Матрица жесткости конечного элемента пространственной балки с низкой тансверсальной сдвиговой жесткостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

ными при проектировании трехслойных пластин, когда ограничения накладываются на основную частоту ко -лебаний.

Библиографические ссылки

1. Vasiliev V V Mechanics of composite structures. Taylor & Francis, 1993.

2. Kantorovich L. V, Krylov V I. Approximate methods of higher analysis. New York : John Wiley & Sons, 1958.

3. Королев В. И. Слоистые анизотропные пластинки и оболочки из армированных пластмасс. М., Машиностроение, 1965.

4. Пратусевич Я. А. Вариационные принципы в строительной механике. М. ; Л. : ОГИЗ, 1948.

5. COSMOS/M : User Guide // Structural Research & Analysis Corporation, 2003.

A. V Lopatin, P. O. Deev

DETERMINATION OF THE FUNDAMENTAL FREQUENCY FOR RECTANGULAR SANDWICH PLATE WITH FREE EDGE

In the article the problem of determination of the fundamental frequency of sandwich plate with three clamped edges and one free edge is solved. Variation equations ofplate dynamics were obtained with the help of Hamilton principle. The equations were solved via Kantorovich method and via generalized Galerkin method.

Keywords: sandwich plate, vibration frequency, generalized Galerkin method.

© Лопатин А. В., Деев П. О., 2010

УДК 519.62

В. А. Нестеров

МАТРИЦА ЖЕСТКОСТИ КОНЕЧНОГО ЭЛЕМЕНТА ПРОСТРАНСТВЕННОЙ БАЛКИ С НИЗКОЙ ТАНСВЕРСАЛЬНОЙ СДВИГОВОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ

Разработан конечный элемент балки, в расчете которой учитываются трансверсальные сдвиговые деформации. При вариационной реализации метода конечных элементов получена матрица жесткости пространственной балки. В качестве одних из основных узловых кинематических параметров присутствуют углы трансвер-сального сдвига.

Ключевые слова: балка, метод конечных элементов, трансверсальный сдвиг.

В последние годы все чаще композитные конструкции используются в производстве космической техники. Композиты обладают высокой удельной прочностью и жесткостью, а также способностью к направленному изменению механических свойств в соответствии с назначением и условиями эксплуатации конструкции. В частности, космические антенны представляют собой композитные рамные конструкции балочного типа. Вместе с тем композитные конструкции, в том числе и балки, отличаются рядом особенностей, которые должны быть учтены при проектировании и расчете. Основная среди них - низкая сдвиговая жесткость по отношению к трансверсальным напряжениям. Учет указанной особенности при реализации численного (конечно-элементного) расчета приводит к повышению порядка разрешающих уравнений за счет введения в рассмотрение углов трансверсального сдвига. Это обстоятельство от-

личает матрицу жесткости, полученную в работе, от традиционных балочных конечных элементов.

Рассмотрим пространственную задачу об изгибе слоистой балки с низкой жесткостью при трансверсальном сдвиге. Для решения воспользуемся вариационным алгоритмом метода конечных элементов. Уравнения равновесия конечного элемента балки получим вариационным методом, для этого выделим элемент длиной I и запишем для него выражение полной потенциальной энергии

Е = и + П, (1)

где и - потенциальная энергия деформации; П - потенциал внешних сил.

В качестве исходного для и возьмем соответствующее выражение из линейной теории упругости трехмерного тела:

и = -2

°-е- + « уеу + «7Є7 +

(2)

+туеу + ту7єу7 +%„е„) ёхёуёг,

ху ху уг уг хг хг' ^ *

где V - объем элемента балки; <3у ст, - нормальные

напряжения; т , т

А 7 ху хг

туг - касательные напряжения; ех е,

в2 - линейные деформации вдоль осей системы координат; еу ехг, є, - деформации сдвига в соответствующих плоскостях.

Будем полагать, что главные направления ортотропии материала совпадают с осями локальной системы координат, ось X которой совпадает с продольной осью балки, а две другие (У и 2) составляют с первой декартову систему.

В этом случае физические соотношения, представляющие собой закон Гука для ортотропного материала, имеют следующий вид:

Е,

Е,

т х

«у 'Еу ст х

‘Е

ст х

Е

Е

Еу

Т ху Єху = ^ Сху Т у, еуг = ^ Суг

е„ = -

Ххг

о„

дих х дх (10)

ди

е =—-, у ду (11)

ди7 е = ~дТ~, (12)

дих ди е — 1 , ху ду дх (13)

ди ди е =—— + , уг дг ду (14)

дих ди ехг = 1 —, дг дх (15)

е = 0.

у7

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

где Е^ - модуль упругости соответствующего направления; Оху - модуль сдвига в соответствующей плоскости; ц ц Ц , Ц2у, Цх2, Ц2х - коэффициенты Пуассона.

Имеет место свойство симметрии упругих постоянных:

Е*т*у = Еу Цух; Ех = Ег ; Еу = Ег . (9)

Запишем геометрические соотношения линейной теории:

Тогда вместо выражений (10), (11), (12) и (14), соответственно, получим:

* -СТ х

*х - Е ’ (17)

х

- 0, (18)

* - 0, (19)

(20)

С учетом формулы (18) из выражения (11) следует, что перемещения иу не зависят от координаты у. Аналогично, из выражения (12) с учетом формулы (19) следует, что перемещения иг не зависят от координаты г:

иу - у ( х 2), (21)

и, - ы ( х у). (22)

Согласно гипотезе плоских сечений имеем следующие законы распределения нормальных (к упругой линии балки) перемещений:

иу - v(х) - 2$, (23)

иг - №(х) + уР, (24)

где v(x) и №(х) - соответственно, перемещения вдоль осей У и 2 точек, лежащих на продольной оси балкиX; в - угол поворота сечения относительно оси X.

Согласно той же гипотезе имеем следующий линейный закон распределения по сечению продольных перемещений:

их - и (х) + у9у (х) + хвг (х), (25)

где и(х) - перемещения вдоль оси X точек, лежащих на этой оси; 9у, 92 - углы наклона сечения к соответствующим координатным осям.

Подставляя выражения (23)-(25) в геометрические соотношения для деформаций сдвига, можно увидеть, что выражение (14) удовлетворится тождественно, а вместо формул (13) и (15) получим следующие выражения:

ёу ё В

, =0у +-------г ,

ёх ёх

ём> ёВ

= 0г + — + у—. ёх ёх

(26)

(27)

Подставим выражение (25) в формулу (10) и получим выражение для продольных деформаций:

ё0у ё0,

ёи

=—+у-

ёх

- + г-

(28)

ёх ёх

По аналогии с задачей об изгибе балки в плоскости введем в рассмотрение осредненные деформации транс-версального сдвига, которые определяются по следующим формулам:

0 + ёу

у ёх ’

У г = 0г +

ём>

ёх

(29)

(30)

где их, иу, и2 - проекции перемещения произвольной точки на соответствующие оси координат.

Введем в физические соотношения следующие допущения [1]:

Перепишем выражение для потенциальной энергии деформации (2) с учетом принятых допущений (18)-(20).

ех +тхуеху +тх1ехг )ёхёуёг.

(31)

Еу ®¥;

тух = 0;

Подставляя в подынтегральное выражение (31) в соотношения для деформаций (26)-(28), получим:

V

а

г

еу

е

и=I гг гЬ (си+

9 /Ту /7у /Ту

' (X) (у) (2)

, Су СХ\

+т - Iе у + Сх ■ 1+Хх

С^ й?рЛц

. +-----+ у— | ( СхСуС..

Сх Сх,

(32)

Если использовать физические соотношения (17), (6) и (8), то выражение (31) можно представить в следующем виде:

2 Ш( Ехе2 + + с*е2- )ССу*-

и = 2-

а выражение (32) в виде

и = 1 ш|Л Си + у^ + .і

2 .Ш I х I СХ Сх Сх

Сх

(

и = -2

2г

( х)

„ Си

с е.

Л

х—+м—^+мг—^+

Сх у Сх Сх

+м.Сх + в у у+в у .

где

Сх 1 Сх

Сх

ву = Куу + С4 ^ ; в. = К у. + С5 ^ ;

сх ах

м, = С.С'и + дД + С, С^;

у Сх Сх Сх м2 = С2 — + С3 ^ + д2 се^ •

Сх Сх

Му. = С4 У у + С5У. + Д12~Г

Сх

сх

Сх ’

(33)

(38)

(34)

_ (е Су схУ ^ (е с^ сх?1

+ОІ е у+---------г — I +Ох. I е. + — + у— I ( СУ.

I Сх Сх) | Сх Сх 0 |

Произведем в выражении (32) интегрирование по площади поперечного сечения балки. В результате получим следующее:

В = | | ЕСуСг; С1 = | | уЕСуСг;

(у) (2 ) (у) (г )

С = 11 гЕСуСг; С3 = | | угЕСуСг;

(у) (2) (у) (г)

С4 = 11 гСХуСуСг; С5 = 11 у°х-сус-;

(у) (2) (у) (г)

Д = | | у2ЕСуСг; Б2 = | | г2ЕСуСг;

(у) (2 ) (у) (г )

К1 = 11 °хуСуСг; к2 = 11 °х-сус-;

(у) (г ) (у) (г )

А2 = | |(у2 ^ + г2^ ) СуСг.

( у ) ( г )

Примем для продольных перемещений оси стержня и, угла поворота сечения относительно оси X (Р) и углов трансверсального сдвига у линейный характер изменения вдоль оси, а для прогибов обоих направлений - кубический:

(35)

(36)

(37)

и( х) = а1 +а2 х; у( х) = а3 +а 4 х + а5 х2 +а6 х3; w( х) = а7 +а8 х + а9 х2 +а10 х3;

У у (х) =ап +аі2 х;

(39)

N = | | хСуСг;

( у ) ( г )

му =11 у ст*СуСг;

( у ) ( г )

Ы2 = и гахСуСг;

( у ) ( г )

Qy = 11 ^ хуСуСг;

( у ) ( г )

<2г = | | ТхгСуСг';

( у ) ( г )

Муг = | | (^ )СуС2.

( у) (г )

Заменяя в выражениях (36) напряжения стх, тху и тхг их значениями, найденными из соотношений (17), (6) и (8), в которых, в свою очередь, деформации ех, еу и ехг учтены согласно выражениям (28), (26) и (27), получим физические соотношения в виде

N = В* + сД + СС 8 -

у г (х) = а13 +а14 х; Р( х) = а15 +а16 х.

Изменения вдоль оси X углов поворота сечения по

причине изгиба будут определяться по формулам

Су 2

— = а4 + 2а5 х + 3а6 х ; — = а8 + 2а9х + 3а10х . (40) Сх Сх

Сформируем вектор кинематических переменных:

-і Су Сн> _

о - <и V — w — у у Х

І і і ' у 1

ах ах

(41)

Тогда уравнения (39) можно записать в виде следующего матричного выражения:

5 = Б-а, (42)

где а - вектор постоянных:

а = {аі а 2 а3 а 4 а5 а 6 а7 а8 (43)

Б -

~\т 9 10 11 12 13 14 15 16) матрица со следующей структурой и компонен

"1 х 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 х х2 х3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 2х Эх2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 х х2 х 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 2 х 3х2 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 х 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 х 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 х

(44)

Введем в рассмотрение векторы узловых кинематических параметров:

- в первом узле:

во втором узле:

%0 < У.« Г[-;(45)

где В, С, Д и К - параметры жесткости, вычисляемые по следующим формулам:

Сл^

1ъ)

У<2) р<2) I (46)

Через 5е обозначим вектор узловых кинематических параметров балочного элемента:

V

5 ={8 (1) 5 ® }Т. (47)

Компоненты вектора 5 найдем с помощью соотношения (42), которое следует записать для двух значений продольной координаты: X = 0 и X = I (I - длина балочного элемента). Результат запишем в матричном виде:

5е = Т • а, (48)

где Т - матрица размерностью 16x16 со структурой и компонентами, приведенными ниже.

Подставляя вектор а, найденный из выражения (48), в уравнение (42), получим значения компонент вектора 5, выраженные через узловые кинематические параметры:

5 = Р • 5е, (49)

где

Р = Б • Т-1, (50)

где Т - квадратная матрица следующего вида:

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0‘

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

1 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 / і2 і3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 2/ 3і2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 і і2 і3 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 2і 3і2 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 і 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 і 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 і

Матрица Р имеет размерность 8x16. У нее следую щие структура и компоненты:

Рп 0 0 0 0 0 0 0 Р19 0

0 Р22 Р23

0 Р32 Р33

0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Р44 Р45

Р54 Р55

0 0

Р2,10 Р3,10

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0

0

Р77

0

Р2,11

Р3,11

0

0

0

Р4,12 Р4,13

Р5,12 Р5,13

0 0

0

0

0

0

Р7,15

Р11 = Р66 = Р77 = Р88 = 1 - у;

Р19 Р 6,14 Р7,15

х

у

1 3 х2 + 2 х3

Р 22 = Р 44 = 1 - 3 уг + 2 уГ’

Р 23 = Р 45 = х - 2 у + уг;

х2 X3.

Р2,10 = Р4,12 = 3 "у2 уг ’

х2 х3 ^

Р2,11 = Р4,13 = у~ + ~уг ’

х х2

Р 32 = Р 54 =-6 у2 + 6 уг;

, , х „ х2

Р33 = Р 55 = 1 - 4 у + 3 уг';

х х

р3,10 = Р5,12 = 6 уг _ ^ уг ’

х , х2

р3,11 = р5,13 = —2 у + 3 уГ'

Матричное соотношение (49) в развернутом виде имеет следующее представление:

С х2 х3 Л С х2 „3 Л(1)

V =

, „х~ „ х | т I х | ( Су .

1 - 3^т + 2— I у(1) +1 х - 2— + — II —I +

12 13 ) I II2 Л Сх I

+13 £ - 2 £ ) ,»+[-^ + £)(£ Г.

(51)

±. =(-6^+6Іг|у»' +І1 - 4— + 3 і-1[ *) +

Сх I 12 /3 ) I І 12 )1 Сх)

(1)

+16 х - 6 £ | у...+[-2 х + 3 * )(Сх

(2)

Сх

(2)

(52)

(1)

(53)

См>

Сх

^ х х2 ) (1) ( х х1)(См>)(1)

6І2" + Ь +(1 -4^ + ^ )Ы ■

^ х ^х ) (2) ( X „х)( См>

6 — -6— Iм>(2) +| -2- + 3— II — /2 /3 ) I І /2 )1 Сх

(2)

У у =11 - У |у у1' + у уу2)’

и =| 1 - у) и{1) + уи .

(54)

(55)

(56)

(57)

(58)

Подставим соотношения для кинематических переменных (51)-(58) в выражение потенциальной энергии деформации (34), выполним интегрирование и полученную функцию продифференцируем по каждой из компонент вектора узловых переменных 8 . В результате получим матрицу жесткости балочного элемента со следующими компонентами и структурой:

Ъ11 = _Ъ19 = к99 = ВУ;

Ъ —_______Ъ —____Ъ — Ъ __Ъ —

л13 л16 л1,11 1,14 39

С

= Ъ = Ъ = _ Ъ =__!•

л69 9,11 9,14 у >

Ъ =_____Ъ =__Ъ = Ъ =

15 л17 л1,13 1,15

С

= _ Ъ = Ъ = Ъ = _ Ъ =__

59 79 9,13 9,15 у ;

Ъ = _ Ъ = Ъ = 12 Ъ = Ъ = 4 ^1;

22 2,10 ""10,10 уЗ ’ ""33 ""И.И ^ у ’

Д С

Ъ = Ъ = _Ъ = _Ъ = Ъ = Ъ = 3;

23 2,11 ""3,10 ""10,11 и у 2 ’ 35 "'11,13 у ’

C D

k — _k — _k = k = 12 — - k =

24 2,12 4,10 10,12 ^ -3 ’ "3,11 ^ - ’

k — k — k — ___________________k — ________k —

л25 2,13 3,4 3,12 39

C

— k — ________k — ____________k — ________k — 6_________3"

4,11 5,10 /v10,13 11,12 w ,2 ?

k —_k —_k — k —_ —-

""36 3,14 "6,11 11,14 - ’

C

k — k — 2—Ь

"3,13 "5,11 ^ - ’

k — ____k — k — _________k — ______k — k —

37 3,15 5,6 5,14 л67 л6,13

(59)

C

- k — ________k — k — k — k — ______________________________k —____________3 ;

' л6,15 7,11 7,14 11,15 13,14 14,15 - ?

D2

k — k — 12^-2-44 12,12 AZ* -з ?

- D,

k — k — _______________k — ______k — 6_______________3 ;

л45 4,13 5,12 12,13 w -2 ’

k — k — 4 D2-

л55 л13,13 ^ - ?

k — _______k — ________k — k —_______________________2;

л57 5,15 7,13 13,15 - ?

D? D1

£513 — 2—; ^66 — &1414 — — +—

5,13 - > 66 14,14 - 3 ’

0 k0 0 k15 k16 k17 0 k19 0 k1,11 0 k1,13 k1,14 k,1J 0

k22 k23 k24 k25 0 0 0 0 k2,10 k2.11 k-2,12 k2,13 0 0 0

k33 k34 ksj k36 k33 0 k39 kj,10 k3.11 k3,12 k3,13 kj,14 k3,13 0

kj4 k45 0 0 0 0 k4,10 k4.11 k4,12 k4,13 0 0 0

kj5 k56 k57 0 kj9 kj,10 kj,u k5,12 kj,13 k5,14 kj,u 0

k66 k67 k68 k69 0 ks,n 0 k6,13 ki,14 k6,u kti

k77 k78 k79 0 k7,11 0 k7,13 k7,14 k7,15 k7,1

k88 0 0 0 0 0 k8,14 k3,15 k8,1

k99 0 0 k9,13 k9,14 k9,15 0

£ш,10 k10,11 k10,12 Vo 0 0 0

k11,11 ^1,12 ku,13 ^1,14 kUJJ 0

k12,12 ^2,13 0 0 0

k0,13 k13,14 *3,15 0

и м м e m P и ч н 0 k14,14 kKU k14,1

km5 ^5,1

^6,1

■ (60)

Матрица жесткости (60) является матрицей коэффициентов разрешающей системы линейных алгебраических уравнений, возникающей в задачах прочностного расчета пространственных балок, в которых она должна быть дополнена вектором узловых нагрузок. Эта же матрица фигурирует в задаче об устойчивости балки и в модальном анализе (определение частот и форм собственных колебаний).

Таким образом, получена матрица жесткости балочного элемента, предназначенная для конечно-элементного анализа пространственных балок, податливых при транс -версальном сдвиге. Она может быть использована как в расчетах отдельных балок, так и в расчетах стержневых конструкций рамного типа, деформирование которых происходит без депланации сечений.

k — ______k — k — _________k — k —

68 Л6,16 7,8 7,16 8,14

C + C

— k —_k —_k —_- 4 •

8,15 14,16 15,15

4

k —_d+k-; k — k — d+ki;

^6,14,^^’ 77 15,15 ; ’

l 6 l 3

k —_ D2 + ^2-; k —_k - k D12;

^7 15 — . ^ ^ Л88 ft8 16 Л16

l 6

5,16 '46,16

Библиографические ссылки

1. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. М. : Машиностроение, 1988.

V. A. Nesterov

STIFFNESS MATRIX OF THE TRIDIMENTIONAL BEAM FINITE ELEMENT WITH LOW TRANSVERSE SHEAR STIFFNESS

The finite element of a beam with low value of transverse shear stiffness is considered. In variation realization of of final elements method the matrix of rigidity of tridimentional beam is received. As one of the basic central kinematic parametric variables occur transverse shear strains.

Keywords: a beam, finite element method, transverse shear strains.

© Нестеров В. А., 2010