Матроид паросочетаний в структуре доступа системы разграничения секрета Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

Матроид паросочетаний в структуре доступа системы разграничения секрета Андрейченко В. А.

Андрейченко Владимир Александрович /Andreichenko Vladimir Aleksandrovich - кандидат

технических наук, доцент, кафедра многофункционального менеджмента, Государственная академия инноваций, г. Москва

Аннотация: в статье рассматривается математическая модель разграничения секрета, основанная на паросочетаниях двудольного графа. В качестве альтернативы матроиду паросочетаний предлагается матроид дефицитных вершин (матроид дефицита). Доказана теорема о двойственности матроида паросочетаний и матроида дефицита.

Ключевые слова: разграничение секрета, матроид, паросочетание.

Известно, что доступ к определенным секретным сведениям может регулироваться вероятностной или комбинаторной системой разграничения секрета (СРС) между его потенциальными владельцами так, что каждый из них будет владеть только его частью. Для полного раскрытия секрета необходимо участие всех владельцев. Чтобы затруднить раскрытие секрета одним владельцем или иными лицами, необходимо обеспечить наличие достаточного количества комбинаций выбора в их действиях. Идеальным математическим объектом для описания структуры доступа в такой системе является матроид [2, с. 127]. Известно, что структура матроида имеет комбинаторную природу, поскольку представляет набор комбинаций, так называемых независимых подмножеств произвольного множества элементов. Опираясь на комбинаторную природу матроида, в разных приложениях разграничения секрета разумно использовать такие структуры доступа, для которых доказана их принадлежность к матроидам. К таким структурам относится множество ребер, насыщенных в максимальном паросочетании двудольного графа.

а) б)

Рис. 1. Разделяемый секрет комбинации 17263845: а) возможные комбинации вершин; б) паросочетание для секрета

Матроид, определенный на множестве всех подмножеств ребер такого паросочетания, можно использовать для описания структуры доступа к секрету коммутации соединений, ассоциированных с ребрами полносвязного двудольного графа (рис. 1). Внешне это может выглядеть как набор кода на панели с двумя рядами кнопок, где кнопки первого ряда соответствует вершинам одной доли графа, а кнопк второго ряда - другой доли. Очевидно, что комбинация нажатия тех кнопок, которые соответствуют предопределенному паросочетанию будет представлять секрет. При этом разным владельцам сообщается часть секрета, достаточная для его коллективного раскрытия. Например, на основе двудольного графа в = (VI, У2) можно определить в качестве системы разграничения доступа кортеж СРС = (I, М), где I - матрица инциденций верщин графа, а М = {(у^Уь У2еУ2)} - множество всех подмножеств ребер, насыщенных в максимальном паросочетании.

Покажем, что в качестве математического объекта структуры доступа к секрету вместо комбинации ребер, относящихся к максимальному паросочетанию полносвязного двудольного графа, можно использовать вершины, не насыщенные в максимальном паросочетании.

а) б)

Рис. 2. Элементы формирования матроида дефицитных вершин графа: а) двудольный граф с положителным дефицитом; б) вариант двух множеств вершин, не насыщенных в максимальном паросочетании

Для этого нужно использовать графы с положительным дефицитом, которые имеют вершины, не относящиеся к ребрам максимального паросочетания (рис. 2). Основанием к такому подходу служит утверждение, что вершины двудольного графа с положительным дефицитом, не насыщенные в максимальном паросочетании, образуют матроид. Докажем, что множество всех таких вершин является базой матроида.

Теорема 1 (о матроиде дефицита).

Пусть О - неориентированный граф с множествами вершин V, а А- набор таких подмножеств 1сУ, что элементы Iявляются множествами вершин, составляющих максимальный дефицит графа О

Тогда А - множество баз матроида = (V, А).

Теорема означает, что различные множества вершин I, составляющие максимальный дефицит некоторого графа О(У), образуют систему независимых множеств А={ I} таких, что I I\=°о,

где а,0=шах (IV \ - \О(У0\) для всех V ¿V, а - множество вершин,

соединенных с V хотя бы одним ребром.

Доказательство. Для доказательства достаточно показать, что условия и заключение теоремы не нарушают аксиом баз теории матроидов:

1) никакая из баз не содержится в другой базе;

2) если J1 и J2 - базы матроида, то для любого элемента Ь eJ1 существует элемент c е32 такой, что (31 \Ь)ис с А, где А - множество баз.

Для доказательства выполнения условий первой аксиомы воспользуемся методом доказательства «от противного». Предположим, что условия и заключение теоремы нарушают первую аксиому. Тогда существуют такие 31с А и 32с А, что 31с 32 и справедливо неравенство для мощности множеств | 31 | < | 32 |. Но для любых множеств 31 и 32, составляющих максимальный дефицит графа, \31\=\32\=о,0 по определению. Следовательно, сделанное предположение не верно и первая аксиома не нарушена. Покажем, что теорема не нарушает и вторую аксиому. Известно, что справедлива следующая теорема Орэ [1, стр. 170].

Любое максимальное (наибольшее по включению) паросочетание М можно преобразовать в любое другое максимальное паросочетание М} деформациями относительно дефицитных цепей и циклическими деформациями. Существует такое взаимно однозначное соответствие между дефицитными вершинами в М и Мь что соответствующие вершины связаны непересекающимися по ребрам чередующимися цепями.

Пусть 11 - множество дефицитных вершин, не насыщенное в некотором наибольшем паросочетании М1. Пусть р-семейство непересекающихся по ребрам чередующихся цепей четной длины из дефицитных вершин, принадлежащих 31, в М1 (ребра этих цепей принадлежат поочередно М1 и дополнению М1). Тогда, следуя теореме Орэ, множество N всех концов этих цепей состоит из вершин, которые являются дефицитными в некотором наибольшем паросочетании М2. Пусть М2 -некоторое наибольшее паросочетание, отличное от М1 (М2^М1), а 32 - множество дефицитных вершин, не принадлежащее М2 .

Рассмотрим произвольную вершину Ье 31 и вершину с еМ, представляющую одну из концевых вершин семейства Ц. В силу теоремы Орэ имеем:

Б с еМ: (31\ Ь) и с =32 , (1)

поскольку должна быть цепь (Ь,.....,с), из семейства Ц с началом в вершине Ь и

концом в вершине с, которая соединяет дефицитные вершины (Ь, с), не насыщенные в максимальных паросочетаниях М1 и М2 соответственно.

Так как 32 с А по определению и се 3 2 в силу (1), то

УЬ е 31 Б с е32: (31\Ь ) и с с А (2)

Следовательно, в силу (2), условия второй аксиомы баз матроида не нарушены. Таким образом, множества вершин А, составляющих максимальный дефицит графа О(У), являются базами матроида Оа=(У, А).П

Матроид О убудем называть в матроидом дефицита.

Теорема 2 (о двойственности матроида дефицита).

Матроид дефицита является двойственным к матроиду паросочетаний.

Доказательство. Имеет место следующая доказанная теорема [3, стр.90].

Пусть О - неориентированный граф с множеством вершин V. Пусть Ж - набор всех таких подмножеств 1с V, что элементы I насыщаются в некотором паросочетании графа О. Тогда Ж - набор независимых множеств матроида паросочетаний на V.

Известно, что два матроида О* =(У, В* ) и О =(У, В) на множестве V являются двойственными если их базы В* и В связаны соотношением

В* = У\В. (3)

Пусть В-подмножество вершин, составляющих максимальный дефицит графа с множеством вершин V, Тогда множество В* = V\B не содержит дефицитных вершин. Следовательно, существует наибольшее паросочетание, в котором насыщаются все

вершины из В*. Так как любая база-наибольшее по включению подмножество системы независимых множеств матроида, то В*=V\B - база матроида паросочетаний, а В - база матроида дефицита и выполняется условие двойственности матроидов (3). Таким образом, матроид дефицита является двойственным к матроиду паросочетаний. Выводы.

1. Структура доступа с разграничением секрета может быть исследована с помощью двудольных графов и основана на использовании матроида паросочетаний или матроида дефицита.

2. Комбинаторная сложность раскрытия секрета злоумышленниками будет экспоненциально зависеть от числа вершин двудольного графа, моделирующего разделяемый секрет, и потребует перебора порядка 2п комбинаций соединения п вершин двудольного графа.

Литература

1. Оре О. Теория графов.-2-е изд.-М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1980.- 336 с.

2. Ященко В. Введение в криптографию. // Ященко В., Черемушкин А.: МЦНМО, 2000.- 271 с.

3. Свами М., Тхуласираман К. — Графы, сети и алгоритмы. - М.: Мир. 1984. 456 а

Изучение характеристики нерастворимой примеси в нефти Сатторов М. О.1, Нуруллаева З. В.2, Бакиева Ш. К.3

1Сатторов Мирвохид Олимович / Sattorov Mirvohid Olimovich - преподаватель;

2Нурутаева Зарина Валиевна /Nurullayeva Zarina Valiyevna - преподаватель;

3Бакиева Шахноза Комиловна /Bakiyeva Shahnoza Komilovna - преподаватель, кафедра технологии нефтехимической промышленности, факультет химической технологии, Бухарский инженерно-технологический институт, г. Бухара, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье изучены характеристики и количество нерастворимой примеси (сероводород, соленая вода, кислород) в нефти.

Ключевые слова: неуглеводородные примеси, сероводород, соленая вода, кислород.

Нефть представляет собой многокомпонентную смесь, в основном углеводородов разного строения с различной молекулярной массой и с небольшой примесью неуглеводородных соединений. При добыче, транспортировании и переработке нефти коррозионное действие на оборудование и трубопроводы оказывают, главным образом, неуглеводородные примеси нефти (сероводород, соленая вода, кислород). В нефтях разных месторождений они содержатся в различных количествах [1].

Как известно, нефть вместе с сопутствующей ей пластовой водой залегает в геологических формациях, состоящих из таких пород, как песчаники, известняки, доломит и др. Породы, в которых залегает нефть и с которыми контактирует пластовая вода (хлориды, сульфиды, карбонаты и др.), определяют состав и концентрацию минеральных солей, содержащихся в ней. В процессе добычи нефти обычно сопутствующая пластовая вода своим напором вытесняет нефть из пористых пород пласта к скважинам.

На промыслах для обезвоживания нефти широко используют так называемый внутритрубный способ деэмульгировання как наиболее эффективный. После промысловой подготовки содержание олеофобных примесей в нефти, поступающей на нефтеперерабатывающие предприятия, обычно составляет (см. Таблицу 1):