Математическое моделирование тепловых процессов в силовых кабелях с пластмассовой изоляцией Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.314

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССОВ В СИЛОВЫХ КАБЕЛЯХ С ПЛАСТМАССОВОЙ ИЗОЛЯЦИЕЙ

Д. И. ЗАЛИЗНЫЙ, О. Г. ШИРОКОВ,

Н. М. ХОДАНОВИЧ, А. Ю. ШУТОВ

Учреждение образования «Гомельский государственный технический университет имени П. О. Сухого»,

Республика Беларусь

Введение

Силовой кабель - один из важнейших элементов системы электроснабжения. От его надежной работы зависит бесперебойность питания потребителей электроэнергии. К сожалению, отказ кабеля - периодически встречающееся явление, приводящее, как правило, к существенным материальным затратам. Кроме того, в эксплуатации находится значительное количество кабелей, проработавших более 35 лет. Это существенно повышает вероятность их отказа.

В литературе в качестве основных причин повреждаемости кабелей приводятся: механические повреждения, влияние на изоляцию кабеля высокого напряжения и окружающей среды [1], [2]. Сведения о количестве кабелей, выходящих из строя по причине перегрева, фактически отсутствуют. Однако температура - один из основных факторов, обуславливающих износ полимерной изоляции. Кабели могут подвергаться температурным перегрузкам при аварийных режимах работы электрической сети, что приведет к интенсивному тепловому износу их изоляции и последующему выходу из строя.

На этапе проектирования систем электроснабжения один из критериев выбора сечения жил кабеля - условие нагрева допустимым длительным током, где при расчетах используются эмпирические коэффициенты, учитывающие условия эксплуатации кабеля. В реальных условиях на кабели воздействует случайное сочетание внешних факторов, которые должны периодически учитываться при оценке их остаточного срока эксплуатации. То есть речь идет о необходимости непрерывного диагностирования тепловых режимов силовых кабелей, что, при современных возможностях микропроцессорной техники, вполне может быть реализовано.

Промышленностью выпускают кабели с встроенным оптоволоконным продольным датчиком температуры [3]. Современные аппаратные и программные средства, такие как ПТС-1000 российской фирмы Седатэк, позволяют измерять температуру в любом месте по длине кабеля с точностью до одного метра. Однако недостатком таких систем является возможность контроля температуры только поверхностных слоев кабеля, поскольку оптоволокно встраивают или в защитную оболочку или в экран кабеля. Наиболее нагретая точка кабеля находится на поверхности жилы, и именно в этой области происходит наиболее интенсивный тепловой износ изоляции кабеля. Очевидно, что измерить температуру наиболее нагретой точки кабеля можно только косвенным методом.

Есть два способа косвенного измерения температуры поверхности жилы кабеля: на основе зависимости электрического сопротивления жилы от температуры и на основе математической модели тепловых процессов. Первый способ предполагает

существенные аппаратные затраты, особенно для высоковольтных кабелей. Второй способ более предпочтителен в плане аппаратных затрат, но требует соответствующей математической базы. В данной статье рассмотрен вариант базовой математической модели тепловых процессов силовых кабелей, которая при дальнейшем развитии может быть использована в алгоритмах программного обеспечения устройств непрерывного диагностирования этих кабелей.

Расчетные соотношения для тепловых процессов одножильного кабеля

Поставим задачу разработать упрощенную математическую модель тепловых процессов одножильного кабеля, конструктивно состоящего из токоведущей жилы, основной изоляции жилы, защитной оболочки и помещенного в воздушную среду. Далее будем считать такую конструкцию и соответствующую ей математическую модель базовыми.

Вначале необходимо составить структурную схему тепловых процессов для базовой модели, рассмотрев каждый ее элемент как однородное тело [4]. Эта схема приведена на рис. 1.

^^ТоковёдущаЯжйл^^ и

^^ОсновнаЯ^золЯцй^^ и2 ^^ащйтнаЯ^бОлОчк^^ и3

Рис. 1. Структурная схема тепловых процессов одножильного кабеля

На рис. 1 стрелками указано направление теплового потока, который условно идет от центра жилы через слои изоляции в окружающий воздух. При этом воздух также

считается однородным телом с заранее заданной температурой, не зависящей от тем-

пературы элементов кабеля. Каждое однородное тело имеет температуру 9 і, где і -

номер однородного тела. Тепловые процессы в рассматриваемой системе однородных тел описываются следующими дифференциальными уравнениями [4]:

С . + 9і - 9 2 = р-

1' & Я1 ’

с2 . &92+ 0^^+ Є2-93 = 0. (1)

& Я1 я

2

С . &9^ + 93 - 9 2 + 93 - 94 = 0

& Я2 Я3

где 9 1 ... 94 - соответственно, температуры однородных тел: токоведущей жилы, основной изоляции жилы, защитной оболочки и окружающего воздуха (°С); С1... С3 -

[Вт • с

°С I; Я1... Я3 - тепловые сопротивления соответствующих однородных тел (°СВт); Р - потери активной мощности в токоведущей жиле (Вт).

На основе этой системы уравнений можно синтезировать тепловую схему замещения одножильного кабеля [4], приведенную на рис. 2.

И Я1 и

Я2 и3 Я3

р

@ = = Сі ==С2 = =

Рис. 2. Тепловая схема замещения одножильного кабеля

Напряжения в узлах такой схемы эквивалентны соответствующим температурам однородных тел и все методы теоретической электротехники справедливы при их расчете. Воспользовавшись операторным методом, для температуры изоляции жилы можно записать:

И2 (Р) =

= (Р + Ь0 )• Р(Р) + (йіР + 1)~ И4(Р)

а3 р + а2 р + а1 р +1

(2)

(3)

где

Ъ1 = Я2 Я3С3;

Ъ0 = Я2 + Я3 ;

йх = ЯХС{;

а3 = Я1Я2 Я3С1С2С3;

а2 = Я1Я3С1С2 + Я1Я2С1С2 + Я1Я3С1С3 + Я2 Я3С1С3 + Я2 Я3С2С3; а1 = Я1С1 + Я2С1 + Я3С1 + Я3С2 + Я2С2 + Я3С3.

Рассмотрим порядок расчета тепловых параметров для базовой модели, считая все однородные тела идеальными цилиндрами некоторой длины I.

Существует непосредственная аналогия между расчетом тепловых и электрических сопротивлений [5]. Как известно, электрические сопротивления рассчитываются по формуле:

ЯЭЛ = р • £, ,

(4)

где р - удельное сопротивление проводника (Ом-м); I - длина проводника (м);

£ - площадь сечения проводника ( м2).

Если принять, что тепловой поток распространяется от центра токоведущей жилы к периферии кабеля, то аналогией длины проводника для теплового сопротивления элемента кабеля будет длина пути Н[ теплового потока. Тогда для теплового сопротивления жилы кабеля можно записать:

1

у1 51 у1 2 • п • й1 I 2 • у1 • п • Ґ

(5)

где у1 - удельная теплопроводность материала жилы (меди или алюминия); 51 -площадь поверхности теплоотдачи жилы; ё1 - диаметр жилы.

Изоляция жилы кабеля и защитная оболочка представляют собой полые цилиндры толщиной к2. Их тепловые сопротивления будут зависеть не только от значения к2, но и от значений диаметров внутренней и внешней поверхностей. Поэтому расчет тепловых сопротивлений нужно вести интегрально. Рассмотрим расчет на примере изоляции жилы.

Пусть х - некоторое расстояние от поверхности жилы кабеля до произвольной точки в области изоляции жилы. Пусть ёх - бесконечно малое приращение величины х. Тогда приращение теплового сопротивления изоляции жилы в рассматриваемой точке будет равно:

ащ = ±. ( ах ' .

у 2 п • \ё1 + 2 • х) • )

ё - ё

Интегрируя в пределах от 0 до Ь2, а также учитывая, что Ь2 = —2-1

Р2 =

1

ёх

2-у2-п-І

------1--------1п| + х

2-У2 -п-1 V 2

1п

2

' ё*'

V ё1 У

получим:

2-У 2 -П- 1

(6)

где у2 - удельная теплопроводность изоляции жилы; ё2 - диаметр изоляции жилы. Аналогично для теплового сопротивления защитной оболочки:

1п

Р3 =

г ёз ^

V ё2 У

2 - у3 - п -І

(7)

где у3 - удельная теплопроводность защитной оболочки; ё2 - диаметр защитной оболочки.

Теплоемкости однородных тел рассчитываются как произведения удельных теплоемкостей этих тел на их массы [4]:

п-ё2

Сі = с,-Оі = с,-ві- —-І;

С2 С2 - О2 С2 - в -

2 ‘■'2 2 2 Н2

С3 = С3 - О3 = С3 - вз

ґ п 2 2 ё 2 п- ё,

V 4 4 У

ґ п 2 3 ё 2 2 ё п

V 4 4 У

-І = С2 -в2-П-(-22 - -і2 )і ;

І = С3-в3--4-(2 -ё22)

(8)

(9)

(10)

где с,, с2, с3 - удельные теплоемкости материалов соответствующих однородных с - Вт

тел

; О,, О2, О3 - массы соответствующих однородных тел (рассчитыва-

у°С • кг у

ются как произведение плотности на объем) (кг); в1, в2, в3 - плотности материалов соответствующих однородных тел

0

С учетом зависимости электрического сопротивления жилы кабеля от температуры потери активной мощности рассчитываются по формуле [5]:

P = 12-Лэл = 12 • Р20 .(1 + а-(0,-20)).-4^т, (11)

п- а1

где I - ток, протекающий по жиле кабеля (А); ЯЭЛ - электрическое сопротивление жилы кабеля длиной / (Ом); р20 - удельное электрическое сопротивление материала жилы кабеля при температуре жилы кабеля 01 = 20 °С ( Ом • м ); а - температурный коэффициент сопротивления (ТКС) материала жилы кабеля (1/°С).

Поскольку теплопроводность металлов значительно превышает теплопроводность диэлектриков [5], то для тепловых сопротивлений справедливо соотношение:

Я1 << Я2; Я1 << Я3.

Учитывая также явление поверхностного эффекта, т. е. вытеснения переменного тока на поверхность проводника, с достаточной точностью можно утверждать, что температура в центре жилы в установившемся режиме приблизительно равна температуре на ее поверхности, или 01 ~ 02. Тогда соотношение (11) перепишется в виде:

Р = 12'Р20-(1 +а-(02 - 20)).—^ . (12)

п. а1

Таким образом, при расчетах необходимо иметь данные о геометрических размерах элементов кабеля, их справочные данные, а также значения тока, протекающего по жиле кабеля. Отметим, что значение длины / выбирается произвольно, так как в дальнейших расчетах влияние этого параметра не сказывается, что объясняется сокращением / при произведении тепловых сопротивлений на теплоемкости и следует из сравнения соотношений (5)-(7) и (8)-(10).

Рассмотрев тепловую схему замещения, приведенную на рис. 2, для установившегося режима, получим выражение для установившегося значения температуры жилы кабеля:

02.УСТ = Р- (Я2 + Я3 • + 04 . (13)

Из сравнения соотношений (6), (7), (12) и (13) видно, что значения длины / также не влияют на расчеты для установившегося теплового режима.

Моделирование тепловых процессов в двухжильном кабеле

Как следует из соотношений (11) и (3), расчеты для базовой модели кабеля достаточно сложны. В случае моделирования тепловых процессов в многожильных кабелях потребуется ввести дополнительные однородные тела, что приведет к многократному усложнению расчетов. Поэтому поставим задачу разработать методику приведения параметров исследуемого кабеля к параметрам базовой модели. Для этого рассмотрим двухжильный кабель с пластмассовой (или резиновой) изоляцией, упрощенная конструкция которого показана на рис. 3.

Составим структурную схему тепловых процессов двухжильного кабеля. Такая схема с обозначениями соответствующих температур однородных тел изображена на рис. 4.

Не учитывая влияние воздушных прослоек в кабеле (первоначально), а также, считая, что тепловые сопротивления и теплоемкости идентичных однородных тел

равны, тепловые процессы в рассматриваемой системе однородных тел можно описать следующей системой дифференциальных уравнений:

С,

С,

С2

С2

С3

ё9и + 9ц -92д = р. ёг К, = ,;

ё9,,2 , 9,,2 - 92,2 = р .

-/о .

ёг

К,

ё92Л , 92,, -9М , 92,, 92,2 , 92Д -9

ёг

• +

К

• +

+ -

ч 2- К2 К2

ё92,2 , 92,2 - 9,,2 + 92,2 - 92,! + 92,2 - 93

= 0;

• + *

ёг К, 2 - К2 К2

ё93 + 93 92л + 93 - 92,2 + 93 -94 = 0

= 0;

ёг К2

К2

К

где Р,, Р2 - потери мощности в соответствующих жилах кабеля.

04)

Рис. 3. Упрощенная конструкция двухжильного кабеля с пластмассовой или резиновой изоляцией: а 1 - диметр жилы; ё2 - диаметр изоляции жилы; а3 - диаметр защитной оболочки

и,

и

Рис. 4. Структурная схема тепловых режимов двухжильного кабеля Примем далее для упрощения равенство всех потерь мощности в жилах кабеля:

(,5)

Р = Р2 = Р .

3

Тогда температуры всех идентичных однородных тел будут равны, или:

|01,1 =01,2 = 0^

[02,1 = 02,2 = 02С учетом соотношений (15) и (16) система (14) запишется в виде:

С1 - &01 + 0-—^2 = Р;

(16)

С,

СІ Ру

С02 02 — 01 02 — 0

____2 + 2

Сі Р

+

Р

= 0;

(17)

^3 + 2 03-02 + 0^—0± = 0.

&

Р2

Р3

Разделив на 2 последнее уравнение системы (17), окончательно получим:

С ё0! + 01 — 02 = р.

1 ск р ’

п С02 02 —01 02 — 03

С---------1 + —----------1 + —-------------3 = 0;

Сі

Р

Р

(18)

С3 С03 + 03 — 02 + 03 — 04 = 0

2 Сі

Р2

2-р

Из сравнения систем (18) и (1) следует, что все расчетные соотношения для двухжильного кабеля, приведенного к базовой модели, аналогичны соотношениям

С

(2)-(13), только вместо значения С3 необходимо использовать а вместо значения Р3 использовать значение 2 • Р3.

Очевидно, что при количестве жил кабеля, равном п, система уравнений по базовой модели будет аналогична системе (18), только в третьем уравнении появятся

С3 р

параметры —^ и п • Р3. п

Важной особенностью является расчет тепловых сопротивлений. Если рассмотреть конструкцию кабеля, приведенную на рис. 3, то можно увидеть, что теплообмен между жилами и окружающей средой осуществляется только через половину площади поверхности рассматриваемых однородных тел - цилиндров и полых цилиндров (разделение областей теплообмена на рис. 3 условно показано пунктиром). Это обусловлено влиянием воздушных прослоек, тепловое сопротивление которых намного выше, чем тепловые сопротивления остальных элементов кабеля [5], а также отсутствием градиента температур во внутренней области между жилами в силу принятых упрощений (15) и (16). Следовательно, для двухжильного кабеля рассматриваемой конструкции все тепловые сопротивления, рассчитанные по формулам (5), (6), (7), необходимо увеличить в 2 раза.

Рекуррентные соотношения для расчета температуры изоляции жилы 02 рассматриваемого кабеля в случае постоянной температуры воздуха 04 можно записать в виде системы:

- (b1 ■ pi + b0 )

1

(19)

02.j =Z*i,j +0

i=1

где i є {1; 2; з} - номер экспоненциальной составляющей теплового процесса; j -номер отсчета; pt - корни характеристического уравнения выражения (2); Ti - постоянные времени экспоненциальных составляющих; wi - коэффициенты, рассчитываемые в соответствии с правилами обратного преобразования Лапласа; $i- составляющие температуры изоляции жилы по каждой экспоненциальной составляющей; At - интервал времени между j-м и j +1 отсчетами.

Первое выражение системы (19) позволяет перейти от операторного изображения к оригиналу. Третье выражение учитывает зависимость электрического сопротивления жилы кабеля от температуры.

Соотношения (19) позволяют алгоритмизировать расчет временных диаграмм на основе преобразования Лапласа для температуры изоляции жилы кабеля без использования Z-преобразования, что очень удобно.

Экспериментальные исследования тепловых процессов в кабеле

Для подтверждения адекватности разработанной упрощенной математической модели силового кабеля были проведены лабораторные исследования, в которых через двухжильный кабель пропускался переменный ток и регистрировались значения температуры изоляции жилы. Схема экспериментальных исследований приведена на рис. 5.

Напряжение 220 В через автоматический выключатель QF1 подавалось на лабораторный автотрансформатор T1 (ЛАТР). Вольтметр PV1 показывал значение выходного напряжения ЛАТРа. Это напряжение через тумблер SA1 подавалось на понижающий трансформатор Т2, который был нагружен на короткозамкнутый двухжильный кабель. Значение тока, протекающего в кабеле, контролировалось с помощью амперметра PA1, включенного через измерительный трансформатор тока Тз. Падение напряжения на кабеле измерялось с помощью измерительного преобразователя «напряжение - ток» DA1 и микроамперметра PA2. На жиле кабеля под изоляцией был размещен полупроводниковый датчик температуры (термометр сопротивления). Он представлен на схеме блоком DA2. К датчику температуры был подключен измерительный преобразователь «сопротивление - ток» DA3, выходом соединенный с микроамперметром РA3. В процессе исследований также измерялись значения температуры воздуха.

дБ1

Рис. 5. Схема экспериментальных исследований

В опытах использовался двухжильный кабель типа ПВГ: с медными жилами сечением 1,2 мм2, изоляцией жил из полиэтилена диаметром 6 мм и оболочкой из ПВХ - пластиката диаметром 18 мм. Длина кабеля 3,9 м. Справочные значения требуемых величин и результаты расчетов тепловых параметров этого кабеля сведены в виде таблицы.

Тепловые параметры исследуемого кабеля

Параметр У с в Я С

Размерность Вт с - Вт кг °С с-Вт

м- °С ° О к 3 м Вт °С

Жила 390 385 8940 10,5-10 -5 32,5

Изоляция жилы 0,35 2200 920 0,184 427,3

Оболочка 0,12 1470 1390 0,276 563,3

Расчетные (по соотношениям (19)) и экспериментальные диаграммы процесса нагрева кабеля при токе I = 29,5 А и процесса охлаждения кабеля при температуре

воздуха 04 = 18,3 °С приведены на рис. 6.

Рис. 6. Расчетные и экспериментальные диаграммы процесса нагрева и охлаждения кабеля

Расчетные и экспериментальные диаграммы процесса нагрева кабеля при токе

I = 24 А и процесса охлаждения кабеля при температуре воздуха 04 = 17,8 °С приведены на рис. 7.

0 2, °С

Расчет

Эксперимент

t, с

Рис. 7. Расчетные и экспериментальные диаграммы процесса нагрева и охлаждения кабеля

В результате экспериментальных исследований получены следующие показатели качества разработанной математической модели тепловых процессов силового кабеля: относительная погрешность модели не превышает 20 %, среднеквадратическое отклонение экспериментальных данных от рассчитанных по модели не превышает 0,4 °С.

Заключение

Проведенные эксперименты позволяют лишь частично судить об адекватности математической модели. При лабораторных исследованиях не учитывался ряд факторов, влияющих на температуру кабелей, применяющихся в системах электроснабжения: класс напряжений, способ прокладки, параметры окружающей среды, неравномерность температуры воздуха, и т. д. Однако исследования показали, что разработанные расчетные соотношения даже в условиях принятых упрощений достаточно корректно описывают тепловые процессы в кабеле, что позволяет утверждать о верно выбранном направлении. Естественно, требуется дальнейшая проработка данной темы с целью получения алгоритмов для устройств диагностики и тепловой защиты силовых кабелей. Применение таких устройств повысит эксплуатационную надежность систем электроснабжения.

Литература

1. Шувалов, М. Ю. Исследование надежности силовых кабелей среднего и высокого напряжения с изоляцией из сшитого полиэтилена / М. Ю. Шувалов, В. Л. Овсиен-ко, Д. В. Колосков // Кабели и провода. - № 5. - 2007. - С. 25-34.

2. Боксимер, Э. А. Старение кабелей при прокладке в грунте / Э. А. Боксимер,

B. И. Рязанов, С. Г. Курганская // Кабели и провода. - № 2. - 2005. - С. 18-22.

3. Карпов, К. Р. Мониторинг подземных высоковольтных кабельных сетей / К. Р. Карпов // Энергослужба предприятия. - № 4. - 2007. - С. 15-17.

4. Широков, О. Г. Тепловые схемы замещения электроэнергетических устройств. / О. Г. Широков, Д. И. Зализный // Наукоемкие технологии. - № 2. - 2008. -

C. 63-67.

5. Богородицкий, Н. П. Электротехнические материалы : учеб. для вузов

/ Н. П. Богородицкий, В. В. Пасынков, Б. М. Тареев. - Ленинград : Энергоатомиз-дат, 1985. - 304 с.

6. Исаченко, В. П. Теплопередача / В. П. Исаченко, В. А. Осипова. - Москва : Энергия, 1969. - 440 с.

Получено 26.02.2009 г.