Математическое моделирование процессов тепломассообмена при тепловлажностной обработке силикатного кирпича с добавками шлама Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 674.8

М.Ю. Белозор, Т.Н. Меньшакова, Е.А. Шестакова, Н.Н. Синицын

ГОУ ВПО «Череповецкий государственный университет»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛОМАССООБМЕНА ПРИ ТЕПЛОВЛАЖНОСТНОЙ ОБРАБОТКЕ СИЛИКАТНОГО КИРПИЧА С ДОБАВКАМИ ШЛАМА

У

Заготовка с размерами 26х 26 Y 26z помещена в среду, имеющую температуру Тж (рис. 1). Условия нагрева заготовки в первый период (до начала химических реакций) во всех направлениях одинаковые (коэффициенттеплоотдачи а= const).

Дифференциальное уравнение температурного поля при отсутствии внутренних источников теплоты (при qv = 0) имеет вид 1 :

57} 1к

■ = а

f д% дх2

+ -

д2Т,

ду

1

dz

2

(1)

где 7*1 - температура заготовки в первом периоде обработки; х- время; а - эквивалентный коэффициент температуропроводности материала заготовки; х, у, г - текущие координаты.

Считаем, что в начале процесса температура в заготовке распределена равномерно, тогда начальные условия:

7} х, у, z, х = 0 =Т0 = const. (2)

Рис. 1. Расчетная схема

Граничные условия.

Из условий геометрической и тепловой симметрии следует:

37} 0, у, z, х дх

= 0:

(3)

д7} х, 0, z, т

ду

= 0:

(4)

57} х, у, 0, х dz

= 0.

(5)

Теплообмен на поверхности заготовки подчиняется закону Ньютона - Рихмана:

-дт\ ±Ъх,у,г,х аг

57\ х, ±8 г, т + —

' 1 аг 1

— = -[71 х,±5^,т -Гж]; (7)

ду X

дТ, х, V, ±5_,т а г п

+ ^ -Гж]. (8)

Решение системы (1) - (8) в безразмерном виде можно представить как произведение трех решений для неограниченной пластины, так как заготовка (параллелепипед) образована путем пересечения трех взаимноперпендикулярных неограниченных пластин:

х, у, г, т = 91 х, т 01 у, т 91 г, т , (9)

где

Тл х,у,г,х - Т Э, х,у,г,х = ——^^--

т0-тх

Т, х,т —Т

?! Х,Т =- 1 Ж

Т0 ~ТЖ

•/, у,х -Тж Тх 2, х -Тж

Л =--2-Х =-

Следовательно,

1

81 х, у,г,х =

Т(х,х)-Тж [7\ у, х -Уж][У\ -Гж]

То~Тж 3

Решение задачи о равномерном нагреве пластины известно 2

h = Z

2sinjj,„

■ сое

1 Hm + Sin IV COS

Них С-

х ;

n

хехр -1х2пха%1Ъ2х ; (10)

У,'1 = Z

2 sin ц

пу

■ СОЭ

= 1 н,

пу

-sm^cos^

^sj

1

n

хехр -ц2 ах/52 ; (11)

z, х = X

2sin|x„

■ сое

1 H„z + smH„zcosH„z

Hnz О

z

Z у

n

хехр -|i2nz ax/52z . (12)

Значения , ^ny, цп/ определятся из характеристических уравнений:

М М„., М

^ = ctgМпх, -^ = ctgМпу) -^ = ctgМш.

Blx tily Dlz

Средняя температура заготовки (параллелепипеда) определяется так же, как произведение трех температур для бесконечной пластины:

Gl Т =е1х х Qly х 6lz х ; (13)

I

т • 2

2 sin ци

.2

и = 1 Н их + Них sm Них cos Них

хехр -\х2 пхахЬ2 х ; (14)

у1у

I

т • 2

2зт ц

пу

.2

1 ц пу+^пу^^пу™^,

-пу

пу

-пу

п

хехр -ц2пуах/52у ; (15)

Ч * =1

т • 2 281П цй2

.2

«=1 И + 81П (V С08 (V

хехр -|л2И2 ат/522 ; (16)

01* *

^12х т . К _ _ 1 'ж

-; 01у х

ЛТ1 /тт 1/ /т-т ГГ1

10~1ж ~'ж

е,, т =

х ~ТЖ

~ТЖ

где Т12х(т), Т12у(т), Т12г(х) - среднеинтегральная температура заготовки в соответствующем сечении. Решение задачи можно выразить через безразмерные величины:

9 х, у, г, х цй,В1х,Рох,Х х

а5х ах х

В1Г =-; гоГ = —; Х= — ;

X 52 8Г

сс5,. ат у

а8у В и =—-

ах г

рог = -т; 2 = — ■

г

2

Таким образом, температурное поле заготовки на первом этапе ее обработки описывается соотношениями (9) - (12), а ее средняя температура определяется выражениями (13) - (16).

Период начала химических реакций соответствует промежутку времени с начала действия внутренних источников теплоты, то есть с момента достижения поверхностью заготовки температуры химических реакций до достижения этой температуры в центре заготовки.

Температурное поле заготовки при этом опишется дифференциальным уравнением:

дТ 1к

■ = а

д2Т д2Т д2т] дх2 ду2 дг2

+ / с р; Оо (] - 2),

(17)

где цу - удельная мощность внутренних источников теплоты; о0 (у - 2) - функция Хевисайда 3 . Индексу =

1 соответствует области, прилегающей к центру заготовки, у = 2 относится к периферийной области, где уже действуют внутренние источники теплоты.

Вследствие значительной сложности решения задачи введем допущение о равномерном распределении температуры по объему заготовки в начале периода действия химических реакций. За начальную температуру примем среднюю температуру в конце периода прогрева заготовки, определенную по (13) - (16).

Задачу (17) решаем следующим образом. На первом этапе рассчитываем поле температур без учета действия внутренних источников теплоты:

02 х, у, г, х = 02 х, х 02 у, т 02 г,х , (18)

где

02 х, у,г,х =

Т2 х,у,г, х - /:,.

Т\2 ~ Тж

X, т = -

Т2 хЛ ~Тж

Т\2 ~ Тж

2

7 2 У,1 -Тж Т\2 - Тж

Т2 ~Тж

Т\2 - Тж

Сомножители в (18) рассчитываются из выражений:

62 т = X

28ШЦ„

х сое

„ = 1 И«Х +81ПЦ«ХС08Ц«Х

ехР -Ц2»хат/82х ;

И-ИХ С-

V §ху

У>1 =Ц

2 вт ц

пу

1 У-пу+Ь т\1пуС05\1пу

х сое

( \ У_

V У)

ехР

Т

= 1

= 1 +81ПЦжС08Цж

хсов

( 1} о

V

ехР -Ц^ят/б^ ,

где Т12 - среднеинтегральная температура заготовки в конце первого этапа обработки.

На втором этапе рассчитываем поле температур с учетом действия внутренних источников теплоты. Расчет ведем по уравнению (18), но при этом сомножители описываются выражениями:

Э2 х,т = 1 + (1/2)Рох 1 -х21Ь2Х + 2/ЕИх -

2 вт ц„

"X 1 + Р°х/Ц2«х -:-

Л = 1 И«х +8111^008^

хсоэ

М-ИХ О V 8ХУ

ехР -(Лх«1;/82Х ,

2

2

п

'2 у,-с = 1 + (1/2) Ро^ (1-у21Ъ2у + 21В\у)-

28т|лй

-X 1 + Ро у/\12

~пу

у' г- пу

п=\

\1Пу+$,т\1„уСО$,\ХПу

х сое

ехР -\?пуат1Ь2у

)2 г,т = 1 + (1/2) Ро2 1-72/522 +2/В12 -V 1 о / 2 281пц„2

"2, 1 + ро2/Н „2 -:-х

„ = 1 +81ПЦй2С08Ц„2

хсов

Ниг о

V

ехР -Н2«2ат/52г •

Критерии Померанцева Рох, Роу , Ро2 определятся из выражений:

Рох = 52х / (Г12 - 7"ж) А; Роу = б2у / (Тц - 7"ж) А;

Ро2 = qv 622 / (Т12 - Гж) А .

Температурное поле в заготовке в период начала действия химических реакций по аналогии с методикой [4], [5] определяется методом интерполяции значений, полученных на первом и втором этапах расчета.

Внутренние источники теплоты в период развитой гидратации действуют по всему объему заготовки. Температурное поле заготовки при этом опишется дифференциальным уравнением:

Щ

СП

■ = а

(д2Т3 8% д2Т3 ^

V

дх2 ду2 &2

+qv / (с р). (19)

у

В центре и на поверхности заготовки теплообмен осуществляется в соответствии с граничными условиями третьего рода (3) - (8).

В начале данного периода температура в заготовке распределена неравномерно, однако с точностью, достаточной для инженерных расчетов, можно условно принять, что температура распределена равномерно, при этом за начальную температуру принимаем среднеинтегральную температуру в конце второго периода обработки заготовки. Тогда начальные условия:

Тъ х,у,г, х23 =Т23. (20)

Среднеинтегральная температура определится из выражений:

ё2(т) = §2х Т -в2у т -§22 т ; (21)

е2х т = 1+(1/з)Рох 1+з/в1х -

оо

"X 1 + Рох/ц2„х ехр -\х2пхат1Ъ2х ; (22)

Я = 1

е2у т =1+(1/з)Роу(1+з/в1у)-

оо

-Х^ + Ро^/Ц^^ехр -\^пуах1Ъ2у ; (23)

И = 1

02г х =1 + (1/3)Ро2(1 + 3/В12)-

оо

- X (1 + Ро2 ехр -ц2жах/522 ; (24)

И = 1

-"2х

X =

^23х т

д— _ Т2Ъу т ^и

Т = Уо-У»

где Т23х(т), Т23у(т), Т23г(т) - среднеинтегральная температура заготовки в соответствующем сечении. Постоянные коэффициенты рассчитываются из соотношений:

Бпх=2В\х2/ (Б1х2 + В\х+ ^пх2) ц„х2;

ВПу= 2Б\у2 / (Б\х2 + Б\х+ Цпх2) Нпу2;

Вш = 2Б\22 / (Б\22+ Б\2+ ^

Расчет по (20)-(24) следует вести при значении обработки заготовки.

Решение системы (3) - (8), (19) в безразмерном решений для неограниченной пластины в условиях заготовка (параллелепипед) образована путем неограниченных пластин:

т = т23, т.е. для условий конца второго периода

виде можно представить как произведение трех действия внутренних источников теплоты, так как пересечения трех взаимноперпендикулярных

93 х, у, г, х = 83 х, т 83 у, х 93 г, т , (25)

где

З3 х,у,г, х =-

Т3 х,у,г, х —Тх

I 23 ~ ¡ ¿с

Х,Х = -

Г3 х,х ^23 ~

3

З3 =-; 93 =-

^ ' ' ГТ1 ГГ7 ' ^ у ГТ-< <Т"7

1 23 ~ 1 & *23~

При этом

93 х, у,г,х =

Г3(х,х)-Гж [Г3 у,х -ГЖ][Г3 г,т

3

Сомножители в (25) определятся соотношениями:

Э3 х,х = 1 + (1/2)Рох 1 -х2 /S2X + 2/Bix -

-X 1 + Рох/ц

И = 1

2

X ' I-1 их

2sin|a„

Них +Sln^HX C0SH„

X COS

Них о V x J

exp -и ихат/§ x ;

Э3 y,x =l + (l/2)Po 1 - J2 / 82 + 2/Bi -

2sin|a

ny

ny

и = 1

x cos

Н-И.У

J

ЛУ

exp -^„yCtiltfy ;

'3 z, x = 1 + (1/2)Poz 1-Z2/S2z+2/Biz -

2 sin

-X 1 + Ро2/ц:

и = 1

z ' Г- nz

V-nz +sin^„zcos|a„

x cos

Ни

exp -|i nz ax/5

Критерии Померанцева Pox , Poy, Poz определятся из выражений:

Pox = qv б2х /( 7~2з - 7"ж) Л ; Poy = qv б2у /(T23 - 7"ж) Л ; Poz = qv 62z/ (T23 - Тж) Л .

Таким образом, составлена система дифференциальных уравнений, описывающих тепловые процессы, протекающие при тепловлажностной обработке силикатного кирпича с добавками шлама. Система уравнений охватывает три периода обработки заготовки: период ее прогрева до начала химических реакций, период выдержки заготовки с учетом внутренних источников теплоты и период развитой гидратации. Приведены аналитические решения дифференциальных уравнений теплообмена. Разработана методика расчета температурных полей в заготовке в процессе ее тепловлажностной обработки.

Список литературы

1. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. - М.: Энергоиздат, 1981. - 416 с.

2. Лыков А.В.Теория теплопроводности. - М.: Высш. шк., 1976. - 600 с.

3. Джеффрис Г., Свирл Б. Методы математической физики. - М.: Мир, 1969. - 412 с.

4. Шестакова Е.А., Никонова Е.Л., Кононова М.А. Моделирование тепломассообмена при наличии внутренних источников теплоты. - Череповец: ЧГУ, 2004. - 108 с.

z

z ■

z /

5. Никонова Е.Л. Методика расчета тепломассообмена при восстановлении оксидов азота в отходящих дымовых газах теплоэнергетических установок // Вестник Череповецкого государственного университета. - 2002. - № 1. - С. 33-36.