CC BY
13
УДК 539.374:621.78
Ванкевич П.1., к. т. н., доцент © Утеерситет еетеринарног медицины та бютехнологш ¡м. С.З. Гжицького, м. Льеге Асташкш В.1., к. ф.-м. н., ст.н.с.
1нститут прикладних проблем мехатки i математики 1м. Я. С. Шдстригача
НАН Украши 1ваник С.Г., к. ф.-м. н., доцент Льеiеський нацюнальний аграрний утеерситет
МАТЕМАТИЧНИЙ ОПИС ПРОЦЕДУРИ ВИМ1РЮВВАННЯ ТЕМПЕРАТУРИ РУХОМИХ ОБ'СКТШ
Розглянуто процес теплообмту мiж термочутлиеим елементом е термоперетеорюеачi i промiжним газоеим середоеищем, яке його омиеае. Рiеняння моделi записано у безрозмiрнiй формi з еикористанням критерИ'е теорп розмiрностi i подiбностi.
Ключовi слова: теплообмт, термоперетеорюеачi, даеачi температури, модель, термочутлиеий елемент, температура
Вступ. В шженернш практищ використовують термоперетворювачi (ТП) з промiжним газовим середовищем. Адекватний опис поширення тепла в такого роду ТП та штерпретащя отримуваних за ix допомогою показiв температури може бути здшснено з використанням загально! моделi поширення тепла в плинних матерiальниx континуумах [1,2]. Пристро! з промiжним газовим агентом найчастше застосовуються при вимiрюваннi температури рухомих об'eктiв, якi пересуваються з вщносно невеликими швидкостями, коли не виникае явищ турбулентностi. В зв'язку з цим при математичному опис розглядуваних явищ можна обмежитись випадком, коли промiжне газове середовище ламiнарно омивае поверхню термочутливого елемента (ТЧЕ).
Матер1ал i методи. Аналiз деяких аспекив перебiгу теплових процесiв у контрольно-вимiрювальниx системах температури рухомих об'ектiв, чисельну апрюрну оцiнку ix теxнiчниx показниюв будемо здiйснювати на основi системи взаемозв'язаних рiвнянь. Об'ектом розрахунку ТЧЕ вiзьмемо пластинку, що омиваеться потоком рщини чи газу, напрям руху якого паралельний до поверxнi пластини. При цьому рiвняння моделi запишемо у безрозмiрнiй формi, використавши методи i результати теори розмiрностi i подiбностi [3,4]. Такий пiдxiд дозволяе знайти точш розв'язки деяких клаЫв задач про одномiрний неусталений рух стисливо! в'язко! рiдини або газу, що в багатьох випадках становить значний теоретичний i практичний штерес. Однак, навiть у тих випадках, коли постановка задачi не мае прив'язки до певного техшчного пристрою, отримаш точнi розв'язки вiдповiдниx систем рiвнянь можуть
© Ванкевич П.1., Асташк1н В.1., 1ваник е.Г., 2009
15
слугувати тестом перевiрки адекватност наближених чисельно-анал^ичних схем у процес штегрування задач газово! динамжи [1,5]. Розв'язки i практичнi висновки на !х основi обов'язково мають бути врахованi i використанi при проектуванш систем вимiрювання температури рухомих об'eктiв за наявностi промiжних плинних середовищ. Присутнiсть плинних агентiв у конструкци ТП вносить особливiсть в процедуру зняття температурних показiв, яка полягае у тому, що ТЧЕ детермiнуе значення температури не безпосередньо з дослщжуваного об'екта, а омиваючого плинного середовища, яке контактуе з дослщжуваним об'ектом. Цiлком очевидно, що властивост плинного агента, його термомехашчна поведiнка при вимiрюваннях мають враховуватись вже на стади прийняття проектних ршень.
Оскiльки процеси теплообмiну при взаемоди струменю газу з перешкодами (в розглядуваному випадку пластини) досить складш i мало вивченi, то будемо розглядати процеси лише в пограничному шарi [5].
Результати дослщження. Маемо стащонарний потiк газу, який наб^ае на пластину товщини 5 з сталими теплофiзичними властивостями. Розмютимо початок декартово! системи координат ху на одному з торцiв пластини (лмя, на якiй починаеться гальмування потоку).
Система взаемозв'язаних рiвнянь пограничного шару для плинуечшня з
ё р
вiд'емним градiентом тиску (-Ф 0) випливае як частковий випадок з системи
ё х
рiвнянь газово! динамiки [5] i мае вигляд:
д wx д wy 1 д р д wx
wx-- + wy-- =----■V-^ ; (1)
д х д у р д х д у
д ^ д w
у
д х д у
д Т ■ wy — = д х д у д у
= 0; (2)
д Т д Т д2 Т
wx^- + wy^- = . (3)
Аналiз здшснюватимемо за граничних умов виду:
Wx = 0, Wy = 0, Т = при у = 0; (4)
Wx = К , Т = Тх . (5)
У рiвняннях (1)-(3) i умовах (4), (5) позначено: wx, wy - компоненти вектора швидкост газового потоку; р - густина; а - коефщент пропорцшност в основному постулатi кшетично! теори для iдеальних газiв; V - коефщент в'язкостi; Тш - температура адiабатично загальмованого газу.
Будемо вважати, що швидюсть зовнiшнього потенщального потоку вiдповiдно до розрахунково! схеми е Жгл = ш R, де ш - кутова швидккть обертання рухомо! ланки об'екта, температура якого мае визначатись.
16
На основi залежностей [5]
1 дР = . ^ , ^ = о р дх ш ёх ' ёх
рiвняння (1) пограничного шару перепишемо у виглядi
а wx д д2 wx
—-+—- = у—. (6)
д х д у д у
Оскшьки задача про ламшарний пограничний шар на пластиш, що поздовжньо обтжае однорiдним потоком газу е автомодельною, то можна використати методику приведення системи диференщальних рiвнянь (1), (2), (6) до одного звичайного диференщального рiвняння, шляхом вводу ново! змшно!
л = У
i функци течшня ш(х, у)
х 1/2 (7)
2 V
дш дш
^х , ^у = (8)
д у д х
в результат чого маемо представлення для функци ш(х, у)
ш(х,у) = ->/2^х1/2 /(л). (9)
Згщно (7), (8) та враховуючи (9) отримуемо:
= ^ / '(л), ^у = _/ '(л)_л/ '(л)]^ х1/2 /(ц). (10)
У сшввщношеннях (10) функцiя /(л) - це розв'язок звичайного диференцiального рiвняння виду
/ 1л)+2 #"(л) = 0 (11)
з граничними умовами
/ (о) = 0, /' (о) = 0, / '(«) = «. (12)
Розв'язок отриманого диференщального рiвняння (11) можна дктати чисельно на основi вiдповiдних чисельних методик [6]. Згщно даних роботи [5], зокрема маемо /" = 0,332.
Наступний етап - розв'язок енергетичного рiвняння (3). Шляхом введення ново! змшно! $ - безрозмiрно! температури
Т _ Т
$ = ^--(13)
Т _ Т
ад ^
отримуемо рiвняння теплопровiдностi у виглядi
д$ д$ д2 $ , ч
--ъ wy-= а---(14)
д х у д у д у
при таких граничних умовах:
17
$ = 0 при у = 0 ; $ = 1 при х = 1 та у .
(15)
Використовуючи замшу (7) i залежност (10) рiвняння в частинних похщних (14), переводимо у рiвняння виду
$" + ^Рг /$' = 0, (16)
за граничних умов:
$ = 0; $ш = 1,
де $ = $(ц) - шукана функцiя; /(ц) - вiдома функцiя, яка знаходиться
ЛАГ V
iнтегруванням рiвняння (11), Рг = Ре ^е, Ре - критерiй Пекле, Reх =
V
число Рейнольдса, - швидкiсть набiгаючого потоку газу, х - масштабне
значення характерно! довжини вздовж поверхш обтжаючого об'екта, тобто пластини, в напрямку руху омиваючого газового потоку. Розв'язок рiвняння (16) можна подати у виглядi квадратури
г 11 (ц) ёг10
$ = { е
0
п - 1рг 1
ёц,
на основi якого здшснюеться аналiз впливу теплофiзичних параметрiв газового агента i його кшематичних характеристик на максимальне температурне збурення в околi ТЧЕ. Але в загальному випадку iнтегрування рiвняння теплопровщност потребуе застосування вiдповiдних числових методiв [6]. У табл. 1 подано деяю розрахунковi значення залежностi № х Re х = /(Рг) омивання пластини паралельним !! поверхнi потоком газу.
Таблиця 1
Рг 0,7 0,8 1,0 5 10
$ 0,292 0,307 0,332 0,585 0,730
Висновки. Пристро! вимiрювання температури з промiжним плинним середовищем знаходять широке використання у системах щентифжацп температури рухомих об'ектiв за умови забезпечення ламшарност обтiкання термочутливих елеменив конструкцiй чи апаратiв. При розробщ i експлуатацi! таких систем особливого значення набувае врахування в'язкост плинного агента. Системи не можуть бути використаш при вимiрюваннях температури об'екив, де вiдбуваються процеси, характернi часи змши яких порiвняльнi з часом поширення термiчних збурень, якi корелюються геометричними параметрами ТЧЕ i в'язкктю плинного середовища. Проведений аналiз свщчить, що розробка систем iдентифiкацi! температури в ТП з промiжним плинним агентом мае обов'язково супроводжуватись врахуванням його кшематично! в'язкостi. 18
Л^ература
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973. - 848 с.
2. Ванкевич П.1., Нщенко 1.О., Курггаик 1.П. Дослщження особливостей розповсюдження тепла в рухомому матеральному середовищi // Вiсник ЛДАУ: Архiтектура i сiльськогосподарське будiвництво. - 2007. - № 8. - С.69-75.
3. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. - М.: Наука, 1977. - 438 с.
4. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи. - М.: Энергия, 1977. - 343 с.
5. Юдаев Б.Н. Техническая термодинамика. Теплопередача. - М. : Высш. школа, 1988. - 479 с.
6. Каленюк П.1., Бакалець В.А., Бакалець I.I., Горбачова Н.В., Сохань П.Л. Вступ до числових методiв: Навч. поЫбник. - Львiв: В-во Державного ушверситету «Львiвська пол^ехшка», 2000. - 146 с.
Summary
P.I. Vankevytch, V.I. Astashkin, E.G. Ivanyk MATHEMATICAL DESCRIPTION OF THE PROCEDURE MEASURING OF THE TEMPERATURE OF THE MOVING OBJECTES
The article deals with the process of heat exchange between thermosensitive element in thermotrasformer and intermediate gas medium washing it. The equation of model is given in dimensionless notation using measuring and similarity criteria's.
Стаття надшшла до редакцИ' 31.03.2009
19
