CC BY
49
УДК 629.7.08
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ СИСТЕМЫ ЭЛЕКТРОСНАБЖЕНИЯ НАЗЕМНОГО ЭЛЕКТРОАГРЕГАТА, РЕАЛИЗОВАННОЙ НА БАЗЕ ВЫСОКОЧАСТОТНЫХ СТАТИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕЙ
Н.Е. Лыхин, В.П. Иванов
В статье рассмотрен вопрос математического описания электрической системы, построенной на статических преобразователях, используя метод переменных состояний
Ключевые слова: статический преобразователь, вектор переменных состояний, матрица
В настоящее время широко развиты методы математического описания статических преобразователей [1...3, 5, 7, 9], в которых электрическая система представлена в виде эквивалентной схемы с постоянной структурой и постоянными параметрами. Такие методы существенно снижают трудоемкость исследования электромагнитных процессов и позволяют получить результаты в достаточно
простом и удобном аналитическом виде. Однако статические преобразователи, имеющие промежуточное высокочастотное преобразование электрической энергии на рисунке с различным набором управляемых и неуправляемых ключевых элементов, не могут быть без грубых допущений сведены к эквивалентной схеме с постоянной структурой и постоянными параметрами.
Функциональная схема системы электроснабжения наземного электроагрегата на статических преобразователях В1 - мостовой выпрямитель; ИФ1, ИФ2 - сглаживающий индуктивный фильтр; ЕФ1, ЕФ2 - сглаживающий емкостной фильтр; ИНВ - однофазный инвертор; ДН - датчик напряжения; Т - однофазный высокочастотный трансформатор; БУ -блок управления; В2 - однофазный двухполупериодный двухтактный выпрямитель
Другие методы математического описания [4, 6.10] основаны на представлении многозвенной электрической системы в виде эквивалентной схемы с переменными параметрами или структурой. Среди них наиболее подходящими и универсальными для рассматриваемых статических преобразователей является метод переменных состояний. Сначала записываются уравнения по законам Кирхгофа, дифференцируются и далее полученные уравнения переменных состояний представляются в матричной форме (1).
= А1 ■ х(-) + А2 ■ у(/), (1)
где х(-) - вектор переменных состояний;
Лыхин Николай Евгеньевич - ВАИУ, преподаватель, тел. 8-919-230-97-68
Иванов Владимир Петрович - ВАИУ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8-910-242-90-16
А1 - матрица, которая определяет вклад элементов (включая полупроводниковые приборы) вбаланс токов и напряжений силовой схемы преобразователя. Причем матрица квадратичная и имеет число строк и столбцов равное числу принятых переменных;
А2 - матрица, которая определяет вклад источников ЭДС и источников тока в баланс токов и напряжений. Причем матрица имеет число строк равное числу переменных и число столбцов равное числу источников ЭДС и источников тока;
V— - вектор входных воздействий.
В качестве искомых переменных величин выбраны переменные, которые характеризуют энергетическое состояние силовой схемы и обладают инерционностью (невозможностью мгновенного изменения накопленной электрической энергии при конечном значении мощности). К ним отнесены токи (или потокосцепления) индуктивных элементов и напряжения (или заряды) емкостных элементов. Выбор этих величин в качестве переменных
вектора х(.1) позволяет формировать систему дифференциальных уравнений в нормальной форме, так как только в этих элементах токи и напряжения связаны между собой через производные. В тоже время вектор входных воздействий состоит из величин напряжения источников ЭДС и токов источников тока.
В результате уравнение переменных состояний имеет вид:
й
dt
UC = A1 • UC + A2 • U эдс
_iL _ _iL _ }ток _
(2)
где ис и іь - подматрицы напряжении на конденсаторах и токов индуктивных элементов силовоИ схемы;
иэдс и 1ток - подматрицы напряжении источников ЭДС и токов источников тока силовоИ схемы.
Следует отметить, что наличие в силовоИ схеме статического преобразователя полупроводниковых управляемых и неуправляемых элементов (транзисторов и диодов) обуславливает в матрицах А1 и А 2 присутствие соответствующих им нелинейных параметров. Анализ технической литературы [1.10] показывает, что при исследовании установившихся режимов рабочих процессов используемые полупроводниковые элементы рационально представлять в виде идеальных ключей, которые описываются кусочно-линейными функциями. При этом учет существенного различия в скоростях протекания переходных процессов в полупроводниковых, электромагнитных и особенно в электромеханических элементах (в нашем случае электро-
стартер) обуславливает корректность допущения о мгновенной коммутации полупроводниковых приборов. В этом случае на каждом i-ом межкоммута-ционном интервале времени (ti - ti_1) матрицы А1 и А2 содержат постоянные сосредоточенные параметры и становятся линейными для текущего времени отсчета:
A1i = const при t £ [ ti-1 — ti ], i = 1,2,3,...
A2i = const при t £ [ ti-1 — ti ], i = 1,2,3,. Соответственно уравнение переменных состояний принимает следующий вид:
d_
dt
UC = Ali • UC + A2i • U эдс
_iL _ _iL _ _Іток _
(3)
Для формализации математического описания статического преобразователя с промежуточным высокочастотным преобразованием электроэнергии осуществим выделение каждого элемента электрической цепи в отдельную ветвь. При этом к ветвям нормального дерева графа сначала относят источники ЭДС, затем конденсаторы, сопротивления полупроводниковых элементов и резисторы. В крайнем случае, если дерево не связывает все узлы электрической схемы, к ветвям дерева относят индуктивные элементы. К нормальным подграфам связей сначала относят источники тока, затем индуктивные элементы, сопротивления полупроводниковых элементов, резисторы и в последнюю очередь - конденсаторы. В целом нормальное дерево и нормальный подграф связей образуют нормальный граф силовой схемы, уравнения которой в соответствии с законами Кирхгофа имеют вид:
- fJe - fLe - fVe - fRe - fCe
- fJc - fLc - FVC - FRc - Fcc
- Fjy - Fly - fVv - FRy О
- fJr - F[r - fVr - fRr О
- fJl - Fli О О О
W
iCW
VW
RW
4W
= G,
(4)
fje FJC fje fjr fjl
fle FLC flv flr fll
fve FVC Fyy fvr О
fre FRC frv frr О
FCE Fcc О О О
UCW
UVW
URW
ULW
= G.
(5)
где Еаь единичные матрицы, размерность которых определяется числом строк;
Ж - индекс переменных и параметров, который соответствует ветви нормального дерева графа силовой схемы;
С - индекс переменных и параметров, кото-
рый соответствует конденсатору ветви нормального дерева или подграфу связи;
V, Я, Ь - индекс переменных и параметров, который соответствует полупроводниковому элементу, резистору, индуктивному элементу ветви нормального дерева или подграфу связи;
^ , iсw , іш , ія№ , іь№ - подматрицы токов, которые соответствуют источникам питания ЭДС, конденсаторам, полупроводниковым элементам, резисторам, индуктивным элементам, включенных в состав ветвей дерева;
Uw, Uсw, Uvw , Uяw , Uьw —
подматрицы напряжений, которые соответствуют источникам питания ЭДС, конденсаторам, полупроводниковым элементам, резисторам, индуктивным элементам, включенных в состав ветвей дерева.
При этом в соответствии с известными законами электротехники уравнения подматриц описываются как:
_ с й-щ
lсw _ сw
lCW
dt
U
LW
L
di
W
LW
(б)
&
uvw _ Ужі ' 1уж, uяw _ ^ • lяw •
где Cw , Яw , Ьw - подматрицы значений соответствующих емкостей конденсаторов, сопротивлений резисторов, индуктивностей реактивных элементов, входящих в состав ветвей дерева;
- подматрица значений сопротивлений полупроводниковых элементов на 1-ом межкомму-тационном интервале времени, включенных в состав ветвей дерева.
Таким образом, предпочтение использования данного метода математического описания (метода
переменного состояния) для статических преобразователей многозвенной структуры заключается в том, что он обеспечивает получение математической модели с минимальной размерностью и достаточно просто сопрягается с широким спектром известных методов расчета электромагнитных процессов, включая аналитические, численные и численно-аналитические.
Литература
1. Бедфорд Б.Ф., Хофт Р.Г. Теория автономных инверторов. - М.: Энергия, 1969. - 280 с.
2. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. - Л.: Энергоиздат, 1981, т. 1, 2.
3. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. - М.: Высшая школа, 1978. - 528 с.
4. Зиновьев Г.С. Методы анализа установившихся и переходных процессов в вентильных преобразователях. -Новосибирск, НЭТИ 1975. - 75 с.
5. Руденко В.С., Жуйков З.Я., Коротеев И.Е. Расчет устройств преобразовательной техники. Киев: 1980. - 136 с.
6. Жарков Ф.Л., Соколов В.А. Цепи с переменными параметрами. - М.: Энергия 1976. - 224 с.
7. Лившиц А. Л., Отто М.Ш. Импульсная электротехника. - М.: Энергоатомиздат, 1983. - 352 с.
8. Демирчян К.С., Бутырин П.А. Моделирование и машинный расчет электрических цепей. - М.: Высшая школа, 1988. - 335 с.
9. Зевеке Г.В., Ионкин Л.А., Нетушин А.В. и др. Основы теории цепей. - М.: Энергоатомиздат, 1989. - 270 с.
10. Ионкин Л.А., Максимович Н.Г., Миронов В.Г. и др. Синтез линейных и электронных цепей (метод переменных состояний). - Львов: 1992. - 337 с.
Военный авиационный инженерный университет (г. Воронеж)
MATHEMATICAL DISCRIPTION OF ELECTRICAL SUPPLY GROUND DEVICE SYSTEM REALISED ON HIGH FREGUENCY STATIC TRANSFORMERS BASE N.E. Lyhin, V.P. Ivanov
The article contains mathematical description of electrical system built on static transformers, applying methods of alternating
states
Key words: static transformer, alternating states vector, matrix
