CC BY
15
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
модели больцмановского типа // Материалы XVII Всероссийской конференции молодых ученых по математическому моделированию и информационным технологиям. Новосибирск, Россия. 30 октября - 3 ноября 2016 г., стр.29.
3. Новиков А.В. Адаптированные стохастические дифференциальные модели ценового ряда // Препринт 1157. ИВМиМГ СО РАН, Новосибирск, 2003, 27 с.
4. Artemiev S.S., Novikov A.V., Ogorodnikov V.A.Mathemmatical aspects of Computer aided share trading // Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling. - 2002. - Vol. 17, No. 4. - P. 331-346.
5. Black F., Scholes М. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journal of Political Economy. - 1973. -Vol. 81, No. 3. - P. 637-654.
6. Burger M., Caffarelli L., Markowich P., Wolfram M.-T. On a Boltzmann-type price formation model // Proceedings of the Royal Society A. - 2013. - Vol. 469, N 2157, 20130126.
7. Greenwood P.E., Nikulin M.S. A guide to chi-squared testing. - New York: John Wiley & Sons, 1996. - 280 p.
© Новиков А.В. , Бурмистров А.В., 2017
УДК: 519.6:539.3
Аннотация
Особенностью алгоритма является использование конечно-элементной технологии, основанной на смешанной формулировке, построенной с помощью функционала Рейсснера. Представлены основные матричные соотношения для двухмерного случая.
Ключевые слова
Задача теории упругости; метод конечных элементов; смешанная формулировка; функционал Рейсснера.
Одним из альтернативных вариантов при численном анализе задач теории упругости [1, 2] является применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов, в которых напряжения входят в разрешающие уравнения наряду с перемещениями как равноправные неизвестные. Основным положительным обстоятельством при использовании смешанных формулировок метода конечных элементов является уменьшение погрешности аппроксимации напряжений, что и приводит к более точной оценке напряженно-деформированного состояния по сравнению с классическим подходом метода конечных элементов в форме метода перемещений [4 - 6].
В данной работе рассматривается один из вариантов метода конечных элементов в рамках смешанной схемы, основанной на применении функционала Рейсснера. Для численного решения задачи теории упругости применим смешанную формулировку метода конечных элементов, основанную на условии стационарности функционала Рейсснера [7]. Функционал Рейсснера запишем в следующем виде
Станкевич Игорь Васильевич
д.т.н., профессор МГТУ им. Н.Э. Баумана,
г. Москва, РФ E-mail: [email protected]
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ МКЭ НА ОСНОВЕ ФУНКЦИОНАЛА РЕЙССНЕРА
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
здесь A - матрица операций дифференцирования; D - матрица податливости; Ag - матрица
направляющих косинусов внешней нормали П к поверхности S.
Рассмотрим построение основных матричных соотношений применительно к решению двухмерных задач. Пусть конечно-элементная модель области G состоит из K однотипных конечных элементов (е),
каждый из которых имеет M узлов и соответственно столько же функций формы Np^ (£,]) , p = 1,M , зависящих от локальных координат £ и Т] . Общее число узлов конечно-элементной модели - N . Введем
в рассмотрение две матрицы функций формы
N,
(«)'
а
N
(e)
. С помощью этих матриц функций формы
аппроксимируем векторы напряжений Г и перемещений и в пределах конечного элемента (е). Имеем
а
(e)
N
( e)
3x3M
а•>}.
u
( e)_
N
(e)
2x2M
3M
"2M
= N«! \ (e)1
- - 3x3M --
= NW] \ (e) 1 au )
- - 2x2M - -
3M x3N
2M x2 N
{a}3N;
U}
2N
(2) (3)
здесь а
{а( e)}
V )3M
локальный вектор напряжений, состоящий из компонент тензора напряжений,
относящихся только к м узлам фиксированного конечного элемента (е); - глобальный вектор
напряжений, состоящий из компонент тензора напряжений, относящихся ко всем N узлам конечно-
~ (еУ ~1\ >
элементной модели;
- матрица геометрических связей конечного элемента (е ),
н
вектора напряжений {с| [2, 3];
вектора перемещений, относящихся только к м узлам фиксированного конечного элемента ( е ); {и |2 N - глобальный вектор перемещений, состоящий из компонент вектора перемещений, относящихся ко всем N
13М х3 N
используемая для связи компонент локального вектора напряжений {Ск ' | и компонент глобального
»
U ' } - локальный вектор перемещений, состоящий из компонент 2M
узлам конечно-элементной модели;
а.
( e )"
2M x2 N
матрица геометрических связей конечного элемента
(е), используемая для связи компонент локального вектора перемещений {м^ и компонент глобального
вектора перемещений {и | [2, 3].
Рассмотрим последовательно слагаемые, входящие в правую часть выражения (1). Первое слагаемое можно представить так
ф (au) = J{a}T [ A ]{u} dV = {a}T £
G e=1
T (e)
,(6)
{U},
(4)
здесь
3 M x2 M
J \ n{: >1 [a]
V (e) L J
NU
11
dV.
Второе слагаемое записывается аналогично
1
Ф 2 (au ) = 2 J{a}T [ D ]{a} dV = 2 {a}T £
2 G 2 e=1
i \ T Г / \ 1 i \
(e) а 1 а T (e) T2 (e) а 1 а
Здесь
г(е)
3М х3М V (е)
IГ ^ )]т [ D ]Г ^
dV.
Третье слагаемое допускает представление
Фз(аи)=|{и}т{е}dv=; | {«}тмdv={и}т;
в
здесь
{'3е'} = /к
I )2Ы ¿(е)1
(е)
N
(е)"
е=^М ")(е)
е=1
а
(е )'
г( е)
(6)
dv{е(е)}, где {е(е)}-
локальный вектор массовых сил,
компоненты которого отнесены к узлам элемента ( е ).
И наконец четвертое слагаемое можно записать в виде
Ф4 (а,и) = | {и}т {р}dS = I | {и}т {р}dS = {и}т I
ё=15(ё) ё=1
а.
{'4ё)},
(7)
здесь
{'4ё)} = I Г)]ТГЧё)1 dS{р(ё)};
V >2т 5 (г)Г J \г J I )
L -
число граней, в данном случае - одномерных
конечных элементов, которые аппроксимируют поверхность ; т - число узлов одномерного конечного
" ,(ёГ
элемента;
а
матрица геометрических связей одномерного конечного элемента - грани (ё),
компонент глобального
J2тх2N
используемая для связи компонент локального вектора перемещений {и
{«»} и
вектора перемещений {и}[2, 3]; {р(ё)}
локальный вектор внешней нагрузки, компоненты которого
отнесены к узлам грани
(ё).
Так как заданные перемещения и на поверхности можно учесть при решении системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) [2], то нет необходимости формировать матрицы, связанные с
вычислением слагаемого
Ф5 (а,и)=|(и - и0) Л.
5
Окончательно функционал Рейсснера (1) в матричном виде для конечно-элементной модели можно записать в виде
Ф({а},{и }) = Ф1 ({а},{и }) + Ф 2 ({а},{П }) + Фз ({а},{и }) + Ф 4 ({а},{П }) =
т к = {а}Т I
е=1
к
(е)"
у\ )
г( е )■
а
(е)"
к
{и }- 2 {а}Т I
2 е=1
а
(е)'
г(«)'
(е)"
у\ )
{а} -
-{и}' I
е=1
Введем обозначения
а
( е)
{'з(е)}-{и}Т I[а<ё>]Т{'4ё>}.
ё =1
(8)
Ке
[ КЦ ] = 1
е= Ке
кы
(е)'
у\ /
г( е)'
а
(е)'
Ке
; [К12 ]=!
е=1
а.
(е)'
г( е)'
(е)"
у\ /
е=1
а
(е)'
{'3е)}+! [а«ё >]т {' 4ё>}. ё=1
т
<
_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «СИМВОЛ НАУКИ» № 04-2/2017 ISSN 2410-700Х_
Основными неизвестными данной задачи являются компоненты глобальных векторов напряжений
{a}3N и перемещений {U^n . Таким образом, общее число неизвестных равно 5N . Для их вычисления
необходимо построить СЛАУ, используя свойство стационарности функционала Рейсснера. Для построения
СЛАУ надо продифференцировать функционал Ф({ст},{и}) по компонентам глобальных векторов
напряжений {а} и перемещений {U} и производные приравнять нулю, в результате получим
"[*п] [ K12 ]
[ K21] [ K 22 ]_
Vil ÍW РО*2 i_)'
(10)
где [K12 ] = [K21 ] ; [K22 ] = [0] - нулевая матрица; = {0| - нулевой вектор.
Решение СЛАУ (10) является решением задачи с седловым оператором [8]. Для решения таких задач, как правило, применяются различные итерационные методы. Рассмотрим модифицированный метод SSOR (метод MSSOR) для системы (10), в основе которого лежит метод последовательной верхней релаксации (SOR - Successive Over Relaxation). Имеем
1 [ K„]ÍM*+12-Mk] + [ Kn]!af +[ K12 ]!U }k = !0i;
[ B]({U ik+1 -!U ik ) + [ Ki2 ]T {a}k+/2 =!^2i;
(11)
1 [ Kn](V}k+1 -{a}k+X ]+[ Kn ]{a}k+12+[ K12 ]!u ik+1},
здесь [ B~] - предобусловливатель, который имеет следующую структуру
[B] = [K12 ]T [DKn ]-1 [K12 ] ,
где
D
K11
диагональная матрица, соответствующая главной диагонали матрицы
[K11 ]; k
номер итерации; X и Т - итерационные параметры. Оценка численных значений итерационных параметров и сходимость вычислительной схемы (11) рассмотрены в работе [8].
Применение схемы (11) требует в рамках одной итерации решения трех СЛАУ относительно
глобальных векторов приращений напряжений и перемещений {A^j- . Из (11)
имеем
[ Гц ]{Aa}k+12 =-т|
([ k11 ]Mk + [ k12 ]!u ik);
[ в ]!au ik+1 = k12 ]T !^ik+12-{^j;
[ k11 ]!A^ik+1=-rf[ k11 ]Mk+X+[ k12 ]!u ik+1
(12)
где
k +1
k +1
{a}k+/2 = {a}k + {Aa}k+/2; {a}k+1 = {af+/2 + {Aa}
>k +1/
Л+1
и
{и }*+1 = {и у+{ди |к
Каждое СЛАУ, входящее в (12), можно решить с помощью метода сопряженных градиентов [3]. Список использованной литературы:
1. Зарубин В.С., Станкевич И.В. Расчет теплонапряженных конструкций. М.: Машиностроение, 2005.352 с.
2. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теории упругости методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. 106 с.
3. Котович А.В., Станкевич И.В. Решение задач теплопроводности методом конечных элементов. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010. 84 с.
sk+1
4. Чирков А. Ю. Применение смешанных вариационных формулировок метода конечных элементов к решению задач о собственных колебаниях упругих тел // Проблемы прочности. 2008. № 2. С. 121 - 140.
5. Гуреева, Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет оболочки вращения при произвольном нагружении с использованием МКЭ на основе функционала Рейсснера // Вычислит. технологии. 2008. Т. 13. № 4. С. 51 - 59.
6. Гуреева Н.А., Клочков Ю.В., Николаев А.П. Расчет осесимметрично нагруженной оболочки вращения с учетом геометрической нелинейности на основе смешанного МКЭ // Изв. вузов. Авиационная техника. 2014. № 4. С.14-19.
7. Розин Л.А. Метод конечных элементов в применении к упругим системам М.: Стройиздат, 1977. 128 с.
8. Быченков Ю. В., Чижонков Е. В. Итерационные методы решения седловых задач. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2010. 349 с.
© Станкевич И.В., 2017
УДК 517 923
Чочиев Тимофей Захарович
кандидат физ. мат. наук, профессор, старший научный сотрудник Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО - А.
ОБ ОДНОМ НЕЛИНЕЙНОМ УРАВНЕНИИ, ОБОБЩАЮЩЕГО УРАВНЕНИЕ РИККАТИ
Аннотация
Изучается нелинейное уравнение, обобщающее уравнение Риккати [1,2]. Метод рассмотрения аналогичен методу рассмотрения уравнения Риккати [3,4,5]. Решение строим в явной форме.
Ключевые слова
Дифференциальное уравнение, нелинейность, решение, удовлетворение, выполнимость,
тождественность, класс Риккати.
П. 1. Обобщенное нелинейное уравнение.
Известно, что решение линейного уравнения второго порядка с переменными коэффициентами тесно связано с решением уравнения Риккати [6]. С аналогичным случаем сталкиваемся при изучении уравнения в частных производных второго порядка гиперболического класса, где всплывает нелинейное уравнение,
д1 _
— + А(х, г)12 + в(х, + с(х, о = о, (1.1)
обойти решение которого невозможно, ибо искомая функция упомянутого уравнения непосредственно зависит от 1(х, £). Если допустить в (1.1) х = 0, то оно есть уравнение Риккати. В связи с этим, естественно, (1.1) можно назвать обобщенным случаем уравнения Риккати.
Исследование (1.1) проведем согласно [3,5]. Доказывается теорема
Теорема 1. Если к(х, Ь) решение нелинейного уравнения дН(х, о
дЬ
где
■ - к2(х, о + а*(х, ь)к(х, 0 + в*(х, о = о, (1.2)
дА(х,г) дг
А*(х, Ь) = А(х, ш! + Л2) -^¿у, в*(х, 0 = -л1л2А2(х, ь) - д(лд++л2) А(х, г), 1
л = =*±ЛЕ±Ш; в2-4АС>0
2а '
