Математическое моделирование процессов диффузии и массопереноса при вакуумной цементации долотных сталей Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математическое моделирование

УДК 621.785.52

А. Л. Головской

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ДИФФУЗИИ И МАССОПЕРЕНОСА ПРИ ВАКУУМНОЙ ЦЕМЕНТАЦИИ ДОЛОТНЫХ СТАЛЕЙ

Традиционный процесс цементации металлических изделий реализуется через весьма длительный технологический процесс, наиболее реальным путем ускорения которого является-повышение температуры и углеродного потенциала. Наиболее эффективно можно использовать высокотемпературную цементацию (с высоким углеродным потенциалом на первом этапе) при давлении ниже атмосферного. Наряду с увеличением производительности процесса цементации в условиях пониженного давления улучшаются условия труда, уменьшается расход технологического газа, а также, в связи с отсутствием кислородсодержащих компонентов в атмосфере, исключается внутреннее окисление деталей [1].

Опыт эксплуатации вакуумных печей подтвердил, что цементация стали при повышенных температурах и давлении ниже атмосферного перспективна. Однако при цементации долотных сталей возник ряд технологических трудностей.

При отработке параметров технологического процесса одной из главных задач является определение длительности периодов насыщения и диффузии для получения оптимального содержания углерода на поверхности обработанных деталей и его распределения по глубине слоя. Для решения этой задачи предлагается использовать следующую математическую модель.

Математическое описание стадии диффузии основывается на феноменологическом подходе [2]. Первый закон Фика, описывающий ситуацию стационарной диффузии, когда концентрация диффундирующего элемента не зависит от времени, имеет вид:

q = -D -дс / дх, (1)

где q — поток углерода через границу; D — коэффициент диффузии; дс / дх — градиент углерода.

Если концентрация изменяется во времени, процесс описывается уравнением диффузии, отражающим изменение концентрации в единицу времени в элементарном объеме диффузионной зоны (второй закон Фика):

д

дс(х,т)/дт = — (D -до/дх), (2)

дх

где т — время. Полагая, что коэффициент диффузии практически не зависит от концентрации, уравнение диффузии можно линеаризовать:

дс(х,т)/ дт = Dд 2 с / дх 2. (3)

Именно этим уравнением достаточно адекватно описывается процесс диффузии углерода в сталь при цементации.

Второй закон Фика представляет уравнение параболического типа, для однозначного решения которого необходимо задать краевые (начальные и граничные) условия, которым должна удовлетворять концентрация диффундирующего элемента.

Граничным условием, наиболее точно отражающим физику переноса углерода из газовой фазы к поверхности, являются граничные условия третьего рода:

- D(3c / дх) | х=0 = /3(ср(т)- с(0,т)) (4)

где в — коэффициент массопереноса; ф — углеродный потенциал атмосферы. В глубине изделия имеем адиабатические условия второго рода:

дс / дх U»=°. (5)

Начальное распределение концентрации диффундирующего элемента в слое может быть произвольным, однако при первоначальной цементации можно принять его постоянным:

с (х,0) = с0 = const. (6)

Граничное условие третьего рода (4) определяет поток диффундирующего элемента через поверхность раздела металл — насыщающая атмосфера и полагает его пропорциональным разности концентраций на поверхности с(0, т) и равновесной с окружающей средой ф(т). Для математического описания объекта используем решение уравнения с краевыми условиями (4)-(6) для полуограниченного тела.

Решение задачи целесообразно проводить операционным методом [3]. Уравнение (3) в трансформантах Лапласа с учетом условия (6) примет вид

с"(х,p)-(p/D)с(х,т) + с0 /D = 0, (7)

а граничные условия (4) и (5) запишутся так:

с'(0, p) + Н(с0/ p - с(0, p))= ^ (8)

с'(да, p) = 0, (9)

где Н = b / D.

Решение уравнения (3) в общем виде представляется в виде

с(х, p) - с0 / p = A1 exp(д/p/Dx)+ B1 exp(- д/p/Dx). (10)

Из условия (9) следует Ai = 0. Физически это означает, что концентрация на большом

расстоянии от поверхности тела не изменится за все время процесса диффузии, т. е. с^-с0 при х^ж.

Постоянную В1 находим из граничного условия (8):

-д/p/DB1 + Н[°а /p -с0/p -B1 ] = 0

откуда

B1 =(са - с0) / (p (1 +1/Нд/pTD)). (11)

Тогда решение для изображения примет вид:

с(x, p)-с0/p = (са - с0 )/(p(l + 1/H-\p / D ))еХР (-л/ p / ^) . (12)

Для нахождения оригинала воспользуемся таблицей изображений, из которой находим

L- 1/(p(1 +1/cл/p))e = erfc(к/(^%/т))-exp(ск + с2^erfc(к/(2-\/Т) + с-\/Т) • (13)

Следовательно, решение задачи принимает вид:

(с(х,г)- с0)/(са - с0) = erfc (х/ (2Щ)- exp (Нх + Н2Dt erfc (х/ (2 л/Dt ) + Нл/Dt) . (14)

Выражение (14) является математической зависимостью, описывающей распределение углерода в цементованном слое в разные моменты науглероживания. Зная в, D и задавая требуемое распределение концентрации углерода, можно рассчитать необходимое время цементации.

Данная математическая модель носит весьма общий характер и может успешно использоваться при вакуумной цементации долотных сталей. Влияние отмеченных особенностей процесса науглероживания учитывается значениями в и D.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Цепов С. Н. Особенности науглероживания стали при вакуумной цементации // МиТОМ, 1979. № 8. С. 50-56.

2. Лахтин Ю. М., Арзамасов Б. Н. Химико-термическая обработка металлов. М.: Металлургия, 1985. 216 с.

Поступила 07.03.2003 г.