Математическое моделирование структурной пластичности в нейронных сетях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2011. №3(25)

УДК 51-76

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СТРУКТУРНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ В НЕЙРОННЫХ СЕТЯХ

© Я.А.Сулейманов

Целью работы является исследование структурной пластичности в нейронных сетях и влияния активности нейронов на образование межнейронных связей, изучение процесса ветвления аксонов, разработка математической модели и компьютерной программы.

Ключевые слова: ветвление, аксон, конус роста, нейрон, активность, нейронные сети.

1. Введение

В последние годы исследования биологических систем с использованием численных методов получило широкое распространение. Предметом данной работы является идеализированная нейронная сеть, моделирующая сеть биологических нейронов корковый части головного мозга. В работе предложена модель, которая описывает динамическое образование межнейронных связей за счет вещества, выделяемого самими нейронами с учётом ветвления аксонов. Образование нейронных сетей, осуществляется путем соединения аксона с телом нейрона. Растущие аксоны и образованные от них ветви образуют сеть. Мы используем модель, в рамках которой, во-первых, пренебрегается геометрия сомы нейрона, рассматриваемого в виде окружности или сферы в зависимости от размерности задачи, во-вторых, не рассматривается развитие дендритов, они являются часть сферы, которая рассматривается как сома нейрона, в-третьих, положения нейронов фиксированы, в-четвертых, все нейроны по своим формам, свойствам и поведению абсолютно одинаковы.

2. Нейробиологическая мотивация

Развитие связей между нейронами важно для правильного функционирования нервной системы. Известно, что аксоны могут устанавливать связи, распространяя ответвления от оси аксона к цели (нейрону). Во время развития аксона, активность целевых нейронов управляет конусом роста, приводя к ветвлению аксона. Видеомикроскопия тонкого слоя ранней послеродовой коры показала, что конусы роста в различных областях коры имеют разное поведение. Конус роста может продвигаться быстро и устойчиво, непрерывно изменяя форму. Ветви аксона со своими конусами роста развиваются от оси аксона и растут к вышележащей сенсомоторной области коры. Ветви к корковым целям развиваются в тех

точках, где конусы роста делают паузу. Исследование роста таламических аксонов в органотипических культурах бокового коленчатого ядра (lateral geniculate nucleus LGN) и зрительной зоны коры головного мозга подкрепило это представление тем наблюдением, что области приостановки конуса роста хорошо соотнесено с ветвлением аксона. Появление несколькими часами спустя ветвления позади конуса роста означает, что полученные из цели сигналы могут вызвать приостановку конуса роста и инициировать рост промежуточных ветвей аксона. Конус роста прекращает свое движение, поскольку внешнее воздействие с разных сторон от целевых нейронов не дает точного сигнала, указывающего направление движения. Во время остановок конуса роста, которые могут длиться от 1 до 30 часов, он становиться в среднем в шесть раз больше того, который движется и имеет большое распространение ламеллиподии. Расширенный ламеллиподиум тогда реорганизуется, формируя новый конус роста [1; 2].

3. Модель

В нашей модели используется стандартное уравнение диффузии для описания распространения вещества AGM в пространстве. Концентрация вещества AGM, ci = ci (r( - ri,t), в

точке fj в момент времени t выделившегося из

i -го нейрона в точке r удовлетворяет уравнению диффузии

d-- D¿ci - kc = Jt j). (3.1)

Здесь D2 - коэффициент диффузии, k -коэффициент деградации. Решение этого уравнение имеет следующий вид:

c (о - ^) = f Gd (rj- t:,,t) Ci ( ъ )+

ГГ/ W ч (3.2)

+J dtk J Gd (r - f1,t - tk ) j (f1tk ,

0

где С0 () - начальное распределение

концентрации, Gd (r,t) - функция Грина:

Gd (^ t) =

1

(ntD2 )d

-exp

Л

-kt — -

4tD

(3.3)

В начальный момент времени AGM отсутствует, и процессом управляет источник

J (rt,tk) = aS(dj ( - ri) j (t) (3.4)

локализованный на і -ом нейроне. Параметр a описывает количество вещества AGM выделяющегося из нейрона за единицу времени. Функция ji (t) описывает активность i -го

нейрона в момент времени t и j (t)* 1.

Таким образом, получаем следующее выражение для концентрации

t

С (j - r,,t) = a jdtkGd ( - r,,t - tk )j, (tk j. (3.5)

0

В рамках нашей модели активность нейронов подчиняется следующему дифференциальному уравнению:

г ^ТТ = - j (t j + f i jext (t ) + £ 4k jk (t j) (3.6)

dt V k=1,k Фі J

Здесь jeed (t) - внешний источник, зависящий от времени t, j (t) - активность і -го нейрона, а шік - вес, который определяет тип связи, описывает влияние k -го нейрона на і -ый нейрон и может принимать три значения: -1, 0 и 1. Когда юік = 1, то связь возбуждающая, если

0

то связь подавляющая, при отсутствует. Нейрон не может

шik = -1, влияние

установить связь с самим собой, поэтому если k = i , то шк = 0. Тип связи зависит от

активности, т.е. если активность ]\ (t) больше

порогового значения jeІct (t), то шк = -1, и

наоборот, если ji (t) меньше либо равно j‘íxt (t) ,

то Шк= 1.

Для описания динамики роста аксона мы определим радиус-вектор положения конца аксона i -го нейрона в момент времени t, который подчиняется дифференциальному уравнению

dSi (t)

dt

XF(j)Zck (gi — rk,t)

(3.7)

где Р ( j) = в ( jth - j) - ступенчатая функция.

Функция ^ зависит от активности. Пороговый параметр ]'к определяет движение

аксона - аксон движется, если активность J нейрона больше, чем пороговое значение активности jth . Параметр X описывает чувствительность аксона.

В начальный момент времени t координаты конца аксона равны координатам собственного нейрона и активность j (t) равна нулю. Активность нейрона задается параметром jeex (t) . Между нейронами нет связи и веса aik

между k -ым нейрон и i -ым нейрон все равны нулю.

Для реализации явления ветвления необходимы условия, при которых аксон ветвится. В нашей модели это моделируется следующим образом. Во время роста и движения аксона определяются его скорость роста и концентрация AGM на его конце. Для запуска механизма ветвления аксона проверяем выполнение трех условий. Во-первых, равенство скорости роста аксона величине vg , во-вторых,

условие того, что концентрация AGM на конце нейрона находится в диапазоне от cmin по cmax . В-третьих, длина Lb участка аксона, который ветвится, должна быть больше порогового значения Lb .

Процесс ветвления аксона разделяется на 3 этапа. На первом этапе проверяется концентрация AGM при помощи уравнения (3.5) вокруг конуса роста на расстоянии rb. Как показывают видеонаблюдения реальных нейронов, конус роста "ощупывает" пространство вокруг себя. Для реализации этого явления в нашей модели конец аксона окружается сферой, на которой вычисляется значение концентрации AGM. Точки на сфере расположены на некотором угловом расстоянии друг от друга по ширине и долготе:

Xi = Ха + rb sin в cos р,

Уг = У а + rb ^SS1^ (3.8)

zi = Z а + rb C0S^

где xt, y¡, - координаты точки на сфере,

xa, У а, za - координата конца аксона, углы в и р изменяются с шагом 5 градусов.

После получения значений концентрации AGM вокруг конца аксона наступает второй этап, на котором из множества значений концентрации AGM выбираем точку с максимальным ее значением. Дальше из этого же множества выбираем все точки, которые удовлетворяют следующему условию:

С — С < Єг, ,

i max — b ’

(3.9)

k=1

где в; - значение концентрации точки I на

сфере, стах - максимальное значение

концентрации. В результате получаем ветвление. Количество полученных ветвей получается большим, чем должно быть. Разница значения концентрации между точкой с максимальным

значением концентрации и точками вокруг неё незначительна. Такое же явление наблюдается в природе - конус роста расплывается через определенное время. В точках с максимальным значением концентрации сходятся филоподии и образуются ветви.

(а)

23Ш?Г/\

0.01Й351

V \ '■

'■ 0.С

.14551

0.019351 ' ОЯПЗЫ

вл

0.020151

яЦЦві (Л>Ш51

0Л'.4-5[

г551.

Ті

си

ш

140 РІ

(б)

т

о.дам

0010Э4

0.0204

ш

0.01134 й щ:

рлгаизм

Рис.1. а) Образование новых ветвей, второй этап. Вид сверху. Показаны ветви, у которых значение концентрации ЛвМ на концах ветвей максимальны. В углах расположены нейроны, там максимальное значение концентрации ЛвМ. К центру концентрация уменьшается. б) На рисунке 3 нейрона, у одного нейрона растет аксон, два других нейрона имеют одинаковую активность, т.е. концентрация вещества ЛвМ пространстве симметрично относительно нижнего нейрона.

Рис.2. Блок-схема ветвления аксона

Я.А.СУЛЕЙМАНОВ

На третьем этапе происходит соединение ветвей. Из полученных в результате второго этапа ветвей создаем несколько подмножеств ветвей. Критерием отбора в подмножество является условие того, что расстояние между 7 -ой и к -ой ветвями меньше либо равно гк

-xk) + (( -Ук) +( -zk) ^Гк , где xt, yt, - координаты конца i -ой ветви,

xk, yk, zk - координаты конца к -ой ветви. В каждом из полученных подмножеств ветвей отбираем одну ветвь, у которой значение концентрации AGM на конце ветви максимально по сравнению с другими ветвями в данном подмножестве. В результате получаем ветви аксона. Схематично алгоритм ветвления показан на рис.3.

4. Результаты

Для численного анализа модели, описанной выше, разработана компьютерная программа на языке С++ с визуализацией этих процессов на базе пакета OpenGL. Загрузка параметров нейронной сети происходит из файла. Специально разработанное приложение позволяет создавать и изменять параметры нейронной сети, такие как количество нейронов, их расположение, начальную активность, шаг интегрирования и т.д. Карта изменения

активностей нейронов в процессе численного моделирования считывается из специального файла, в котором указано время, номер нейрона и значение активности.

Моделирование производилось с различным количество нейронов. В первом численном

эксперименте количество нейронов N = 3 , во

втором N = 5 . Каждый нейрон в начальный момент времени имеет одну ветвь. Для

моделирования были использованы следующие значения параметров:

1. Количество вещества, испускаемого нейроном за единицу времени a = 10-5 нМ/сек.

2. Коэффициент диффузии D2 = 6»10-7 см2/сек.

3. Коэффициент, описывающий чувствительность аксона X = 0,00004 см2/нМ*сек.

4. Коэффициент деградации k = 0,001

5. Время релаксации активности т = 1 с

6. Пороговое значение активности jth = 0,51

7. Скорость роста аксона при ветвлении vg = 0,0000005 см/сек.

8. Минимальная длина ветви при ветвлении Lb =0,0225 см.

9. Минимальная концентрация вещества при ветвлении стт = 1 кБа

10. Максимальная концентрация вещества при ветвлении стах = 10 кБа

11. Начальная длина ветви гь = 0,005 см

12. Радиус сома г = 0,005 см

Моделирование этой системы, описывающей

рост нейронной сети без ветвлений, было описано в статье [3]. В данной работе моделируется ветвление аксона при различном количестве и расположении нейронов с различной активностью и временем активации нейронов. В первом численном эксперименте смоделировано ветвление, в котором образуется две ветви. Нейроны расположены в вершинах равнобедренного треугольника (рис.3). У нейрона под номер 0 растет аксон и обладает активностью ]. Он является пассивным нейроном. Нейроны 1 и 2 обладают активностью ] и являются активными нейронами. Создается симметричное распределение концентрации вещества ЛОМ относительно оси аксона, как показано на рис.1. Как только аксон дорастает до точки, находящейся между нейронами 1 и 2, рост прекращается. В этот момент включается механизм ветвления. В численном эксперименте видно (рис.3(в)), что ветви направлены в сторону нейронов 1 и 2, т.е. количество ветвей равно количеству нейронов, которые воздействовали на конец аксона.

• 1

0 1 0.5

• 2

1 1 0.5

А О

(а) 0.5 о 0.5

• 1

0 1 0.5

(б)

• 2

1 1 0.5

0-5 0 0.5

(В)

0

0.5 о 0.5

(Г)

О

0.5 о 0.5

Рис.3. На рисунке показана система из 3 нейронов: нейрон 0 имеет активность у, нейроны 1 и 2 имеют активность у . Образование ветвей происходит в момент времени ґ =28400 с, и показано на рисунке (б). Зафиксированы кадры: ґ =8000, 28400, 31500, 37900 секунд.

• і

О 1 о

* 1

О 1 о

О 11

(а)

01 1

111

01 !

І0

0 5 о 0 5

111

(б) 0 5 0 0.5

• 1

о 1 о

1 1 о

11 ■

о

0-5 о 0.5

(а)

Рис.4. На рисунке показана система из 5 нейронов: нейрон 0 имеет активность у , нейроны 1, 2, 3, 4

имеют активность у . Образование ветвей происходит

в момент времени ґ =27300с, как показано на рисунке

(б). Этот пример иллюстрирует образование 4 ветвей. Зафиксированы кадры: ґ =8200, 27300, 27900, 62400

секунд.

Во втором численном эксперименты система состоит из 5 нейронов (рис.4). В данном эксперименте образуются 4 ветви, так как на конец аксона воздействуют 4 нейрона. Механизм ветвления в модели приводит к созданию ветвей, которые направлены в точки с максимальной концентрацией вещества AGM.

1. Kalil K. Common Mechanisms Underlying Growth Cone Guidance and Axon Branching // Journal of Neurobiology. - 2000. - Vol.44. - №2. - P.145-158.

2. Uesaka N. Activity Dependence of Cortical Axon Branch Formation: A Morphological and Electro-physiological Study Using Organotypic Slice Cultures // The Journal of Neuroscience. - 2005. -Vol.25. - №1. - P.1-9.

3. Gafarov F. Self-wiring in neural nets of point-like cortical neurons fails to reproduce cytoarchitectural differences // Journal of Integrative Neuroscience. -2006. - Vol.5. - №2. - P.159-169.

4. Gafarov F. Morphless neurons compromise the development of cortical connectivity // Journal of Integrative Neuroscience. - 2009. - Vol.8. - №1. - P.35-48.

MATHEMATICAL MODELING OF STRUCTURAL PLASTICITY IN NEURAL NETWORKS

Ya.A.Suleymanov

The aim of this work was the research of structural plasticity in neural networks and influence of activity of neurons on formation of interneuron communications, studying of process of branching axons, working out of mathematical model and the computer program.

Key words: branching, axon, growth cone, neuron, activity, neural networks.

Сулейманов Янис Адисович - аспирант кафедры информационных технологий в образовании Института информационных технологий Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 20.05.2011