CC BY
72
А.В. Калач, А.А. Чудаков,
доктор химических наук, профессор, Воронежский институт
Воронежский институт ГПС МЧС России
ГПС МЧС России
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОДНЫХ СИСТЕМ ПРОТИВОПОЖАРНОГО НАЗНАЧЕНИЯ
MATHEMATICAL MODELLING OF FIRE-FIGHTING
WATER SYSTEMS
Представлена разработка универсальной математической модели распространения поверхностных вод при весеннем половодье, учитывающей рельеф местности, впитывающие свойства грунта, динамику таяния снега, осадки, влажность.
The development of the universal mathematical model of propagation of surface water during the spring flood, which takes into account the relief of the terrain, the absorbing properties of the soil, the dynamics of melting snow, precipitation, humidity is presented.
В 2010 г. в России возникла сложная пожарная обстановка в условиях аномальной температуры окружающей среды и отсутствия осадков. По состоянию на начало августа 2010 года, в России пожарами было охвачено ~ 200 тыс. га. Катастрофические пожары были зарегистрированы в Рязанской, Воронежской, Нижегородской областях и Мордовии.
Обследование территорий Воронежской области показало, что в противопожарных целях малые гидротехнические сооружения используются недостаточно. Из общего количества имеющихся водоемов для противопожарных целей используется лишь 7%.
Кроме того, весной при наступлении первых потеплений происходит масштабное таяние снега, что приводит к подтоплению территорий значительной площади. Причиной тому является движение поверхностных вод, не успевающих стечь в водоемы, уйти в грунтовые воды, испариться [1].
Для прогнозирования динамики поверхностных вод необходимо учитывать: рельеф местности, впитывающие свойства грунта, начальное состояние снежной массы, динамику таяния снега, осадки, влажность воздуха [1,2].
Таким образом, сопоставив две очевидные проблемы Воронежской области, в частности отсутствие необходимого количества водоисточников и подтопление территории, была принята попытка разработки универсальной математической модели динамики поверхностных вод при потеплении. С целью оценки рисков наводнений и проектирования противопожарных сооружений, заполняемых водами, разработана оригинальная программа «Программа для моделирования движения вод местного стока», предназначенная для моделирования динамики вод местного стока при масштабном таянии снега или интенсивного поступления жидкости с ливневыми дождями [3]. В программе учитывается рельеф местности, впитывающие свойства грунта, динамика таяния снега, осадки, влажность.
Существует возможность расчета движения жидкости на реальной карте местности. В процессе работы программы выводится карта затопления (рис.1).
При использовании программы моделирования движения вод местного стока появляется возможность отследить вероятные места скопления талых вод.
Рис. 1. Форма вывода результатов в «Программе для моделирования
движения вод местного стока»
Однако при решении задач о подтоплении определенной местности необходимо как можно полнее перенести в модель рельеф местности.
Если рассматривать масштаб локальных водоемов (в частности, прудов) и окружающих их населенных пунктов, карты общего назначения несут довольно малый объем информации. Можно ориентироваться только на две-три линии уровня, на контуры водоемов, на линии рек, на отдельные ключевые точки с обозначенными высотами (рис. 2).
7 Программа
Рис. 2. Карта общего назначения, для моделирования подтопления
Поэтому возникает задача, как максимально использовать такую ограниченную и разнородную информацию для восстановления в модели функции поверхности z(x, y).
Для решения данной проблемы был разработан математический метод восстановления поверхности «Программа для оцифровки топографической карты с целью моделирования наводнения» [4].
В рамках данного метода необходимо найти такую функцию поверхности z(x, y), «срезы» которой заданными уровнями z = const максимально совпадают с линиями уровня карты и контурами водоемов. Дополнительно необходимо, чтобы отдельные ключевые точки были как можно более близкими к функции поверхности, а также, чтобы линии рек были близки к протяженным локальным минимумам поверхности. Знание функции z(x, y) позволит применить к заданному участку местности метод моделирования движения вод местного стока, что дает возможность прогнозировать, в частности, разлив водоемов.
Функцию поверхности z(x, y) целесообразно искать в виде комбинации множества аналитических функций. Естественными функциями для аппроксимации рельефа поверхности являются трехмерные гауссовские пики zn(x, y), задаваемые аналитическим выражением (рис. 3)
^ (x - x п )2 +(y - y п )2 Л
z П(x y) = H П exp
s
(1)
V ~П у
где ^п — высота пика; хп и уп — координаты вершины пика; ол — параметр, задающий ширину пика (имеет смысл среднеквадратичного отклонения).
2
zn(X y)
Рис. 3. Элементарный гауссовский пик гп(х, у), из множества которых ся функция поверхности г(х, у) путем суперпозиции
составляет-
Рельеф всего заданного участка местности г(х, у) может быть аппроксимирован суперпозицией гауссовских пиков:
* П ' (х - х )2 +(у - у, )2 '
z( x, y) = Н0 + £ Н, exp
i= 1
V
2
(2)
у
где Н0 — начальный уровень высоты (выбирается несколько ниже наинизшей линии уровня); *п — количество гауссовских пиков; Д, х *, уь а* — параметры ,-го пика.
Поиск параметров элементарных гауссовских функций производится на основе минимизации невязки N — суммарного квадратичного отклонения суперпозиции пиков от картографических точек (х*,у*, 2\) [5—7]:
N.
*(Но, Н1, х,, у,, °,)=У К (<х,,у,) - ^)2 =
i=1
No
= Z ki
i=1
vv
Nj
H 0 + Z Hj exp
j=1
(x'i - xj )2 +(vi - yj }
1
- zi
(3)
J jj у
где Nt — количество картографических точек (xi, yi, zi); ki — весовой коэффициент i-й точки (в частности, для ключевых точек рельефа коэффициент значимости должен быть выше, чем для множества точек, задающих линии уровня).
Для минимизации невязки используется двухуровневый алгоритм численной минимизации. Изначально гауссовские пики распределяются по длине и ширине участка заданного размера случайным образом по равномерному закону (с помощью оператора random системы программирования Delphi). При этом параметры Hi и Oi также выбираются случайным образом по равномерному закону из следующих интервалов: от 0 до 100 м для Hi и от 1 до 20 м для Oi. Поиск минимума производится методом случайного перебора начальных точек с последующим градиентным спуском из них [5].
2
Поиск функций связан со значительной вычислительной работой, однако при использовании современных персональных компьютеров, время восстановления рельефа местности 10х10 км занимает около 5 мин.
Для демонстрации работы программы в качестве примера была выбрана местность с высоким ежегодным риском затопления: вблизи населенных пунктов Дубовый и Средний Икорец Воронежской области. Затопление может происходить при весеннем разливе пруда Садовый на реке Топка. Причина выбора данной местности заключалась в наличии обширных статистических данных по затоплениям за последние 10 лет.
При оцифровке карты местности вблизи населенных пунктов Дубовый и Средний Икорец получено 1980 базовых точек. На рис. 4 показаны различные линии уровня [8].
Алгоритм работы программы основан на методе сглаженных частиц, который основан на идее деления жидкости на дискретные элементы, называемые частицами. Эти частицы имеют пространственное расстояние (известное как «длина сглаживания», обычно представляемая в уравнениях как И), на которых их свойства «сглаживаются» некоторой специально заданной функцией (функцией ядра). Это значит, что любая физическая величина любой частицы может быть получена путем суммирования соответствующих величин всех частиц, которые находятся в пределах двух сглаженных длин. Например, температура в точке г зависит от температуры всех частиц на расстоянии 2И от г. Влияние каждой частицы на свойства оценивается в соответствии с её плотностью и расстоянием до интересующей частицы. Математически это описывается функцией ядра (^). В качестве функций ядра часто используют функцию Гаусса (функция нормального распределения) или кубический сплайн. Последняя функция равна нулю для частиц, находящихся дальше, чем две сглаженные длины (в отличие от функции Гаусса, где имеется небольшое влияние на любом конечном расстоянии). Это позволяет экономить вычислительные ресурсы, исключая относительно малое влияние отдаленных частиц [9].
Рис. 4. Форма вывода результатов в оцифровке топографической карты с целью моделирования наводнения
Значение любой физической величины А в точке г задается фор мулой
А(г) = Xт]-^Ж(\г - г]\,И), (4)
] р]
где т — масса частицы ^ А] — значение величины А для частицы ^ Pj — плотность связанная с частицей ], и Ш — функция ядра.
Плотность частицы ] (Р]) выражена в виде
Р] = Р(г]) = 2т]Р]Ж(\г-Г]\,И) = X(\ г] -г] \,к), (5)
] р] ]
где суммирование ] включает все частицы в симуляции.
Программа разработана для прогнозирования затопления местности как в Воронежской области, так и в других областях, в зависимости от анализируемых карт и территорий. Адаптация к другим местным условиям не требуется. При оцифровке и восстановлении поверхностей Программа считывает информацию о рельефе заданной местности из файла, подготовленного программой, описанной выше. В процессе работы программа просчитывает течение воды под действием разности уровней жидкости и высот рельефа.
а
1 сутки
2 суток
5 суток
10 суток
Начальная толщина Начальная толщина
снежного покрова 0,2 м снежного покрова 0,5 м
Рис. 5. Изменение карты затопления местности вблизи населенных пунктов Дубовый и Средний Икорец с течением времени при высоте снежного покрова 0,2 м (слева) и 0,5 м (справа)
Программа выводит карту затопления местности, а также зависимость уровня воды от времени в заданных точках на карте (например, населенных пунктах, железнодорожных станциях, дорогах).
Модель движения вод местного стока позволяет получить серию карт затопления с временным интервалом в несколько часов или суток. На картах затопления черным цветом отмечены области затопления, в которых уровень воды превышает
0,1 м. Кроме того, для выбранных наиболее важных точек на карте, в частности главной улицы населенного пункта, железнодорожного вокзала, федеральной автодороги и т.п., можно получить зависимости уровня воды от времени.
Установлено, что наибольшее затопление прогнозируется с 1 по 5 сутки с момента таяния снега, однако даже спустя 10 суток пруд Садовый остается вышедшим из берегов, анализируемые населенные пункты — частично затопленными (рис. 5).
Сравнительный анализ показал, что полученные результаты по затоплению местности вблизи населенных пунктов Дубовый и Средний Икорец хорошо соотносятся с соответствующими статистическими данными за последние 10 лет [8].
На основе проведенного с помощью модели прогноза могут быть приняты меры по модификации или строительству дополнительных гидротехнических сооружений.
Полученные результаты позволят разработать алгоритм оценки пригодности водоисточника для забора воды пожарной техникой и алгоритм действий экстренных служб при появлении первых сведений, выдаваемых программой математического моделирования вод местного стока.
Таким образом, предлагаемый комплекс методов и программ учитывает с высокой детализацией рельеф местности, воспроизводит основные физические процессы и на основе этого позволяет с высокой долей достоверности прогнозировать характер и динамику затопления заданной местности.
Разработанные методы и программы могут быть использованы для строительства водоемов, используемых как пожарной техникой, так и авиацией МЧС России.
ЛИТЕРАТУРА
1. Семенова О.М. Анализ и моделирование процессов формирования стока в малоизученных бассейнах (на примере бассейна р. Лены) : дис. ... канд. техн. наук. — СПб., 2008. — 216 с.
2. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: учебное пособие. — М.: Высш. шк., 1998. — 319 с.
3. «Программа для моделирования движения вод местного стока» (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ N° 2013615705 от 18.06.2013 г. Авторы: Калач А. В., Посметьев В.В., Чудаков А.А.).
4. «Программа для оцифровки топографической карты с целью моделирования наводнения» (Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ №2013660958 от 25.11.2013 г. Авторы: Калач А.В., Посметьев В. В., Чудаков А. А.)
5. Гулд Х., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике. Ч. 2. — М.: Мир, 1990. — 400 с.
6. Королев Ю.Г. Метод наименьших квадратов в социально-экономических исследованиях. — М.: Статистика, 1980. — 112 с., ил.
7. Аренс Х., Лёйтер Ю. Многомерный дисперсионный анализ: пер. с нем. — М.: Финансы и статистика, 1985. — 231.
8. Калач А.В., Чудаков А.А. Математическое моделирование водных систем противопожарного назначения // Технологии гражданской безопасности. — 2013. — №
3. — С. 90—94.
9. Моделирование и визуализация результатов моделирования трансформации оползней вблизи гидротехнических сооружений / Е.Л. Авербух [и др.]. — Нижний Новгород : Нижегород. гос. техн. ун-т им. Р.Е. Алексеева, 2011.
REFERENCES
1. Semenova O.M. Analiz i modelirovanie protsessov formirovaniya stoka v maloi-zuchennyih basseynah (na primere basseyna r. Lenyi) : dis. ... kand. tehn. nauk. - SPb., 2008. - 216 s.
2. Sovetov B.Ya. Modelirovanie sistem [Tekst]: uchebnoe posobie / B.Ya. Sovetov, S.A. Yakovlev - M. : Vyissh. shk., 1998. - 319 s.
3. «Programma dlya modelirovaniya dvizheniya vod mestnogo stoka» (Svidetelstvo o gosudarstvennoy registratsii programmyi dlya EVM № 2013615705 ot 18.06.2013 g. Avtoryi: Kalach A.V., Posmetev V.V., Chudakov A. A.).
4. «Programma dlya otsifrovki topograficheskoy kartyi s tselyu modelirovaniya na-vodneniya» (Svidetelstvo o gosudarstvennoy registratsii programmyi dlya EVM № 2013660958 ot 25.11.2013 g. Avtoryi: Kalach A.V., Posmetev V.V., Chudakov A.A.)
5. Guld H., Tobochnik Ya. Kompyuternoe modelirovanie v fizike. Ch. 2. - M.: Mir, 1990. - 400 s.
6. Korolev Yu.G. Metod naimenshih kvadratov v sotsialno-ekonomicheskih issledo-vaniyah. - M.: Statistika, 1980. - 112 s., il.
7. Arens H., Lyoyter Yu. Mnogomernyiy dispersionnyiy analiz / Per. s nem. - M.: Fi-nansyi i statistika, 1985. - 231.
8. Kalach A.V., Chudakov A.A. Matematicheskoe modelirovanie vodnyih sistem pro-tivopozharnogo naznacheniya // Tehnologii grazhdanskoy bezopasnosti. — 2013. — N3. —
S. 90—94.
9. Averbuh E.L., Hvostova O.E., Kryukov I.A., Kurkin R.E. Modelirovanie i vizuali-zatsiya rezultatov modelirovaniya transformatsii opolzney vblizi gidrotehnicheskih sooruz-heniy. — Nizhniy Novgorod: Nizhegorod. gos. tehn. un-t im. R.E. Alekseeva, 2011.
