965 | UIF: 7,6 | ISRA: JIF 1.947 | Google Scholar |
www.carjis.org DOI: 10.24412/2181-2454-2022-5-698-702
MAXSUSLIKKA EGA BO'LGAN CHEGARAVIY MASALANI TENGMAS QADAMLI TO'RDA AYIRMALI USULDA YECHISH
Y. Y. Hamroyev
TIQXMMI Buxoro tabiiy resurslarni boshqarish instituti dotsenti.
D. A. Ostonova BuxDU 2-bosqich magistranti
ANNOTATSIYA
Ushbu maqolada chegarada maxsuslikka ega bo'lgan ikkinchi tartibli differensial tenglama uchun qo'yilgan chegaraviy masalani maxus tengmas qadamli to'rda ayirmali usul bilan yechish masalasi qaralgan. Bunda A.A Samarskiy va A.N. Tixonovlar tomonidan yaratilgan "aniq" va "qirqilgan" ayirmali sxemalarning yuqori aniqligiga erishilgan.
Kalit so'zlar: Chegaraviy masala, tengmas qadamli to'r," aniq" ayirmali sxema, "m-rangli" "qirqilgan" ayirmali sxema.
KIRISH
Ma'lumki tabiatda uchraydigan "suyuqliklar va gazlarning bir jinsli bo'lmagan muhitdagi filtratsiyasi masalasi "[5]" O'zgaruvchan qalinlikdagi , konik sirtlar deformatsiyasi masalasi "[6]" "Sferodial funksiyalar nazariyasi" [1], kabi sohalarda uchraydigan ko'pgina masalalarning matematik modellari maxsuslikka ega bo'lgan differensial tenglamalar uchun chegaraviy masalaga keltiriladi.Bu maxsuslik izlanayotgan yechim funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi oldidagi koeffisientning nolga aylanishidan iborat.Bunday chegaraviy masalalarni sonli yechish usullaridan biri bu ayirmali metoddir.Ammo regulyar chegaraviy masalalar uchun qurilgan ayirmali sxemalar bu holda mutlaqo yaroqsizdir.Shu sababga ko'ra, bunday hollarda maxsuslik mavjudligini inobatga oladigan ayirmali sxemalarrdan foydalanishga to'g'ri keladi. Bunday chegaraviy masalalar uchun ayirmali sxemalar V.L.Makarov, I.P.Gavrilyuk, V.M. Lujix [7] V.L. Makarov,LL.Makarov,V.G.Prikazchikov[8], [9] ishlarida o'rganilgan.Ushbu maqolada yuqorida qayd etilgan ishlardan farqli ravishda, o'zgaruvchan qadamli maxsus to'rni tanlash natijasida "m"-rangli "qirqilgan ayirmali sxemaning eng yuqori tartibli aniqligiga erishilgan bunda to'r shunday tanlanganki, maxsuslik mavjud bo'lgan [—1,1] kesma chegaralariga yaqinlashilganda to'r qadami kichrayadi, regulyar to'r tugunlari yaqinida to'r qadami kattalashadi.
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 5 | May, 2022 | SJIF: 5,965 | UIF: 7,6 | ISRA: JIF 1.947 | Google Scholar |
www.carjis.org DOI: 10.24412/2181-2454-2022-5-698-702
ADABIYOTLAR TAHLILI VA METODOLOGIYASI II Masalaning qo'yilishi
L%'q) = (p{x)u'{x)y - q{x)u{x) = -/(x), -1 < x < 1 (1) P(x) u '(x)^!^ Chegaraviy masalani qaraymiz.
Bunda P(x) i ( 1 —x2 ) Pl (x) , P(x) , q (x) , f (x) lar berilgan koeffisientlar va o'ng tomon, u(x)- izlanayotgan yechim. Tenglamaning koeffisientlari P(x) , q(x) va o'ng tomoni f(x) quyidagi shartlarni qanoaatlantiradi.
C! < q(x < C2 , c3 < q(x) < c4; P (x) , q(x) , f (x) £ Q(0) [— 1 ; 1 ] (2) Ushbu shartlar bajarilganda (1) chegaraviy masala yagona yechimga ega bo'lishi isbot qilingan [4]. Bu yerda Q(0 ) [—1 ;1 ]— [— 1 ;1 ] kesmada bo'laklab uzluksiz bo'lgan funksiyalar fazosi.
II."Aniq" ayirmali sxema.Qaralayotgan (1) chegaraviy masala uchun (2) shartlar bajarilgan bo'lsin.[ — 1 , 1 ] kesmada quyidagi tengmas qadamli wh .={—1 = x_N < x_N+l < • • • < x0 < xl . . . < xN = 1 }to'rni kiritamiz.Bunda x^ =
s ign (xj) ^p=i Vp 1 = (2/N)(1-(i-1/2)/N).Demak xt = s ign (x^) ■ =l (2) [ i — ( i + 1 ) ■ ^ + ^ = s ign (xj) ■ (2) ■ i ■ ( 1 — i ( 2 A))Isbotlash mumkinki , xN = £JLi hp = s Wn (xjV) (2) £N=iP ( 1 — j^) = 1 va
N N
x _N = s i gn (x _N) ^ hp = — ^ hp = — 1
p=i p=i
A.A.Samarskiy, A.N. Tixonovlar metodikasiga ko'ra [ 2 ] aniq ayirmali sxemani qurish uchun kerak bo'ladigan Vf (x) - shablon funksiyalarni qaraymiz.Bu funksiyalar quyidagi Koshi masalalarining yechimlari bo'ladi. (j=1;2;
i = — TV + 1 , A^ + 1 ) L^V/ix) = 0, Xi_± < x < xi+1, j = 1,2 i = — A + 1 , A — 1 (3)
Kij(xj — 1) = $_n+i, P(x) Kij'(x) |= 1 — 5j,_N+i
x = xj_i
^2j(x + 1) = ffifN+i, P(x) ^2j'(x) |= 1 — 5j,_N+i
x = xi+l i = — A + 1 , A — 1
Bu yerda ^¿j —Kroneker simvoli
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 5 | May, 2022 | SJIF: 5,965 | UIF: 7,6 | ISRA: JIF 1.947 | Google Scholar |
www.carjis.org DOI: 10.24412/2181-2454-2022-5-698-702
=I;
11, agar i = j bo'lsa, '0, agar i ^ j bo'lsa. Lemmal. Agar (2) shartlar bajarilsa, Vj^x), j = 1,2; i = —A + 1 , A — 1 shablon funksiyalar:
1. y.¿ * o, j = 1,2; i = —A + 1, A — 1,
2. y.¿(x) , j = 1,2; i = — A + 1 , A — 1 chiziqli bog'liq emas . [3]
¿(p.<?) —operator uchun Grin funksiyasini quramiz .Uning ko'rinishi
Gi(x 5) = { H'«^-^1 «tfßU ^ 5 (4) G1(S) >2(x) ( №+i ) ) " 1 ViQ) ■ xa* (4)
Bu funksiyani qurish [ 3 ] dagidan tubdan farq qilmagani uchun uni batafsil keltirb o'tirmadik.
Aniq ayirmali sxemani qurish (1) tenglamani (4) Grin funksiyasiga ko'paytirib, 5 o'zgaruvchi bo'yicha xj _ 1 dan xj+1 gacha integrallaymiz,uncha murakkab bo'lmagan soddalashtirishlardan keyin uch nuqtali aniq ayirmali sxemani hosil qilamiz.
Lemma 2. (2) shartlar bajarilganda (1) chegaraviy masala uchun uch nuqtali aniq ayirmali sxema mavjud va u:
(4 /x-) f, j — 2)iU i — B i) U = — F^ i = — ---N-1
Ko'rinishga ega bunda ht = xj — xj_1, hj = 0,5(^j + ^j+1)
4j+1 = (^_+11^2j(Xj))_1, Bj = (Ä_1V1j(Xj))_1,Dj = fj(q) F = fj(/) ,
1 f rxi rxi+l ^
Ti(w) = -{[vKxOf1 j V1 (n)w(n)d^+ [V^(Xi)]_1 j V^(n)w(n)d^j
Bu aniq ayitrmali sxema mavjudligi va yagonaligini isboti teng qadamli to'rdagidek [4]
III "m" rangli qirqilgan ayirmali sxema.
Keyingi qadamda xuddi [3]dagidek [xj_1,xj+1] kesmada S=(x—xj)/^i formulaga ko'ra "mahalliy" koordinata sistemasiga o'tamiz , ^/j(x),y = 1 , 2
i = —A + 1 , A — 1 shablon funksiyalarini cheksiz yig'indilar bilan almashtirib va bu yig'inlarda chekli sondagi qo'shiluvchilarni olib (5) formulaga qo'yib "m" rangli "qirqilgan" ayirmali sxemani olamiz:
(4™*)« — D^y, +j1(4(m) — B(m))yf,j = —Fj(m)
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 5 | May, 2022 | SJIF: 5,965 | UIF: 7,6 | ISRA: JIF 1.947 | Google Scholar |
www.carjis.org DOI: 10.24412/2181-2454-2022-5-698-702
flN+ta-N+i = 0 ' = о , £ = - N + 1 , N - 1 (6)
"m" rangli "qirqilgan" ayirmali sxema aniqligini baholash uchun olinadigan tengsizliklar xuddi teng qadamli to'rda bo'lgani kabi isbotlangani uchun biz ularni keltirib o'tirmadik. [4].Qaralayotgan (1) chegaraviy masala uchun (2)shartlar bajarilganda va P-1(x), q(x),/(x) lar Щ0<Ц<1) ko'rsatgichli Gyolder shartlari.
||P-1(x) - Р-1(у)|| < C|x - уГ ||q(x) - q(y)|| < C|x - уГ ll/(x) — /(y)ll < C|x — ylM ni qanoatlantirganda quyidagi asosiy teorema o'rinli bo'ladi.
XULOSA
Teorema. Agar (2) shartlar bajarilib,(7) Gyolder sharti o'rinli bo'lsa, u holda shunday ño topiladiki h* < h0 (h* = max(ft£}) bo'lganda m-rangli (6) qirqilgan ayirmali sxema o(N-(2^+2W)) aniqlikka ega bo'ladi Ya'ni ||u-y||^<CN-(2^2W)(l + ||y||FJ (8)
Tengsizlik o'rnli bo'ladi.Ushbu teorema isboti xuddi teng qadamli to'rdagidek [4], [9] bo'lgani uchun uni keltirib o'tirmadik.
REFERENCES
1)Абрамов А.А.. , Дышко А.Л. , Конюхова Н.Б;Парийский Б.С. Вычисление вытянутых сферолдальных функций рещениемсоответствующих дифференциалных уравнений.ЖВМу МФ . 1984г.т.24.ъN1.стр.3-18
2)Тихонов А.Н.,Самарский А.А. Однородные разностные схемы
высокого порядка точности на неравномерных сетках.ЖВМу МФ. 1963г т3. N1. с. 99-101.
3) Самаркий А.А. Введение в теорию разностных схем. М, Наука , 1971г 552стр
4)Макаров И.Л.,Хамраев Ю.Ю. Разностные схемы високого порядка точности в случае несамосопряженных краевых задач для систем минейных обькновенных дифференциальных уравнений второго порядк вырождением. "Математическая физика и нелинейная механика" 1991г 16(50) Изд.Ан. Украины. инс. математики. с.18-20.
5)Мухидинов Н.М. Методы расчета расчета показателей многопластовых месторождений нефти и газа.Ташкент . Фан . Уз.ССР. 1978 г.117с.
6)Коваленпо. А.Д. Круглые пластины пременной толщины. М., 1959г. 294с.
7)Макаров В.Л. Гаврилюк И.П. Лужних В.М. Точная и усеченные разностные схемы для задачи Штурма- Лиувилля с вырождением.Дифф уравнения 1980 г, 16 ,№7.c.1265-1276.
Central Asian Research Journal For Interdisciplinary Studies (CARJIS)
ISSN (online): 2181-2454 Volume 2 | Issue 5 | May, 2022 | SJIF: 5,965 | UIF: 7,6 | ISRA: JIF 1.947 | Google Scholar |
www.carjis.org DOI: 10.24412/2181-2454-2022-5-698-702
8)Макаров В.Л. Макаров И.Л. Приказчиков В.Г. Точные разностные схемы и схемы любого порядка точности для систем дифференциалних уравнений второго порядка. Дифф.уравнения 1979 г 15 №7, c 1194-1205.
9) Макаров В. Л. Хамраев Ю.Ю.Разностные схемье высокогопорядка точности для вырождающихся систем дифференциальных уравнений на неравномерных сетках Дифф. Урав.1997г. Т 33. №3. 410-415с.
