Математичні моделі надійності типових апертур фазованих антенних решіток, які враховують раптові та поступові відмови модулів надвисоких частот Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК623.6-523.8:623.4.017 В.В. КОСТАНОВСЬКИЙ*

МАТЕМАТИЧН1 МОДЕЛ1 НАД1ЙНОСТ1 ТИПОВИХ АПЕРТУР ФАЗОВАНИХ АНТЕННИХ РЕШ1ТОК, ЯК1 ВРАХОВУЮТЬ РАПТОВ1 ТА ПОСТУПОВ1 В1ДМОВИ МОДУЛ1В НАДВИСОКИХ ЧАСТОТ

*НД1 «Квант» Державного концерну «Укроборонпром», Киев, Украина

Анотаця. У датй cmammi розглядаються математичм моделi Hadimocmi апертур ФАР РЛС nid час pi3HUX закотв розподшу часу до eidMoeu модулiв надвисоких частот, що враховують наяв-тсть раптових i поступових вiдмов. На основi отриманих формул i рiвнянь будуються i аналiзу-ються номограми для визначення ймовiрностi безвiдмовноiроботи, iнтенсивностi вiдмов i серед-нього наробтку до вiдмови типових апертур ФАР для пяти титв закотв розподту часу до вiд-мови: експоненщального, Вейбулла, дифузтного немонотонного, узагальненого показового i сумmi двохрозподтв - експоненщального i Вейбулла.

Ключовi слова: моделi надiйностi, апертура, ФАР, iмовiрнiсть безвiдмовноiроботи, середтй на-робток до вiдмови, iнтенсивностi вiдмов, закон розподту часу до вiдмови, експоненщальний розподш, розподы Вейбулла, дифузтний немонотонний розподы.

Аннотация. В данной статье рассматриваются математические модели надежности апертур ФАР РЛС при различных законах распределения наработки до отказа модулей сверхвысоких частот, учитывающих наличие внезапных и постепенных отказов. На основе полученных формул и уравнений строятся и анализируются номограммы для определения вероятности безотказной работы, интенсивности отказов и средней наработки до отказа типовых апертур ФАР для пяти типов законов распределения наработки до отказа: экспоненциального, Вейбулла, диффузионного немонотонного, обобщенного показательного и смеси двух распределений - экспоненциального и Вейбулла.

Ключевые слова: модели надежности, апертура, ФАР, вероятность безотказной работы, средняя наработка до отказа, интенсивность отказов, закон распределения времени до отказа, экспоненциальное распределение, распределение Вейбулла, диффузионное немонотонное распределение

Abstract. This article discusses the mathematical reliability models of Phased Array Apertures radar under various laws of distribution of time to failure of SHF modules, taking into account the presence of sudden and gradual failures. On the basis of received formulas and equations are constructed and analyzed nomograms for determining the probability of failure-free operation, the failure rate and mean time to failure of standard Phased Array Apertures for the five types of distribution laws of time to failure: exponential, Weibull, the diffused non-monotonic, generalized exponential and mixture of two distributions - exponential and Weibull.

Keywords: reliability models, aperture, Phased Array Apertures, the probability of failure-free operation, the average time to failure, failure rate, the distribution law of time to failure, the exponential distribution, Weibull distribution, diffused non-monotonic distribution.

1. Вступ

Розподш структури апертур фазованих антенних реш^ок (ФАР) сучасних радюлокацшних станцш (РЛС) може включати дуже велике число (до десяти тисяч) модулiв надвисоких частот (НВЧ). Висока надшшсть РЛС забезпечусться за рахунок спещального введення деяко' надмiрностi (до 10%) в апертуру ФАР.

Для аналiзування показниюв надшносп апертур ФАР, як правило, використовують-ся методи розрахунку надшносп розгалужених систем [1] та мажоритарних систем (з дробовою кратшстю) [3], як ураховують тшьки раптовi вщмови модулiв (експоненщальний розподш). Однак тд час бшьшо'1 кшькосп НВЧ модулiв (бшьше 200) в апертурi анал^ичш

© Костановський В.В., 2014

ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2014, № 2

вирази для показниюв надшносп розгалужених структур, як1 застосовуються у [1-3], ста-ють громiздкими та малопридатними для проведення аналiзу надiйностi. Тому значний штерес становлять побудова та дослщження математичних моделей надiйностi для проведення шженерного аналiзу надiйностi типових апертур ФАР з числом НВЧ модулiв п > 200 з урахуванням раптових i поступових вщмов модулiв.

У данiй статтi розглядаються математичнi моделi надiйностi апертур ФАР за р1зни-ми законами розподшу часу до вiдмови НВЧ модулiв, що ураховують наявнiсть раптових i поступових вiдмов. На основi отриманих формул i рiвнянь будуються i аналiзуються номо-грами для визначення ймовiрностi безвщмовно'1' роботи, iнтенсивностi вщмов i середнього наробiтку до вщмови типових апертур ФАР для п'яти титв законiв розподiлу часу до вщ-мови: експоненцiального, Вейбулла, дифузшного немонотонного, узагальненого показово-го i сумiшi двох розподiлiв - експоненцiального i Вейбулла.

2. Математична модель надшносп апертури ФАР

Аналiтичнi вирази для показниюв надiйностi НВЧ модулiв ФАР, що враховують раптовi та поступовi вiдмови, для п'яти рiзних законiв розподiлу часу до вщмови представлеш в табл. 1.

Таблиця 1. Формули для розрахунку показниюв надшносп п'яти рiзних розподiлiв часу до вщмови НВЧ модулiв_

Тип розподшу часу до вщмови НВЧ модутв Формули для ймов1рност1 безвiдмовноi роботи, щiльностi розподiлу часу до вщмови i iнтенсивностi вщмов НВЧ модулiв, Л ( ) = 'м(г0) М0 Примiтка, z = ^ 0 гу Т0м

Експонен-щальний розподш рм (г0 ) = ехР(- ¿0), 'м (л ) = 1м ехР(- ¿0 ), Л М (¿0 ) = 1 10 - час опера -тивно'1' роботи, Т = 10м Л лм середнiй наробiток до вiдмови

Розподш Вейбулла рм (¿0 ) = ехР[-(КЬ' М ( ¿0 ) = ЬКь ( кьг0 )Ь-1ехР Лм (¿0 ) = ЬКь (Ку Ь ¿0 ) [-( 0) кл )Ь\ 1 , Т0м = аКЬ, Кь =<'+1) - гамма-функцiя

Дифузшний немонотон-ний розподш Рм (*0 ) = ф| 1I - ехрГ-^2 м ( ¿0 )= п-ехР н ( 1 + ¿0 1-¿0 )2" 2у2¿0 _ Т0м = т

Узагальне- ний показовий розподш /■ \ рм (г0) = I1 - и ехР(- 2)+1 ехР 'м )= 2 * 1) ' 2Л I --, V Л + 1 ) Г 2Л И ехР ¿0 Т = 2 Ц = 41

Сумш розподшв експоненщ-ального та Вейбулла Рм (z0) = 0,5ехр (-0,625z0) + 0,5ехр М (^ ) = 1{0,5ехр (-0,625^0) + 2ЪКЬ (2,5КЬ] -(2,5^ )т] Ъ1ехр -(2,5 )Ъ ] Т0М = °,5(Т0 ЕМ + Т0ШМ), Т0 ЕМ = 1/ 1 , Т0ИМ = 0,25 / 1 Т0м = 0,625/1

«

н о ю о а

О

и « ^

о «

ч 2 £ о

.3 н

<и о Ю рц -а

н о

'53 ср

03

о

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Б-Я БКТ-Я W-R ОР-Я

SM-Б+W-R

,0

со

,0

6, ,0

09 ,0

0

М 1П 1Л

-о

н о

'53

Я ^ £ ~ н

5 63 * ^ «5 1)

« о

О

а р

о X

На рис. 1-2 представлеш граф1ки ймов1рност1 безвщмовно!' роботи, нормовано!'

щшьносп розпод1лу часу до вщмови та нормовано'1 штенсивносп вщмов у залежносп в1д нормованого оперативного часу роботи НВЧ модушв:

- для експонен-щального розподшу (Б-

Я);

- дифузшного немонотонного розпо-дшу (БКЯ);

- розподшу Вей-булла (W-R);

- узагальненого показового розпод1лу (ОР-Я);

- сум1ш розподь л1в - експоненщального та Вейбулла (E+W-R). Визначення. Критер1ем (умовою) вщмови розподшу структури апер-тури ФАР, яка включае N = п + т НВЧ модушв (п - основних та т -резервних модушв), е вщмова т+1 модуля у момент часу г0 = Т0 А.

Умова вщмови апертури ФАР анал1ти-

Нормований оперативный час, ^ /Т0М Рис. 1. Граф1ки ймов1рност1 безвщмовно! роботи для п'яти р1зних закошв розподшу часу до вщмови НВЧ модутв

2 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

Б-Я БКК-Я W-R ОР-Я

SM-Б+W-R

Нормований час оперативно! роботи, ^ /Т,

0М

Рис. 2. Графши нормовано! штенсивност вщмов для п'яти р1зних закошв розподшу часу до вщмови НВЧ модутв

чно формуеться так:

N(10 = Т а ) = N - т -1. (1)

Якщо N (г0 = Т0 А) = Шм (г0 = Т0 А ), то, з урахуванням виразу (1), формуються р1вняння (2) та (3) для визначення середнього нароб1тку до вщмови апертури ФАР:

Р (Т )=1 - т - А-

Рм[1°а) 1 N N

(2)

або

^ = Рм (То л), (3)

де Рм (¿0) - iмовiрнiсть безвщмовно'1' роботи НВЧ модулiв.

За вирiшеними рiвняннями (3) виводяться формули (4) та (5) для визначення нор-мованого середнього нароб^ку до вiдмови Т0А апертури ФАР, що складаеться з модулiв: - для експоненщального розподiлу наробiтку до вiдмови НВЧ модулiв:

То А _- 1п(1 - т --I); (4)

Том N N

- для розподшу Вейбулла нароб^ку до вщмови НВЧ модулiв:

т 1

- 1п1 I -

Т

-'оА _

-1п| 1

N N

(5)

Т м Г |1 +1

ь

Нормований середнiй наробiток до вiдмови апертури е функщею коефiцiента над-

■ г т Т0 А тч

мiPностi Кнадм = — aпeртури, тобто _ /(—).

М То м М

Для визначення середнього нароб^ку до вiдмови апертури ФАР тд час дифузшно-го немонотонного розподшу, узагальненому показовому розподш та сумiшi розподiлiв (експоненцiальному та Вейбулла) часу до вщмови НВЧ модулiв застосовуеться рiшення трансцендентних рiвнянь (2) або (3).

Iмовiрнiсть безвщмовно'1" роботи РА (го), щшьшсть розподiлу /~А (го), штенсивносп вiдмов ЛА (го) апертури ФАР, що включае п - робочих та т - резервних НВЧ модулiв,

визначаються iз застосуванням моделi надiйностi резервовано'1' системи iз дробовою крат-шстю за такими формулами [2, 3]:

т

Рм (*о ) = £ СП+т [Рм (го [1 - Рм У, (6)

]=о

"Т^Ц = пСЩ+т [1 - Рм (го )]т [Рм (го )Г\ (7)

{м (го)

Л А (го)_ пСт [1 - Рм (го )]т [Рм (го )]п , (8)

Л м (го)

Е СМ [Рм (го Г-7 [1 - Рм (го )У

>о

де Рм (го) - iмовiрнiсть безвщмовно'1' роботи пiдрешiтки (каналу) (для апертури приймаль-но'1' ФАР) та НВЧ модуля (для апертури передавально'1' ФАР);

го _ —--нормований (вiдносно Том ) час до вiдмови апертури ФАР.

То м

3. Типов1 апертури приймальних та передавальних ФАР

Типовi апертури приймальних ФАР характеризуются 5% надмiрнiстю:

- апертура на 64 тдреш^ки, допустима вщмова 3-х пiдрешiток. Тобто, загальна кь лькiсть пiдрешiток (основних та резервних) у приймальнiй ФАР складае N = п + т = 64, а кшькють резервних - т = 3 ;

- апертура на 256 тдреш^ок, допустима вщмова 12 тдреш^ок. Тобто, загальна кь лькiсть (основних та резервних) тдрешггок у приймальнiй ФАР складае N = п + т = 256, а кшькють резервних - т = 12.

Типовi апертури передавальних ФАР характеризуются 10% надмiрнiстю:

- апертура на 1024 НВЧ випромiнювачiв, допустима вiдмова 10% випромiнювачiв. Конструктивно випромiнювачi скомпонованi у НВЧ модуш - по 4 випромiнювачi у кожному модулi. Тобто, загальна кшькють (основних та резервних) НВЧ модушв у передава-льнш ФАР складае N = п+т = 256, а кшьюсть резервних НВЧ модушв складае т = 25;

- апертура на 4096 НВЧ випромiнювачiв, допустима вщмова 10% випромiнювачiв. Конструктивно випромiнювачi скомпоновав у НВЧ модуш - по 4 випромiнювачi у кожному модуш. Тобто, загальна кшькють (основних та резервних) НВЧ модушв у передава-льнш ФАР складае N = п + т = 1024, а кшькють резервних НВЧ модушв складае т = 102.

4. Анал1з показникчв надшност1 типових апертур ФАР ¡з застосуванням номограм

Номограми для розрахунку нормованого середнього нароб^ку до вщмови апертури ФАР будуються на основi графiчного рiшення трансцендентного рiвняння (2):

т

N

1 - N -р<

т

0 А

т

V 0 м У

(9)

На рис. 3 представлена номограма для розрахунку нормованого середнього нароб^-

ку до вiдмови апертур ФАР на 256 модушв НВЧ за рiзними законами розподшу модушв ФАР.

На рис. 4-5 i табл. 2 представленi номограми (у графiчно-му та чисельному ви-глядi) для розрахунку ймовiрностi безвщмов-но! роботи типових апертур ФАР (6) за рiзними законами розподшу НВЧ модушв ФАР.

На рис. 6-7 i табл. 3 представлеш номограми i таблиця для розрахунку нормо-

ваних iнтенсивностей вiдмов типових апертур ФАР (8) за рiзними законами розподiлу НВЧ модулiв ФАР.

5ис. 3. Номограма для визначення нормованого середнього нароб1т-ку до вщмови апертури ФАР, що складаеться ¡з 256 модул1в НВЧ, у залежност вщ коефщента надм1рносп для п'яти р1зних закошв розподшу часу до вщмови НВЧ модутв

. >ис. 4. Номограма для визначення ймовiрностi безвщмовно! роботи апертури приймально! ФАР (апертура складаеться iз 256 НВЧ кана-лiв, у тому чи^ 12-ти резервних каналiв) для п'яти рiзних законiв розподiлу часу до вщмови НВЧ каналiв

«

н о ю о а

о

и « ^

о з «

00

V , ю ^

-а

н о

'53 &

'и о

1,2 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0

E-R DN-R W-R OP-R

SM-E+W-R

О, О, О, ^ч, Г^ СЧ 'Л,

0, 0, 0, 0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0 ,0

Нормований оперативний час роботи, ^ /T0M

Рис. 5. Номограма для визначення ймовiрностi безвщмовно! роботи

апертури передавально! ФАР (апертура складаеться iз 256 НВЧ модулiв, у тому числi 25-ти резервних модулiв) для п'яти рiзних за-конiв розподiлу часу до вщмови НВЧ модулiв

Таблиця 2. Визначення ймов1рностей безвщмовно! роботи типових апертур ФАР для р1з-

них розподшв часу до вщмови НВЧ модул1в

Iмовiрнiсть безвщмовно! роботи апертури ФАР

Е^ DN-R W-R ОР^ SM(E+W)-R

Приймальна ФАР 64-3

0,05 0,6190 1,0000 1,0000 0,9470 0,9510

0,10 0,1304 0,9999 0,9984 0,6364 0,5401

0,15 0,0163 0,9226 0,9740 0,2740 0,1208

0,20 0,0016 0,4110 0,8640 0,0804 0,0104

Приймальна ФАР 256-12

0,05 0,5190 1,0000 1,0000 0,9950 0,9950

0,10 0,0032 1,0000 1,0000 0,5540 0,3647

0,15 0,0000012 0,9860 0,9993 0,0438 0,0024

0,20 0,000000 0,1641 0,9430 0,00053 0,000000

Передавальна ФАР 256-25

0,05 0,9996 1,0000 1,0000 1,0000 1,0000

0,10 0,6062 1,0000 1,0000 0,9997 0,998З

0,15 0,0290 1,0000 1,0000 0,9190 0,5670

0,20 0,00014 0,9866 1,0000 0,З719 0,0017

45G

ER 25б-12

DNR

WR

OPR

ER+WR

ЧО

Нфмований опepaтивний час pоботи tG I TGK

Рис. б. Номограма для визначення ноpмовaноï штенсивносп вiдмов aпepтypи пpиймaльноï ФАР (aпepтypa складаеться iз 25б HBЧ модyлiв (кaнaлiв), y тому чиcлi 12-ти peзepвниx модyлiв (кана-лiв)) для п'яти piзниx зaконiв pозподiлy чacy до вiдмови HBЧ модyлiв

н

е §

Л

Su0

53 S н g s *

с н

e

т

(U ^

» S

e

ни

п ITG

м а

а « оо

я s

§8

ч

4,GGE+G2 3,5GE+G2 3,GGE+G2 2,5GE+G2 2,GGE+G2 1,5GE+G2 1 ,GGE+G2

5,GGE+G1 0,G0E+00

ER 25б-25

DNR

WR

OPR

ER+WR

PQ

Hоpмовaний опepaтивний час pоботи, to I TG

Рис. 7. Номограма для визначення ноpмовaноï штенсивносп вiдмов aпepтypи пepeдaвaльноï ФАР (aпepтypa складаеться iз 25б HBЧ модyлiв, y тому чиcлi 25-ти peзepвниx модyлiв) для п'яти piзниx зaконiв pозподiлy часу до вщмови

HBЧ модyлiв

Таблиця З. Bизнaчeння ноpмовaниx штенсивностей вщмов типовиx aпepтyp ФАР для piз-ниx pозподiлiв часу до вщмови HBЧ модул1в

Hоpмовaнa штенсившсть вiдмов aпepтypи ФАР

zo E-R DN-R W-R OP-R SM(E+W)-R

^иймальна ФАР 64-З

0,05 22,5 0,00 0,01З З,60 З,92

0,10 З7,7 0,0З 0,12 12,5 20,12

0,15 44,7 5,9 1,12 20,9 З9,8

0,20 48,7 27,7 4,02 28,0 58,5

Приймальна ФАР 256-12

0,05 54,3 0,00 0,00 0,90 0,84

0,10 137 0,00 0,00 29,2 54,6

0,15 172,3 2,5 0,081 70,9 145

0,20 191 85,6 3,7 103,9 224,6

Передавальна ФАР 256-25

0,05 0,11 0,00 0,00 0,00 0,00

0,10 31,6 0,00 0,00 0,05 0,333

0,15 87,0 0,00 0,00 6,1 35,7

0,20 123 2,2 2,8 32,8 121,4

5. Оцшка ефективност методiв резервування НВЧ модулiв апертур ФАР

Ефектившсть методiв резервування НВЧ модулiв апертур ФАР оцiнюeться виграшем у надiйностi: за середнiм нароб^ком на вiдмову От i за ймовiрнiстю вiдмови GQ.

Виграшем у надшносп називаеться вiдношення показника надшносп резервовано'1 системи до вщповщного показника надiйностi нерезервовано'1 системи [ 3].

Формули для виграшу у надшносп за середнiм наробiтком до вщмови мають такий вигляд:

- для експоненщального розподiлу часу до вщмови НВЧ модулiв:

т 1

СТ =-(И - т)1п(1 -—-—);

т У ' У N N

- для розподiлу Вейбулла часу до вщмови НВЧ модулiв:

(N - т) - 1п

(10)

GT

V

т 1

N _ N,

(11)

г

Г

1+1

ь

- для довiльного розподiлу часу до вщмови НВЧ модулiв:

Gт — ■

Т

(12)

0М

Т

де вщношення —— визначаеться за ршенням трансцендентних рiвнянь (2) або (3).

Т

0М

Виграш у надшносп за ймовiрнiстю до вiдмови визначаеться за формулою

1 -Р и )Г

ш-п

^ _

1 - Е [рм и Г7 [1 - Рм (г0)]'

7—0

(13)

У табл. 4 показаш виграшi у надшносп за середшм наробiтком до вщмови Gт для типових структур ФАР за п'ятьма рiзними законами розподшу часу до вiдмови.

Таблиця 4. Визначення виграшей у надшносп за середшм нар06iTK0M на вщмову пiд час застосування типових апертур ФАР для pi3HMx розподшв часу до вiдмови НВЧ модулiв

Виграш у надшносп за середшм наробпком на вщмову Експоненща-льний розподш Узагальнений показовий розподш Сумш iз двох розподшв: експоненщаль-ного i Вейбулла Розподш Вейбулла Дифузшний немонотон-ний розподш

Приймальна ФАР 64-3

Gj 3,93 7,81 6,74 17,5 12,1

Приймальна ФАР 256-12

Gj 12,7 26,1 23,3 62,9 45,2

Передавальна ФАР 256-25

Gj 24,7 44,9 35,7 85,3 55,25

У табл. 5 показанi виграшi у надiйностi за ймовiрнiстю вщмови Gq для типових структур ФАР за п'ятьма рiзними законами розподшу часу до вiдмови (за нормований час до вщмови z0 = 0,1).

Таблиця 5. Визначення виграшiв у надшносп за ймовiрнiстю вiдмови пiд час застосування типових апертур ФАР для рiзниx розподщв часу до вщмови НВЧ модулiв_

Виграш у надшносп за ймовiрнiстю вщмови Експоненць альний розподш Узагальнений показовий розподш Сумш iз двох розподшв: ек-споненщально-го i Вейбулла Розподш Вейбулла Дифузiйний немонотон-ний розподiл

П риймальна ФАР 64 1-3

GQ (z0) 1,15 2,61 2,10 233 1528

Приймальна ФАР 256-12

GQ (z0) 1,003 2,24 1,574 5,09*106 7,7*109

Передавальна ФАР 256-25

Gq (z0) 2,54 3809 579,3 1,26*1014 ю

6. Висновки

Представлеш у цш статтi математичнi моделi можуть знайти широке застосування пiд час iмовiрнiсного аналiзу надiйностi РЛС iз ФАР на раннix стадiяx проектування та для побу-дови системи оптимального техшчного обслуговування. Вагому практичну щкавють можуть представляти формули та номограми для визначення показниюв надiйностi розподь льних структур ФАР, яю ураховують одночаснiй наступ раптових та поступових вщмов НВЧ модулiв ФАР.

СПИСОК Л1ТЕРАТУРИ

1. Надежность технических систем: справочник / Ю.К. Беляев, В.А. Богатырев, В.В. Болотин [и др.]; под ред. И.А. Ушакова. - М.: Радио и связь, 1985. - 606 с.

2. Черкесов Г.Н. Оценка надежности систем с учетом ЗИП: учебн. пособие / Г.Н. Черкесов. - СПб.: БХВ-Петербург, 2012. - 478 с.

3. Половко А.М. Основы теории надежности: практикум / А.М. Половко, С.В. Гуров. - СПб.: БХВ-Петербург, 2006. - 560 с.

Стаття над1йшла доредакцп 11.03.2014