CC BY
21
-------------------------------- © Ю.А. Мамаев, А.М. Пуляевский,
Н.П. Хрунина, 2009
УДК 622.271.1:622.236.73
Ю.А. Мамаев, А.М. Пуляевский, Н.П. Хрунина
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ОБРАЗОВАНИЯ МЕЛКИХ ЧАСТИЦ ПЕСЧАНО-ГЛИНИСТОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ПРИ УЛЬТРАЗВУКОВОМ ВОЗДЕЙСТВИИ НА ГИДРОСМЕСЬ
Основой управления процессом разрушения высокоглинистых золотосодержащих песков россыпей является создание эффективного механизма трансформации структурных связей не только в краевых зонах разуплотняемых песков золотоносного пласта, но и в накопительных системах на участках полигона. Корректность решения поставленных задач во многом определяется правильным выбором критериев оценки. Наиболее часто используют феноменологический подход, при котором учитываются внешние проявления прочностных и деформационных свойств нагруженного материала, а его количественные характеристики принимаются постоянными [1-2]. В общем случае трансформация твердых тел есть результат процессов, происходящих на различных иерархических уровнях. Ревнивцев В.И., Гапонов Г.В., Владимирский В.И, Цай Б.Н. и другие отмечали, что наиболее объективные и достоверные физические представления о природе прочности могут быть получены при учете масштабности этого процесса. Выделены атомный, микроскопический (характерный размер - 10 нм), мезоскопический (с линейным размером дислокационных структур от 0,01 до 10 мкм), структурный (размер зерен в кристалле - 100 мкм) и макроскопический уровни. На макроскопическом уровне структурные неоднородности несущественны. Поэтому вводится понятие точки, обладающей некоторыми упругопластическими свойствами, как достаточного объема, в котором движение отдельных дислокаций или ансамблей игнорируется. Существующие тео-
рии прочности применимы лишь на определенных масштабных уровнях. Статическая теория, учитывающая кристаллическую структуру тел без теплового движения атомов, дает информацию только о прочности межатомных связей, а не о причинах их перенапряжения. Теория дислокаций объясняет процессы срыва и движения дислокационных структур в мезоскопическом объеме. Указывается, что на структурном уровне могут быть использованы микродефектные теории прочности, на макроскопическом - теории, основанные на механике сплошных сред. Особого внимания заслуживает кинетическая (термофлуктуационная) теория прочности твердых тел, которая обычно представляется уравнением долговечности С.Н. Журкова - времени существования образца под внешней нагрузкой 5 [2-3]
и 0 — у 8 х = *°ехр — = —
где ^ - период колебания атома в кристаллической решетке или тепловых колебаний молекул, равный приблизительно 10-13 с; и0 - начальная энергия активации процесса разрушения; у - коэффициент структуры или структурная постоянная данного материала; к -константа Больцмана; Т - абсолютная температура твердого тела; 5 - действующее напряжение.
Для того чтобы пользоваться такой моделью, нужно уметь измерять постоянные материала. Методики определения этих констант практически не пригодны для таких гетерогенных сред, как горные породы [3]. Константы этого уравнения находятся путем экстраполяции линейного участка графика ^т - ё до пересечения с осью ординат при различных Т и экстраполяции графика ^т - 1/Т до точки пересечения веера прямых при разных 5. Точность определения этих постоянных требует не только большого количества испытаний образцов данной среды, но и достаточно малого разброса экспериментальных данных, поскольку небольшие неточности при построении графиков и нахождении наклонов соответствующих прямых приводят к существенным ошибкам при определении искомых констант. Это означает, что погрешности экспериментального определения постоянных таким методом будут значительными. Каждый раз, когда было возможно, авторы [3] сопоставляли полученную начальную энергию активации разрушения с энергией сублимации, термодиструкции, диффузии и т. д. По фор-
мальным признакам, уравнение Журкова описывает только случаи, когда величина разрушающего напряжения возрастает с увеличением скорости деформирования. На практике, особенно для гетерогенных сред, встречаются случаи, когда величина разрушающего напряжения падает с увеличением скорости нагружения или зависимость прочности от скорости деформации немонотонна. Поэтому возникает необходимость поиска и обоснования других методик. В работе [3] дана оценка одному из возможных путей определения начальной энергии активации разрушения через связь между поверхностной энергией разрушения хрупких сред и разрывом элементарных связей при распространении магистральной трещины и рассмотрен подход к определению начальной энергии активации разрушения применительно к горным породам через коэффициент превышения.
Развитие современных физических методов и средств трансформации горной породы, приводящих к изменениям показателей, охватывающих часть мезоскопического, структурный и макроскопический уровни (диапазон размеров частиц менее 0,500 и более
0,002 мм) для создания высокоэффективных технологий разрушения, потребовало решения новой теоретической задачи.
Как уже указывалось выше, явления, наблюдающиеся в сплошных средах, описываются уравнениями механики сплошной среды, а если среда обладает свойством текучести - уравнениями гидроаэродинамики [4-6]. Одним из общих подходов к исследованию задач оптимального проектирования неоднородных структур является вариационный. В работе [6] рассмотрена проблема, которая ограничена изучением случая распространения акустических волн в рамках линейной акустики для направленного управления свойствами синтезируемой структуры.
Исследуемый процесс ультразвукового воздействия на краевые зоны разуплотняемых высокоглинистых песков включает упругопластическую деформацию и разрушение с образованием новых поверхностей мелких частиц. Закономерности этих изменений описываются законами Кирпичева - Кика, Риттингера, Бонда, Ребиндера и Гиббса [7-13]. Задача заключается в том, чтобы на основе структурно-механических особенностей песчано-глинистой гидросмеси, поступившей в зоны накопления - зумпфы на участках полигона, с учетом термодинамического потенциала, осуществить теоретическое обоснование процесса образования мелких частиц
песчано-глинистой составляющей при ультразвуковом воздействии. Обоснование должно учитывать основные параметры процесса: физические характеристики системы, время воздействия I, мощность Ж и интенсивность I излучаемой энергии, действующие на структурно-механическую перестройку системы, разрушение связей твердой составляющей гидросмеси.
В качестве базового уравнения, положенного в основу теоретического описания процесса ультразвукового инициирования в зонах накопления, используем уравнение Гиббса. Изменение термодинамического потенциала dE системы при внешних постоянных давлении и температуре, представляется в виде [14]
йЕ = -О ■ йТ + Уйр + adS + ^ цйЫ + F ^ г, (1)
тиц; р - давление внутри частиц; а - удельная поверхностная энергия частиц; £ - площадь межфазной поверхности частиц; ц - химический потенциал поверхностных компонентов системы при взаимодействии частиц между собой в присутствии воды; N - число молей всех поверхностных компонентов частиц; F - постоянная Фарадея, F=9,648456•104 кл/моль; 2- заряд частиц поверхностей определенного сорта; ф - электрический потенциал поверхностной части системы, содержащей частицы определенного типа, или внутренний потенциал различных по химическому составу фаз.
В рассматриваемой среде происходит изменение агрегатного состояния веществ, находящихся преимущественно в конденсированном состоянии (твердом и жидком) и небольшое количество - в газообразном, поэтому различия между изменениями внутренней энергии частиц и изменениями энтропии О системы этих частиц незначительны. Газы содержатся, по отношению к объему воды и твердой составляющей, в небольшом объеме и при этом большая их часть растворена в воде, поэтому возникающее изменение давления йр в системе золотосодержащих глинистых частиц не окажет существенного влияния на изменение термодинамического потенциала йЕ. Учитывая принятые допущения, уравнению (1) можно придать вид
Важным моментом в моделировании процесса структурной перестройки гидросмеси в накопительных системах под действием
где О - энтропия частиц; Т - температура частиц; У - объем час-
(2)
ультразвука является исследование взаимосвязи интенсивности звука со звуковым давлением. В работах [5, 15-16] путем объединения динамических уравнений, уравнения непрерывности и состояния, было получено уравнение сохранения энергии. Рассматривая гидросмесь как диссипативно-дисперсионную среду неограниченного объема, мы не будем учитывать релаксационные, дифракционные процессы и отражение звука от стенок зумпфа. Согласно [7], интенсивность волны описывается уравнением
I = P2 (2рссс )-7 , (3)
где P- звуковое давление; рс - усредненная равновесная плот-
ность гидросмеси; Сс - скорость звука при равновесном значении
плотности гидросмеси.
При прохождении волны диссипационные потери энергии выражаются экспоненциальной зависимостью [7]
1дис = A ■ 1 ■ eXP (-2Р ■ х ) , (4)
где A - поглощательная способность гидросмеси; х- расстояние от
источника звука до точки измерения интенсивности в среде; в -коэффициент поглощения звуковой энергии средой.
Для волн малой амплитуды и высоких частот коэффициент поглощения звука в в средах со сдвиговой и объемной вязкостью определяется по формуле [17]
( , , V
в =
4
— и + £ + X 3 *
(5)
1 1
— — и + £ + А
2 Р сС '
где Рс - плотность среды; ю=2к^- круговая частота звуковой волны; и - коэффициент сдвиговой вязкости; £- коэффициент объемной вязкости; А - коэффициент теплопроводности; ср - теплоемкость среды при постоянном давлении; с„ - теплоемкость среды при постоянном объеме.
Если ни один из коэффициентов и, £ и А не зависит от частоты, что часто выполняется на практике, то р~ш2 [18]. Согласно [19], коэффициент теплопроводности А воды при температуре 200 С составляет величину 0,59 Вт/(м-К), теплоемкость воды при постоянном объеме с„ 18,2 кал/моль-град [20]. Величина в круглых скобках в выражении (5) будет около 0,055, а умноженная на величину А=0,59 будет порядка 0,032. Коэффициент сдвиговой вязкости и воды [21] в системе СИ равен 0,001 кг/(м-с). Отношение и/ £=2,81
[21], отсюда £=3,55-10"5. Учитывая порядок величин и £, X, ср, cv, последнее слагаемое в квадратных скобках в формуле (5) оказывается как минимум на полтора порядка больше первых двух, что позволяет в дальнейшем их не учитывать.
Изменение термодинамического потенциала гидросмеси при ультразвуковом воздействии dE зависит от мощности W , коэффициента полезного действия п установки и ее конструктивных особенностей. Физико-механические и структурные изменения нарастают по мере увеличения длительности измельчения t и определяются величиной подводимой энергии dE = W ■п dt, (6)
где W - мощность излучаемой энергии; п - коэффициент полезного действия установки; t - время воздействия подводимой энергии.
Интенсивность излучения представляет собой среднее значение мощности звука, отнесенное к единице площади, так называемая средняя удельная мощность звука [17]. Поэтому мощность излучаемой энергии W можно представить через интенсивность излучения I (без учета диссипационных потерь) в виде W = I ■ Sh, (7)
где Sh - площадь поверхности, нормальной к направлению распространения волны.
С другой стороны, площадь можно принять пропорциональной площади S межфазной поверхности частиц, т.е. Sh=kS. Например, для частиц шарообразной формы диаметром d Sh = nd2/4, S = nd2, k = 1/4. (8)
Очевидно, коэффициент k характеризует форму твердых частиц, входящих в гидросмесь. Таким образом, с учетом выражений (4), (7) и (8) уравнение (6) можно представить в виде
dE = k ■ B ■ I ■ S [1 -A ■ exp (-2в ■ х )J ■ r ■ dt, (9)
где В - показатель, характеризующий свойства и состояние песков.
Дальнейшие упрощения связаны с исключением учета электрохимического взаимодействия минералов с окружающей средой и между собой. Поэтому уравнение (2), при исключении выражения ^ udN - F ^ ztydN, определяющего изменения химической и электрической энергии взаимодействия частиц, упрощается к виду
dS = dE • а-1
Подстановкой выражения (9) в (10) получим уравнение изменения структурного параметра системы при ультразвуковом воздействии
= [к • В • I • 8[1 - Аехр{-20 • х)]п^}а- . (11)
Производя интегрирование (11) и считая п, I , а, В и к постоянными, получим
= £0ехр [к • В • I [1 - Аехр {-20 • х)] п • t/ а}, (12)
где 80 - площадь межфазной поверхности частиц в начале процесса при t =0.
Учитывая зависимость [14]
£ = £удУ,
тогда £уд.о = £о/^ ,
где Зуд - удельная межфазная поверхность частиц; V - объем частиц; 8уд.0 - удельная межфазная поверхность частиц при t=0, и зависимость (12) получим
£уд = £уд.оехр [к • В • а ~11 [ 1 - Аехр {-20 • х)] пt} (13)
Подстановкой выражения (3) в выражение (13) и учитывая, что рссс не что иное, как волновое сопротивление Са гидросмеси, получаем зависимость удельной межфазной поверхности частиц от звукового давления
£уд = Зуд.оехр [о, 5кВа -Р2[1 - Аехр{-20х)] п}. (14)
Таким образом, разработанная модель процесса образования мелких частиц в песчано-глинистой гидросмеси в результате ультразвукового воздействия показывает, что удельная межфазная поверхность частиц выражается экспоненциальной зависимостью от интенсивности излучаемой энергии, удельной поверхностной энергии частиц, волнового сопротивления гидросмеси, диссипацион-ных потерь (расстояния от источника излучения, поглощения энергии средой, круговой частоты звуковой волны, теплоемкости и теплопроводности, сдвиговой вязкости, объемной вязкости), а также конструктивных особенностей ультразвуковой установки, связанных с эффективностью ее работы.
Выводы
1. Полученные выражения (13), (14) можно рассматривать как математическое описание процесса направленного структурного изменения состояния песков в водной среде, протекающего при звуковом воздействии на гидросмесь, с учетом термодинамических и структурно-механических особенностей системы. Разработанные представления о структурно-механи-ческих особенностях гидросмеси с учетом термодинамического потенциала дают новую возможность теоретического обоснования процесса.
2. Экспериментальные исследования подтвердили хорошую сходимость полученных математических зависимостей. На основе статистического критерия согласия Фишера, путем определения ошибки аппроксимации опытных данных, установлена адекватность выражений (13) и (14).
-------------------------------------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Владимирский В.И., Иванов В.Н., Приемский Н.Д. Мезоскопический уровень пластической деформации // Физика прочности и пластичности. - Л.: Наука, 1986.
2. Цай Б.Н. Физические аспекты механизма разрушения горных пород / Б. Н. Цай // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2004. -№ 1. - С. 72-73.
3. Ефимов В.П. Оценка начальной энергии активации разрушения по измерению трещиностойкости горных пород // Физико-техн. пробл. разраб. полезн. ископаемых. - 2004. - № 5. - С. 90-94.
4. Мэзон У. Физическая акустика. Т. 2. - М.: Изд-во ин. лит., 1968. - 487 с.
5. Зарембо Л.К., Тимошенко В.И. Нелинейная акустика. - М.: Изд-во МГУ, 1984. - 104 с.
6. Гусев Е. Л. Об оптимальном синтезе слоистых неоднородных структур // Акустический журнал. - 2002. - Т. 48. - № 3. - С. 325-330.
7. Агранат Б.А. Основы физики и техники ультразвука / Б.А. Агранат, М.Н. Дубровин, Н.Н. Хавский, Г.И. Эскин. - М.: Высш. шк., 1987. - 352 с.
8. Бергман Л. Ультразвук и его применение в науке и технике. - М.: Изд-во ин. лит., 1957. - 726 с.
9. Крокер М.Д. Основы прямых измерений интенсивности звука и их практические применения // Акустический журнал. - 2003. - Т. 49. - № 2. - С. 199-214.
10. Непомнящий Е.А. Расчет показателей процессов грохочения и отсадки. // Обогащение руд. - 1963. - № 6. - С. 20-23.
11. Новицкий Б.Г., Анисимова В.А. Выбор оптимальных условий для ультразвукового диспергирования суспензий. - М.: Ультразвуковая техника, 1965.
12. Ребиндер П.А. Поверхностные явления в дисперсных системах. Физикохимическая механика: Избранные труды. - М.: Наука, 1979. - 384 с.
13. Розенберг Л.Д. Физика и техника мощного ультразвука. Источники мощного ультразвука. - М.: Наука, 1967. - Кн. 1. - 268 с.
14. Фролов Ю. Г. Курс коллоидной химии. Поверхностные явления и дисперсные системы. - М.: Химия, 1982. - 399 с.
15. Ландау Л.Д. Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Гидродинамика. - М.: Наука, 1965. - Т. VI.
16. Fahy F.J. Sound intensity, 2nd Ed. / F. J. Fahy // E&FN Spon, London, 1995.
17. ГоляминаИ.П. Ультразвук. - М.: Сов. Энциклопедия, 1979. - 400 с.
18. Акустическая энциклопедия. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http: // www.acoustic.ru.
19. Контекстный справочник. Физические свойства. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http: // go.mail.ru/search.
20. Удельная теплоемкость. - [Электронный ресурс]. - Режим доступа: http: // www.mgopu.ru /YOURNAL/10-yashkichev.dos.
21. Ушаков И.Е. Шишкин И.Ф. Радиолокационное зондирование гидроакустических возмущений морской поверхности. - Письма в ЖТФ. - 1999. - Т. 25. -Вып. 18. ВТШ
— Коротко об авторах ---------------------------------------------------
Мамаев Ю.А. - доктор технических наук, профессор, главный научный сотрудник,
Пуляевский А.М. - доктор технических наук,
Хрунина Н.П. - научный сотрудник,
Институт горного дела ДВО РАН, г. Хабаровск.
E-mail: [email protected] E-mail: [email protected]
