CC BY
84
ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Сер. 10. 2009. Вып. 1
УДК 539.3 М. А. Зацепин
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
ПРОГНОЗА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПОЛОГОЗАЛЕГАЮЩЕГО МАССИВА ГОРНЫХ ПОРОД
Механика горных пород представляет научную основу проектирования и строительства горных выработок, добычи полезных ископаемых, сооружения подземных объектов на больших глубинах и в сложных горно-геологических условиях. К задачам механики горных пород относят определение прочности и устойчивости подземных конструкций при воздействии статических и динамических нагрузок, потому решение таких задач имеет важное экономическое и социальное значение. Многообразие естественных условий залегания массивов горных пород и продолжающийся рост глубин разработки месторождений полезных ископаемых крайне усложняют как постановку, так и решение конкретных, в особенности пространственных, геомеханических задач. Потому часто создаются весьма простые инженерные расчетные схемы, но при этом требующие сопоставления полученных данных с результатами дорогостоящих и сложных натурных исследований. Таким образом, возникает необходимость в создании достаточно общего и одновременно достаточно эффективного метода решения важных прикладных задач механики горных пород. Большинство прикладных задач геомеханики связано с определением напряженно-деформированного состояния (НДС) массива горных пород, вмещающего выработки различного очертания. Эти задачи решались многими исследователями различными аналитическими и численными методами. В частности, хорошо известны результаты численно-аналитических расчетов оседания многослойного массива над выработанным пространством и опорного давления впереди очистного забоя (рис. 1) на основе вариационного метода В. З. Власова в рамках линейного закона Гука [1], а также примененного в работах А. П. Господарикова для нелинейного закона деформирования горных пород [2]. Если же массив горных пород ослаблен выработками не прямоугольного сечения, то использовать в явном виде уравнения равновесия, полученные В. З. Власовым, невозможно. В таком случае необходимо получить основные соотношения для определения НДС массива горных пород в полярной системе координат, базируясь на идеях технической теории В. З. Власова. Для этого был разработан простой алгоритм решения задачи о деформации слоистого массива, зависающего над выработкой произвольного очертания и опирающегося краями на упругое основание. Решение большого круга геомеханических задач по данному методу и их сравнение с результатами, полученными другими авторами на основе различных методов, показало его достаточную эффективность и достоверность [3].
Зацепин Михаил Александрович — аспирант кафедры высшей математики факультета фундаментальных и гуманитарных дисциплин Санкт-Петербургского государственного горного института им. Г. В. Плеханова (Технический университет). Научный руководитель: проф. А. П. Господариков. Количество опубликованных работ: 14. Научные направления: механика деформируемого твердого тела, геомеханика. E-mail: [email protected].
© М. А. Зацепин, 2009
11111111111111И111111111111111111111111111111111111 lllllllllllll
■■BhJbbh т
Рис. 1. Неоднородный слоистый массив в зоне влияния выработанного пространства без закладки
В последние годы горные инженеры сталкиваются в основном с необходимостью решения таких геомеханических задач, для которых применение приближенных численно-аналитических методов оказывается затруднительным, хотя многими исследователями показано, что их использование в некоторых случаях может быть весьма успешным. В настоящее время решение таких прикладных задач геомеханики осуществляется главным образом численными методами на основе современных вычислительных средств. Среди эффективных численных методов решения подобных задач наиболее широко известны метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), метод граничных элементов (МГЭ), метод граничных интегральных уравнений и др., которые получают все большее распространение в инженерной и научной среде при широком использовании мощной вычислительной техники. Эффективное применение указанных методов для решения важных прикладных задач геомеханики зависит от разработки соответствующих универсальных программ и их реализации на ЭВМ. Так, например, компанией Itasca Consulting Group в 1998 г. была разработана и успешно апробирована универсальная программа FLAC (Fast Lagrangian Analysis of Continua), которая является мощным вычислительным инструментом для моделирования прогноза НДС массива горных пород. За основу в ней взят МКР, что делает данный вычислительный продукт универсальным для решения геомеханических задач на различных стадиях ведения горных работ (проходка и закладка выработок, ведение очистных работ). Благодаря вычислительной программе FLAC появилась возможность рассмотрения задач, в которых учитывается нелинейный закон процесса деформирования горных пород. С помощью этой программы были определены вертикальные смещения в центре выработки и опорное давление на различных удалениях от забоя для массива горных пород (рис. 2, 3).
Очевидно, что от решения таких геомеханических задач по определению НДС призабойных зон пласта напрямую зависят управление состоянием массива непосредственно в лаве и эффективность выемки полезного ископаемого добычными комплексами [4].
Другим достаточно простым и доступным средством решения задач механики горных пород является МКЭ. Эффективное его применение при решении важных прикладных задач геомеханики зависит от разработки универсальных вычислительных программ и их реализации на ЭВМ. И хотя МКЭ нельзя рассматривать как универсальное средство, пригодное для абсолютно всех случаев горной практики, уже сейчас можно сказать, что с его помощью можно решить многие важные задачи геомеханики, в том числе нелинейные как физически, так и геометрически [5].
Рис. 2. Распределение опорного давления в начальный период работы лавы
-1.00Е+07 - численные значения давления в массиве горных пород, вмещающем прямо-
угольную горную выработку, Н/м2.
На основе разработанного алгоритма численного решения МКЭ была составлена вычислительная программа. Для решения конкретной геомеханической задачи при помощи этой программы необходимо задать не только конструктивные особенности выработки, механические свойства массива горных пород (Е,у), но и вид потенциала П (работу деформации), определяющего связь между напряжениями и деформациями . Для упругого грунтового массива потенциал представляется в виде [6]
п = ^
V
^-(1 - у) - /2(1 - 2и)
где /1 = £1 + £2 + £3 - первый инвариант тензора деформации, который связан с относительным изменением объема (объемной деформацией); /2 = £1 £2 + £2£3 + £3£1 - второй инвариант тензора деформации; Л - упругая константа Ламе, а V - коэффициент Пуассона.
Для проверки эффективности вычислительной программы была решена классическая задача по определению НДС неподкрепленной выработки круглого сечения в однородном и изотропном массиве, физико-механические свойства которого заранее установлены. Поскольку указанная задача является осесимметричной, рассматривается четверть выработки, расположенная в первом квадранте. После задания входных параметров вычислительная программа автоматически разбивает область на конечные элементы и выводит разбиение на экран. Выходными параметрами программы являются компоненты вектора смещений, тензоров деформаций и напряжений слоев, прилегающих к выработке массива. Последние в конечном итоге определяют как безопасность ведения горных работ, так и необходимые мероприятия по закреплению подземных горных выработок. Следует отметить, что решение подобной задачи для пластинки с круглым отверстием выполнено Г. Киршем с помощью функций напряжений и Г. С. Савиным для весомой среды на основе комплексных преобразований [7],
а также А. П. Господариковым благодаря использованию вариационного метода в полярной системе координат. Последние результаты и были взяты за основу в качестве критерия оценки результатов, полученных от применения созданной вычислительной программы.
- численные значения вертикальных смещении массива горных пород над прямоугольной горноИ выработкой, м.
Приведем результаты численного расчета при следующих значениях числовых параметров: Е = 2 • 104 МПа; Я = 1, 5 м; 7 = 2 • 104 Н/м3; Н = 100 м; V = 0, 45. При таких числовых параметрах сразу можно написать выражения для сжимающих выработку напряжений ау = 7Н, ах = 7кН, аху = 0. Для упрощения численного расчета примем
к = 1, что равносильно равномерности распределения напряжений вокруг круглой вып п
работки, тогда в точках в = 0 и в = — получим и(1{, 0) ~ 0,12 см, и(1{, —) ~ 0,15 см.
Изображение выработки до и после деформации приведено на рис. 4.
В результате использования разработанной вычислительной программы, а также программы FLAC, реализующих соответственно МКЭ и МКР [8], и применения численно-аналитического алгоритма проведено сопоставление результатов расчета НДС массива горных пород, вмещающего выработки различных конфигураций и назначения. Последнее показало их достаточную сходимость для нужд практики. Кроме того, эти решения сравнивались с решениями других авторов, полученных на основе иных методов. В результате такого сравнения расхождение не превышало 10%, т. е. решения пригодны для прикладных инженерных исследований. Таким образом, предложенные алгоритмы расчета могут быть успешно использованы для определения параметров НДС массива горных пород в некоторых случаях горного производства.
Рис. 4. Исследуемая область массива горных пород, вмещающего выработку круглого сечения, до и после деформации
Summary
Zatsepin M. A. Mathematical modeling of forecast of stress and strain state of horizontal rock massifs.
Development of bedded deposits is associated with man-caused distortion of specific environment - the rock massifs, which are very complicated in their composition, can vary significantly in mechanical properties and is characterized with a wide variety of laws and techniques to assess its stress and strain state. It is obvious that studying parameters of mechanical processes taking place in such environs can not be methodologically restricted to separate application of real experiment data, laboratory data or analytical calculations. It should be noted that the majority of applied tasks in estimation of rock massif stress and strain state cannot be solved only with the application of classical continuous field analog techniques (theories of elasticity, plasticity, etc.). The studying object - rock massifs containing mining openings - is characterized with inhomogenuity, multiple connection, quasicontinuity, geometrical irregularity etc. Analytical description of cavity surfaces and setting boundary conditions for such objects are extremely complicated and, correspondingly, it is impossible to find closed-form solution convenient for engineering practice. Different numerical methods are known to be expedient. This article is devoted to a geomechanical model of the stress and strain state of massifs rocks in the working excavation. It is presented in the form of a 2D package of linearly-deformable layers with various boundary conditions on contacts and the cavity located inside of it having a configuration of investigated excavation.
Key words: mathematical modeling, forecast, geomechanics, rock massif, stress and strain state, numerical methods.
Литература
1. Борисов А. А. Механика горных пород и массивов. М.: Недра, 1980. 360 с.
2. Господариков А. П. Нелинейное деформирование слоистого породного массива с учетом
Т2
обжатия по вертикали // Актуальные проблемы горной науки и образования: Сб. трудов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. горн. ин-та, 1999. C. 129-131.
3. Zatsepin M. A. Development of mathematical models to assess stress and strain state in rock massifs containing mining openings // Materialy XLVI Sesji Pionu Gornic-zego. Krakow, 2005. 8 grudnia. P. 99-100.
4. Шемякин Е. И. Прогнозирование и расчет проявлений горного давления. Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та, 1981. 156 с.
5. Hutton D. V. Fundamentals of finite element analysis. McGrawHill, 2004. P. 327-387.
6. Черников А. К. Теоретические основы геомеханики: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. гос. горн. ин-та, 1994. 192 с.
7. Савин Г. С. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968. 888 с.
8. Daniel Billuax, Xavier Rachez. FLAC and Numerical Modeling in Geomechanics // Second Intern. FLAC symposium. 29-31 October 2001. Lyon, 2001. P. 223-231.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.
Статья принята к печати 7 октября 2008 г.
