CC BY
26
УДК 664.951.037.5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА НЕПРЕРЫВНОГО ТВЧ-РАЗМОРАЖИВАНИЯ ГИДРОБИОНТОВ
С.Т. Антипов, В.И. Ряжских, А.А. Чирков, С.В. Шахов
Разработана математическая модель процесса размораживания гидробионтов безградиентным способом в непрерывном режиме в поле токов высокой частоты (ТВЧ)
Ключевые слова: математическая модель, процесс размораживания, гидробионты
Известно [1], что производство пищевой рыбной продукции из замороженного сырья составляет заметную долю (свыше 70%) в общем объёме. Развитие принципиально новых
электрофизических методов обработки пищевых продуктов, в том числе и использование ВЧ энергетики [2] для размораживания, позволит значительно интенсифицировать технологический процесс обработки сырья. Такой опыт обобщен в [3], причем основным недостатком существующих технических решений, например [4], является неравномерный прогрев продукта из-за отсутствия регулирования распределения мощности излучения по площади продукта, вызывающий локальные зоны
/
/ , х / у
//2//' у -V
/. ,
У
Л
Расчетная схема
его перегрева.
Одним из способов, обеспечивающих
равномерный прогрев в блоках в условиях его непрерывной подачи по конвейеру, описан в [5]. Основным моментом здесь является расположение пластин электродов для ТВЧ различной мощности по ходу движения блока с разнесением их на величину длины, причем мощность центральных пластин больше, чем периферийных. В соответствии с этим принята расчетная схема, показанная на рисунке.
Учитывая однородность теплообработки принята осевая симметрия, поэтому рассматривается
Антипов Сергей Тихонович - ВГТА, д-р техн. наук,
профессор, тел. (4732) 55-38-96
Ряжских Виктор Иванович - ВГТА, д-р техн. наук,
профессор, тел. (4732) 55-38-96
Чирков Александр Алексеевич - ФГНИИЦ РЭБ ОЭСЗ
МО РФ, старший инженер-испытатель, (4732) 30-48-82
Шахов Сергей Васильевич - ВГТА, канд. техн. наук,
доцент, тел. (4732) 55-38-96
полуплощадь блока, движущегося со скоростью V. Известно [6-8], что процесс размораживания осуществляется за счет передачи продукту определенного количества теплоты для повышения в нем температуры до криоскопической точки и выше. Криоскопическая температура пресноводных рыб находится в пределах от минус 0,5 °С до минус 1 °С, морских рыб и гидробионтов от минус 0,8 °С до минус 2,2 °С. Это дает основание считать, что во всем диапазоне температур размораживания коэффициент температуропроводности, т.е. плотность,
теплопроводность и теплоемкость, можно считать практически постоянными. Согласно выбранной расчетной схеме и принятой системе координат (ось г направлена от плоскости хоу вниз) классическое уравнение теплопроводности записывается в виде [8]:
с р— = Я
р дт
(1)
где т - текущее время, с; х, у, г -декартовые координаты, м; ср, р, X - теплоемкость, плотность и теплопроводность среды, Дж/(кг-К), кг/м3, Вт/(м-К); Q - объемный источник тепла, Вт/м3; t = /(х, у, г, т) -температура, К.
Разделим уравнение (1) на срр, тогда
дt
( д2і
дт
■ = а
д 2і
дх2 ду2 дг2
+ Г
(2)
где а = А/(ср-р) - коэффициент температуропроводности, м/с2, q = Q/(ср■р) - темп нагрева, КУс.
Учитывая геометрию задачи, вдоль оси ог температура приближенно постоянная, т. е. t ф ^), поэтому из (2) получим
ді
дт
(
= а
д 2і __________
дх2 + ду2
+ Ч ’
(3)
Будем считать, что скорость подачи блоков в поле ТВЧ постоянна, т. е. v=const, поэтому из соотношения х=п очевидным образом следует, что д ^ д т = V д t /д х, тогда (3) преобразуется к виду
ді
V— = а
дх
^д 2і
■ + ■
дх ду2
+ Ч ■
(4)
Геометрическое расположение электродов задает структуру температурных полей, в связи, с чем область нагрева может быть представлена совокупностью сопряженных элементов, для каждого из которых уравнение (4) может быть записано отдельно:
элемент 1
ді v—- = а дх
элемент 2
ді2 V—- = а дх
элемент 3
ді3 V—- = а дх
Г д2і, д\ л
дх7 +5у2
+ ч,;
Г д 2і2
дх2' + ’ду2
Гд2і3 д2і3 ^
дх2 + ду2
+ Ч2 -
+ Ч3-
(5)
(6)
(7)
Так как объемные источники теплоты распределены локально, то qI, q2, и q3 должны быть функцией координаты х, а именно для элемента 1
Чі(х) = ч, для элемента 2
Ч2 (х^ = Ч2 для элемента 3
Ч3 (х^> = Ч3
1(х/)-1| х--3/
1| х--3/|-1(х-1)
(8)
(9)
(10)
где 1 (...) - односторонняя функция Хэвисайда [9].
Уравнения (5) - (7) с учетом соотношений (8) -(10) примут вид:
ді.
V—1 = а
дх
Г д 2и
+дъ. ^
V дх2 ду2 ,
+ Ч1
1(х) -1( х - 31
ді,
V—- = а дх
ді3 V—- = а дх
Г д2і2 д2і2 ^
чдх" ду2 у
Г д2і3 д2і3 Л ^ +57 ,
+ Ч2
+ Ч3
1( х - -3 /|-1(х -1)
(11)
(12)
(13)
Полагаем, что первоначальная температура блока, входящего в зону ТВЧ, есть тогда
у0,у) = ^ (0,у) = tз (0,у) = to. (14)
На выходе из зоны облучения ТВЧ от отсутствует тепловой поток, т. е.
д^(1,у) = д^ (1,у) = дtз (1,у)
дх дх дх
Из-за симметрии задачи имеем
ді1 (х, 0)
■ = 0.
ду
= 0.
(15)
(16)
На границе элементов 1 и 2 значения тепловых потоков должны быть равны, но X=const, поэтому
д11 х,-— к | дt11 х,-— к 11 10 ) 21 10
(17)
ду ду V '
Аналогичное условие должно быть и на границе элементов 2 и 3
ді21 х,—к 21 10
ду
Теплообменом пренебрежем, тогда
ді31 х,—к 31 10_
ду
(18)
с окружающей средой
ді3Г х|
ду
= 0.
(19)
Кроме этого потребуем непрерывность поля температур
'■ Г"'Ш к] = '2 (к) ' і2 (^ к] = і- Г ^ к] ■ (20)
Таким образом система (11) - (.20) образует математическую модель процесса размораживания в непрерывном режиме.
Синтезированная математическая модель может быть упрощена, если скорость переноса теплоты в направлении оси ох со скоростью V намного больше, чем в том же направлении теплопроводностью, а это означает, что слагаемым д 2/д х2 в уравнениях (11) - (13) можно пренебречь:
ді1
дх
д 2і1 !ёуг
ді2
д і2
= а~т + Ч2 ду
дх
ді3 д і3
V— = а—-
дх ду
+ Ч3
1(х)-1( х - -31
1( х - 311-1 х - -21
1х - 311-1(х -1)
а краевые условия (14) - (20) трансформируются
і (0, у) = і2 (0, у) = і3 (0, у) = і0: ді1 (х, 0)
ду
= 0;
діI х,—к | ді2 (х,—к
11 10 1 2V 10
ду
ду
ді21 х,—к 21 10
ді31 х,—к 31 10
ду
ді31 х,к
ду
ду
= 0 ;
і I х,—к | = і21 х,—к
11 10 1 2V 10
і21 х,к | = і31 х, к
10 1 3 V 10
(21)
(22)
(23)
I
(24)
(25)
(26)
(27)
(28)
(29)
(30)
Представляем уравнения (21) - (30) в
безразмерном виде с помощью относительных переменных:
Х=х/1; У=2у/к; Т1,2з=^1,23 - t0)/t0; Ре=к2у/(4а1);
^I, 2,3=qI, 2, з^^о1),
т.е.
т =± +ж
дХ Ре дУ2 1
1ш-1( Х -1
дТ
1 д Т2
----=---------- + Ж
дХ Ре дУ2 2
дТ3
1 д2Т3
---=---------- + Ж
дХ Ре дУ2 3
1(-Х - 3И Х - 3 1[ х - 3 Н(Х -1)
Т(0, У) = Т2 (0, У)= Т3(0, У) = 0;
(31)
(32)
(33)
(34)
дТ1 (Х, 0)
дУ
= 0;
дУ
дТ> | Х, 5
дТ2 V
дУ
дТ31 Х-
дУ дУ
дТ3 (Х,1)
дУ
• = 0;
Т(Х,| ; = т2 (Х,|), г2 (Х,3) = Т3 (Х, 3;,
(35)
(36)
(37)
(38)
(39)
(40)
Из системы (31)-(40) следует, что
температурное поле зависит от четырех параметров
Т = Т (Х,У,Ре,Ж1 ,ж2 ,ж3)
Так как нас интересует температура элементов на выходе
Т1 = Т1 (\,Х,Ре,Ж1 ,Ж2 ,Ж3), (41)
Т2 = Т2 (1,У,Ре,Ж1 ,Ж2,Ж3), (42)
Т3 = Т3 (1,Х,Ре,^,Ж2,Ж3) , (43)
то в качестве критерия однородности температуры будет очевидное условие
Т = Т2 = Т3, (44)
где
1/5
Т = | Т (1,Х,Ре,Ж1 ,Ж2,Ж3)с!Х ,
0
3 / 5
Т2 =| Т2 (1,Х,РеЖ1 ж2,Ж3)Х ,
1/5
1
Т3 =| Т3 (1,Х,Ре,Ж1 ,Ж2,Ж3)сСХ .
3 / 5
Если добиваться выполнения условия (44) при заданном числе Пекле Ре, то вводим обозначения
^ (ад,^; = (Т - Т2 /, (45)
^ (^2,^3; = (Т - Т3 /, (46)
^3) = (Т2 -Т3/ (47)
где ¥х, ¥2 и ^3 - функции квадратичных невязок, и
суммируя (45)-(47) с равными весовыми коэффициентами, то задача удовлетворения критерию однородности может быть сведена к задаче безусловной оптимизации, то есть
3
Ф(Ж1 ,Ж2,Ж3) = £^(^!Ж2Ж3) ^шт
1=1
которая эквивалентна задаче решения системы алгебраических уравнений
(48)
дФ
= 0,
~дШх
дФ
= 0,
дЖ2
дФ
= 0.
дЖ3
Ясно, что прежде всего необходимо
идентифицировать поле температур, а затем переходить к выбору ,Ж2 ,Ж3. В этой связи представляется
интересным с точки зрения инженерной практики рассмотреть важный специальный случай при Ре .
Для данного случая система (31) - (40) еще более упрощается за счет рассопряжения задачи поиска изменения температур по элементам и принимает вид
1(х; -1(Х -1;
= ж
<х
йТ2
ИХ
<Т3
ёХ
= Ж
■ = Ж
(49)
(50)
(51)
(52)
Т (0) = Тг (0) = Т3 (0) = 0 Система (49) - (52) декомпозируется на три задачи Коши:
йтк = ж |~1(Х; -1(Х - ^;
<Х Т(0 ) = 0;
= Ж
ёХ Т2 (0; = 0;
■ = Ж
1(Х - 2; -1(Х -1)
сх
Т (0; = 0.
Интегрирование (53) - (55) дает: 1(#;-1(#-1;
Т (Х) = ж | 0 Х
Т2 (Х) = ж1 0 Х
Т3 (Х) = ж1
ё?;
(53)
(54)
(55)
(56)
(57)
(58)
Вычислив интегралы (56) - (58), получим в окончательном виде решение:
Т(х; =
Т2 (Х) =
3Ж х,
0,
ж2 (3Х -1; ж2,
0,
при 0 < Х < 3 Х 1 при Х > 3
при 0 < Х < -3
1 ^ 2 при — < Х < — 3 3
(59)
(60)
2
при Х > 3
Т3(Х) =
при
0 <Х <-
Ж3 (3Х - 2), при Х >■
Из (59) - (61) при Х=1 следует, что
Т(1) = ;Т2 (1) = ^2 ;Т3 (1) = ^3. Составим функцию Ф(Ж1 ,Ж2,Ж3) :
Ф(Ж1 ,ж2 ж3 ) = (Ж1 - ж2 )+(Ж1 - ж3 /+(Ж2 - ж3 / Найдем частные производные от Ф:
|ф = 2 ( - Ж) + 2 ( - Ж) = 2 (Ж - Ж - Ж);
дф = -2 ( - Ж) + 2 ( - Ж) = 2 (2^2 - Ж - Ж);
откуда получаем систему для определения Ж], Ж2, при известном, например, Ж3:
2ЖХ = Ж2 + Ж3;
2Ж2 = Ж + Ж3; решением которой будет Ж1=Ж2=Ж3.
Таким образом, для случая Ре^да расположение электродов несущественно, главное чтобы выделяемая ими мощность была одинакова. Такая ситуация является идеализированной, в которой не учитывается перетекание теплоты за счет теплопроводности между элементами в направлении оси ОУ.
Литература
1. Борисочкина Л.И. Современное состояние обработки рыбы и других гидробионтов// Обзорная информация ЦНИИТЭИРХ. - М., 1986. - 41 с.
2. Рогов И.А., Бабакин Б.С., Выгодин В.А. Электрофизические методы в холодильной технике и технологии. - М.: Колос. - 1996. - 326 с.
3. Стефановский В.М. Размораживание рыбы. - М.: Агропромиздат, 1987. - 190 с.
4. А.С. № 762839, Кл. А23 В4/06, 1980 г., Б.И. №34.
5. Патент 2328125 (Российская Федерация), МКИ А 23 В 4/07 Установка непрерывной ТВЧ-дефростации продуктов в блоках / С.Т. Антипов, С.В. Шахов, А.А. Чирков, А.А. Степыгин, А.Ю. Баранов, Э.В. Ряжских - Заявл. 19.02.2007, № 2007106337/13, опубл. в Б.И., 2008 № 19
6. Бычков В.П. Изменения мяса рыбы при холодильной обработке. Автолитические и бактериальные процессы. - М.: Агропромиздат, 1987. - 221 с.
7. Сикорский З. Технология продуктов морского происхождения. - М.: Пищевая промышленность, 1974. - 520 с.
8. Коган В.Б. Теоретические основы типовых процессов химической технологии. - Л.: Химия, 1977. - 592 с.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров . - М.: Наука, 1984. - 831 с.
Воронежская государственная технологическая академия
Федеральный государственный научно-исследовательский испытательный центр радиоэлектронной борьбы и оценки эффективности снижения заметности Минобороны Российской Федерации
MATHEMATICAL MODELING OF THE PROGRESS OF CONTINUOUS CONTINUOUS DEFROSTING OF HYDROBIONTS BY ALTERNATING CURRENT OF HIGH FREQUENCY
S. T. Antipov, V.V. Riazhskih, A.A. Chirkov, S.V. Shahov
We have developed mathematical model of the process defrosting non-gradient way method any sea fish in continuous regime in the field of alternating current of high frequency
Key words: mathematical model, process, defrosting, sea fish
Служебный адрес авторов: 394000, пр. Революции, 19, Воронежская государственная технологическая академия (ВГТА), каф. МАПП
Антипов Сергей Тихонович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-38-96 394009, г. Воронеж, Переулок Транспортный д. 12,
Ряжских Виктор Иванович - ВГТА, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-38-96 394077, г. Воронеж, бульвар Победы, д. 1, кв. 138.
Чирков Александр Алексеевич - ФГНИИЦ РЭБ ОЭСЗ, старший инженер-испытатель, (4732) 30-48-82 394030, г. Воронеж, ул. 5 ЦНИИИ.
Шахов Сергей Васильевич - ВГТА, к.т.н., доцент, тел. (4732) 55-38-96 394052, г. Воронеж, ул. Краснознаменная, д. 154.
