CC BY
9
- © А.Б. Цветков, 2013
УДК 622:519.635.4 А.Б. Цветков
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЯВЛЕНИЙ ДАВЛЕНИЯ ГАЗА В ГЕОМАССИВЕ*
Представлена математическая модель учета проявлений давления газа в геомассиве, которая реализована на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, построенного на концепции синтеза математической модели кусочно-однородного геомассива из блоков.
Ключевые слова: Математическая модель, геомассив, структурный блок, угольный пласт, выработка, вмещающие породы, геологический разлом, метод конечных разностей, краевая задача теории упругости, синтез, гравитация, газ.
В работе представлена математическая модель учета проявлений давления газа в геомассиве. Приведены результаты суперпозиции напряжений в горном массиве, вызванные воздействием сжатого газа и гравитацией. В реальных горных массивах помимо гравитации на распределение напряжений оказывает влияние давление газа сконцентрированного в пластах угля. При проведении горных работ необходимо учитывать, что суперпозиция воздействий газа и гравитации может приводить к формированию в окрестности выработки опасных областей по выбросам угля и газа. Поэтому для обеспечения безопасности горных работ на сложных участках требуется прогнозировать такие ситуации и вовремя предусматривать меры по предотвращению аварий на горных предприятиях. В этой связи актуальна разработка системы компьютерного моделирования, которая основана на модели, учитывающей интегральные гравитационные и газовые проявления в горном массиве.
При решении поставленной задачи была получена обобщенная система дифференциальных уравнений для нахождения величин перемещений, напряжений и деформаций вызванных силами гравитации и давления газа.
Согласно закону Дюгамеля-Неймана деформации в упругом изотропном теле пропорциональны температуре. Аналогично, если в каждой точке упругого тела действует давление р(х, у) , то деформации также можно считать пропорциональными давлению р = р( х, у)
ер = аР , £Рр = аР , < = ар , ^ = 7Т„ = = 0 , (1)
где ерр, ер, ер, уру ,ур - деформации, р = р( х, у) - давление, а-
коэффициент пропорциональности.
Если в геомассиве действует гравитация, то совместные деформации ех , еу,
е2, 7ху , Ух?, Ту?, вызванные давлением газа и гравитацией представимы в виде:
"Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки по контракту №5.3832.2011.
£х = Е-1 (стх + стг)) + аР; Гху = ти-;
£у = Е-1 (сту + стг )) + ар; гхг = т/; (2)
£ = Е-1 (ст(стх + сту)) + ар; = ;
стх, сту , ст2, т, тх2, туг - компоненты тензора напряжений, Е - модуль юнга, V
- коэффициент Пуассона, ц, X - параметры Ламе.
После нахождения из данной системы напряжений зависимости для их вычисления имеют вид:
2ц£х +л(£х +£у + ;)-(31 + 2ц)ар ; тху = цУху;
у + Л(£х +£у +£г)- (31 + 2ц)ар; т = мГхг; (3)
2Ц£2 +Л(£х + £у +£)-(31 + 2^)ар ; ту2 = иуу2;
ст., =
ст =
У
ст. =
ди ду дм ду ди дм ду дм ди где £ = —, £ = —, £ = — , у ==--1--, У =--1--, У =--1--;
х ~ ' у ~ ' г > / ху ~ -^'/х^ ^ ~ ' / уг ^ ^ ■
дх ду дг дх ду ду дг дх дг
, иЕ Е и, V, ш - перемещения, 1 = --—-- , и =
(1 + и)(1 - 2и) 2 (1 -и)'
Данные напряжения (3) были подставлены в уравнения равновесия[3]:
дстх дтху дт
дх ду дг дт дст дт
К = 0
ух I__У
К = 0, (4)
дх ду дг у
дт дтуг дст
дх ду дг
К = 0,
где Кх , Ку , - массовые силы.
После подстановки (3) в (4) получилась система уравнений Ламе в перемещениях с учетом давления газа.
и + и;+и;) + (1+и) (и;+у;+<)' - (31+2/ар'х+к = о и(у"х + уу + <) + (1 + и)К + ^ + м'уг)'- (31 + 2и/ару + ¥у = 0 (5)
и(< + < + <) + (1 + и)К + у'у^ + <)'- (31 + 2и)арг + К = 0
Система уравнений Ламе в перемещениях с учетом давления газа и воздействия гравитации для плоскости ХОУ имеет вид:
Ги(и; + и"уу) + (1 + и) (и; + уху)' - (31 + 2и)ар'х = 0
{и; + ^) + (1 + и)К + ^)'- (31 + 2и)ару + pg = 0 ,
где р - плотность, д - гравитационная постоянная. 364
Алгоритм исследования разработанной модели для плоского случая реализован в виде комплекса проблемно-ориентированных программ. В пакете программ для исследования математической модели применен метод конечных разностей [2].
В качестве примера рассмотрен массив горных пород, который представлял собой область О прямоугольной формы длиной 360 метров и глубиной 240 метров. Вмещающая толща на глубине 200 метров включала пласт угля прямоугольной формы мощностью 4 метра насыщенный газом под давлением р. Расчетная область представлена на рис. 1.
Расчетная область состояла из трех подобластей 1=1..3. Каждая
из подобластей О1, О2, О3 характеризует породы определенного типа. При моделировании было принято, что область 01, это песчаник, О3 - алевролит, О2 - уголь, В подобласти О2 задано давления газа величиной р, которое распределено равномерно.
Рис. 1. Расчетная область О
В статье применялись следующие обозначения: и(х, у) , V(х, у)
а
а,
горизонтальные, вертикальные перемещения и напряжения соответственно. Физико-механические свойства подобластей определялись величинами: Рь , где - постоянные Ламе и ^ - плотность О Горизонтальные границы
задавались уравнениями: у=Н 3=1..4.
Давление газа в каждом блоке моделировалась функцией р(у) = Ау + В , которая является решением уравнения Лапласа Др=0, где А и В заданные постоянные. С учетом граничных условий р(Нк) = рк, к = 1..4 функция р(у) имеет вид:
р(у) =
А + (р2 - А)(у - Я,)/(Я2 - Я,), Я, < у < Яг, рг + (рз - рг)(у - Я2) /(Я3 - Я2), Я2 < у < Я3, рз + (р4 - рз) (у - Я3) /(Я4 - Я3), Яз < у < Я4.
(7)
где pi - давление газа, заданное на границе Нь р2= р3=р.
Построение модели проводилось следующим образом. Для каждого блока прямоугольной формы Qi рассматривалась краевая задача теории упругости с учетом давления газа, заданного функцией (7). Краевая задача была сформулирована в следующей постановке. Найти вектор перемещений и = (и,у), и = =и(х,у), V = у(х,у), удовлетворяющий внутри Qi системе дифференциальных уравнений (6) и граничным условиям: и(а,у) = 0, и(Ь,у) = 0, и(х,с) = 0, и(х,<) = 0, (а, у) = 0 , (Ь, у) = 0 ; ау (х, с) = 0 ; v(x,d) = 0. Задача решалась при условии,
что массовые силы направлены вдоль оси ОУ и создавались собственным весом
пород. На внутренних границах Н2, Нз согласовывались напряжения и перемещения. При проведении вычислительного эксперимента выбраны следующие структурные параметры модели в метрах:
а=0, Ь=300, с=0, а=240, Н1 =0, Н2 =200, Нз =204, Н4 = 240. Физико-механические свойства задавались такие: р1=2600 кг/м3, Е1=5,2-104 МПа, v1=0,17,
Р2=1380 кг/м3, Е2=0,3-104 МПа,
V2=0,34, р3=2700 кг/м3, Е3=2,8-104 МПа,
vз=0,27, р=0,2 МПа, р1=0, р2= Р3=Р, Р4=0.
Разработаны программные модули для решения задачи (6), которые стали частью пакета проблемно-ориентированных программ. Вычислительный эксперимент проводился при 98640 узлах сетки. Результаты численного решения приведены на рис. 2. На вертикальной оси отложена глубина, а по горизонтали вертикальная компонента тензора напряжений. Сплошная тонкая линия соответствует напряжениям, вызванным только гравитацией, пунктирная - суперпозицией давления газа в пласте угля и гравитацией. Знак минус соответствует сжимающим напряжениям.
На первом этапе исследований был проведен расчет напряженно-деформированного состояния массиве под действием гравитации - сплошная линия на рис. 2. Из графика видно, что в массиве П действуют только сжимающие напряжения. Следовательно, моделируемый ненарушенный горный массив при действии гравитации представляет собой область сжатия и сжимающие напряжения возрастают с увеличением глубины. Полученные результаты соответствуют распределению Динника [1,4]. На графике наблюдаются скачки напряжений ау на границах слоев пород и пласта угля. Величины сжимающих напряжений в кровле пласта составляли -5,2 МПа.
На следующем этапе рассмотрено состояние ненарушенного геомассива при наличии газа в пласте угля под давлением 0,2 МПа - пунктирная линия на рисунке 2. Поле напряжений вызвано суперпозицией двух видов сил: гравитацией и давлением газа. В окрестности пласта наблюдается возрастание величин сжимающих напряжений по отношению к геостатическому распределению. При удалении от пласта влияние давления газа ослабевает, и поле напряжений определяется гравитацией. Это вызвано суперпозицией величин сжимающих напряжений, вызванных гравитацией и уменьшением воздействия газа при отдалении от пласта. Величины сжимающих напряжений в окрестности пласта составляют -5,4 МПа, что соответствует совместному воздействию гравитации
„ „ „ и газа.
Рис. 2. Вертикальные напряжения МПа
Возможность учета в математической модели аддитивной газовой составляющей в окрестности пласта позволит исследовать распределение напряжений в геомассиве при наличии в нем газовых ловушек и областей аномального давления.
Практическое значение комплекса проблемно-ориентированных программ состоит в возможности прогноза выбросов угля и газа при разработке паспортов креплений выработок.
Выводы
В статье предложена унитарная математическая модель, которая в отличие от известных позволяет одновременно помимо гравитационной учитывать газовую составляющую сил в геомассиве, для исследования которой разработан комплекс проблемно-ориентированных программ.
В отличие известных определяющих соотношений в предложенной модели, возможно распределение давления газа в геомассиве задать с помощью функции, отличной от решения уравнения Лапласа с целью моделирования областей аномального давления.
Проведенное исследование относится к одному из этапов разработки системы компьютерного моделирования на основе комплекса проблемно-ориентированных программ, предназначенной для синтеза математических моделей-кандидатов и адаптации их параметров к реальным условиям на основе данных натурных наблюдений с целью исследования взаимодействия геомеханических процессов в массиве горных пород с системой выработок.
1. Динник А.Н. Статьи по горному делу. [Текст] / А.Н. Динник - М.: Углетехиздат, 1957. - 193 с.
2. Рихтмайер Р. Разностные методы решения краевых задач. [Текст] / Р. Рихтмайер, К. Мортон - М.: Мир, 1972. -414 с.
3. Ершов Л. В. Математические основы физики горных пород. [Текст] / Л.В. Ершов, В.А. Максимов - М.: МГИ, 1968. - 293 с.
- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
4. Цветков А. Б. Синтез краевой задачи теории упругости и статического давления для математического моделирования напряженно-деформированного состояния в многослойном кусочно-однородном массиве при действии гравитации [Текст] / А. Б. Цветков, В.Н. Фрянов //Горный информационно-аналитический бюллетень. - М.: Горная книга, 2013. - №2. - С. 141-146. ГГШ
КОРОТКО ОБ АВТОРЕ -
Цветков Андрей Борисович - кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной информатики, «Сибирский государственный индустриальный университет», [email protected]
А
