CC BY
71
УДК 624.042.6
МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ И ФИЗИЧЕСКИ НЕЛИНЕЙНО ДЕФОРМИРУЕМЫХ ПЛОСКИХ ТРЕХ- И ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНЫХ
КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
© 2008 г. Г.В. Воронцов, С.И. Евтушенко
Южно-Российский государственный South-Russian State Technical University
технический университет (Novocherkassk Polytechnic Institute)
(Новочеркасский политехнический институт)
Предложены методы формирования матриц жесткости трех- и четырехугольных конечных элементов, выполненных из упругопластических материалов и подверженных простому нагружению при плоском напряженном состоянии. При составлении матриц учитывается также геометрическая нелинейность деформаций.
Ключевые слова: матрицы жёсткости, дифференциальные уравнения деформации, несущая способность, линеаризация дифференциальных уравнений, напряжённо-деформированное состояние.
Are proposed the methods of the forming of the stiffness matrices of the three- and quadrangular final elements, made from elastic-plastic materials and subjected to simple loading with the planar-stressed state. With the composition of matrices is considered also the geometric nonlinearity of deformations.
Keywords: matrixes to acerbity, differential equations to deformation, carrier ability, linearization of the differential equations, tense-deformed condition.
1. Нелинейные уравнения деформаций плоских конечных элеметов 1.1. Нелинейные деформации трехугольного конечного элемента
Перемещения точек элемента в направлении осей
Xj, X2 декартовой системы координат характеризуем вектором (рис. 1)
U ( x ) = colon ^ux ( x ) j Uy (x ,
x = colon [ x1 j x2 ]. В соответствии с табл. 1 находим длину dex проекций деформированного элемента dxdy :
dex =
С „ ôux 1 + —x ôx
\dx
+
ôuy
ôx
dx
откуда следует
sx =
dex - dx ôux
dx
+— ôx 2
(ôu.Y (ôuv ï
v ôx J
+
ôx
(1)
Таблица 1
Деформированные отрезки Проекции на оси координат
X Y
dex Î1 + ] dx V ôx J ôuy ——dx ôx
dey ôux , n.x dv ôy ( ôuv ï 1 + v dv V ôv J
Выражение для относительной линейной s y деформации аналогично
ôu
s v =■
v
ôv
1
+ — 2
(ôuy Y (ôu. ï
ôv
+
ôv
(2)
Уз
V2
i
Ь
3'
/
/
/ 1'
//
£1
uy1
ux1
*2
I
X —»
x3
Рис. 1. Начальное (1, 2, 3) и деформированное (Г, 2', 3') состояния трехугольного конечного элемента
При нахождении угловой деформации уxy определим направляющие косинусы отрезков dex, dey .
Замечая, что отрезок dex с точностью до малого первого порядка равен
dex =
(. ôuxï
1+-
ôx
dx,
(3)
2
Y
1
2
2
2
1
2
1
получаем
dx
~дП
du_
1--_
dx
(4)
Аналогично составляем выражение
dy dl
= 1 -
du
y
y
dy
Выражение для косинуса угла между направлениями dex, dey (табл. 2) после подстановки формул
табл. 2, а также (3), (4) получает вид
cos
( dex > dey ) lxxlxy + lyxlyy
( dux Y dux Л dux ( duv Л
1 + -
dx
1 --
dx
dy
1-
dy
+
+
duy (_ dux Y. duy Y. duy Л
dx
1-
dx
1 + -
y
dy
1-
y
dy
J_
Таблица 2
Отрезки Проекции на оси координат
lxx lxy
dex ( dux Л dx 1 + —_ - V cX J de_ duy dx dx de_
dey dux dy dy dey ( duy Л duy 1 + —— —— V dV J dey
Пренебрегая малыми выше второго порядка, имеем:
Л
/Ир I — ггч
"X'
cos ( dex, dey ) = cos — -'
V 2
2 Уху | у_у
y xy
( dux duv Л ( dux duy + duy dux Л
dy dy dx dx
, ' У dy dx
. (5)
s ( x )= П0 + П1 ( u ( x )) DJ u ( x ), £ (x): = colon Геx (x ) ! ey (x ) j У (x )].
Здесь введены матричные дифференциальные операторы
П
d dx 0
0 d dy ; П (u) = 2
d d
dy dx
dux düy
dx Cx
dux duy
dy Cy
duv 2 y du_ 2 x
dx dy
г d
dx u_x_
d ; u = uy
Cy
D
Перемещения точек КЭ аппроксимируем, например, линейными функциями:
ux | x,
( x, y ) = a0 + a1x + a2 y, (7)
Uy (x, y) = b0 + bxx + b2y, коэффициенты которых определим из условий
( xj, yj ) = UXj, uy (xj, yj ) = uy j, j = 1 2, 3,
u_ I x
! которых перемещения ux , uy объединим в вектор
j yj
U = colon
ux \ uv \ ux ! uv \ ux \ uv
, x1 \ y1 I x2 I y2 I x3 I y3
.(8)
Из выражения (7) следует
uxx = a0, ux2 = a0 + aiX2 + a2 y2,
ux3 = a0 + aix3 + a2 Уз-
(9)
Решая систему уравнений (9) относительно коэффициентов а ^ , получаем
1
ao =ux1, a1 =
a2 =
1
2s
2s
u
(У2 -Уз)+ux2 Уз -ux3 У2
(-2 _) +u-2 _ ux3 x2
(10)
Совокупность выражений (1), (2), (5) можно записать в матричной форме
где введено обозначение
= ( X2Уз - ВД ) •
Подставляя выражения (10) в уравнение (7), имеем
u.
: (_ У) = V1 (x, y)ux1 +^2 (_ y)ux2 + ^3 (x, y)ux3 ,
где аппроксимирующие функции
u
V1 ( x»У ) =1 + -1 [ x (У2 - Уз )" У (x2 - x3 )],
V 2 (x»У ) = ^ (ХУз - Ухз),
V 3 ( X' У ) = ( ХУ2 - УХ2 )'
обладают свойствами
V j ( xk Ук ) =
1... j = к
J [0. j Ф к.
U, (x,
уравнения (11) в результате подстановок ux : = uy
j уj
Выражение для функции Ыу (Х,у) получаем из
ст
В конечном счете составляем матрицу
У ( х,У ) =
_ 0 | тн-'
! 0 | тз (ху) ! 0 "
| т 2 (х»У ) | о I Т 3 (х»У)
осуществляющую преобразование Ых ( х' У )
0
Vi ( x»У )
V 2 (Х,У) 0
u ( x, У ) =
иУ ( x, У )
= у (x, У ) U, (12)
ux ( x, у ) = a0 + a1 x + a2 у + a3 xy ,
Uy ( x, y) = bo + ¿1 x + 02У + Ьз xy,
(14)
коэффициенты которых определяем из условий типа: ых^ — а0, ых^ = а0 + а1 х2 + а2 у2 + а3 х2 у2,
ых?> — а0 + а1 х3 + а2у3 + а3х3у3, (15)
Ых^ — а0 ^ а1 х4 ^ а2 у4 ^ а3 х4 у4.
Здесь Ых (у — 1... 4) есть перемещения узлов в направлении оси X (рис. 2).
1
X
Рис. 2. Начальное (1, 2, 3, 4) и деформированное (1, 2', 3', 4') состояния четырехугольного плоского элемента
В матричной форме выражения (15) имеют вид
а0
Ux =
Ux x1 [4 0 _L 0 ! A 0
Ux x2 1 1 ! x2 1 1 У2 ! 1 x2 У2
Ux x3 1 1 1 x3 1 1 У3 ! 1 x3 У3
T T
Ux x4 1 \ x4 [ 1 1 У 4 I 1 1 x4 y4
ai
a2
см. выражение (8).
Подставляя выражение (12) в формулу (6), получаем
8(x)= П0 + П1 (у(x)U)D у(x)U. (13)
1.2. Геометрически нелинейные деформации плоских четырехугольных конечных элементов
Перемещения точек элемента аппроксимируем функциями:
=: [ x, J j ] а,
откуда следует
а = [ xi, yj ] 1U.x.
Аналогично записываем формулу для определения коэффициентов bj:
b = [ xi, yj ] 1 Uy.
Подставляя найденные коэффициенты в первое уравнение (14), получаем
ux (xуЫ1' x ! y ! xy][xi>yj] 1 а: =
= [ф(x,y)][xi,yj] 1 Ux .
Вводя общий вектор перемещений узлов
U = colon[Ux \uy ],
записываем выражения (14) в виде ux (x' У )
u ( x, У ) = где обозначено
Uy ( x У )
У (x, У ) = 1-11
= у ( x У ) U,
Wx, y)][x/, yj ] 1 0 -1 0 ¡Mx, y)][x/, У] ]
a
3
Деформации элемента определяем по формуле типа (13), в которой аппроксимирующую матрицу
у ( x, y) вычисляем по выражению (16).
2. Уравнения деформирования упругопластических элементов при простом нагружении
Ограничиваемся случаем простого нагружения элементов с диаграммой деформирования о ~ £ при простом нагружении, при котором все внешние силы статически возрастают от нуля до конечных значений пропорционально одному увеличивающемуся параметру. При этом для геометрически линейных деформаций согласно теореме А.А. Ильюшина [1] во всех точках элемента будут иметь место монотонно возрастающие интенсивности GM , SM (или Токт, уокт) напряжений и деформаций (рис. 3). Здесь введены октаэдрические Токт, у окт.
8тг
Рис. 3. Одна из возможных диаграмм напряжённо-деформированного состояния материала
Если определена зависимость
ам = аи (8и ) >
угловой коэффициент к диаграмме составляет
, / \ (ги) г / \ . л
К ) = , = : ЕП К 0
откуда следует
d s,
деформированного состояния, причем приняты следующие положения.
1. Как и в линейной теории упругости сохраняется соосность напряжений и деформаций, причем существует единый для напряжений 5оjK и деформаций
5s к тангенциальный модуль (уокт ) , такой что
5 jK ~°cp ) = 2Gtn (у окт ) 5 (s jK -Zap ). (17)
2. Более того, по диаграмме деформаций ^окт = ^окт (Уокт) можно определить «секущий»
(cross) модуль деформации Gcr (уокт ) , для которого
имеет место соотношение
jK acp
Gcr (уокт )(
7 У о
s jK scp
.(18)
У о
В формулах (17) и (18) уо = :уокт есть достигнутый уровень угловой деформации; ап: = а х,
а22: = °У , °12 : = Тху ' • "' 812: = уху ■ Для плоского напряженного состояния
Уокт = (sx "s y ) + 4 +4 + 1'5У
2
xy
scp 2 (s x +s y).
(19)
3. Объемные деформации остаются упругими, так что
E
acp « , Ev =-, E = const. (20)
cp v 1 - 2^
4. Соотношения (17)-(20) считаем корректными и для нелинейных задач.
Принятые положения 1-4 позволяют составить cross-матрицу жесткости материала
Ecr (уо ) = Gcr (уо )
Г 2 ! -1 0 "
1 -1! 2 0 +
L0 ! 0 3/2
+
E,
1 1 0"
1 1 0 , Уо -Уокт ( Х)
0 0 0
(21)
ÖGM (sm ) = Etn (SM )ÖSM , где E{n есть так называемый тангенциальный модуль деформации. Аналогично записываем соотношение
^окт (sm ) _ Gtn (уокт)^уокт,
в котором 5хокт и Gtn есть соответственно приращения октаэдрического касательного напряжения и тангенциальный модуль сдвига (см. рис. 3).
В работе [2] приведенные положения А.А. Ильюшина обобщены на случай объемного напряженно-
Аналогично формируем тангенциальную матрицу Е^ , полагая в формуле (21) Gcr: = Gtn . При этом имеют место уравнения
«(Уо ) = Есг (Уо)е|у , (Уо ) = Еп (Уо )8е. (22)
'Уо
Напомним, что
о = colon а £ = colon
а 1 т
Ч У xy
'X I °y I ¡xy
т
3
3. Матрицы жесткости трехугольного и четырехугольного конечных элементов
Составим уравнение работы внутренних сил о ( x, уо ) ^ и внешних узловых нагрузок
p = colon
Px1 \Px2 \Px3 !Px4 !py1 !py2 !py3 !py4
(23)
соответственно на возможных деформациях
5s (х ,Уо ) = [П0 + П (у (х) U) d] у (X)|Уо 5U
Ux1 \Ux2 К \Ux4 Kt !uy2 Кэ !uy4
и перемещениях
5U = colon |б
Для трехугольных элементов сохраняем лишь шесть первых компонентов векторов 5 s и 5U, исключая ux4, uyA; Px4, Py4 и т.д.
5W: = J5s (x ,уо )* о (x, уо) dV-5U*^=0,
(24) U.
Уо
(25)
Естественно, для вычисления матрицы жесткости каждого конечного элемента (КЭ) конструкции необходимо определить характеристики уо деформированного состояния во всех точках КЭ или по крайней мере в центральных точках. При этом во всех случаях приходится выполнять серии расчетов по методам последовательных приближений.
1. В задачах определения напряженного состояния конструкции при заданной постоянной нагрузке в качестве первого приближения целесообразно вычислять значения уо (x) по уравнениям линейной тео-
рии, полагая
П (V ( x ) U ) =0, Ecr ( x ) = E
= E, где
E = — E
1 ! -i ! 0
1
0
0 I 0 ¡v
= 2 (11|).
V
о (X, Уо):=Есг (X ,Уо )[и + И! (у (X) и) D
В результате получаем уравнение
нсГ (Уо) и - р = 0,
в котором cross-матрица жесткости элемента
Нсг (Уо ,и)=|||[Ио + И1 (у(Х)и^]_ у(Х)} X
V I Уо ) Уо
хЕсг {ио + И1 ^(Х)dV.
Уо
(26)
Индексы У о в формулах (22) - (26) указывают на то, что матрицу (20) необходимо определять с учетом различий в значениях Есг (Х, Уо ) в разных точках
Х = [ х \ у ] элемента.
Вариацию перемещений 5и (отклонений от состояния ио) находим по уравнению
Нп (уо, ио)8и-5р = 0,
где тангенциальную матрицу жесткости вычисляем по формуле (26) при Есг: = Еп .
Поступила в редакцию
Кстати, при этом напряжения во всех точках трехугольного КЭ будут одинаковыми.
После определения перемещений ио и характеристик у о можно переходить к составлению матриц
следующего приближения.
2. В задачах определения несущей способности при простом нагружении принимаем иной метод последовательных приближений.
Предположим, что на некотором этапе вычислений при нагрузке к р составлена тангенциальная
матрица жесткости Егп (уок ) , вычислены перемещения ик и сформирована матрица Н{п (уок,ик)
жесткости КЭ. Для следующего цикла приближений составляем уравнение
нп (уок, ик )ди: = Ак р.
Литература
1. Ильюшин А.А. Пластичность: Основы общей математической теории. М., 1963.
2. Воронцов Г.В., Дыба В.П. Матрицы жесткости конечных
элементов из упругопластических изотропных материалов при простом нагружении // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2оо5. Спецвыпуск. С. 72-79.
7 июля 2008 г.
Воронцов Георгий Васильевич - д-р техн. наук, академик МАНВШ, профессор кафедры сопротивления материалов, строительной и прикладной механики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института). Тел. (863 52) 553-12.
Евтушенко Сергей Иванович - канд. техн. наук, профессор, зав. кафедрой сопротивления материалов, строительной и прикладной механики Южно-Российского государственного технического университета (Новочеркасского политехнического института).
