CC BY
69
УДК 66.069.85
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ФЛОТАЦИОННОГО РАЗДЕЛЕНИЯ СУСПЕНЗИЙ (ОБЗОР)
© С.П. Рудобашта, В.П. Дудаков, А.А. Арзамасцев
Rudobashta S.P., Dudakov V.P. Arzamastsev A. A. The mathematical modelling of the flotation separation suspensia processes. The processes of flotation separation allow heightening the effectiveness of complex technologies in case the extracted product is suspension of comparatively low concentration of the firm phase. At present there are only known a few varieties of similar processes such as pressure and vacuum flotation, electroflotation, thermoflotation, etc. Lack of complex mathematical models does not allow solving problems of optimal technological design and optimization. The article also looks at the necessary components (modules) of the mathematical model of the process of partition under flotation and discusses the composition of the modules and their interaction within the model.
ВВЕДЕНИЕ
Разделение суспензий - одна из важнейших проблем в биотехнологии, химической, микробиологической и других отраслях промышленности. Чаще всего ее решают традиционными методами - сепарацией в поле центробежных или гравитационных сил, а также с использованием мембранных технологий и фильтров. Существует определенный класс суспензий, для разделения которых применение этих методов мало эффективно или вообще невозможно [1 - 3]. Речь идет о суспензиях, твердая и жидкая фазы которых имеют близкие плотности, что затрудняет отстаивание и сепарацию, и малый размер частиц твердой фазы (порядка Ю-6 м), что затрудняет фильтрование.
Повышение эффективности разделения таких суспензий возможно на основе использования методов флотации, которые изучены пока недостаточно полно. Отсутствие необходимых расчетных зависимостей и математических моделей для подобных процессов не позволяет, с одной стороны, осуществлять их комплексный анализ, а с другой - проводить расчеты и оптимальное проектирование оборудования и технологических процессов. Цель данного обзора - анализ и сопоставление многочисленных разрозненных результатов исследований в этой и близких областях и выработка методологии разработки математической модели, имеющей модульный принцип построения.
Несмотря на большое количество конкретных способов реализации процесса флотационного разделения (напорная флотация, электрофлотация, термофлотация и др.), в плане математического моделирования он представляется состоящим из следующих основных явлений (рис. 1).
Следует отметить, что ни одной работы, содержащей исчерпывающее математическое описание такого процесса, авторам неизвестно. По этой причине в данном обзоре мы проанализируем накопленные результаты по разделам, показанным на рис. 1, и проанализируем возможность их агрегации в качестве модулей в комплексную математическую модель.
С
Взаимодействия в комплексе пузырек-частица
Образование и изменение формы и размеров пузырьков
Г идродинамическая структура потоков и балансовые соотношения
‘Л
Транспорт твердой фазы
Абсорбция смеси газов жидкой фазой
Десорбция газов из жидкой фазы
V..
_________>
Рис. 1. Возможные составляющие математической модели процесса флотационного (термофлотационного) разделения суспензий.
МОДЕЛИ ОБРАЗОВАНИЯ И РОСТА ПУЗЫРЯ
Пузырек газа является основным объектом моделирования в процессах флотации. Это связано в первую очередь с тем, что именно он играет ключевую роль в процессе переноса твердой фазы из ядра потока жидкости в ее верхние слои. С другой стороны, модель роста необходима для получения условий флотируемости, определяющих степень адгезии пузырька и частицы.
Данной проблеме посвящено большое количество работ различных авторов [4 - 15]. Приводится уравнение, позволяющее рассчитывать изменение размеров газового пузырька при его движении через слой жидкости [8]. В этой же работе экспериментально показано, что режим обтекания жидкостью деформированных газовых пузырей носит безотрывной характер. Рассматривается изменение объема пузырька, обусловленное уменьшением массы газа в единицу времени и равное диффузионному потоку через его поверхность. Полученное в результате уравнение связывает изменение объема пузырька с абсорбционным коэффициентом Оствальда, коэффициентом молекулярной диффузии и скоростью его всплывания. Основные физические принципы и подход, используемый авторами, приемлемы для флотационных процессов, однако рассматриваемые размеры пузырьков (0,03 - 1,8 см3) и их существенная деформация в процессе подъема ограни-
Взаимодействие модулей в модели термофлотации
Модуль взаимодействий в комплексе пузырек* частица
Формирование условий флотируемости твердой фазы
Модуль абсорбции смеси газов в жидкой фазе Модуль траспорта твердой фазы
>1
32:
Формирование информации о количестве центров переноса твердой фазы
Формирование информации о распределении концентраций твердой фазы в объеме
Модуль образования и изменения формы и размеров пузырьков
Модуль десорбции газов из жидкой фазы
Модуль гидродинамической структуры потоков и балансовых соотношений _______процесса_________
Рис. 2. Схема преобразования информации различными модулями математической модели процесса флотации (термофлотации).
чивают применимость полученных уравнений. Кроме того, в указанной работе рассматривается абсорбция газа; в случае же процессов флотационного разделения представляет интерес обратное явление - десорбция газа из жидкости.
Получены также уравнения для скорости роста пузырька, находящегося на теплоотдающей поверхности, исходя из первого закона термодинамики переменной массы [14]. Поскольку в процессах флотации (термофлотации) рост пузырька проходит в объеме жидкости и сопровождается одновременным его перемещением, данное уравнение можно применять лишь для моделирования роста на греющей поверхности аппарата до момента отрыва.
В некоторых исследованиях получены уравнения, позволяющие рассчитать отрывной радиус пузырька на теплоотдающей поверхности [7, 15] и при барбо-таже [4-6].
Наиболее подробно рассмотрен процесс образования пузыря в работе [9]. Во всякой нормальной жидкости находится множество малых полостей, абсорбированных на твердых частицах, частицы примесей твердой фазы необходимы, т. к. изолированные пузыри в жидкости неустойчивы и быстро растворяются, если жидкость не насыщена [16]. При нагреве жидкость нагревается сильнее вблизи нагревающих поверхностей, объем газа, заключенного в полостях, увеличивается - образуются пузырьки газа. Пузырь продолжает расти за счет, чаще всего, испарения внутрь пузыря, как только подъемная сила становится больше поверхностной, пузырек отделяется от поверхности и всплывает (если пузырек образовался на частице, то возможно всплытие вместе с частицей). Рост неподвижного пузыря описывают уравнением Рэлея [9], оно позволяет определять размер пузырька по известному давлению и плотности жидкости. Однако это уравнение для бесконечного объема жидкости, данные работы [13] позволяют учесть это приближение. К сожалению, из уравнения Рэлея трудно получить зависимость радиуса всплывающего пузырька от времени и высоты подъема. Кроме того, это уравнение получено из предположения о неограниченном объеме жидкости, что на практике недостижимо.
Таким образом, для моделирования процессов флотационного разделения суспензий было бы желательно иметь уравнение роста газового пузырька, позволяющее связывать его геометрические размеры (объем, радиус) с временем всплывания и высотой всплывания в жидкости или аппарате. Способ агрегации подобного
модуля в математическую модель процесса флотационного разделения показан на схеме рис. 2. К сожалению, подобные зависимости по имеющимся у нас данным в литературе отсутствуют.
МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ В КОМПЛЕКСЕ ПУЗЫРЕК-ЧАСТИЦА
Результаты многочисленных экспериментов, проведенных авторами настоящей работы и другими исследователями в лабораторных и производственных условиях, свидетельствуют о существовании определенных границ для размеров частиц и пузырьков, участвующих в процессе флотации [1 - 3, 11, 17 - 19]. По этой причине модель взаимодействия пузырька и частицы важна для оценки этих ограничений.
Выделяют три силы, действующие между частицей и пузырьком: силы Ван-дер-Ваальса, электростатические силы и силы гидратации (поверхностного натяжения) [9]. Результирующую силу называют расклинивающим давлением, величина которой зависит от толщины пленки. Изменение энергии Гиббса связано с работой, выражаемой через изменение этой силы. Минимум свободной энергии Гиббса и определяет устойчивое состояние пузырька и частицы.
Силы Ван-дер-Ваальса - это силы, действующие между всеми атомами, молекулами, ионами и, как следствие, между любыми макроскопическими телами. В случае смачивающих пленок взаимодействие молекул воды в пленке выразится интегралом по толщине пленки, такой же вид будет иметь и сумма энергий взаимодействия между молекулами воды и твердого тела (энергия взаимодействия с молекулами газа очень мала из-за их малой концентрации - ею можно пренебречь). Величина сил Ван-дер-Ваальса для молекулярной составляющей расклинивающего давления определяется природой вещества (константы Гамакера для воды и частицы соответственно) и толщиной пленки.
Электростатические силы возникают при перекрытии ионных атмосфер двойных слоев на поверхностях раздела фаз [20]. Поверхностный заряд твердых частиц обусловлен перераспределением ионов и концентраций одного рода на поверхности под действием диссоциации или различной абсорбируемости ионов из раствора. Математического описания электростатических сил, пригодного для использования в моделировании флотационных процессов, обнаружить не удалось. Определить заряд частиц и пузырей достаточно сложно, и в различных опытах определяли экспериментально
через другие характеристики [17, 18, 20]. Большинство работ посвящено исследованию влияния заряда частиц на эффективность флотации [17 - 20], для наибольшей эффективности предлагается использовать ПАВ, т. к. поверхностно активные вещества могут изменять заряд частиц и уменьшить энергетический барьер, препятствующий их соединению. Наиболее эффективно протекает флотация при нулевом потенциале или при разнозаряженных частицах и пузырьках [17, 18, 20]. Была так же выявлена зависимость между длинной углеводородного радикала ПАВ и эффективностью флотации отдельных веществ [17].
Силы гидратации (структурная составляющая расклинивающего давления) - являются результатом изменения молекулярной структуры воды на поверхности раздела фаз (по сравнению с объемной молекулярной структурой) [10]. Исходя из экспериментальных и теоретических данных, полученных многими авторами для различных систем, предложено уравнение для описания зависимости структурной составляющей от толщины пленки, характеристик системы и температуры [9].
В значительной степени вопрос о взаимодействии пузырька и частицы твердого материала изучен в работах [1 - 3,11,21]. Исходя из анализа сил, действующих в комплексе пузырек-частица, выявлены следующие три ситуации: 1) происходит отрыв пузырька от частицы и его подъем без последней; 2) отрыва не происходит, но комплекс не всплывает; 3) происходит всплывание комплекса пузырек-частица. Результаты этого анализа позволили получить уравнения для расчета максимального и минимального радиусов пузырьков, участвующих во флотации (условия флотируемости суспензии). Учет этих ограничений позволяет определять эффективное число пузырьков при расчете транспорта твердой фазы.
В некоторых случаях, например, при напорной флотации, характеризуемой значительной степенью турбулизации потока, существенное значение в определении размеров пузырьков имеют явления их дробления и коалесценции [6]. Однако в большинстве процессов флотации стремятся получить ламинарный режим движения потока суспензии, для которого указанные явления не являются существенными.
Таким образом, анализ уравнений взаимодействия пузырька и частицы для процессов флотационного разделения суспензий показывает, что наиболее существенный вклад в это явление вносят силы поверхностного натяжения. Их учет позволяет получить условие флотируемости, которое можно использовать в качестве ограничения в модели транспорта твердой фазы. Способ агрегации этого модуля в математическую модель всего процесса флотационного разделения показан на схеме рис. 2.
МОДЕЛЬ ТРАНСПОРТА ТВЕРДОЙ ФАЗЫ
Перераспределение концентрации твердой фазы во флотационном оборудовании происходит в результате транспорта частиц с поднимающимися пузырьками. Расчет концентраций твердой фазы в верхней и нижних частях аппарата и построение профилей таких концентраций в значительной степени зависят от принятого механизма транспорта таких частиц на пузырьках.
Этой проблеме посвящено лишь незначительное количество работ [1 - 3, 21 - 23]. В них рассматриваются технологические процессы: концентрирование
микробиологических суспензий в термофлотаторе [1 -3, 21] и барботажном колонном ферментере [23] и глины [22].
Транспорт твердой фазы рассматривается в работе [22], где составлена система уравнений, отражающая динамику концентраций в пенной флотации. В гидродинамическом плане флотатор рассматривается как аппарат, не имеющий градиентов концентраций и состоящий из ячеек идеального смешения. Предложено простое эмпирическое уравнение для переноса твердой фазы из нижней части аппарата в верхнюю, в соответствии с которым перенос пропорционален разности концентраций в этих частях (ячейках).
В работе [23] приведено уравнение, позволяющее рассчитать концентрацию клеток биомассы на поверхности пузыря. Упрощение уравнения приводит к двум противоположным предположениям: 1) если клетки держатся достаточно прочно на поверхности пузыря, то массоперенос твердых частиц необратим и клетки не возвращаются в жидкость; 2) если перемещение клеток из жидкости к поверхности пузыря достаточно быстро, то пузыри всегда находятся в равновесии с примыкающей жидкостью. Анализ уравнений, соответствующих ситуациям 1 и 2, и сопоставление их с экспериментальными профилями изменения концентраций биомассы по высоте барботажного колонного ферментера показал, что реально существующий механизм транспорта частиц твердой фазы соответствует предположению 1. В качестве гидродинамической модели транспорта в [23] принята модель идеального вытеснения.
В работах [1 - 3, 21] также предложено два различных механизма транспорта твердой фазы (бактериальной биомассы): 1) имеет место насыщение биомассы на пузырьках; в этом случае один пузырек может перенести в верхние слои аппарата определенное количество твердой фазы и, таким образом, общее количество твердой фазы, перенесенной пузырьками, пропорционально их количеству и совершенно не зависит от концентрации биомассы в нижней части аппарата; 2) насыщения на пузырьках нет; в этом случае количество твердой фазы, перенесенной одним пузырьком, должно быть пропорционально как концентрации биомассы в нижней части аппарата, так и количеству пузырьков. Сравнение уравнений для расчета коэффициента разделения (отношение концентрации суспензии в верхней части аппарата к концентрации на входе в аппарат) с экспериментальными данными, полученными на промышленной термофлотационной установке, показало, что при концентрациях суспензии на входе в аппарат менее 5 кг/м3 имеет место механизм 2; увеличение концентрации биомассы во входном потоке сопровождается насыщением на пузырьках и сменой механизма со 2-го на 1-й. В качестве гидродинамической модели в этих работах используется двухъячеечная модель идеального смешения.
Таким образом, в ходе анализа литературных данных становится очевидно, что для исследованных в настоящее время процессов флотационного разделения характерна хорошая адгезия пузырька и частицы, что позволяет не рассматривать обратимость массообмена твердой фазой между жидкостью и поверхностью газовых пузырьков. При значительных концентрациях суспензии имеет место насыщение твердой фазы на пузырьках, что позволяет постулировать существование пропорциональности между транспортом твердой фазы и количеством пузырьков. При снижении концентра-
ции суспензии явление насыщения исчезает и величина потока транспорта становится пропорциональной не только общему количеству пузырьков, но и концентрации суспензии в нижней части аппарата. В гидродинамическом плане флотационный аппарат вполне может быть представлен ячеечной моделью с двумя или большим числом секций (ячеек), внутри которых градиенты концентраций отсутствуют. Следует отметить, что такое представление хорошо соответствует идее зонного подхода, разработанного ранее для массообменных процессов [24]. При больших числах ячеек такая модель также переходит в модель идеального вытеснения [25].
МОДЕЛИРОВАНИЕ АБСОРБЦИИ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
Количество пузырьков, образованных в процессах флотации, и их общий объем могут быть рассчитаны, исходя из абсорбционной емкости жидкой фазы. Абсорбция чистых газов хорошо изучена [26].
Расчет объема растворенного газа проводят, используя закон Генри. Значения констант фазового равновесия (закона Генри) известны для большинства чистых газов в широких диапазонах температур. Однако в реальных процессах флотации абсорбированными являются газовые смеси. Например, в случае получения биомассы состав абсорбированной смеси следующий: С02 - 6,3 % (объемных), N2 - 78%, 02 - 14,7 %, другие газы - около 1 %. Расчет абсорбционной емкости таких смесей сопряжен со значительными трудностями [26]. В работах [1 - 3] по моделированию процесса термофлотации твердых материалов использовалось эмпирическое уравнение, позволяющее рассчитывать объемную растворимость газовой смеси (С02, 02, N3) по данным работы [26]. Однако это уравнение не позволяло учитывать изменения в соотношениях концентраций этих газов в смеси. В качестве уточнения использовали математическую модель физической абсорбции трехкомпонентной газовой смеси [27]. Полученные в этой модели уравнения позволяют проводить расчет растворимости трехкомпонентной газовой смеси (С02, 02, N2) в воде или близких по составу средах (например, культуральной жидкости при биосинтезе) при различных температурах, что позволяет применить его для описания флотационных процессов.
Включение данного модуля в математическую модель всего процесса флотации показано на рис. 2.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ДЕСОРБЦИИ ГАЗОВОЙ СМЕСИ
Причины, вызывающие десорбцию газа (газовой смеси) во флотационных процессах, могут быть весьма разнообразны: изменение давления [11, 18, 22] (напорная и вакуумная флотация), повышение температуры [1 - 3, 21, 27] (термофлотация), образование газов на электродах [11] (электрофлотация) и т. д.
Для описания процесса десорбции используется дифференциальное уравнение, связывающее концентрацию растворенного газа в ядре потока жидкости с концентрацией насыщения, зависящей от температуры, объемным коэффициентом массопередачи и удельной поверхностью контакта фаз [22]. В работах [1 - 3, 21] делается предположение, что десорбция газа происходит практически мгновенно. Такое упрощение возмож-
но использовать лишь в тех случаях, когда время пребывания суспензии в аппарате существенно больше характерного времени десорбции.
Очевидно, что скорость десорбции зависит от соотношения двух основных процессов: транспорта растворенных газов из ядра потока к поверхности пузыря и массопередачи через границу раздела фаз. К сожалению, уравнений и работ, описывающих эти процессы, нами не обнаружено.
Включение указанного модуля в модель процесса флотации показано на рис. 2.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Проведен анализ литературных данных по проблемам моделирования отдельных составляющих и всего процесса флотационного разделения суспензий, в ходе которого предложена декомпозиция всей математической модели на основные модули, характеризующие ключевые процессы: взаимодействия в комплексе «пузырек-частица», образования и изменения формы пузыря, транспорта твердой фазы, абсорбции и десорбции газа или газовой смеси. Совместно с модулем гидродинамической структуры потоков и балансовых соотношений, базируемого на принципах, развитых в работе [25], они должны обеспечить построение замкнутой математической модели процесса флотационного разделения суспензий.
ЛИТЕРАТУРА
1. Арзамасцев А.А. Термофлотационное разделение микробных суспензий // Ферментная и спиртовая пром-сть. 1984. №5. С. 37-41.
2. Арзамасцев А.А. Термофлотационное разделение микробных суспензий: моделирование и исследование явления//Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1996. Т. 1. Вып. 2. С. 126-132.
3. Арзамасцев А.А., Дудаков В.П. Компьютерное моделирование и исследование процесса термофлотационного разделения микробных суспензий // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1996. Т. 1. Вып. 2. С. 94-96.
4. Арзамасцев А.А., Попов Н.С., Бодров В.И. Расчет объемного коэффициента массопередачи в ферментерах с барботажной аэрацией // Ферментная и спиртовая пром-сть. 1983. № 5. С. 32-36.
5. Арзамасцев А.А., Попов Н.С. Метод расчета межфазной поверхности в системе газ-жидкость при барботаже // Современные машины и аппараты химических производств: Тез. докл. 3-й Все-союз. науч. конф. «Химтехника-83». Ташкент, 1983. Ч. 5. С. 139-141.
6. Арзамасцев А.А. К расчету поверхности контакта газ-жидкость в аэротенке//Химическая технология. 1984. №4. С. 37-40.
7. Боришанский В.М., Жохов КА. Отрыв пузырька от поверхности нагрева // Инженерно-физический журнал (ИФЖ). 1968. Т. 15. №4. С. 599-604.
8. Брандт Б.Б., Перазич ДИ. Режим обтекания жидкостью газовых пузырьков больших размеров // ИФЖ. 1966. Т. 10. № 2. С. 197-200.
9. Вопросы физики кипения / Под ред. И.Т. Аладьева М.: Мир, 1964. 443 с.
10. Дерягин Б.В. // Успехи химии. 1979. Т. 48. №4. С. 675-721.
11. Дерягин Б.В., Духин С.С., Рулев Н.Н. Микрофлотация. М.: Химия, 1986. 112 с.
12. Духин С.С., Рулев Н.Н., Лещов Е.С., Еремова Ю.Я., Отрицательное влияние силы инерции на кинетику флотации малых частиц и флотационную водоочистку // Химия и технология воды. 1981. Т. 3. №5. С 387-395.
13. Курцман Е.Д Об уравнениях Рэлея роста газового пузырька в условиях конечного объема жидкости // ИФЖ. 1968. Т. 15. №1. С. 165-167.
14. Присняков В.Ф. Рост пузырей в жидкости /7 ИФЖ. 1970. Т. 18. №5. С. 844-848.
15. Федоткин ИМ., Константинов СМ., Терещенко А.А. Об отрыве парового пузыря и расчете отрывного радиуса // ИФЖ. 1973. Т. 24. №5. С. 831-835.
16. Epstein P.S.,PIesset M.S. On the Stability of Gas Bubbles in Liquid-Gas Solution// J. Chem. Phys. 1950. V. 18. № 11.
17. Скрылев Л.Д., Стрельцова E.A., Скрылева Т.Л., Влияние длины цепи углеродного радикала ПАВ на эффективность их флотационного выделения из растворов // Химия и технология воды. 1984. Т. 6. № 1. С 22-23.
18. Скотскова Т.З., Баженов Ю.Ф., Голик Г.А. Взаимодействие мелких частиц с газовыми пузырьками при напорной флотации // Химия и технология воды. 1984. Т. 6. №1. С 17-22.
19. Скотскова Т.З., Гутовская В.В., Голик Г.А, Лозинский AJ\A., Кулъский Л.А. Исследование закономерностей флотации мелких частиц в присутствии ионогенных ПАВ // Химия и технология воды. 1981. Т. 3. №5. С. 396-399.
20. Скотскова Т.З., Лещенко А.В., Гутовская В.В., Кульский Л.А.
Влияние электрокинетического потенциала коллоидных частиц на степень их извлечения при флотационной водоочистке // Химия и технология воды. 1979. Т. 1. №1. С. 6-9.
21. Arzamastsev A. The matematical model of the bacterial biomass
thermoflotation process // Preprints of papers of the 6th Int. Conf. on
Computer Application in Biotechnology (IFAC). Garmisch-PartenKirchen. Germany. 14-17May 1995. P. 278-281.
22. AUgood G.O., Canright G.S., Brown C.H., Hamel IV.R. Dynamic modeling and froth flotation and vacuum filtration unit // ISA Trans. 1982. V. 21. №3. P. 45-43.
23. FieldsP.R., Fryer P.J., SlaterN.K.H., Woods G.P. Adsorptive bubble fractionation of bacteria in a bubble column fermenter // Chem. Eng. J. 1983. V. 27. №1. P. 3-11.
24. Рудобашта С.П. Массоперенос в системах с твердой фазой. М.: Химия, 1980. 248 с.
25. Кафаров В.В. Методы кибернетики в химии и химической технологии. М.: Химия, 1976. 463 с.
26. РаммВМ. Абсорбция газов. М.: Химия, 1976. С. 654.
27. Дудаков В.П., Арзамасцев А.А. Математическая модель процесса физической абсорбции трехкомпонентной газовой смеси // Вестн. ТГУ. Сер. Естеств. и технич. науки. Тамбов, 1997. Т. 2. Вып. 2. С. 214-215.
Поступила в редакцию 22 января 1999 г.
