Математическое моделирование рисков геодинамического происхождения Текст научной статьи по специальности «Математика»

мИнАЕВ1 Владимир Александрович, доктор технических наук, профессор Фаддеев2 Александр Олегович, кандидат физико-математических наук,

доцент

Данилов3 роман михайлович

математическое моделирование рисков геодинамического происхождения

Рассматриваются вопросы математического моделирования геодинамических рисков. Даны описание модели и результаты оценки комплексного геодинамического риска на различных территориях.

Ключевые слова: математическое моделирование, оценка рисков, геодинамические риски.

Questions of mathematical modeling of geodynamic risks are considered. The description of model and results of complex geodynamic risk estimation in various territories are given.

Keywords: mathematical modeling, estimation of risks, geodynamic risks.

Теоретическое обоснование математической модели

Одной из актуальных проблем современности является обеспечение безопасности населения и территорий от проявления опасных природных, природно-техногенных процессов и вызываемых ими рисков [1 - 3, 5, 8 - 9]. Одним из видов таких рисков являются риски геодинамического происхождения, несвоевременное выявление которых может привести к возникновению чрезвычайной ситуации на какой-либо территории. Под геодинамическими рисками обычно понимают опасности инженерно-технического, социально-экономического и медико-биологического характера, исходящие от геологической составляющей окружающей среды.

Для решения такой сложной и многоплановой проблемы, как комплексная оценка рисков на различных территориях в условиях чрезвычайных ситуаций геодинамического характера, необходим научно-методический аппарат, учитывающий основные факторы, влияющие на безопасность землепользования и жизнедеятельности в названных условиях, а также разработка математических моделей и эффективных численных методов, позволяющих выполнять соответствующие количественные оценки и прогнозы [4 — 7, 10].

В настоящей работе рассмотрим подход к решению данной проблемы.

Предположим, что последовательность геодинамических состояний среды некоторого ландшафтно-территориального комплекса (ЛТК) представляет собой поток однородных событий, который удовлетворяет условиям независимости, однородности и ординарности, т.е. представляет собой так называемый простейший поток.

Допустим, что число событий (проявлений опасных геоди-намических процессов незначительных энергетических классов, а именно такие мы и рассматриваем) в каждом из двух произвольно взятых, одинаковых по длительности и следующих друг за другом временных интервалов [а, Ь] и [с, ^ не зависит друг от друга. Далее предположим, что вероятность реализации подобных опасностей в течение временного интервала [а, Ь] совпадает с вероятностью реализации этих опасностей в течение временного интервала [с, ё], что, фактически означает соблюдение условия однородности. Далее, если за один и тот же бесконечно малый промежуток времени, т.е. практически одновременно, реализуются две геодинамические опасности, то в геофизичес-

' — Российский новый университет (Москва), проректор;

2 — Академия ФСИНРоссии (Рязань), доцент;

3 — Дальневосточный юридический институт МВД России (Хабаровск), преподаватель.

Рис. 1. Схема взаимопереходов геологической среды ЛТК между состояниями 1, 2, 3.

ком смысле энергетически они рассматриваются как одно событие, т.е. выполняется и условие ординарности. Обозначим через Рк(Ц вероятность того, что в течение некоторого промежутка времени t к процессу реализации различных геодинамических состояний среды ЛТК будут предъявлены к требований (различных геодинамических процессов). В силу указанных выше условий эта вероятность не зависит ни от выбора системы отсчета, ни от предыстории этой системы (среды ЛТК). Поэтому условия, определяющие простейший поток в приложении к нашей задаче, позволяют однозначно построить формулы для определения вероятностей Рк^).

Вероятность Рк(^ при любом к > 0 может быть найдена из известного соотношения:

Рк ) :

к!

(1)

где а — некоторый параметр.

Выражение (1) является решением системы дифференциальных уравнений:

[ро'о)=~ар0а х І Рк(і) = ~аРк 0)+аРк-і ( і ) ,

(2)

(Е3 — энергетический параметр ЭГП в среде ЛТК в момент времени ^).

Описание модели оценки комплексного геодинамического риска

Чтобы составить систему уравнений для искомых вероятностей р1^), р2^), р3(Ц рассмотренных нами состояний, необходимо определить интенсивности процессов ау (где I = 1, 2, 3; ] = 1, 2, 3), которые физически представляют собой сумму энергетических параметров процессов, протекающих в геосреде системы, окончание которых приводит к непосредственному переходу геосреды из состояния I в состояние у. Итак, мы предположили, что р1^), р2^), р3^) — вероятности нахождения геосреды ЛТК в геодинамических состояниях 1, 2, 3 соответственно. В таком случае интенсивности ау будут определяться в соответствии со схемой, представленной на рис. 1.

Тогда изменения указанных вероятностей, с учетом всего вышеизложенного, будут описываться следующей системой дифференциальных уравнений Колмогорова:

где а = Р'0(0), к = 1, 2,... .

Определим теперь набор геодинамических состояний для среды ЛТК.

Предположим, что в некоторый момент времени ^ геосреда ЛТК обладает некоторым параметром экзогенных геологических процессов (ЭГП) Е0, количественно характеризующим их энергию.

Тогда

Состоянием 1 назовем такое состояние геосреды ЛТК, при котором ЛЕ1 = Е1 — Е0 ^ 0, геосреда ЛТК находится в равновесном устойчивом состоянии (Е1 — энергетический параметр ЭГП в среде ЛТК в момент времени t1).

Состоянием 2 будем называть состояние геосреды ЛТК, при котором среда находится в неустойчивом неравновесном состоянии, т.е. ЛЕ2 = Е2 — Е1 Ф 0 (Е2 — энергетический параметр ЭГП в среде ЛТК в момент времени ^).

Состоянием 3 назовем квазиравновесное состояние геосреды ЛТК, при котором ЛЕ3=Е3—Е1 Ф 0, причем ЛЕ1 < ЛЕ3 << ЛЕ2

Рі'О) = -аізРі ) + азіРз X

Р2 (І) = а23Р2 (І ) + а32Рз (І X

Р3 (І) = а13Рі (І) + а23Р2 (І) - (а31 + а32 )Рз (ІX

(3)

Матрица коэффициентов системы (3) ^ау является вырожденной, поэтому для разрешения этой системы заменим любое из ее уравнений (например, третье) условием нормировки, т.е. условием р1(^ + р2^) + р3^) = 1. Тогда система уравнений (3) перепишется в виде:

-а13 Рі (і ) + а3іР3 (і ) = Рі(і ),

2 3 Р2 ( І ) + а32 Р3 ( І ) = Р2 (І),

а

(4)

Рі(І) + Р2 (І) + Р3 (І) = 1

Поскольку геодинамические процессы протекают в среде ЛТК в течение достаточно длительного времени, то имеет смысл говорить о предельном поведении вероятностей р(У при t ^ ~. Будем предполагать для среды ЛТК существование предельных (финальных) вероятностей состояний

1, 2, 3, т.е. существовании вероятностей р. = Нш р. (? ),

103 104 105 106 107 108 109 110 111

103 104 105 106 107 108 109 110 111

Рис. 2. Карта-схема пространственно-вероятностного распределения комплексного геодинамического риска для Байкальского региона с эпицентрами произошедших в 2008 г. землетрясений (по состоянию на 01.09.2008)

не зависящих от того, в каком состоянии среда находилась в начальный момент времени. В таком случае в среде ЛТК устанавливается предельный стационарный режим, при котором она переходит из состояния в состояние, но вероятности состояний Р1 уже не меняются во времени. Найдем финальные вероятности состояния среды ЛТК путем решения системы линейных алгебраических уравнений, которые получим из дифференциальных уравнений Колмогорова, приравняв производные вероятностей к нулю, а вероятностные функции состояний р$) в правых частях уравнений Колмогорова заменив на неизвестные финальные вероятности р:

0,

-«!3 Рі + аъхръ

-а2 3 р2 + аз 2 Рз = 0,

Рі + Р2 + Рз = 1-

(5)

Определитель матрицы коэффициентов системы (5) Уа^ отличен от нуля, поэтому система уравнений (5) имеет единственное решение, а именно:

Рі =

2з аз!

а2за2з + а^азз + а2заз^

=1-

(6)

Рз = 1 - Рі - Р2-

Результаты численной реализации математической модели оценки комплексного геодинамического риска

Следующим этапом работ по математическому моделированию геодинамических рисков является численная реа-

лизация данной модели. По рассчитанным на основании соотношений (6) вероятностям нахождения среды ЛТК в состояниях 1, 2, 3 выполняется построение результативной карты пространственного распределения вероятностного комплексного геодинамического риска — вероятности нахождения среды в состояниях, отличных от состояний 1 и 3. При этом под комплексным геодинамическим риском в данном случае понимается суперпозиция энергетических воздействий от возможных геодинамических подвижек, оползневых и просадочных явлений.

Рассмотренная в настоящей работе математическая модель была реализована авторами для территорий Байкальского и Дальневосточного регионов, а также территории современной Турции.

Построенная в ходе численной реализации данной математической модели карта пространственного распределения вероятностного комплексного геодинамического риска для Байкальского региона с нанесенными на нее эпицентрами землетрясений, произошедших спустя год после выполнения расчетов, наглядно продемонстрировала высокую практическую эффективность предложенного подхода. На самом деле эпицентры произошедших землетрясений «легли» как раз на те участки территории, которые были определены нами как наиболее потенциально опасные в сейсмическом отношении (рис. 2).

Области, оконтуренные изолиниями со значением вероятности 0,3, мы предлагаем считать зонами латентно-потенциального риска; изолиниями со значением

0,5 — зонами умеренного риска; 0,7 — зонами повышенного риска; 0,8 — зонами чрезвычайной опасности. Такая градация диапазонов значений вероятности и сопоставимой с ними степенью риска является условно-общей, однако при оценке опасности для различных объектов, скажем, для атомных станций или лесных массивов, она должна существенно варьировать по степени тяжести последствий.

методы

133 134 135 136 137 138

Рис. 3. Карта-схема пространственно-вероятностного распределения комплексного геодинамического риска для г. Хабаровска и прилегающей к нему территории с эпицентрами произошедших землетрясений

28,2 28,4 28,6 28,8 29 29,2 29,4 29,6 29,8

41,6-

41,4-

41,2-

41

40,8-

1 •) - «о ?с

Г * — ),б ’•Г . ' А • - ’ . а

■ =г о£ о о О Щ 1 Л Н_ їтл-і о . • ГіУ-О і. І-ІАЙІЯ. ♦ :■* 9 ., г

•> СЛ ш а -СР * щ, і * . *ЪСА ■ •

> ♦ ♦ О С 1 з О иЛ'*1 ■- «ні

о ♦ '«Г - ї> *-* <9 -

-41,6

-41,4

-41,2

-41

-40,8

40,6-

-40,6

28,2 28,4 28,6 28,8 29 29,2 29,4 29,6 29,8

Рис. 4. Карта-схема пространственного распределения вероятностного комплексного геодинамического риска для окрестности Стамбула с эпицентрами произошедших в 1999-2008 гг. землетрясений (с магнитудами от 3,8 и до 5,2)

Используя аналогичную методику, нами были также выполнены оценки пространственно-вероятностного распределения комплексного геодинамического риска для Дальневосточного региона и, в частности, для г. Хабаровска и прилегающей к нему территории [11] (рис. 3).

Кроме того, рассмотренный вероятностный подход и соответствующая ему математическая модель были численно реализованы применительно к территории современной Турции и, в частности, для окрестности Стамбула (рис. 4). На карту-схему нанесены эпицентры землетрясений с магнитудами от 3,8 до 5,2, произошедшими в окрестности

Стамбула с августа 1999 по октябрь 2008 г. [12]. Распределение эпицентров в очередной раз подтверждает адекватность разработанного авторами математического метода оценки геодинамического риска.

Для Стамбула проблема оценки геодинамического и в особенности сейсмического риска на сегодняшний день является чрезвычайно злободневной и актуальной. Поэтому рассмотрим результаты расчетов для этой территории более подробно.

На представленной карте-схеме (рис. 4) видно, что сейсмические события в ближайшей окрестности Стамбула за пе-

риод 1999 — 2008 гг. произошли в районах севернее и восточнее города, причем последнее — 28 октября 2006 г. (29,10 Е; 41,22 Ы). Самое же последнее сейсмическое событие за данный период времени (1999 — 2008 гг.) было реализовано 5 октября 2008 г. на южном берегу Мраморного моря (28,94 Е; 40,60 Ы). Это говорит о миграции очага сейсмической активности к югу от Стамбула, что и подтверждается землетрясениями магнитудой не более 3 в первой декаде апреля 2010 г. (когда выполнялись численные расчеты по этой территории) южнее района, приведенного на рис. 4 [13].

Но, поскольку город находится в зоне повышенного риска и частично — в зоне чрезвычайной опасности, возможна обратная миграция очага сейсмической активности в район Стамбула. Так как относительно недавно там произошла разрядка тектонических напряжений, выразившаяся в реализации незначительных по магнитуде землетрясений, то в ближайшем будущем ожидать крупных сейсмических событий не представляется возможным. А вот реализация незначительных по магнитуде событий (не более 4), по мнению авторов, здесь весьма вероятна. Если же в ближайшем будущем (порядка 2-3 лет) землетрясения указанной магнитуды не произойдут, то вот тогда следует опасаться крупного сейсмического события, которое для многомиллионного города может обернуться крупной катастрофой.

Заключение

К сожалению, точный прогноз высокоэнергетических опасных геодинамических событий и в особенности катастрофи-

ческих землетрясений, на сегодняшний день остается тайной «за семью печатями», поскольку динамика опасных природных явлений до сих пор до конца не укладывается в «прокрустово ложе» математики. Тем не менее авторы настоящей статьи имеют основание надеяться на то, что дальнейшие их разработки в области применения методов математического моделирования и численных методов к изучению опасных геодинамических явлений позволят приблизиться к решению этой очень важной для всего человечества проблемы. Также авторы считают целесообразным повышение интенсивности проведения инструментального мониторинга за современными вертикальными и горизонтальными движениями в особо опасных в геодинамическом плане регионах. Поскольку, по мнению авторов, только сочетание геологических, геофизических, геоморфологических, математических и медико-биологических методов исследования в их интегрированном аспекте должно обеспечить высокую достоверность идентификации зон риска геодинамической обусловленности.

Резюмируя все вышесказанное, еще раз отметим, что рассмотренный в настоящей работе подход, основанный на представлении возможных геодинамических состояний геосреды ЛТК как простейшего потока событий с последующим построением математической модели в виде системы дифференциальных уравнений Колмогорова относительно вероятности нахождения геосреды системы в этих состояниях, позволяет достаточно достоверно оценивать пространственно-вероятностные распределения опасностей, исходящих от геологической составляющей окружающей среды.

Литература

1. Воробьев Ю.Л., Осипов В.И., Владимиров В.А. и др. Катастрофы, и общество. - М.: Контакт-Культура, 2000. - 332 с.

2. Минаев В.А., Фаддеев А.О. Методика оценки геоэкологического риска и геоэкологической безопасности, ландшафтно-терри-ториальныхкомплексов. / Мат.. XVIIнаучно-технической конференции. «Системы, безопасности» - СБ-2008 Международного форума информатизации 30 октября. 2008, Москва. — М.: Академия ГПС МЧС РФ, 2008. - С. 96 — 102.

3. Минаев В.А., Фаддеев А.О. Модели оценки геоэкологического риска на заселенных и промышленных территориях. / Мат. XVIIнаучно-технической конференции «Системы, безопасности» — СБ-2008 Международного форума информатизации 30 октября 2008, Москва. — М.: Академия ГПС МЧС РФ, 2008. — С. 113 — 118.

4. Минаев В.А., Фаддеев А.О. Моделирование геоэкологических рисков и оценка геоэкологической безопасности на рекреационных территориях. / Проблемы, управления, рисками в техносфере. - 2008. — № 4. — С. 55 — 62.

5. Минаев В.А., Фаддеев А.О. Оценки геоэкологических рисков. Моделирование безопасности туристско-рекреационных территорий. — М.: Финансы, и статистика, изд. дом. ИНФРА-М, 2009. — 370 с.

6. Природные опасности России. Природные опасности и общество. Тематический том. / Под ред. В.А. Владимирова, В.Л. Воробьева, В.И. Осипова. — М.: Издательская, фирма «КРУК», 2002. — 248 с.

7. Протасов В.Ф., Молчанов А.В. Экология, здоровье и природопользование в России / Под ред. В.Ф. Протасова. — М.: Финансы. и статистика, 1995. — 528 с.

8. Фаддеев А.О. «Медленные» катастрофы, как угрозы, безопасному функционированию объектов на жилых, промышленных и рекреационных территориях. / Проблемы, безопасности и чрезвычайных ситуаций, 2008. — № 5. — С. 73 — 83.

9. Фаддеев А.О. Геоэкологический риск на заселенных и промышленных территориях. / Двойные технологии, 2009. — №1.

- С. 22 -30.

10. Фаддеев А.О. Модель оценки регионального геоэкологического риска. / Проблемы, безопасности и чрезвычайных ситуаций, 2009. - № 1. - С. 43 - 52.

11. Фаддеев А.О., Данилов Р.М. Геодинамическая безопасность ландшафтно-территориальных комплексов. / Под редакцией д.т.н., профессора Минаева В.А. - Хабаровск, Дальневосточный юридический институт. МВД России, 2010. - 169 с.

12. Оперативный сейсмологический каталог Геофизической службы. РАН, Обнинск. Источник: Мировой Центр Данных по физике твердой Земли, Москва (www.wdcb.ru).

13. Данные Европейско-Средиземноморского сейсмологического центра. Источник: Мировой Центр Данных по физике твердой Земли, Москва (www.wdcb.ru).