CC BY
38
Андрианов Д.Е.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ОТНОШЕНИЙ В ГИС ДЛЯ ЦЕЛЕЙ ПОВЫШЕНИЯ КАЧЕСТВА ОБРАБОТКИ
КАРТОГРАФИЧЕСКОЙ ИНФОРМАЦИИ
В докладе рассмотрен вопрос формализации пространственного положения картографических объектов в геоинформационных системах, рассмотрены определения пяти топологических отношений и сформулированы соответствующие теоремы.
Любая карта, в частности города, содержит огромное количество разнообразной информации. Количество полезной информации увеличивается во много раз при использовании геоинформационных систем (ГИС). Данные представляют собой сложную структуру, которую необходимо формализовать для задач повышения качества обработки. Для описания информации на двумерной карте введем ряд определений простых объектов на плоскости. Если рассматривать трехмерный случай, то он будет отличаться от двумерного наличием третьей координаты по оси аппликат. И тогда, количество информации будет увеличено примерно в полтора раза.
Введем следующие типы топологических отношений между картографическими объектами: соседство, изолированность, близость, вложенность. Эти топологические отношения наиболее полно отражают взаимодействие пространственных объектов.
Картографический объект Х1 G K находится в соседстве с картографическим объектом Х2 G K или между и Х2 установлено топологическое отношение "Соседство"а , т.е. X-,aX2 тогда и только то-
гда, когда картографические объекты X1 и Х2 имеют общую граничную точку или линию, т.е. если есть совпадение координат точек обоих объектов.
Теорема 1. Отношение «Соседство» выполняется, если отношение Х.| аХ2 антирефлексивно, симметрично, транзитивно и пересечение картографических объектов X и X есть непустое множество, т.е. Х1 оХ2 = A, A Ф0 и непустое множество A должно состоять только из граничных точек картографических объектов X и Х2 .
Картографический объект Х1 G K изолирован от объекта Х2 G K или между и Х2 установлено то-
пологическое отношение изолированности ö , т.е. Х.,0Х2 тогда и только тогда, когда объекты Х1 и Х2 не пересекаются друг с другом.
Теорема 2. Отношение «Изолированность» выполняется, если Х1 0Х2 антирефлексивно, симметрично, транзитивно и при этом выполняется Х1 о Х2 =0 .
Картографический объект Х1 G K находится в близости к картографическому объекту Х2 G K или между Х1 и Х2 установлено топологическое отношение "Близость" ß , т.е. Х-,ßХ2 тогда и только тогда, когда картографический объект Х расположен на заданном расстоянии от картографического объекта Х
Теорема 3. Отношение «Близость» выполняется если Х1^^Х2 антирефлексивно, симметрично, транзитивно и при этом выполняется условие того что картографические объекты Х и Х не должны пересекаться между собой, т.е. Х1 оХ2 =0 ; минимальное расстояние между граничными точками картографических объектов Х и Х не превышает заданного расстояния р^0 , т.е. min р(^а, Ь) < рзад , где а, Ь - граничные точки картографических объектов Х, и Ху соответственно; р(^а, Ь) -расстояние между граничными точками а, Ь ; min р(а, Ь) - минимальное расстояние между граничными точками а, Ь ; р^ - заданное расстояние, в пределах которого определено отношение "Близость".
Картографический объект Х1 G K вложен в картографический объект Х2 G K или между Х^ и Х2 установлено топологическое отношение "Вложенность" у , т.е. Х.,уХ2 тогда и только тогда, когда все элементы объекта Х находятся внутри объекта Х .
Теорема 4. Отношение «Вложенность» выполняется, если Х.|уХ2 рефлексивно, ассиметрично, нетранзитивно и при этом выполняется условие Х2 с Х1 .
Картографический объект Х1 G K пересекается с картографическим объектом Х2 G K или между Х1 и Х2 установлено топологическое отношение "Пересечение" X , т.е. Х-,%Х2 .
Теорема 5. Отношение «Пересечение» выполняется, если Х1хХ2 рефлексивно, симметрично, транзитивно
и выполняется Х о Х2 =0 .
Введение вышеперечисленных топологических отношений позволяет однозначно описывать взаимное расположение объекта в двумерном пространстве.
