CC BY
46
УДК 519.63:532.55
А.И. Сухинов, М.Д. Чекина
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ НАКОПЛЕНИЯ И ФИЛЬТРАЦИИ ОСАДКОВ С ПОМОЩЬЮ СУПЕРВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ
СИСТЕМ
Целью данной работы является оценка скоплений дождевой воды и прогнозирование затоплений. Для решения этой задачи построена математическая модель на основе уравнения Сен-Венана. Была осуществлена дискретизация модели и разработан алгоритм её .
модельной области были получены сеточные функции высоты столба жидкости, а также картины динамики затопления области.
Динамика затопления; уравнение Сен-Венана; русловые потоки; фильтрация; парал-.
A.I. Sukhinov, M.D. Chekina
MATHEMATICAL MODELLING OF ACCUMULATION AND FILTRATION DEPOSITS PROCESSES BY MEANS OF SUPERCOMPUTING SYSTEMS
The main purpose of the work is to create an estimation of wastewater gathering and flood forecasting. Mathematical model of the problem is based on Saint-Venant equation. The discretization of the model was made and the algorithm of its numerical simulation was elaborated. The numerical simulation of the model region flooding results in mesh functions of the height of liquid column and picture of region flood dynamics.
Flood dynamics; Saint-Venant equation; channel flow; filtration; parallel algorithm.
.
процессов накопления и фильтрации осадков для прогнозирования затоплений. Для решения этой задачи было использовано уравнение Сен-Венана, связывающее высоту столба воды с потоком, и вспомогательное уравнение, задающее коэффициенты впитывания грунта.
Для оптимизации вычислений разработан параллельный алгоритм с применением модели передачи сообщений (MPI).
. -ков в модельной области, показанной на рис. 1.
О 5 10 15
H0
Рис. 1. Модельная область
.
Ось Ох направим вертикально вверх, ось Оу слева направо. На рис. 1 фиолетовым цветом показана наибольшая глубина, а красным наименьшая.
Для решения этой задачи построим математическую модель на уравнения Сен-Венана [3], которое объединяет глубину Н с потоком Q:
Н = а: + а: - г+/
(1)
где г - функция, задающая степень впитывания в области (сток), а / - источник, . . .
, :
=- к1 ^ + к2
(2)
к1 > к 2
к1 = 0
Н * но,
Н = я.
где к1 - коэффициент промокания, к2 - коэффициент, задающий скорость впитывания, Н - высота водяного столба, Н0 - естественный уровень воды.
Выражение для потока:
а =
Кі((1 + Кгі%ф)в-1), (р>фо
(3)
где г%ф =.
Ґ дн' )2 + ( дН 1
V д: 1 + Vд: у
0, ф < %
, (р - угол наклона, К1, К2 и р - характеристики теку-
.
Граничные условия задаем в форме Неймана:
Н = 0.
п
Для отыскания решения данной задачи нам необходимо рассмотреть систему Проведем преобразования, выражая поток Q через высоту Н, получим
н; = (К(Н)Н )'х + (К(Н)Н' ) - г + / ,
(1-3).
где
К ( Н ) =
КД(1 + К2 гр -1) ЧР
(4)
(5)
Итак, в результате нужно рассмотреть систему уравнений (4) и (2). Дискретизация непрерывной модели. Для получения ко нсервативных разностных схеме естественно исходить из уравнений баланса, записанных для ячеек .
следует заменить приближенными разностными выражениями. В результате получаем однородную разностную схему. Такой метод получения консервативных схем будем называть интегроинтерполяционным методом [1].
Для построения решения разностной схемы будем использовать равномерную сетку:
Ж = \х. = ік , у. = /к ; і = 1..М , / = 1..М ; N к = І , N к = і}.
к І і х^ ^ і •/ у* х’^ у* х х х^ у у у)
В уравнении (4) вместо частных производных будем использовать из конечноразностных аналоги, полученные при помощи интегроинтреполяционного метода. В итоге получим следующую разностную схему:
к
к
к
к
(6)
- К",. (н А н-‘ - к; ,(н А нщ; - к,(н А нЦ =Т н; - їп + /и.
г— / к г/ +— к г/— к т
ї Пх * 2 "у 2 "у 1
Определенную сложность представляет аппроксимация коэффициентов (5). Проведем ее следующим образом:
К(Н) = — в 1п(1 + К21еф) = — в £ (_1— (К2?ир)п =
г%ф п=1 п
где
1
1
1
-вК, КгХ№ — К^еV + - К2\V + ОЦе-) ЧФ V 2 3
= в кк 2 - 2 К1К 22—3 К1К 23^ -+о(іе V),
ч- = .
ТГП ТГП
ні+1 ] ні-1 ]
2К
\2
+
ТТП ТТП
нг+\ н. -1
2Н„
\2
+Ок+к2).
(7)
(8)
(2):
П+1 П
-1-
^і] ^і]
т
1
П +—
-ки]ї] 2 + к2,і]
где
п+— 1 +1 1
2 ^ П+1 . ^ П
їі/ =~ +~ їі/ .
і/ 2 і] 2
(9)
(10)
В граничных узлах получаем следующие выражения:
♦ верхняя граница (X, у) Е Гх_
(К(Н)Н'х )Х = Кп, (Н)-1(Н" _Н");
і+~ И 2
х
.
іЕ-\
тгп тгп
ні+1 і ні
К
2 ґ +
тгп тгп
ні]+1 ні]-1
2к
2
♦ нижняя граница (х, у) Є Гх_
(К(н)нх )'х =-К\ (н)^(нП+1 -нП-1]);
і-2] К ] ]
іЕ- =
нП - нП-1 і
\2 Г +
ЯП ттП
іі+1 ніі-1
2к
у
♦ левая граница (х, у) Є Гу
1
(К(н)ну )у ^ кПА(н)—(н^ - нП+1);
кх
іЕ- = .
тгп ТГП
ні+1] ні-1 і
2К
2 ( +
ПП ні]+1 ні]
♦ правая граница (х, у) Є Г
у+
1
(К(н)ну )'у --кП 1 (н)-^(н^ - н^1);
у у і]-~2 кх ] ]
іЕ- =
ґ \2 /
' ТЛ П ТТ П \ І ТТ П
ні+1 і - ні-1 ]
2К
+
Щ - нП-1 к
2
Порядок аппроксимации схемы (6) будет равен 0(кх2 + ку2 + т) , для схемы (9) 0(т2) [4].
[4] , (6) .
Метод верхней релаксации. Для решения полученной СЛАУ использовался [2].
Любой двухслойный итерационный метод можно записать в следующей ка:
уП+1 - уП
в1+ АуП = / П = 0,1..., у0 = Ыо-т
Каноническая форма для метода верхней релаксации представлена следую:
-ч (у+1 - у*)
(Б + аА )
о
у = Ы
а
+ Ау* = /.
2
к
х
2
к
у
Видим, что
B = D + а A , т = а
После преобразований получим:
ґ
1
Л
A + — D
v а )
у+1 +
A+ +
v
1—
v
Л Л
D
а) )
у = f.
А+ - верхняя треугольная (наддиогональная) матрица, А - нижняя треугольная (поддиагональная) матрица, В - диагональная матрица.
Отсюда находим итерационную формулу:
s+1
у
(1 - а)у] +а
aii V
N
i-1
fi- Z а/Уі -Е а/Уі j=i j=l
s+1
В данной задаче мы использовали значение веса ю=1,80.
Алгоритм и программная реализация
1. .
В программе задаются следующие параметры:
♦ шаг по времени;
♦ шаги по пространству;
♦ начальный момент времени;
♦ конечный мо мент времени;
♦ характерист ики текучести;
♦ коэффициенты впитывания и промокания;
♦ количество осадков;
♦ для каждого узл а задаются номер, его начальные и граничные условия (задаются чтением из файла).
2. Первоначальное создание маски для задания коэффициентов с учетом гра-
.
3. Решение системы уравнений:
♦ начало цикла по количеству итераций (к);
♦ расчет высоты столба воды: вычисление коэффициентов А(Р), B(P,Q) и вектора правой части в зависимости от граничных условий; решение полученной системы уравнений с помощью МБР:
■ исходные матрицы НО (рельеф) и Region (расчетные и нерасчетные
) ;
■ происходит разбиение исходных матриц на сегменты (р^биение
). -. -. , -тается последнему процессу
■ так как для расчета мы используем метод верхней релаксации, то для
того чтобы посчитать значение в (i; j) узле, нам необходимо знать
значения в ( — 1; j), ( +1;j) (;j—^ ( j+1)
первому и последнему процессам мы передаем на одну строчку , . Эти строчки передаются только на чтения, расчеты в них не произ-;
■ на каждом процессе вычисляется невязка;
■ каждый процесс пересылает свою невязку на нулевой процесс;
■ на нулевом процессе вычисляется максимальная невязка, которая затем сравнивается с погрешностью £;
■ после того как вычислена матрица глубин Н , мы производим сбор матрицы на нулевом процессе;
■ если полученная высота столба воды меньше естественного уровня, то следует исключить узел из расчета;
■ создание маски с учетом исключенных узлов;
■ вычисление значения для параметра, характеризующего впитывание;
■ сброс значений для исключенных из расчета узлов;
■ создание маски.
■ наращивание к, выход осуществляется по достижению определенно-
.
4. Сохранение полученного значения Н.
Входные и выходные данные.
Входной файл H0.txt содержит значение естественного уровня воды для каждого узла. Входной файл region.txt содержит метки для расчетных нерасчетных узлов (-1 - если узел нерасчетный и 1 - для расчетных узлов).
Выходной файл H.txt содержит полученные значения для высоты столба воды в каждом из узлов.
Программная реализация включает в себя следующие функции:
♦ инициализация матриц, где задаются первоначальные значения для коэф-
;
♦ создание маски для задания коэффициентов А(Р), Б(Р^) с учетом гранич-
;
♦ К(Н) -
;
♦ реализация метода верхней р елаксации для решения СЛАУ;
♦ вычисление вы соты столба воды;
♦ вычисление значения для вп итывания и промокания грунта;
♦ функция для обновления меток расчетных и нерасчетных узлов;
♦ функция для осн овных вычислений;
♦ главная функция, в которой происходит считывание из файлов входных данных, вызываются инициализации, создания маски, основных вычислений и сохранение данных.
Оценка целесообразности применения данного параллельного алгорит-
. ,
, -
ментов (от 1 до 32), при использовании сеток с разным количеством ячеек (256, 512,1024 и 2048). В результате были получены графики времени выполнения про, .
Из графиков видно, что эффективность работы программы растет с увеличени-. (256-512) -
сообразно использовать количество процессоров больше двух. В расчетах на сетках 2048 10- -
ментов. Таким образом, для целесообразности использования в работе супервычис-
103.
Т2048
Т1024
Т512
Т256
В
Рис. 2. График зависимости времени расчета от количества процессоров для сеток с 2048, 1024, 512 и 256 ячейками
Рис. 3. График зависимости ускорения от количества процессоров для сеток с 2048, 1024, 512 и 256 ячейками
сеток с 2048, 1024, 512 и 256 ячейками
Результаты численных экспериментов. Для о бласти, показанной на рис. 1, получены следующие результаты:
♦ при интенсивности осадков f=1 и коэффициенте промокания к1=0,1, коэффициенте впитывания к2=0,1 в полосе области, с седьмой по одиннадцатую строку (по оси Оу) и к1=1,5, к2=1 по краям области, 50 итерациях по времени результат показан на рис. 5.
О 5 10 15
н, но
Рис. 5. Затопление и промокание при небольшом количестве осадков
♦ при 500 итерациях, источ нике f=1 до 400 итерации, f=0 по еле, и тех же остальных параметрах рис. 6.
н, но
Рис. 6. Затопление при увеличении количества осадков
На рис. 5-6 закрашенная область есть уровень воды, а незакрашенная - ис.
, -
ти с небольшим впитыванием, что видно из рис. 2, но при большой продолжительности осадков (или их высокой интенсивности) затапливается вся область, таким , .
Заключение. Данная работа посвящена оценке скоплений дождевой воды и прогнозированию затоплений. Модель, полученная в ходе работы, в дальнейшем может быть использована для предварительной проверки эффективности дождевых канализаций в городских условиях.
Для решения этой задачи было использовано уравнение Сен-Венана, связывающее высоту столба воды с потоком, и вспомогательное уравнение, задающее коэффициенты впитывания грунта.
Результатом работы программы являются сеточные функции высоты столба , . являются физичными и согласуются с ожидаемыми.
В ходе выполнения работы было сделано:
♦ построена непрерывная математическая модель для расчета скоплений дождевой воды, учитывающая такие физические характеристики, как:
, ,
грунта;
♦ выполнена дискретизация непрерывной модели с помощью интегро-
;
♦ выполнены аналитические исследования погрешности аппроксимации, устойчивости и консервативности дискретной модели;
♦
C++ с поддержкой MPI;
♦ проведено исследование эффективности применение параллельного алго-
;
♦ проведен ряд числе нных экспериментов;
♦ сделан анал из результатов.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 666 с.
2. Самарский А А. Введение в численные методы. - СПб.: Лань, 2005. - 288 с.
3. Колдоба AM., Повещенко Ю.А. Методы математического моделирования окружающей среды. - М.: Наука, 2000. - 254 с.
4. Сухинов AM., Чекина М.Д. Математическая модель и численный метод для задачи динамики выпадения осадков и затопления // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2009. - № 8 (97). - C. 42-51.
Сухинов Александр Иванович
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный университет» в г. Таганроге.
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
.: 88634310599.
Sukhinov Alexander Ivanovich
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +78634310599.
Чекина Мария Дмитриевна
Технологический институт федерального государственного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Южный федеральный » . .
E-mail: [email protected].
347928, г. Таганрог, пер. Некрасовский, 44.
Тел.: +79281541526.
Chekina Maria Dmitrievna
Taganrog Institute of Technology - Federal State-Owned Educational Establishment of Higher Vocational Education “Southern Federal University”.
E-mail: [email protected].
44, Nekrasovskiy, Taganrog, 347928, Russia.
Phone: +79281541526.
