CC BY
13
Посилання на статтю_
Цюцюра С.В. Математична постановка задачi onTMMÎ3aqiï складу множини po6iT проекту при плануванн npoeKTiB модернiзацiï / С.В. Цюцюра, М.1. Цюцюра // Управлiння проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр. - Луганськ: вид-во СНУ iM. В.Даля, 2008. - № 1 (25). - С.36-41._
УДК 005.22:005.8
С.В. Цюцюра, М.1. Цюцюра
МАТЕМАТИЧНА ПОСТАНОВКА ЗАДАЧ1 ОПТИМ1ЗАЦП СКЛАДУ МНОЖИНИ РОБ1Т ПРОЕКТУ ПРИ ПЛАНУВАНН1 ПРОЕКТ1В МОДЕРН1ЗАЦ11
Доведено теорему про найменшу суму промiжних результатiв послщовного добутку, а також теорему про найменшу суму промiжних результатiв парного добутку. Дж. 10.
С.В. Цюцюра, Н.И. Цюцюра
МАТЕМАТИЧСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ СОСТАВА МНОЖЕСТВА РАБОТ ПРОЕКТА ПРИ ПЛАНИРОВАНИИ ПРОЕКТОВ МОДЕРНИЗАЦИИ
Доказана теорема о наименьшей сумме промежуточных результатов последовательного произведения, а также теорему о наименьшей сумме промежуточных результатов парного произведения. Ист. 10.
S.V. Tsyutsyura, M.I. Tsyutsyura
MATHEMATICAL TASK TO OPTIMIZE THE MODERNIZATION PROJECT WORKS COMPOSITION WHILE ITS PLANNING
The fewest summ of the logical product intermediate results theorem is proved as far as the fewest summ of the twin product intermediate results.
Постановка проблеми. Модершза^я виробництва та створення конкурентоспроможноТ в^чизняно'Т промисловост - першочергове завдання Bcix ланок i рiвнiв економiчного мехашзму.
Метою роботи е виршення задачi зменшення кшькосп ешвалентних за структурою варiантiв завдання послщовносл роб^ проекту, якi пщлягають економiчному чи часовому аналiзу при управлшш iнновацiйними проектами модершзаци' пщприемств енергоемних галузей.
Анал'з досл'1джень. План проекту е офщшно затвердженим документом, який використовуеться для управлшня проектом i здшснення контролю за його виконанням. Вш мае рiзний стушнь деталiзацiï опису кожноТ конкретно!' компоненти. У деяких прикладних сферах при посиланн на цей документ використовуеться термш "штегрований план проекту".
Мiж планом проекту та основами контролю за його виконанням е ч^ка рiзниця. План проекту - це документ або добiрка документiв, котрi повиннi з часом змiнюватися, осктьки стае доступною все точнiша шформа^я стосовно рiзних аспектiв проекту. Основи ж контролю за виконанням проекту являють
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2008, № 1(25)
1
собою управлшський контроль, засади якого змшюються ттьки перiодично i тiльки у вщповщь на прийняту змiну змюту проекту [6-7]. .
е багато способiв оргашзаци та подання плану проекту [1], в чи^ яких е: графiк проекту, опис змюту проекту, оцшки вартостi, основи контролю за дотриманням календарного плану, основы ризики, допомiжнi плани управлшня,
Планування змюту проекту - це письмовий опис змюту необхщний як для проек^в, так i для пщ проектiв, вiн формуе пщфунтя угоди мiж командою проекту i замовником проекту з метою визначення як завдань проекту, так i основних роб^ проекту. Якщо вс елементи опису змюту вже доступы, то цей процес може мютити в собi дещо бтьше, нiж просто створення певного письмового документа.
Визначення змюту шновацшного проекту - це подт основних роб^ проекту (визначених пщ час опису змiсту) на дрiбнiшi, бiльш керованi з метою: удосконалення точност оцiнок вартостi, часу та ресурав; визначення основи для контролю виконання; удосконалення розподту вщповщальностк Дотримання цих правил е найважлившим для успiшного завершення проекту. Якщо змют проекту визначено незадовiльно, то заключна вартiсть проекту скорiше за все буде вищою, оскiльки стануться неминучi змiни проекту, якi зiб'ють його ритм, спричинять численнi перероблення, подовжать час виконання, знизять продуктивнють пра^вниш.
Щоб досягти поставлену мету дослщження необхiдно формалiзувати оцiнку складност виконання обчислювальних операцiй iз великою ктькютю вiдношень при iнновацiйнiй дiяльностi в рамках проектiв модершзаци пщприемств.
Вирiшення проблеми. Оптимiзацiя складу множини робiт проекту. Головна проблема оптимiзацil пов'язана з оцшкою складностi виконання обчислювальних операцш iз великою ктькютю вщношень. Як правило, на практик найчастiше обираеться стратегiя найближчих оптимальних ршень. Бiльшiсть таких стратегiй передбачае ешвалентш перетворення алгебраТчних виразiв, на яких будуються кортежi альтернативних послщовностей робiт проекту.
Швидкiсть обробки таких кортежiв може бути значно збтьшена, якщо перед Тх аналiзом модифкувати план виконання алгебраТчних операцiй порiвняння. Мета таких модифiкацiй - отримання ешвалентно'Т множини робiт, але такоТ, що вимагае менше часу й пам'ят для ТТ аналiзу [4,5,9].
Одним iз важливих властивостей, що впливають на ефективнють аналiзу, е послщовнють обчислення з'еднань у ланцюзi операцiй реляцiйноТ алгебри. З'еднання - це визначальна опера^я, бо час ТТ виконання пропорцшний часу виконання операци об'еднання вiдношень. Критерiем складност структури множини робiт можна обрати оцшку кiлькостi промiжних операцiй з'еднання i порядок виконання комутуючих i асоцiативних операцiй.
При докладному розглядi операци з'еднання можна зазначити важливють способу ТТ обчислення. Вибраний споаб може визначатися або тим, як збер^аеться вiдношення, або наявнiстю зв'язаних додаткових структур. При цьому процедура обчислення може проводитися рiзними методами, наприклад, послщовним чи шдексним доступом, з урахуванням або без урахування дублка^в тощо.
Способи реалiзацiТ процедури аналiзу варiантiв визначення послiдовностi роб^ проекту, якi розглядаються у статл, використовують властивостi операцiй алгебри й теори множин. Подальшi розрахунки будуть базуватися на операцiях з'еднання i правилах, що дозволяють здiйснювати алгебраТ'чш перетворення [1,2,3,8,10]. Алгоритм перебору мае вибрати оптимальний план виконання аналiзу перелку потенцiйних робiт проекту на основi дослiдження простору
2
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2008, № 1(25)
пошуку. Алгоритми перебору багатьох юнуючих систем розрахован на BM6ip лише оптимального порядку лшшних з'еднань.
На практик бажано мати такий алгоритм перебору, який Mir би легко пристосовуватися до змш простору пошуку з причини додавання нових перетворень, додавання нових фiзичних операцш (наприклад, нових реалiзацiй з'еднань) i до змш методiв оцiнки вартостi. Сучаснi арх^ектури оптимiзацiТ побудованi на основi ^еТ парадигми i називаються оптимiзаторами, що розширюються [2,7].
Побудова оптимiзатора, що розширюеться, - складна задача, осктьки необхiдна не тiльки наявнiсть покращеного алгоритму перебору, але й забезпечення шфраструктури для розвитку техшки оптимiзацiТ. Проте загальнiсть архiтектури мае бути збалансованою з потребою у ефективному переборк Таким чином, однiею iз важливих складових частин оптимiзатора е наявнють ефективного методу перебору, який визначае послщовнють виконання операцiй аналiзу.
Мiнiмiзацiя суми промiжних результатie з'еднань в'дношень бази po6im проекту. Одним iз критерив пiдвищення ефективност виконання аналiзу е зменшення ктькостей кортежiв у вiдношеннях при багатократному з'еднанш. За умови, що опера^я з'еднання передбачае звернення до кожного кортежу вщносин, якi з'еднуються, виникае задача пошуку такоТ послiдовностi, яка гарантуе найменшу сумарну кiлькiсть звернень до кортежiв при послiдовному з'еднанш.
Нехай база робiт R мютить в собi шiсть вiдношень r(R) = {r-i(R), r2(R), r3(R), r4(R), r5(R), r6(R)}, i нехай кожне вiдношення налiчуе r(R) = {10, 5, 8, 3, 6, 4} кортеж1в вщповщно.
Тодi при послщовному з'еднаннi, коли виконуеться умова
R = R1xR2><R3><R4><R5xR6,
сумарна кiлькiсть переглянутих кортежiв буде вiдповiдати виразу r = r1 + r2 + r3 + r4 + r5 + r6, де r1 = 10, r2 = 10*5, r3 = r2*8, r4 = r3*3, r5 = r4*6, r6 = r5*4, тобто r(R) = 37660.
Використовуючи властивостi асоцiативностi й комутативностi операци з'еднання та змiнюючи загальну послщовнють з'еднань, можна зменшити (збiльшити) значення r(R). Змiнимо послiдовнiсть операцiй. Помшяемо мiсцями R1 i R6, тодi вiдношення R' буде подане виразом:
R' = R6xR2><R3><R4><R5xR1,
i, вщповщно, R(R') = 32344. Таким чином, для обчислення вщношення R при такш послiдовностi буде потрiбно на 5316 розрахункових операцш менше. Враховуючи, що кiлькiсть перестановок N елемен^в певноТ множини скiнчена i дорiвнюе n! (для даного прикладу 6!), завжди можна одержати найменшу суму послщовного добутку.
Нехай X = {x-i,..., xn} e N, де N - множина натуральних чисел, i хай результати операцш добутку утворюють множину P = {р1,., pm}, де p1 = x1-x2, p2
= p1 •x3,., pm = pm-1 xn.
m
Необхiдно знайти таку послiдовнiсть p1, p2,..., pm, за якоТ ^pt ^min .
¡=1
Теорема про найменшу суму промiжних результатie послдовного добутку: Значення суми промiжних результат Pi, (i = 1,., m) послiдовного
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2008, № 1(25)
3
добутку елеменпв множини X = {x-ь..., xn} буде найменшим, якщо значення X-ь X2,..., XN упорядкованi за зростанням, тобто x1 < x2 <... < xn.
Доведення 1: Нехай x, xj e X, i ф j, i, j = 1,., n, i хай p = x, • x. Очевидно, що добуток i3 наступним за порядком елементом множини X мае вигляд p, = p,-1^x/+2 i буде найменшим, якщо x,+2 = min X, k = 1,., n - (/+1). З шшого боку, значення p
k
буде найменшим, якщо початковi значення x,, xj будуть найменшими, тобто x,, xj
= min К k = 1,., n.
k
Доведення 2: Упорядкуемо значення X1, X2,..., XN за зростанням: X1 < X2 <...< XN. Запишемо загальний вигляд суми промiжних результат послiдовних добуткiв елементiв множини Х при такому впорядкуванш:
X- *X2 +...+ X- *X2* ... *X\_-X\ + X- *X2* ... +.. .+X--X2* ... *X\* ... +
+ X-X2 *... *X *... *X +...+ X1X2 * ... *X *... *X * ... *Xn та позначимо ТТ S1.
Помiняемо мюцями довiльнi елементи X i Xj iз множини Х i знайдемо суму S2 промiжних результатiв послщовних добуткiв при такiй перестановцi:
X-*X2 +... + X- *X2* ... *X|_-X + X- *X2* ... *X|_iXX|+i +... + X1X2* .*Xj* .*Xj_i + X1X2 *... *Xj *... *X| +... + X-X2 *... *X| *... *Xj * ... *XN
Обчислимо рiзницю Д = S2 — S-. С урахуванням комутативностi операцil множення одержимо:
Д = (X-*Xz*...*X\_-X + X-*Xz*...+... + X-X2*...*Xj*...*Xj_-) _ (X- *Xz*... *X\_-X\ + X- *Xz*... +.. .+X-X2*... *X\*... *Xj_-) =
= (Xj _ X) (X-*X2*.*x^_- + X-*X2*.*x^_^X^+-+. + X^X2*.*Xj_-) > 0.
Отже, при послщовному перемноженнi деяких значень x-ь..., xn e X сума промiжних результатiв буде найменшою, якщо значення, як нами розглядаються, упорядкованi за зростанням x- < x2 <... < xn. ■
1з теореми про найменшу суму промiжних результат послiдовного добутку випливае, що при змЫ порядку перемноження сума результат також змiниться.
Оскiльки операцiя з'еднання е комутативною, послiдовнiсть ТТ виконання необов'язково мае бути лшшною. Зокрема, варiант аналiзу послiдовностей виконання сггьового графiка робiт проекту для бази робгг R може бути алгебраТчно поданий як R = (R- xR2) x(R3xR4) х (R5xR6) .
При такш послiдовностi аналiзу ланцюпв робiт значення r(R) дорiвнюватиме 28800, що значно менше попереднiх значень, одержаних послщовним виконанням операци з'еднання. У подальшому таку послiдовнiсть будемо називати парною.
Таким чином, за скшчене число крош, можна знайти таку послщовнють пар добуткiв, за якоТ сума промiжних результатiв буде мiнiмальною. Вщмшнють парного з'еднання вiд послiдовного полягае у тому, що загальна сума промiжних результат визначаеться в результат кiлькох незалежних крокiв. Спочатку пщсумовуються добутки довiльних пар, пiсля чого результати перемножуються парами у довтьному порядку, поки не будуть перемножен всi можливi варiанти.
Теоретично не виключено варiант змiшаного добутку, коли частина операцш виконуеться лiнiйно, а частина попарно. Формулу такого добутку можна подати як послщовнють R = (R-xR2)x(R3xR4xR5xR6). 4 "Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2008, № -(25)
Порiвняемо результати з'еднання, отриман рiзними способами. Для лшшноТ' упорядкованоТ за значеннями послщовносп R = R4 xR6 ><R5xR2 х R3xR1) результат буде вщповщати значенню r(R) = 32055. Для довтьного парного з'еднання вигляду R = (R1xR4)x(R2xR6)x(R3xR5) результат буде r(R) = 28800. При довтьному змiшаному з'еднаннi R = (R1 xR2)x(R3xR4) x(R5xR6) результат буде дорiвнювати r(R) = 28800.
Аналiзуючи результати, одержат рiзними способами, у контекст задачi, яка розглядаеться, необхiдно сформулювати та розв'язати задачу пошуку мУмальноТ' суми промiжних результатiв на кожному кроц вибору пари з'еднання. У загальному випадку задачу можна подати як пщбор таких значень iз деякоТ множини цiлих чисел, добуток яких дае мiнiмальну суму промiжних результатiв.
Будемо стверджувати що мЫмальна сума довiльних пар добуткiв досягаеться при перемножены найменших i найбтьших значень заданоТ множини. Для доведення цього факту розглянемо теорему.
Теорема про найменшу суму промiжних результатie парного добутку: Хай задана множина X = {x1, x2,..., xn} e N, тодi м^мум суми парних добуткiв
n
Ё (xtx ) ^ min досягаеться при x = min{x1,., xn} i xj = max{x1,., xn}.
¡,j=i ' J
Доведення: Спираючись на те, що ктькють можливих пар множини X е скшченою i залежить вщ перестановок елементiв X, ктькють яких дорiвнюе n!, покажемо, що завжди можна знайти такi пари елементв, якi визначають найменшу суму при перемножены.
Хай xi, xj, xk, x1 e X, причому xi < xj < xk < x1. Розглянемо добутки пар p1 = xrxk, p2 = xj-x1, p3 = xrx1, i p4 = xx . Покажемо, що (p1 + p2) > (p3 + p4).
Подамо елементи p1, p2, p3, p4 як елементи добутку рiзниць (x; - x,)^(x1 - xk). Очевидно, що (x; - x,) > 0 i (x1 - xk) > 0 i, таким чином (x; - x,)^(x1 - xk) > 0. Розкривши дужки, отримаемо нерiвнiсть xJ-x1 - x^xk - xrx1 + xrxk > 0. Згрупувавши вiд'емнi й додатнi пари добутмв, одержимо xj-x1 + xrxk > xj-xk + x,-x1, тобто (p2 + p1) > (p4 + p3).
Застосовуючи цю властивiсть для вах елементiв множини X, завжди можна одержати найменшу суму промiжних результат, у середньому за 2n! можливих перестановок. Таким чином, починаючи iз будь-якоТ пари за скшчене число крокiв можна знайти послщовнють, що вiдповiдае мiнiмальнiй сумi добутмв елементiв множини X. ■
1з теореми про мiнiмальну суму парних добутш випливае, що для упорядкування послщовносп елементiв алгоритм складання пар добутш мае вибирати крайш елементи (м^мальний i максимальний) i перем^уватися до середини множини, поки не будуть рiвними iндекси зсуву справа i злiва. У нашому випадку шукана сума становитиме 21600.
У багатьох системах послщовнють операцш з'еднання синтаксично обмежена. Як було показано вище, парна послщовнють з'еднань вимагае менше обчислювальних затрат на створення промiжних вщношень. Хоча така послщовнють приводить до бтьш ефективного плану виконання аналiзу, вона значно збтьшуе обчислювальш затрати на перебiр простору пошуку. З шшого боку, найбтьш суттевою е не вартiсть генераци синтаксичних порядкiв з'еднань, а процедура вибору фiзичних операцiй та оцшка кожного можливого плану. Важливо розрiзняти властивостi виконання вiдбору послiдовностей робгг i обчислювальнi витрати, пов'язанi з побудовою реального WBS проекту [5,7,10].
Висновки
1. Модершза^я виробництва та створення конкурентоспроможноТ в^чизняно'Т промисловостi - першочергове завдання вах ланок i рiвнiв
"Управл1ння проектами та розвиток виробництва", 2008, № 1(25)
5
економiчного мехашзму. Повсюдно мае укрiпитися розумшня того, що будь_яке пiдприемство не зможе ефективно працювати без нових розробок, реалiзацiТ ефективних iнновацiйних проек^в.
2. Доведено теореми: про найменшу суму промiжних результатiв послiдовного добутку: та про найменшу суму промiжних результатiв парного добутку в результат чого зроблено висновок, що парна послщовнють з'еднань вимагае менше обчислювальних затрат на створення промiжних вщношень.
3. Отриманi результати, якi дозволяють формалiзувати алгоритм виконання операцiй з'еднання вщношень при побудовi множини послщовностей робiт проекту i при цьому мiнiмiзувати кiлькiсть кортеж1в на промiжних iтерацiях. Загальна задача побудови плану виконання аналiзу множини альтернативних роб^ проекту зводиться до оцiнки обчислювальних витрат за заданими критерiями. Розроблен перетворення кортежiв варiантiв дозволяють значною мiрою збiльшити швидкiсть обробки множини альтернативних роб^ шляхом модифiкацiТ плану виконання певних алгебраТчних операцiй.
4. Розглянут принципи побудови мiнiмальноТ за обсягом множини роб^ сiтьового графку проекту i способи Тх реалiзацiТ. Як основна операцiя, що впливае на ефективнють побудови графiка, видтена операцiя з'еднання. Запропонованi варiанти послщовносп з'еднання вiдношень, якi мiнiмiзують суму кортежiв у промiжних результатах. Доведена оптимальнють таких послiдовностей.
Л1ТЕРАТУРА
1 Пономаренко Л.А. Комп'ютерн технологи управлшня 1нновац1йними проектами: П1дручник. - К.: КиТв. нац. торг.-екон. ун-т, 2001. - 423 с.
2. Чаудхари С. Методы оптимизации запросов в реляционных системах // Системы управления базами даннях, -998. - № 3. - С. 22-27.
3. Кер1вництво з питань проектного менеджменту. - Довщник. УкраТнська асоц1ац1я управлшня проектами. - К.: В1ПОЛ, 1999. - 198 с.
4. Подготовка и управление инновационными проектами: Учебные материалы /Сост. С.Д. Бушуев, А.А. Колпаков, А.В. Лаврентьев, В.В. Морозов. - К.: УкрИНТЭИ, 1998. -136 с.
5. Пономаренко Л.А., Цюцюра С.В. Модел1 ситуацшноТ диспетчеризацп при виконанн роб1т проекту // Проблеми системного пщходу в економщг Зб. нак. праць. - К.: НАУ, 2006. - Вип. 19. - С. 238-249.
6. Цюцюра С.В. Управлшня шновацшними проектами модершзацп пщприемств енергоемних галузей // Монография К.: Науковий св1т, 2007. - 225 с.
7. Пономаренко Л.А., Цюцюра С.В. Принципи побудови мш1мальноТ множини роб1т графшв виконання проект1в модерызаци// Управлшня проектами та розвиток виробництва: Зб.наук.пр.- Луганск: Вид-во СНУ iм. В. Даля, 2006.- №3(19).- С. 90-Ю4.
8. Том Норберт. Управление изменениями // Проблемы теории и практики управления. -№ 1. - -998.
9. Ойхман Е.Г., Попов Э.В. Реинжиниринг бизнеса: реинжиниринг организаций и информационные технологии. - М.: Финансы и статистика, 1997. - 336 с.
Ю. Зиндер Е. Реинжиниринг бизнес-процессов и автоматизация офиса // www.c\tfoRum.Ru.
Стаття надмшла до редакцп 22.0- .2008 р.
6
"Управлшня проектами та розвиток виробництва", 2008, № -(25)
