CC BY
28
УДК 621.926.5
/'= Pf , (3)
где / и /' - векторы гранулометрического состава материала на входе в мельницу и выходе из нее:
МАТРИЧНАЯ МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ИЗМЕЛЬЧЕНИЯ ЦЕМЕНТНОГО КЛИНКЕРА В ТРУБНЫХ ШАРОВЫХ МЕЛЬНИЦАХ
© 2008 г. Р.Р. Шарапов
Белгородский государственный State Technological University,
технологический университет Belgorod
Представлена матричная модель процесса измельчения цементного клинкера в шаровых мельницах на основе экспериментальных исследований в промышленных и лабораторных установках.
Ключевые слова: шаровые мельницы, матрица измельчения.
Represented the matrixal model of process cement clinker grinding, based on research in industrial and experimental units.
Keywords: ball mills, matrix of grinding.
Важнейшим элементом технологической схемы измельчения замкнутого цикла являются трубные шаровые мельницы, которые в ближайшие десятилетия останутся базовыми установками для помола цементного клинкера [1].
Главной задачей моделирования процесса измельчения является прогнозирование гранулометрического состава получаемого продукта в зависимости от гран-состава исходного материала, конструктивных и технологических параметров мельницы и сепаратора.
Наиболее полной и информативной характеристикой процесса измельчения в шаровой мельнице является матрица измельчения Р = (р), каждый элемент которой р^ равен относительной доле j-й фракции сыпучего сырья, переходящей в i-ю фракцию продукта измельчения (i, j = 1, 2, ..., m, где m соответствует самой маленькой фракции). Все элементы матрицы измельчения, для которых i > j, равны нулю, так как частицы в процессе измельчения из своих фракций переходить в более крупные фракции не могут. В результате этого матрица измельчения имеет нижний треугольный вид [2]:
0 0 0
р22 0 0
р32 ?33 0 . (1)
f =
■ f ■ ■ f1'l
f2 , f ' = f2
_ fm _ f' m
(4)
Р =
Ри
Р21
Р31
Здесь/ь/ъ... /т и -//,/2',... /т'относительные массовые доли частиц материала, попадающего в соответствующие фракции. В формулах (1) - (4) принят обратный порядок нумерования фракций, т.е. по мере убывания размера частиц.
Из-за исключительной сложности и многообразия процессов, протекающих в шаровых мельницах, теоретическое определение матрицы измельчения в настоящее время не представляется возможным. В связи с этим весьма актуальна задача восстановления Р по экспериментальным данным.
Матричное уравнение (3) равносильно системе т линейных уравнений:
Р11/1 = /1
р21/1 + р22 /2 = / (5)
_ рт1 рт2 г тт
Стоящие на главной диагонали элементы Р/ показывают относительную (по массе) долю частиц /-й фракции остающихся в ней из-за недоизмельчения.
Элементы матрицы Р удовлетворяют условиям нормировки, отражающим закон сохранения массы отдельных фракций: полная вероятность перехода частиц/-й фракции в более мелкие фракции i >/ равна единице:
Р11 + Р21 + •••. + Рт1 = 1 Р22 + Р32 + + Рт2 = 1 (2)
_Рт1/1 + рт2/2 + •••• + ртт/т = /т ,
из которых независимыми являются только т - 1 уравнений, поскольку при сложении уравнений (5) с учетом условий (2) получается тождество
/ + /2+.+ /т = /1 + /2' +.+ /т' = 1.
Таким образом, при известных гранулометрических составах / и / для определения т(т +1)/2 элементов матрицы Р имеем 2т - 1 уравнений. Отсюда следует, что однозначное восстановление элементов матрицы измельчения по гранулометрическому составу матрицы на входе в мельницу и выходе из нее возможно лишь при делении материала всего на две фракции - крупную и мелкую. В этом случае
Ртт = 1.
Преобразование гранулометрического состава материала в результате его измельчения описывается матричным уравнением
P =
Я
Pl1 =-Т , Р21 = 1" P1l> P22 = 1. f1
Р11 0
_ р21 р22 .
При т > 2 знание лишь входного и выходного грансоставов измельчаемого внутри барабана мельницы материала недостаточно. В работе [3] предложена
методика восстановления матрицы по результатам т-кратного пропускания материала через барабан мельницы. Однако полученные таким образом экспериментальные данные при определении элементов начальных строк матрицы измельчения используются лишь частично, что снижает надежность полученных результатов. Следует также отметить невозможность проведения предлагаемого эксперимента в условиях действующих производств.
В связи с этим необходимо предложить новую уточненную методику восстановления матрицы измельчения по экспериментальным данным. Отличительная особенность предлагаемой нами методики заключается в раздельном определении матриц измельчения для каждой камеры мельницы по данным диаграмм помола, снятых с действующих установок.
Каждую камеру шаровой мельницы представляем в виде п одинаковых по длине последовательно работающих секций, длина которых соответствует шагу снятия диаграммы помола. Расширенную диаграмму помола представляем в виде матрицы размером т х п:
F = (fk) =
/11 f21
/12 f22
f 1 n f2n
fmn
pm1 f1k + pm2 f2k + pm3 f3k + ... + pmm fmk = fmk +1
k = 0.1,..., n -1, Поступила в редакцию
которые необходимо дополнить условиями нормировки (2). Общее число независимых уравнений п (т - 1) + т значительно превышает число подлежащих определению элементов матрицы измельчения Рс. Однако, принимая во внимание неизбежность случайных погрешностей при снятии диаграмм помола (таких как обогащение продуктов рассева крупной фракцией от продуктов пережога, крупных частиц, попавших в межфутеровочное пространство, внесенных извне исследователями и т.д.), необходимо решать всю переопределенную совокупность уравнений (7) методом наименьших квадратов [4, 5]. Суммируя квадраты невязок, т.е разностей левой и правой частей каждого из них уравнений системы (7) по всем секциям, имеем:
п—1 2 п—1 2
= 2(риАк — Лк+1) ; ^2 = 2(р21Л1к + р22Л2к — Л2к+1);
k=0 n—1
k=0
_ Лт1 Лт2
Здесь индекс ] = 1, 2..., т соответствует номеру фракции материала, а индекс к = 0,., п - 1 соответствует сечениям по длине барабана мельницы, в которых отбираются пробы материала для составления матрицы измельчения. Сечение с индексом к является также входным сечением (к + 1)-й секции мельницы.
Считая, что матрицы измельчения в отдельных секциях Рск не зависят от фракционного состава материала и поэтому имеют одинаковый вид Рск = Рс, запишем уравнение преобразования грансостава:
Лк+1 = РсЛь к = 0, 1, 2, ... п - 1. (6)
Результирующая матрица измельчения для всей камеры мельницы определяется следующим соотношением:
Р = Рс1 Рс2 Рск = Рс ,
где Рс - матрицы измельчения для отдельной секций мельницы. Матрица измельчения для всей мельницы имеет вид:
Р = Р1 Р2,
где Р\ =РС1п1, Р2 =Рс2"2 - матрица камер мельницы.
Матричные уравнения (6) эквивалентны п системам линейных уравнений:
р11 Л1к = Л1к+1 р21Л1к + р22 Л2к + Л2к+1 р31 Л1к + р32 Л2 к + р33 Л3к = Л3.к+1 (7)
Sm-1 = 2( pm-11f1k + pm-12f2k + - + Pm-1m-1fm-1k - fm-1k+1) ■
k=0
Дифференцируя функции Si, S2, ...Sm-1 по входящим в них элементам матрицы измельчения, получим системы нормальных уравнений для определения этих уравнений. В частности, формула для вычисления р11 имеет вид
n-1 n-1 2
p11 = 2 (f1k+1f1k ) / 2 f1k .
k=0 k=0
Система уравнений для определения р21 и р22 может быть записана таким образом:
(2 f12k) Р21 +(2 f2k ) p22 = 2 f2k +1f1k ; (2 f1kf2k ) P21 +(2 f2k ) p22 = 2 f2k +1f2k.
Элементы последней строки матрицы измельчения вычисляются через найденные методом наименьших квадратов элементы других строк с помощью условий нормировки (2).
С помощью найденной описанным выше способом матрицы измельчения для секций камер шаровой мельницы можно исследовать кинетику процесса измельчения материала вдоль каждой из них и, соответственно, вдоль всей мельницы в целом.
Литература
1. Богданов В.С. Шаровые барабанные мельницы. Белгород, 2002.
2. Mizonov V., Zhukov V., Bernotat S. Simulation of grinding: new approaches. Ivanovo, 1997.
3. Мизонов В.Е., Бернье Е., Абрамов С.В., Барочкин Е.В. Об одном подходе к описанию кинетики измельчения // Химия и химическая технология. 1999. Т. 42, № 4. С. 124 - 126.
4. Калиткин Н.Н. Численные методы. М., 1998.
5. Статистические методы обработки эмпирических данных: Рекомендации. М., 1988.
10 июля 2008 г.
Шарапов Рашид Ризаевич - канд. техн. наук, доцент кафедры механического оборудования Белгородского государственного технологического университета им. В.Г.Шухова Тел.: (4722) 309939._
2
