CC BY
7
УДК 622.278 + 662.73
С. В. Жолудев
Днтропетровський нацюнальний утверситет
МАТЕМАТИЧН1 ОСНОВИ ТЕПЛОПЕРЕНОСУ В П1ДЗЕМНИХ ВОДАХ
Процеси передачi теплово!" енерт поширеш в природi i охоплюють весь комплекс явищ переносу теплоти в просторi, що обумовлено рiзницею температур окремих елеменив системи. Вони пов'язаш з рiзноманiтними фiзичними явищами, як iснують у геотехнiчних системах будь-якого рiвня, i потребують докладного дослвдження.
Ключовi слова: теплова енерпя, геотехшчна система, теплопередача, конвекцш.
Процессы передачи тепловой энергии распространены в природе и охватывают весь комплекс явлений переноса теплоты в пространстве, что обусловлено разницей температур отдельных элементов системы. Они связаны с различными физическими явлениями, существующими в геотехнических системах любого уровня, и требуют подробного изучения.
Ключевые слова: тепловая энергия, геотехническая система, теплопередача, конвекция.
Processes of transfer of thermal energy are widespread in the nature and cover all complex of the phenomena of carry of heat in space that is caused by a difference of temperatures of separate elements of system. They are connected with the various physical phenomena existing in geotechnical systems of any level, and demand detailed studying.
Keywords: thermal energy, geotechnical system, a heat transfer, convection.
Дослщження переносу тепла потоком рщини в пористому середовищ1 почалися в 20-30-х роках минулого стол1ття. Вивчався вплив швидкост фшьтрацп, розм1ру часток { властивостей рщко! фази на ефективний коефщент теплопровщносп, було експериментально встановлене, що в окремих випадках, обумовлених розм1ром часток пористого середовища, у стацюнарних умовах ефективна теплопровщшсть може залежати вщ швидкосп руху води, а так само з'явилися залежносп м1ж тепловими параметрами прських порщ 1 !хньою волопстю [1].
Р1вняння теплопереносу при фшьтрацп рщини в пористому середовищ1 в математичному вщношенш мають вигляд, аналопчний р1внянням масопереносу. Для одном1рного випадку при стацюнарному режим1 фшьтрацп в 1зольованому водоносному шар1, кр1вля { шдошва якого водонепроникш та не проводять тепла, р1вняння теплопереносу мае вигляд [2]
х ?! - V Ср &Г = Сп &Г, (1)
ах2 ах &
де Т - температура;
V - швидюсть фшьтрацп;
Ср 1 Сп — об'емш теплоемност рщини й шару;
X - коефщент теплопровщностц
t - час.
Звичайно використовуеться передумова про миттеве вир1внювання температури м1ж юстяком породи й рщиною. Об'емш теплоемносп шару Сп, рщини
© Жолудев С.В., 2013
Ср i кiстяка Скс i вiдповiднi ним питомi теплоемносп С'п, С'р, С'кс зв'язанi мiж собою спiввiдношенням
П0 Pp С,' + (1 - П0) Pkc Ckc' = Рп Сп' , (2)
Сп рп Сп ; Ср рр Ср ; Скс ркс Скс , (3)
де п0 - пористiсть шару;
Рп, РР, Ркс - щiльностi шару, рщини й кiстяка.
Коефiцiент температуропровщносп а = Х/СП приводить рiвняння (1) до виду
а дИ - V с р д! = дт, (4)
' р
дх2 5х д1
де С, = Ср / Сп.
Перший член лiвоl частини рiвняння (4) характеризуе кондуктивний теплоперенос (молекулярний рух тепла); другий - конвективний перенос тепла, що залежить вщ швидкостi фшьтраци; права частина рiвняння (4) вiдбивае змiну кшькосп тепла в шарi в чась Якщо в тепловому вiдношеннi водоносний шар не iзольований i можлива вiддача тепла в крiвлю та тдошву шару, у праву частину рiвняння (1) уводять додатковий член 2а (Т-Т0)
Х^ - V Ср = Сп + 2а ( Т-То), (5)
дх2 5х д1
де а - коефщент теплообмiну;
Т0 - початкова температура водоносного шару i його порiд, що вмiщають.
Якщо теплоперенос у породах крiвлi та шдошви мае тiльки кондуктивний
характер, другий член у правш частит рiвняння (5) здобувае вид 2 — дТ I ъ = т/2 ,
т дz
де т - потужшсть водоносного шару; вюь х проходить уздовж середини шару; вюь ъ - вертикальна.
Ршення фундаментального одномiрного завдання конвективного теплопереносу у водоносному шарi при кондуктивни вiддачi тепла у шар породи необмежено! потужностi мае такий вигляд системи рiвнянь (6) i (7), кондуктивний теплоперенос при цьому не враховуеться
- V Ср д! = Сп д! + 2 1 К I ъ = т/2 , (6)
дх д1 т 5z
х д!1 = Сп д!, (7)
дх2 д1
при початкових i граничних умовах
T (x, 0) = T0 ; T (0, t) = TBX ; К \z= 0 , (8)
Sz
отримано у виглядi
T = T ~ To = erfc xV W Cn , (9)
T - T
вх 0 ____
■ p V • p '
2^VCp(VCpt - x)
Píbmhm (9) використовуеться в теори тепло- i масопереносу, а також для ршення рiзних практичних завдань прогнозу поширення речовин i тепла в шдземних водах [3]. Одномiрне рiвняння теплопереносу в iзольованому водоносному шарi при умовах змшно! температури води на входi в шар, якщо температура на входi Твх змiнюеться перiодично по синусо1д
Твх = То + AT sin 2пп, (10)
де АТ - амплiтуда;
т - частота коливання;
Т0 - початкова температура шару.
Ршення рiвняння (10) мае вигляд
T = T To = ехр ( - а'х) sin (2пп - b'x) , (11)
AT т
де
1 1
а' = [(K2 + 0,25) V4 2 + 0,5 V2 ] 2 - V
1 1
b' = [(K2 + 0,25) V4 2 + 0,5 V2 ] 2
K = п Сп / тХ; V = VCp/2X
Дане ршення застосовне для прогнозу температури шдземних вод при вертикальнш фшьтраци поверхневих вод, температура яких перюдично змiнюеться внаслiдок добових i сезонних коливань температури повiтря.
Використання спостережень за розподшом температури пiдземних вод у межах подшяючого слабопроникного шару для визначення швидкостi вертикального перетшання води через нього розглядае рiвняння стацiонарного теплопереносу вертикальним фiльтрацiйним потоком з постшною швидкiстю фшьтраци V
-Х + V Ср ST = 0 , (12)
Эх2 Эх
при умовах на крiвлi шару T(z = m) =Tm i на пiдошвi шару T(z = 0) = T0 рiшення, отримане у виглядi
т = Т - Т0 = ехр( )-1, (13)
Тм - То ехр^т/Х )-Г
дае розподш температури залежно вiд V, ъ i теплових параметрiв шару. Вимiрювання в декiлькох точках z1 температури шару Т;, з (13) може визначити швидюсть вертикально! фшьтраци V.
Двовимiрний теплоперенос при фшьтраци з постшною швидкiстю дослiджувався в лабораторних експериментах [2]. Вода, нагр^а до температури Т0, фшьтрувалася через стовпчики rрунтiв, якi були помщеш в цилiндричний посуд з радiусом г0. Диференцiальне рiвняння стащонарного теплопереносу для розглянутого випадку мае вигляд
Хг
д2Т 1 дТ
+ -
д г г 5г
+ Хъ д!Т - V Ср дТ = 0 , (14)
дх2 дх
де Хг i Хъ - ефективнi теплопровiдностi в радiальному та осьовому напрямках.
Температура навколишнього середовища поза стовпчиком дорiвнюе Тш i зберiгаеться незмiнною. Граничнi умови формулюються в наступному видi:
Т = То ; z = 0 ; 0 < г < го ,
Т = Тш ; z ^ 0 ; 0 < г < Го ,
0 ; г = 0 ; 0 < z < ® , (15)
дг
Хг = - а (Т - Тш) ; 0 < z < ® ; 5г
де Х - коефщент теплообмiну з навколишшм середовищем через стiнку цилiндра, у якому перебувае зразок породи.
Ршення рiвняння (14) при умовах (15), мае вигляд
Т = Т -Т = 2 у ^(аДГоК!) ехр [(5Р2 - р 2р2 +а2)z] , (16)
То - Т у ап [12 (ап) + Г2(апх| п
де Jl, 10 - функцп Беселя першого роду першого i нульового порядку; а - коршь рiвняння (17)
ап 11 (а ) = Р 11 (а ) , (17)
де Р = а г0/ Хг ; Г = г/г0, 2 = z/l (де 1 — частина довжини стовпчика)
в = ,/мХГГ; 5 = уСр г2о/2Хг 1 , (18)
У результат дослiджень iз грунтами з пористiстю 0,34 — 0,66, при швидкосп фшьтраци V = 0,05 — 0,19 см/хв., були встановлеш значення Хг = 2500 -
5000 Вт/м К. При цьому сшввщношення / Хг) ~ 1,1. Для бiльшостi дослщжень одночасно зi зростанням швидкостi фшьтраци V вiдзначене деяке збiльшення Хг.
Змiна температури води, що надходить з рiки або водоймища у водоносний шар, вщбуваеться по декшькох схемах одномiрного нестацiонарного теплопереносу в нашрному водоносному шарi мiж двома водоймами iз заданими постiйними рiвнями. У зв'язку зi змiною потужносп шару т(х) i коефiцieнта фшьтраци к(х) швидкiсть фшьтраци в шарi розглядаеться як змiнна по напрямку плину величина. При слабопроникнш ^вл^ крiм того, ураховують вплив шфшьтраци поверхневих
вод. Температурнi змiни в шарi описанi рiвнянням (6) без члену X Э Т, тобто
Эх2
враховуються тiльки конвективний теплоперенос фшьтрацшним потоком i вщвщ тепла в що пiдстилають i перекривають породи. Величини т(х) i к(х) заданi у виглядi лшшно! або безперервно! функци. Температура порщ крiвлi i пiдошви, а також початкова температура шару вважаються постшними Т0 або мають заданий початковий розподш Т(х). Температура води, яка надходить до горизоньу, постшна або змшюеться в часi за законом ламано! лши або тригонометрично! функци. Для всiх перерахованих схем отримаш аналiтичнi рiшення.
Значне число дослщжень теплопереносу виконано у зв'язку iз проблемою накачування в шар використаних в енергетичних цiлях термальних шдземних вод або холодних пiдземних вод тсля охолодження ними промислових агрегата. У цих випадках температура подавано! в шар води вiдрiзняеться вщ початково! температури шару i поширення теплового фронту може вплинути на температуру води в найближчi мюящ накачування. У зв'язку з цим необхщний прогноз теплопереносу у водоносному горизонта
Основнi дослiдження з теплопереносу при скиданш нагрiтих (або охолоджених) вод у шар проведенi стосовно до дублетно! схеми, тобто при робот одше! нагштально! i одше! водовiдбiрноl свердловини. Експлуатацiя нагнiтальних i водовiдбiрних свердловин у водоносному шарi з природним потоком пiдземних вод ускладнюе схему руху. Причому залежно вщ дебiту свердловин, !хнього розташування i напрямки природного потоку, до водовiдбiрноl свердловини може повернутися вся або тшьки деяка частина води, яка була закачана у нагштальш. Анал^ичш рiшення завдань теплопереносу можливi для обмеженого числа найбiльш простих дублетних схем, наприклад, коли шар е однорщним, дебети свердловин однаков^ природний потiк пiдземних вод не враховуеться, тощо.
Для бiльш складних схем (неоднорiдний шар, система водовiдбiрних i нагнiтальних свердловин, !хш рiзнi дебiтi) гiдродинамiчний i тепловий розрахунок здшснюеться послiдовно. Спочатку за допомогою моделювання фшьтраци на аналоговiй або математичнш моделi одержують гiдродинамiчну штку фшьтраци, на якiй видiляють лши струму, що йдуть до водовiдбiрних свердловин вiд окремих нагнiтальних та з природного потоку. Поим розглядаеться теплоперенос по окремих трубках - смуги потоку, яю обмежеш обраними лшями струму [4]. Рiвняння (6) застосоване до кожно! трубки струму, що йде мiж свердловинами. Розглянуто систему iз двох рiвнянь:
- для основного водоносного шару враховують конвективний теплоперенос i вiддачу тепла у водонепроникш породи крiвлi i пiдошви
h Cn ^(AS,t) + Аф Cp = 2 Xkc öTP (AS,z,t), (19)
öt öS öz
- для порiд крiвлi i пiдошви враховуеться кондуктивний тепло перенос
Xkc öTl = Ckc ^ , (20)
ö 2г öT
: ^ = Ckc -k
öz2 öt
де h - потужнiсть шару;
AS - площа трубки струму вщ точки нагнiтання до розрахунково! при початкових i граничних умовах
T(AS, t = 0) = То; Т (AS = 0, t) = Т ; Tkc (AS, z, t) = То; z > h/2 ; Tkc (AS, h/2 , t) = Tp (AS, h/2, t) , (21) lim Tkc (AS, z, t) = То
ршення системи (19) - (20) для будь-яко! смуги струму вщ лшп струму ф до ф + Aф отримано у виглядi
TkC(t) ~ To = erfc
tkc
T ~ T
п г0
CP (d^
X kcCkc l dS
Vt ~C,
Cp
(22)
де Тфкс(1) - температура води, що надходить до водовiдбiрноl свердловини по розглянутiй смузi струму.
Температуру води, яка вщкачуетъся, визначають iз урахуванням змiшання води, що надходить до свердловини по рiзних трубках струму.
Натурних спостережень за теплопереносом у водоносних шарах проведено мало. Вiдомi результати дослщжень з нагштання нагр^о! води в безнатрний водоносний шар i наступну вщкачку, зроблених для оцiнки ефективностi акумуляцп тепла у водоносних шарах. Експеримент був проведений в алювiальних вщкладеннях, потужнiсть водоносного шару, який представлений трьома пщано-гравiйними прошарками, становив 10 м [2]. На д^нщ пробуреш 2 центральнi i 12 свердловин спостереження. Ухил природного потоку 0,0001—0,0006. У центральну свердловину протягом 223 год. було закачано 494 м3 гарячо! води при температурi 51 °С и в плин чотирьох мюящв спостерпався розподiл температури води в шарь Поим протягом 28 дшв було вобрано 16370 м3. Побудованi геотермiчнi профiлi показали нерiвномiрний розподiл нагр^о! води в шарi пiсля накачування, що було пов'язане з його неоднорщшстю. При вщкачщ води швидше охолоджувалися бiльше проникнi прошарки порщ, сама вода мала температуру нижче 51 °С. За спостереженнями за температурою i кiлькiстю ш'екцировано! i витягнуто! води був складений тепловий баланс i визначенi витрати тепла у водоносному шарь Встановлено, що в зош аерацп 2/3 тепла розсдаваеться в результатi теплообмiну з атмосферою. У водоносному шарi втрати тепла переважно пов'язаш з дисперсieю. Кшьюсть тепла в 16370 м3 води, яка була отримаш зi свердловини, становило близько 40% вщ вхщно! кiлькостi. При вiдборi 494 м3 води було отримано тiльки 7% вхщного тепла.
При штенсивнш експлуатацп глибокого водоносного шару вщбуваеться значне зниженню рiвня пiдземних вод, i з метою штучного поповнення !хшх запашв проводиться накачування нагрiтих до 43° С промислових спчних вод, використаних для охолодження в рiзних технолопчних процесах. По даним [2], нагр^а вода вiд нагнiтальних свердловин поширилася на вiдстань не бiльше 300 м при витрат нагнiтання, що змiнювалось вiд 0,4 - 2 м3/хв. протягом перших п'яти роюв до 1,2 м3/хв. у наступи чотири роки.
Такi самi дат спостереження за пiдвищенням температури водоносних шарiв при накачуваннi в них нагр^их вод з установок кондищювання повiтря i технологiчного охолодження. Вщпрацьована тепла вода 20 °С подавалася в алювiальнi гравiйно-галечникових вiдкладення заплавно! тераси. Вимiр температури по системi свердловин спостереження показав, що нагрт води поширилися долiлиць по потощ на вiдстань бiльше 220 м [2].
Дослщження м^раци речовини i тепла в пiдземних водах дотепер зв'язаш в основному iз завданнями гiдротехнiчного i iригацiйного будiвництва, водопостачання, штенсифшаци вугле- та нафтовидобутку, тощо. Разом з тим слщ зазначити, що чисельнi методи ршення рiвнянь теплопереносу, а також аналогове i математичне моделювання використовуються ще недостатньо, хоча вони необхщш при ршенш багатьох практичних завдань, не тшьки по захисту пiдземних вод вщ забруднення, прогнозу якостi шдземних вод i т.п., але й, що особливо актуально останшм часом, з рiзними аспектами ошташзацп, стшкосп i керування геотехнiчними системами. Для обгрунтування моделювання та ефективного використання аналiтичних методiв розрахунку необхiднi вщповщш мiграцiйнi параметри водоносних i слабопроникних шарiв. Тому важливим завданням подальших дослiджень повинне з'явитися накопичення експериментальних даних про процеси i параметри фiзико-хiмiчноl взаемоди, особливо за даними польового випробувань. Необхiдна також подальша розробка та апробацiя фiзико-хiмiчних моделей теплопереносу стосовно до реальних водоносних шарiв з рiзними видами неоднорщносп.
Б1бл1ограф1чн1 посилання
1. Баренблатт Г. И., Ентов В. М., Рыжик В. М. Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа. - М.: Недра, 1972. - 288 с.
2. Орадовская А. Е. Миграция вещества и тепла в подземних водах /Гидрогеологические исследования за рубежом /Под ред. Н. А. Маринова. - М.: Недра,1982. - с. 33 - 74.
3. Гидродинамика и теплообмен в одно- и двухфазных потоках/ Под. ред. Щукина Л. Н./Труды Московского энергетического института, №132. - М.: Изд. МЭИ, 1987. - 132 с.
4. Буляндра О. Ф. Техшчна термодинамша/ Щцр. для енерг. спец. ВНЗiв. - К.: Техшка, 2001. - 320 с.
Над1йшла до редколегИ' 21.02.13
