Математическое моделирование оптикоакустического сигнала от эритроцитов Текст научной статьи по специальности «Медицинские технологии»

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 1 - P. 96-101

Раздел III

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКАЯ БИОЛОГИЯ (03.01.00)

Section III

PHYSICAL AND CHEMICAL BIOLOGY (03.01.00)

УДК: 535.015 DOI: 10.24411/1609-2163-2018-15947

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИКОАКУСТИЧЕСКОГО СИГНАЛА ОТ

ЭРИТРОЦИТОВ

Д.А. КРАВЧУК, И.Б. СТАРЧЕНКО

ФГАОУ ВО «Южный федеральный университет» ИНЭП, ул. Шевченко, 2, корп. «Е», г. Таганрог, 347922,

Россия, е-mail: [email protected]

Аннотация. Проведено математические моделирование генерации оптоакустического сигнала от источника сферической формы. Поскольку 80% эритроцитов имеют сферическую форму, поэтому рассматривалась модель сферических источников оптоакустического сигнала. При воздействии на биожидкость (кровь) лазерным импульсом, происходит термическое расширение в жидкости, которое представляет собой процесс поглощения света в ограниченном объеме с последующей тепловой релаксацией и излучением ультразвуковых волн. Механизм теплового расширения представляет интерес для применения в медицинской диагностике, т.к. он является неинвазивным методом исследований. Зная законы формирования оптоакустического сигнала от объектов сферической формы, в результате воздействия лазера, можно определить количество кровяных телец. Оптоакустические сигналы могут использоваться для изображения пространственного распределения оптических поглотителей. В работе разработана математическая модель, описывающая процесс формирования оптоакустического сигнала от эритроцитов наглядно демонстрирует возможность создания лазерного цитометра in vivo. Решено волновое уравнение для короткого лазерного импульса и сферической формы источника оптоакустического сигнала в жидкости. Рассчитаны амплитуды звукового давления, построен частотный спектр сигнала для реальных размеров эритроцитов с учетом среды поглощения лазерного излучения.

Ключевые слова: лазер, диагностика, оптоакустические волны, биожидкость, эритроциты, сферические источники.

Введение. Оптические и термоупругие свойства ткани можно исследовать путем обнаружения волн звукового давления, с использованием ультразвуковых технологий, после освещения лазерным излучением. Этому способу присущи два преимущества. При оптоакустиче-ской визуализации, ткани обычно облучаются лазером с коротким импульсом. Ткани поглощают энергию падающего излучения, нагреваются, подвергаются термоупругим расширениям и затем генерируют ультразвуковые волны.

Изображения могут быть сгенерированы с лучшей контрастностью, чем обычные ультразвуковые изображения, а также изображения с помощью оптоакустического сигнала (ОАС) могут

отображать более глубокие ткани по сравнению с традиционными ультразвуковыми методами визуализации. Методы оптоакустической пото-кометрии также использовались для обнаружения циркулирующих клеток меланомы в крови человека и лимфатических узлах [7]. В другом исследовании ОА метод наряду с обычным ультразвуковым отображением был реализован для обнаружения и стадирования тромбоза глубоких вен [8]. Большая часть эритроцитов, а это 80%, имеет двояковогнутую сферическую форму. Около 20% могут иметь другую: овальную, чашеобразную, сферическую, серповидную, поэтому нами и проводились исследования генерации оптоакустического сигнала для рассеива-

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 1 - P. 96-101

телей сферической формы.

Цель исследования - разработать математическую модель описывающую формирование ОАС от сферического источника поглощения на примере эритроцита.

Волновое уравнение для давления, создаваемого при поглощении оптического излучения при условии термоизоляции:

v 2p _ _L ^=_ А- ÜH.

vs2 di2 Cv di где в - коэффициент изобарного теплового расширения, Cp - теплоемкость на единицу

массы, vs - скорость звука в освещенной области. Здесь H - тепловая энергия, выделяемая оптическим излучением в единицу времени и объеме [5].

Решая неоднородное уравнение в частных производных, можно получить аналитические решения уравнения для некоторых простых геометрий (например, слоя, цилиндра, сферы и т. д.) с использованием соответствующих граничных условий, а именно непрерывности давления и нормальной составляющей скорости частиц. Давление ОАС для равномерного освещения сферического поглотителя на расстоянии r в окружающей среде можно найти как [5]

sin q_ q cos q _ _

2жСр (r / a)

¡ dq-

i _p

- \

sin q

_ cos q+ i p vsin q

где безразмерная частота q , а - радиус поглотителя сферической формы, безразмерные величины р = рз / и у = у5 1у/ представляют собой отношения плотности и скорости звука соответственно. Индексы 5 и f соответствуют поглотителю и окружающей жидкой среде соответственно, Т безразмерное время.

Материалы и методы исследования. Проведено двумерное моделирование на примере образца крови состоящей на 98% из эритроцитов, вклад в поглощение оптического излучения лейкоцитами и тромбоцитами нами не учитывался. Средний радиус эритроцитов примем равным 2,7 мкм, плотность в эритроцитах рэ =1090 кг/м3, скорость звука 1090 м/с. Значение плотности среды в которой находились эритроциты р1=1005 кг/м3 и скорости звука у/=1498 м/с. [7] Считалось, что клетки подвергались воздействию лазера с постоянной интенсивностью не зависимо от их ориента-

ции. Параметры лазера были выбраны для имеющейся установки LIMO 100-532 /1064-U лазер Nd:YAG с фиксированной длиной волны 1064 нм, длительностью импульса 84 нс, частотой повторения импульсов 10 кГц, с целью дальнейшей проверки результатов моделирования с помощью эксперимента [1-4].

Будем считать, что акустические волны генерируемые частицами не взаимодействуют между собой и не имеют многократного рассеяния. Таким образом, имея ОА сигнал от одного источника можно, учитывая интерференцию волн давления от нескольких сферических источников по принципу суперпозиций, можно записать формулу зависимости давления на множества источников

several

Pf

q i=-

sin q_ qcosq

СP - 2 q fl _P) r - > sinq _ cos q+ i pv sin q

V J f q J

Полученная формула описывает зависимость акустического давления от источников сферической формы с учетом пространственного распределения эритроцитов. Где г - расстояние до точки наблюдения, вектор г„ указывает направление на п-й эритроцит в пространстве.

[y

Время I, с

Рис. 1. Сигнал полученный при моделировании от одного эритроцита

Результаты и их обсуждение. Моделирование проводилось без учета агрегации эритроцитов, форма эритроцитов считалась сферической. Эффекты двойного и многократного рассеяния световых волн пренебрежимо малы. Коэффициенты оптического поглощения для сферических клеток считались одинаковыми. Модель была простроена и рассчитана в оболочке МайаЪ, результаты расчетов представлены на рис. 1 и 2.

ik

e

n=1

ÜT

e

q

По результатам расчетов видно, модель демонстрирует увеличение амплитуды сигнала по мере увеличения концентрации частиц. Чем выше концентрация, тем больше источников генерации оптоакустического сигнала.

Рис. 2. Частотный спектр, формируемый одним эритроцитом сферической формы

Рис. 3. Частотный спектр, формируемый двадцатью эритроцитами сферической формы

Выводы. Было отмечено, что уровень ОА сигнала монотонно возрастал по мере увеличения концентрации эритроцитов. Амплитуда спектра ОАС возрастала с увеличением количества источников формирования оптоакустического сигнала рис. 3. По результатам моделирования, можно говорить об адекватности предложенной модели расчета поля оптоакустического сигнала от сферических источников поглощения.

Предложенная теория требует дальнейшего развития для случаев, когда будут учитываться эффекты многократного рассеяния, нерегулярность формы эритроцитов, кислородонасыщен-ность и уровень агрегации. Разработанная модель позволяет, зная закон формирования амплитуды давления от нескольких источников

several

оптоакустического сигнала pf

q I, постро-

ить модель получаемого сигнала от сферических эритроцитов. Для этого необходимо задать случайное распределение эритроцитов в заданном объеме с учетом гематокрита и уровня агрегации. Такой подход требует продолжения исследований в области изучения процесса генерации оптоакустического сигнала в результате воздействия лазера на пробу крови. Если облучать лазерным импульсом биожидкость, содержащую гемоглобин, то ОАС в крови будет иметь уникальный вид, соответствующий вполне определенному количеству красных кровяных телец. Таким образом, можно оценить состав крови и количество кровяных телец. Проведенное моделирование позволяет продолжить работы проводимые в [1-3] по разработке алгоритма диагностики клеток в кровотоке методом проточной цитометрии in vivo.

MATHEMATICAL MODELING OF OPTOACOUSTIC SIGNAL FROM ERYTHROCYTES

D.A. KRAVCHUK, I.B. STARCHENKO

Southern Federal University, Taganrog, Shevchenko street, 2, building. "E", Taganrog, 347922, Russia,

e-mail: [email protected]

Abstract. The authors have carried out mathematical modeling of generation of an optoacoustic signal from a spherical source. Since 80% of erythrocytes are spherical, it is a model of spherical sources of optoacoustic signal that was considered. When biofluid (blood) is exposed to a laser pulse, it undergoes thermal expansion, which is the process of absorption of light in a limited volume followed by thermal relaxation and radiation of ultrasonic waves. The mechanism of thermal expansion is of interest for medical diagnostics, as it is a non-invasive method of research. Knowing the laws of formation of optoacoustic signal from spherical objects as a result of exposure to laser makes it possible to determine the number of blood corpuscles. Optoacoustic signals can be used to represent the spatial distribution of optical absorbers. The paper

presents a mathematical model which describes the process of formation of optoacoustic signal from erythrocytes, and clearly demonstrates the possibility of creating a laser-based in vivo cytometer. The wave equation is solved for short laser pulse and spherical shape of the source of optoacoustic signal in the fluid. The amplitudes of sound pressure are calculated, and the frequency spectrum of the signal is constructed for real sizes of erythrocytes, taking into account the laser radiation absorption medium.

Keywords: laser, diagnostics, optoacoustic waves, biofluid, erythrocytes, spherical sources.

Introduction. The optical and thermoelastic properties of tissues can be investigated by detecting sound pressure waves using ultrasound technology after illumination with laser radiation. This method has two advantages. With optoacoustic imaging, tissues are usually irradiated using a short pulse laser. The tissues absorb the energy of the incident radiation, heat, undergo thermoelastic expansions, and then generate ultrasonic waves.

Images can be generated with better contrast than in the case of conventional ultrasound images; moreover, the images received using optoacoustic signal (OAS) can represent deeper tissues as compared to conventional ultrasound imaging techniques. Methods of optoacoustic flowmetry were also used to detect circulating melanoma cells in human blood and lymph nodes [7]. In another study, the optoacoustic method was used along with conventional ultrasound imaging to detect and stage deep vein thrombosis [8]. Most of the red blood cells, and that is 80%, are of biconcave spherical shape. About 20% can be of some other shape: oval, cup-shaped, spherical, sickle-shaped; therefore, we conducted research of op-toacoustic signal generation for scatterers of spherical shape.

The goal of the study was to develop a mathematical model describing the formation of OAS from a spherical absorption source using an eryt-hrocyte as an example.

The wave equation for the pressure created when optical radiation is absorbed under the conditions of thermal insulation:

v- A. =_ JL M

V 2 St

Cp St

where / is the isobaric thermal expansion coefficient, Сp is the heat capacity per unit weight, vs is

the speed of sound in the illuminated area. Here, H is the thermal energy released by the optical radiation per unit time per unit volume [5].

Solving the non-homogeneous partial differential equation, one can obtain analytical solutions of the equation for some simple geometries (for example, a layer, a cylinder, a sphere, etc.) with the appropriate boundary conditions, namely,

the continuity of pressure and the normal component of particle velocity. The pressure of an OAS for uniform illumination of a spherical absorber at distance r in the surrounding medium can be found as [5]

Pf

inPFv\ ' 2nCp (r / a)

J dq-

sinq— qcos q

( ' \ '

(l—)) sinq

— cos q+ i )vsin q

V ) , q )

where dimensionless frequency is q, a is the radius of the spherical absorber, dimensionless values p = ps /pf and v = vs lvf are density and sound

velocity ratios, respectively. The subscripts s and f correspond to the absorber and the surrounding

liquid medium, respectively, and T is dimension-less time.

Materials and methods. We have carried out two-dimensional modeling using the example of a blood sample consisting of 98 per cent erythro-cytes, not taking into account the contribution of leukocytes and thrombocytes to the absorption of optical radiation. The average radius of erythrocytes is assumed to be 2.7 pm, the density for erythrocytes ps=1090 kg/m3, the sound velocity 1090 m/s. The value of the density of the medium in which the erythrocytes were placed Pf=1005 kg/m3 and the speed of sound Vf=1498 m/s. [7] It was assumed that the cells were exposed to laser of constant intensity, regardless of their orientation. The parameters of laser were chosen for the available LIMO 100-532/1064-U equipment: Nd:YAG laser with a fixed wavelength of 1064 nm, pulse duration of 84 ns, pulse repetition rate of 10 kHz, with a view of further verifying the modeling results by means of experiment [1-4].

We shall assume that the acoustic waves generated by particles do not interact with each other and do not have multiple scattering. Thus, having an optoacoustic signal from one source, it is possible, taking into account the interference of pressure waves from several spherical sources based on the principle of superposition, to write the formula for the dependence of pressure on multiple sources:

JOURNAL OF NEW MEDICAL TECHNOLOGIES - 2018 - V. 25, № 1 - P. 96-101

p7""\q l=-

sinq— qcosq

Cp - 2 q i-P 1 \ - > sinq — cosq+ i pv sin q

V 1 V q 1

n eks(Ir-r.\-a)

The obtained formula describes the dependence of acoustic pressure on sources of spherical shape taking into account the spatial distribution of erythrocytes. Where r is the distance to the observation point, and the vector r„ indicates the direction in space towards the nth erythrocyte.

Results and discussion. The modeling was performed without taking into account the aggregation of erythrocytes; the shape of the erythro-cytes was assumed to be spherical. The effects of double and multiple scattering of light waves are negligible. The optical absorption coefficients for spherical cells were assumed to be the identical. The model was built and calculated in the Matlab shell, the results of calculations are presented in fig. 1 and 2.

N ,

3 91 3 Si 393 !Si JM 3 Ж Л7 3 9

Fig. 1. The signal from one erythrocyte obtained as a result of modeling

The results of the calculations show that the model demonstrates an increase in the amplitude of the signal as the concentration of particles increases. The higher the concentration, the greater is the number of sources generating optoacoustic signal.

Conclusions. It was noted that the optoac-oustic signal level increased monotonically as the erythrocyte concentration increased. The amplitude of the OAS spectrum increased with increasing number of sources generating optoacoustic signal (fig. 3). The results of modeling allow us to speak about the adequacy of the proposed model for calculating the field of optoacoustic signal from spherical absorption sources.

¿00 xn 4W 500

Frequency f, MHz

Fig. 2. The frequency spectrum formed by a single erythrocyte of spherical shape

100 200 100 400 500 600 700

Frequency f, MHz

Fig. 3. The frequency spectrum formed by twenty erythrocytes of spherical shape

The proposed theory requires further development for cases in which multiple scattering effects, irregular shape of erythrocytes, oxygen saturation, and aggregation level will be taken into account. The developed model makes it possible, knowing the law of formation of amplitude of pressure from several sources of optoacoustic sig-

i several

nal pf

q I, to construct a model of the signal

received from spherical erythrocytes. To do this, it is necessary to define a random distribution of erythrocytes in a given volume, taking into account the hematocrit and the aggregation level. This approach requires further research into the process of optoacoustic signal generation as a result of exposure of a blood sample to laser. If a bi-ofluid containing hemoglobin is irradiated with a laser pulse, the OAS in the blood will have a unique form corresponding to a quite definite number of red blood cells. Thus, the composition of blood and the number of blood cells can be es-

timated. The performed modeling makes it possible to continue the work carried out in [1-3] to de-

velop an algorithm of detecting cells in the blood stream using the method of in vivo flow cytometry.

Литература

1. Кравчук Д.А., Старченко И.Б., Кириченко И.А. Прототип оптоакустического лазерного цитомера // Медицинская техника. 2047. №5. С. 4-7.

References

1. Kravchuk DA, Starchenko IB, Kirichenko IA. Prototip optoakusticheskogo lazernogo citomera [A prototype of optoacoustic laser-based cytometer]. Meditsinskaya tekhnika. 2017:5;4-7. Russian.

2. Кравчук Д.А., Орда-Жигулина Д.В., Слива Г.Ю. Экспериментальные исследования оптоакустического эффекта в движущейся жидкости // Известия ЮФУ. Технические науки. 2017. № 4 (189). С. 246254.

2. Kravchuk DA, Orda-Zhigulina DV, Sliva GYu. Ekspe-rimental'nye issledovaniya optoakusticheskogo effekta v dvizhushcheysya zhidkosti [Experimental research of the optoacoustic effect in a moving fluid]. Izvestiya YuFU. Tekhnicheskie nauki. 2017:4(189):246-54. Russian.

3. Кравчук Д.А. Экспериментальные исследования и моделирование процесса генерации оптоакусти-ческих волн // Электронный научный журнал «Инженерный вестник Дона». 2017. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4234.

3. Kravchuk DA. Eksperimental'nye issledovaniya i mod-elirovanie protsessa generatsii optoakusticheskikh voln [Experimental research and modeling of the process of generation of optoacoustic waves]. Elektronnyy nauchnyy zhurnal "Inzhenernyy vestnik Dona". 2017:2. [Internet]. Russian. Available from:

http://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/n2y2017/4234.

4. Кравчук Д.А. Теоретические исследования генерации оптоакустических волн в жидкости цилиндрическими поглотителями // Электронный научный журнал Инженерный вестник Дона». 2017. №3. URL: http ://www.ivdon.ru/ru/magazine/archive/N3y 2017/4350 ISSN 2073-8633.

4. Kravchuk DA. Teoreticheskie issledovaniya generat-sii optoakusticheskikh voln v zhidkosti tsilindri-cheskimi poglotitelyami [Theoretical studies of the generation of optoacoustic waves in a liquid by cylindrical absorbers]. Elektronnyy nauchnyy zhurnal "Inzhenernyy vestnik Dona". 2017:3. [Internet]. Russian. Available from: http://www.ivdon.ru/ru/ maga-zine/archive/N3y2017/4350. ISSN 2073-8633.

5. Diebold G.J., "Photoacoustic monopole radiation: Waves from objects with symmetry in one, two and three dimensions," in Photoacoustic Imaging and Spectroscopy // edited by L. V. Wong. Taylor & Francis Group, LLC. London, 2009. Chap. 1, P. 3-17.

6. Karpiouk A.B., Aglyamov S.R., Mallidi S., Shah J., Scott W.G., Rubin J.M., Emelianov S.Y., Combined ultrasound and photoacoustic imaging to detect and stage deep vein thrombosis: Phantom and ex vivo studies // Biomed. Opt. 2008. Vol. 13(5). P. 1-8.

7. Shung K.K., Yuan Y.W., Fei D.Y., Tarbell J.M. Effect of flow disturbance on ultrasonic backscatter from blood // J. Acoust. Soc. Am. 1984. Vol. 75. P. 1265-1272.

5. Diebold GJ. Photoacoustic monopole radiation: Waves from objects with symmetry in one, two and three dimensions. In: Photoacoustic imaging and spec-troscopy. Wong LV, editor. London: Taylor & Francis Group, LLC; 2009. Chap. 1.

6. Karpiouk AB, Aglyamov SR, Mallidi S, Shah J, Scott WG, Rubin JM, Emelianov SY. Combined ultrasound and photoacoustic imaging to detect and stage deep vein thrombosis: Phantom and ex vivo studies. Biomed. Opt. 2008:13(5);1-8.

7. Shung KK, Yuan YW, Fei DY, Tarbell JM. Effect of flow disturbance on ultrasonic backscatter from blood. J. Acoust. Soc. Am. 1984:75;1265-72.

8. Weight R.M., Dale P.S., Viator J.A. Detection of circulating melanoma cells in human blood using photoacous-tic flowmetry // Proceedings of the 31st Annual International Conference of the IEEE EMBS, 2009. P. 106-109.

8. Weight RM, Dale PS, Viator JA. Detection of circulating melanoma cells in human blood using photoacous-tic flowmetry. In: Proceedings of the 31st Annual International Conference of the IEEE EMBS; 2009.