CC BY
69
Том 155, кн. 2
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
2013
УДК 519.68
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СУХИХ ГАЗОДИНАМИЧЕСКИХ УПЛОТНЕНИЙ
Р.З. Даутов, М.М. Карчевский, Е.А. Новиков, Е.М. Федотов, В.К. Хайстюв
Аннотация
Построена квазитрехмерпая термоупругогазодипамическая модель сухих газодинамических уплотнений. Предложен способ ее дискретизации па основе метода конечных элементов. Построен эффективный итерационный метод решения соответствующей конечномерной нелинейной задачи. Приведены результаты параметрических расчетов, иллюстрирующие возможности разработанного авторами программного комплекса.
Ключевые слова: газодинамические уплотнения, математическая модель, метод конечных элементов, итерационные методы.
Введение
На сегодняшний день наилучшим техническим решением для предотвращения протечек газа из корпуса сжатия центробежного компрессора в окружающую среду является применение систем сухих газодинамических уплотнений (СГУ). Благодаря неоспоримым преимуществам СГУ над ранее применяемыми масляными уплотнениями корпуса сжатия комплектация вновь проектируемых и выпускаемых компрессоров системами СГУ доходит до 95% от общего объёма выпуска. Массовое использование СГУ стало возможным благодаря повышению их надежности, что связано с успехами в материаловедении и технологии, которые позволили изготавливать кольца газодинамической пары с высокой точностью. Это обстоятельство позволило уменьшить расчётные рабочие зазоры между газодинамическими кольцами до 1 2 мкм. что. в свою очередь, существенно снизило безвозвратные потери перекачиваемого компрессором газа, которые составляют первичную утечку через уплотнительный зазор и с помощью вспомогательных систем сжигаются на факельном хозяйстве технологической установки. Повышение привлекательности применения СГУ. с одной стороны, предъявляет и повышенные требования к точности математического моделирования уплотнений, с другой стороны, в частности. становится необходимым расчёт термоупругих деформаций колец, от которых зависит форма уплотнительного зазора, в конечном счёте определяющая работоспособность уплотнения.
В настоящей работе предлагается новая «квазитрёхмерная» термоупругогазодипамическая модель СГУ с учетом термоупругих деформаций уплотнительных колец (см.. например. [1 3]). способ ее дискретизации на основе метода конечных элементов и эффективный итерационный алгоритм численной реализации возникающей конечномерной нелинейной задачи.
Приведены некоторые численные результаты, иллюстрирующие возможности разработанного авторами программного комплекса, позволяющего определять основные характеристики газодинамических уплотнений как на этапе проектирования новых, так и при анализе существующих устройств.
1. Постановка задачи. Математическая модель
Принцип работы СГУ в соответствии с расчётной схемой колец газодинамической пары представленной, на рис. 1. заключается в следующем: аксиально-подвижное кольцо Ь совместно с вращающемся кольцом а образуют торцовую уплотнительную щель, разделяющую область высокого (уплотняемого) P0 и низкого Р2 давлений. На кольце а выполнены спиральные канавки угловой протяжённости П15 которые при вращении ротора захватывают газ из полости с давлением Ро и перемещают его вдоль осей канавок к центру. При этом давление в газовом слое повышается до некоторого наибольшего значения, далее давление постепенно снижается по направлению к центру вследствие утечки газа через торцовую щель, достигая давления за уплотнением, равного Р2.
Характерный зазор между вращающимся и аксиально-подвижными кольцами составляет 1 5 мкм, что сопоставимо с глубиной газодинамических канавок, диаметры колец до 300 мм. В связи с этим для описания распределения давления в газовом слое оправдано применение известного приближения тонкого слоя [4], уравнения Рейнольдса, которое с учетом сжимаемости газа в полярных координатах в безразмерной форме записывается в виде
1 д ph3 др\ 6 д V2 дв[ — дв = ^дв (ph)-
(1)
Уравнение рассматривается в области П, представляющей собой ячейку периодичности (см. рис. 1), П0 С П - часть области, запятая канавками на вращающемся кольце. Уравнение (1) дополняется граничными условиями
р(Й1,0)= Ро, р№,0)= P2;
(2)
р
менной в.
р
Ро = const — давление газа на входе в уплотнение; Р2 = const — давление внешней
Ро Р2 h
определяемая соотношением h = h(r, в) = H + h1 (r, в) + h2 (r, в), здесь H - рабочая толщина зазора, h1(r, в) равна глубине канавки в П0 и равна нулю вне П0, h2(r, в) определяется (ниже) по осевому движению колец за счет силовых и температурных воздействий; p = p/RgT - плотность газа; T = T(r, в) - температура газа, Rg -газовая постоянная; р = p0(T/T0)nk - вязкость газа, р0 - вязкость газа перед уплотнением, T0 - температура газа перед уплотнением, nk - заданная постоянная; w _ угловая скорость вращения диска.
Распределение температуры в зазоре между дисками мы описываем уравнением энергии
L д.
r2 дв
dT
+h-1А2
dT2
dz2
+ h-1 А
Z2=0
dT1 dzi
+ w =
zi=0
1 dT
pcA v dr+щ ^дв
dT
дв
(r, в) e n, (3)
где
h2 др 12р dr'
ve =
h2 1 dp r дв
wr
Y'
r
1) a
r r
4
b
п
У
Рис. 1.1) схема уплотнения: а - вращающееся кольцо, Ь - аксиально-подвижное кольцо, 1, 2 уплотпительпые резиновые кольца, 3 выступ обоймы, 4 смазочный слой: 2) вращающееся кольцо. О - ячейка периодичности
есть составляющие средней по величине зазора скорости v движения газа, w -функция, учитывающая тепловыделение за счет как вязкого трения, так и изменения удельного объема; V = (д/дт,д/тдв); точкой обозначено скалярное произведение двумерных векторов; T = T(т, в) - средняя по величине зазора температура газа; T2, Ti - температуры вращающегося и аксиально-подвижного колец соответственно; AkdTk/dzJ , к = 1, 2, - потоки тепла во вращающееся
I —U
и аксиально-подвижное кольцо соответственно; A = A(т, в) = Ao(T/To)"fc — коэффициент теплопроводности газа, A0 = const - коэффициент теплопроводности газа перед уплотнением, Ai, A2 - коэффициенты теплопроводности материалов соответствующих колец.
в
Распределение температуры в кольцах описывается двумерным уравнением теплопроводности твердого тела в переменных т, z. На границе кольца и газового
тв
газа.
На границах соприкосновения колец с омывающим газом rvr, Гах вне пределов смазочного слоя ставятся линейные граничные условия третьего рода с коэффициентами теплоотдачи ai, соответственно, моделирующие теплообмен по
To
Деформации колец, вызванные их нагревом, силовыми воздействиями со стороны газовой среды и за счет вращения, принимаются осесимметричиыми и описываются уравнениями линейной термоупругости. Упругие характеристики материала колец (модуль Юнга и коэффициент Пуассона), а также коэффициенты линейного расширения предполагаются известными.
На границе газового слоя давление, действующее на кольцо, принимается равным усредненному по угловой переменной давлению, определяемому из уравнения Рейнольдса. Вне смазочного слоя давление на кольцо полагается равным давлению омывающего газа. При этом в точках границы, лежащих выше уплотнитель-пых резиновых колец (см. рис. 1), давление равно давлению на входе в уплотнение, в точках, лежащих ниже уплотпительных резиновых колец, давление равно атмосферному. Таким образом ставятся граничные условия всюду, кроме того участка границы вращающегося кольца, который опирается на выступ обоймы (см. рис. 1). На этом участке границы осевая составляющая перемещения принимается равной нулю.
T = To, т = Ri, если vr < 0.
(4)
Полученная система уравнений замыкается условием равновесия аксиально подвижного кольца, то есть условием равенства нулю осевой составляющей главного вектора внешних сил. приложенных к границе кольца. Фактически, именно это условие служит для определения рабочей величины смазочного слоя при заданном режиме работы уплотнения.
2. Численный метод
В целом предлагаемый метод состоит из нескольких шагов. В основе лежит определение полей температур, давлений и деформаций пар трения. Прежде всего, исходные дифференциальные уравнения аппроксимируются сеточными на основе метода конечных элементов с численным интегрированием.
Для вычисления давления в смазочном слое аппроксимируется уравнение Рей-ноль дса (1) с граничными условиями (2). При этом используются четырехугольные билинейные конечные элементы на ячейках, представляющих собой разбиение области П на четырехугольники, соответствующие противоположные пары сторон которых параллельны оси в. Геометрия ячеек согласуется при этом с границей канавки По. Решение уравнения Рейнольдса осуществляется с использованием двухслойного итерационного метода с сеточным иредобуславливающим оператором второго порядка, эквивалентным старшей части дифференциального оператора в уравнении Рейнольдса.
Опишем способ вычисления температуры в смазочном слое и уплотннтельных кольцах Пьг, Пах. В ячейке периодичности П смазочного слоя вводится прямоугольная сетка
Шг,в = ^Г X шв, ^Г = {г у, 3 =0,1,..., Мг}, шв = {в у, 3 = 0,1,..., Мв}.
Важным элементом численного решения уравнения энергии является построение оператора С, позволяющего вычислять сеточные потоки тепла в уплотняющие кольца при заданной температуре ¿ь в смазочном слое. Для этого используется вариант метода окаймления [5] решения систем линейных алгебраических уравне-
В областях Пот и Пах строится триангуляция, согласованная на их границах Гр, примыкающих к смазочному слою, с сеткой шг,в. Пусть У^ - пространство непрерывных в Пот и Пах функций линейных на элементах триангуляции,
dx,
a(u,n) = j A^Vu -V^dx + j A2Vu -V^dx + j a^uqdx + j а^щ b(u,n) = J а.\nn dx + j а2uqdx.
Г„г Гах
Последовательно вычисляются решения uh}i конечноэлементных схем
a(uh,i,vh) = 0, uh,i,vh e Vh, uh,i\(r.,o) = Si,j, j = 1, 2 ..., Nr (5)
для i = 1,2,..., Nr, где 5i}j - символ Кронеккера, а также решение схемы
a(uh,T,vh) = b(To,Vh), uhT,vh e Vh, uh,T|r =0, (6)
11 p
а затем находятся компоненты матрицы Ch и вектоpa p по формулам
ch,j,i = a(uh,i, ф] )j j ф] dx, i = 1, 2,...,N, Гр
Pj = a(uh,T ,фj)//фj dx, j = 1, 2,...,Nr,
где фj - базисная функция Лагранжа, соответствующая узлу триангуляции с координатами (т^, 0).
В результате вычисление сеточных суммарных тепловых потоков в уплотни-тельпые кольца при заданной температуре ¿н в смазочном слое сводится к вычислению вектора
Фн = СнЬн + у.
Для нахождения приближённого решения Тн уравнения энергии (3) с граничным условием (4) используется вариант двухкомпонентного итерационного метода. Идея использования таких методов для решения уравнений в частных производных изложена в работе [6]. видоизменения таких схем для решения нелинейных нестационарных задач были предложены и исследованы в [7. 8]. Метод заключается в последовательном решении уравнений вида
Тк+1 _ Трк
М т Н + а (Ак) + Сн) (Т^1 _ Т^) +
+ (Ак) + СН) Тнк 1 + А™ Тнк2 + у = ын,
Тк+1 _ Трк
+а4к+1)(Ткк+21 _ Ткка) +
+ (Ак) + Сн) Тнк,1 + 4к)ТН,2 + у = ын, к = 0,1,...
Здесь Тнк 15 Тн2 - итерационные приближения к Тн, = (Т^ 1 + Тк2)/2] ^н - сеточная аппроксимация диссипативпой функции; т, а — итерационные параметры
Л (к) л (к)
метода; АГ , - сеточные операторы, аппроксимирующие составляющие пространственного оператора уравнения энергии, содержащие соответственно производные по переменным т ив, составляющие которых, отвечающие за перенос тепла за счёт вращения диска, аппроксимируются направленными против потока разностными отношениями; коэффициенты сеточных операторов вычисляются на функциях Т}к 21 Тн + 1 соответственно.
Сн у
(5) (7) требуется проводить лишь однажды, что позволяет существенно сократить время вычислений квазитрёхмерной системы дифференциальных уравнений.
Для нахождения итерационных компонент сеточной температуры используются прямые (типа Гаусса) методы решения систем линейных алгебраических уравнений. При выполнении неравенства ||ТТ)к+1 _ Т^Ц < е, где е — заданное положительное число, определяющее точность расчетов, значение Т^1 принимается за приближённое сеточное решение уравнения энергии в смазочном слое.
Для совокупного отыскания полей температур в смазочном слое и уплотннтель-ных кольцах, а также давления в смазочном слое строится внешний итерационный процесс, в котором последовательно решаются уравнения Рейнольдса, теплопроводности и энергии, а также пересчитывается диссипативная функция и>н, вычисляется несущая способность смазочного слоя. Эта процедура применяется на каждом шаге процесса отыскания равновесного положения аксиально подвижного кольца. При этом последовательно уточняется величина рабочего зазора Н, обеспечивающего равновесие системы без учёта деформаций уплотиительиых колец.
После предварительного отыскания рабочего зазора производится учет термоупругих деформаций колец уплотнения. Тем самым фактически уточняются форма и величина зазора уплотнения.
Для определения поля упругих смещений колец используются (геометрически) те же конечные элементы в областях , 0.ах колец, что и при построении схемы
Рис. 2. Характерные графики полей давления (слева) и температуры (справа) в смазочном слое
для решения уравнения теплопроводности. Заметим, что задача определения смещений во вращающемся диске при известном давлении является корректной. Однако система уравнений, описывающая деформации аксиально-подвижного кольца, сопровождается лишь граничными условиями второго рода, и поэтому имеет неедннственное решение (оно определяется с точностью до постоянного смещения в осевом направлении). Для построения решения задачи о равновесии системы с учетом деформации колец используется следующий итерационный метод. На каждом шаге метода по известным полям перемещений в кольцах вычисляются зазор, поля температур и давлений в смазочном слое, а также температура колец уплотнения. При этом применяются описанные выше алгоритмы. Затем переечн-тываются поля деформаций. С этой целыо решается система уравнений теории упругости во вращающемся кольце, а после этого определяется новое приближение к полю перемещений в аксиально подвижном кольце путем решения следующего уравнения:
г ик+1-ик г
У г'кт г'Н *г,Н ¿Х+ ! Лх =
Гр ^ах
= JРн vz,h Лх+J Рехг^ Лх, ик+1 е Ун-
Здесь ЬН(ТН) - оператор линейной теории упругости с учетом температурных деформаций; иН = (и'к и'к н) - вектор смещений в направлениях я, г, рн; Рext _
Тн
температура кольца.
Вычисления проводятся до тех пор. пока основные параметры системы не установятся с заданной точностью.
Для решения поставленной задачи описанными выше методами разработан комплекс программ. Проведена серия модельных расчётов при различных геометриях уплотнения, различных параметрах материалов пары трения и газа. Численные эксперименты показали, что использованная математическая модель течения смазки в парах трения верно учитывает основные особенности описываемых физических процессов. Они продемонстрировали также эффективность предлагаемых
нм3/ч г ^
3 2 1
- О
Рис. 3. Графики зависимостей зазора Ит[п , реакции газового слоя ^см ^ расхода утечки ^ от уплотняемого давления Ро
численных методов решения задачи в широком диапазоне изменения параметров. На рис. 2 приведены характерные распределения давления и температуры в смазочном слое уплотнения. Опыт расчетов, выполненных в ЗАО «НИИтурбоком-прессор» (г. Казань), показал, что разработанный авторами комплекс позволяет определять характеристики С ГУ в следующем диапазоне изменения режимных параметров работы компрессора: уплотняемые давления до 100 кгс/см2, скорости вращения ротора до 20000 об/мин, уплотняемая температура до 473 К.
3. Результаты параметрических исследований
Целями проектировочного расчёта для разработки СГУ являются: 1) определение термоупругих деформаций рабочих поверхностей колец газодинамической пары, определяющих форму уплотнительного зазора; 2) определение зазора между кольцами, от которого зависит расход утечки газа через уплотнение.
Эффективность производственного цикла по изготовлению СГУ определяется возможностью применения уже спроектированных уплотнений для широкого спектра режимных параметров работы центробежного компрессора, которыми являются скорость вращения ротора, уплотняемые давление и температура.
Ниже представлены результаты расчёта СГУ для широкого диапазона изменения уплотняемого давления. В качестве объекта исследования при параметрическом анализе принято уплотнение для компрессора ГПА-16 «Волга» производства ОАО «Казанькомпрессормаш». За номинальный (расчётный) режим работы уплотнения принят режим работы компрессорного агрегата, сжимающего природный газ, с уплотняемым давлением Ро = 56 кгс/см2, температурой газа перед уплотнением То = 333 К и скоростью вращения ротора п = 5600 об/мин.
На рис. 3 представлены зависимости газодинамических характеристик СГУ от
Ро
шается значение минимального зазора между газодинамическими кольцами Иш-ш, что вызывает увеличение реакции газового слоя . Расход утечки газа Ц через СГУ при этом увеличивается.
На рис. 4 представлены формы уплотнительных зазоров при изменении на ±75% от номинального значения. Из рисунка можно определить, что при изменении уплотняемого давления форма уплотнительного зазора, характеризующаяся отношением значения зазора на входе в газовый слой к минимальному зазору (обозначается как область газодинамических канавок) и отношением зазора на выходе из газового слоя к минимальному зазору (обозначается как область уплотнительного пояска) не изменяется и является конфузорной в области газодинамических
Нтт, МКМ Р КН О,
Ро кгс/см2
3,56 мкм 4-31 мкм
Рис. 4. Изменение формы рабочего зазора при увеличении уплотняемого давления: слева Po = 16 кгс/см2 , справа Po = 96кгс/см2
канавок со значениями 1.3 и 2.39 соответственно и дифузорной в области уплот-нительного пояска со значениями 1.01 и 1.16 соответственно. Из представленных на рис. 3 и 4 результатов расчётных исследований можно заключить, что спроектированное в соответствии с разработанными рекомендациями [9] СГУ сохраняет форму уплотнительного зазора в широком диапазоне режимных параметров. При этом необходимо обращать внимание на расход утечки газа через уплотнение, который зависит от режима работы компрессорного агрегата. Представленные данные позволяют рекомендовать разработанные типоразмеры СГУ для применения в широком диапазоне режимных параметров работы центробежного компрессора.
Таким образом, в результате представленных исследований разработана модель функционирования СГУ, сконструирован эффективный итерационный алгоритм, проведены параметрические исследования работы СГУ, что позволило рекомендовать разработанный программный комплекс к внедрению в конструкторскую практику по созданию «сухих» газодинамических уплотнений для центробежных компрессорных машин.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект №13-01-00908, 12-01-97022, 12-01-97026).
Summary
R.Z. Dautov, М.М. Karchevsky, E.A. Novikov, E.M. Fedotov, V.K. Khaisanov. Mathematical Modeling of Dry Gas Dynamic Seals.
A quasi-three-dimensional thermo-elastic gas dynamic mathematical model of dry gas dynamic seals is developed. A way of its discretization based on finite element method is proposed. An efficient iterative method for solving the corresponding finite-dimensional nonlinear problem is constructed. The results of the parametric calculations, which demonstrate the potential of the developed program complex, are presented.
Keywords: gas dynamic seals, mathematical model, finite element method, iterative methods.
Литература
1. Болдырев Ю.Я., Григорьев B.C., Лучин Г.А. О расчете сухих газовых торцевых уплотнений со спиральными канавками валов турбокомпрессорных машин // Компрессорная техника и пневматика. - СПб., 1994. - Вып. 4-5. - С. 59-62.
2. Макашов В.А. и др. Вескопактпые уплотпепия роторов центробежных и винтовых компрессоров. Казань: ФЭН. 1998. 291 с.
3. Деи Г.Н. Термогазодипамика сухих торцевых газовых уплотнений роторов турбома-шии. Владивосток: Дальрыбытуз, 2003. 290 с.
4. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука 1987. 840 с.
5. Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы лилейной алгебры. М.: Физматгиз, 1960. 656 с.
6. Абралиии В.Н, Об одном варианте метода переменных направлений решения многомерных задач математической физики. 1 // Дифферепц. уравнения. 1990. Т. 26,
7. С. 314 323.
7. Федотов Е.М. Корректность многокомпонентных двухслойных операторпо-разпостпых схем // Исследования по прикл. математике и информатике. Казань: Изд-во Казап. матем. о-ва, 2001. Вып. 23. С. 122 134.
8. Ляшко А.Д., Федотов Е.М. Корректность двухслойных многокомпонентных разностных схем для гиперболических уравнений // Изв вузов. Матем. 2006. Л*' 9. С. 50 57.
9. Новиков Е.А. Рекомендации для проектирования типоразмерпого ряда «сухих» газодинамических уплотнений центробежных компрессоров // Компрессорная техника и пневматика. 2013. Л' 1. С. 30 33.
Поступила в редакцию 18.03.13
Даутов Рафаил Замилович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики. Казанский (Приволжский) федеральный университет. г. Казань. Россия.
E-mail: Rafail.DautovQkpfu.ru
Карчевский Михаил Миронович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики. Казанский (Приволжский) федеральный университет. г. Казань. Россия.
E-mail: Mikhail.KarchevskyQkpfu.ru
Новиков Евгений Александрович кандидат технических паук, начальник отдела подшипников и уплотнений. ЗАО «НИИтурбокомпрессор им. В.В. Шпеппа»; г. Казань. Россия.
E-mail: NuvikuvealQrambler. ru
Федотов Евгений Михайлович доктор физико-математических паук, профессор кафедры вычислительной математики. Казанский (Приволжский) федеральный университет. г. Казань. Россия.
E-mail: euyeny.falutuv Qkpfu.ru
Хайсанов Владимир Константинович кандидат технических паук, начальник отделения маслосистем. подшипников и уплотнений. ЗАО «НИИтурбокомпрессор им. В.В. Шпеппа», г. Казань. Россия.
E-mail: niitkQkazan. ru
