Математическое моделирование образования газовых гидратов Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.529.5

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ ГАЗОВЫХ ГИДРАТОВ

© М. Н. Г алимзянов

Институт механики Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября 71.

Тел./факс: +7 (347) 235 52 55.

E-mail: [email protected]

На основе теоретической модели пузырьковой жидкости, уточненной с учетом возможного гидратообразования, изучена динамика плоскоодномерных ударных волн применительно к имеющимся экспериментальным данным для системы вода-фреон. Предложена схема учета дробления пузырьков в ударной волне, которое является одним из главных факторов при интенсификации процесса гидратообразования с ростом амплитуды ударной волны.

Ключевые слова: ударная волна, пузырьковая жидкость, дробление, гидратообразование.

Введение

В последние десятилетия интерес к проблеме газовых гидратов во всем мире резко возрос. Усилие научной активности объясняется рядом факторов различного характера. Резко возросла активизация поисков альтернативных источников углеводородного сырья, особенно в экономически развитых странах, бедных ресурсами энергоносителей. Одним из важных факторов изменения климата на Земле является увеличение концентрации двуокиси углерода в атмосфере Земли. В настоящее время предлагаются различные технологии утилизации углекислого газа. Одним из перспективных способов утилизации является перевод газа в газогидрат-ное состояние и хранение на дне океана при пониженной температуре и высоком статическом давлении [1]. При этом, одним из главных параметров, обеспечивающих экономическую целесообразность данного способа, является скорость образования гидрата углекислого газа. Существуют различные методы интенсификации процесса гидратизации газов: мелкодисперсное распыливание струи насыщенной газом в атмосфере газа [2], интенсивное перемешивание воды, насыщенной растворенным в ней газом [2] и т.д. Основным недостатком предложенных методов является их низкая скорость образования газогидратов. И как следствие, низкая производительность установок, построенных на основе этих методов.

Также важнейшей проблемой, стоящей перед энергетическими компаниями, использующие в качестве энергоносителя природный газ, является эффективность его транспортировки и хранения. Одним из перспективных способов перевозки газа, при отсутствии трубопровода, является перевод газа в газогидратное состояние и его транспортировка в твердом виде при атмосферном статическом давлении и пониженной температуре (-10...20 С) [3-4]. Как показывают оценки, выполненные японскими и норвежскими учеными [3-4], газогид-ратная технология транспортировки и хранения природного газа является наиболее экономически выгодной для небольших газовых месторождений и

шельфовых месторождений природного газа. Оценки специалистов показывают, что около 80% мировых запасов свободного природного газа находятся в средних и маломасштабных месторождениях, и около половины - в прибрежном шельфе.

В работе [5] экспериментально исследован процесс растворения и гидратообразования за ударной волной умеренной амплитуды в воде с пузырьками фреона-12 при атмосферном статическом давлении.

В данной работе исследовалось образование газогидрата при эволюции двумерных волн в жидкости с пузырьками газа. Рассмотрены случаи плоского удара по жидкости, в которой находится пузырьковые зоны конечных размеров.

Постановка задачи

Пусть в жидкости находится пузырьковая зона, ограниченная в общем случае цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси z (продольные размеры зоны значительно больше, чем поперечные размеры) (Рис. 1). Рассмотрим двумерные волновые возмущения. Такая ситуация может реализоваться, например, при воздействии на систему граничным давлением, независящим от координаты г (p = p0 (^ у) при x = Х(| , где й - характерный диаметр пузырьковой области).

Рис. 1. Схематическое изображение расчетной области.

Для описания движения пузырьковой жидкости, при обычных для таких систем допущениях, примем систему, состоящую из уравнений масс, числа пузырьков, импульсов и давления в пузырьках в односкоростном приближении с учетом фазовых переходов [6]:

<1р ( ди ди)

-щ- Ч *]=- ^='■ *•

1п (ди ди) „

----+ п| — + — I = 0,

Шг V дх ду)

р^ +др = 0, р1и + дЖ = 0,

М дх Шг ду

Р = Р* +Р1 +Рк,

ШР* = _ 3УP^w_ 3(г_1)

Шг а

Ша

д, V = — ■-а0 ш

(1)

Ш д д д — = — + и — + и — Шг дг дх ду

4

а, + а +а„ =1 р, = р, а,, а* = -лпа

= 4 та2]),

* 3

_ ¿А

1 _ О о

где а - радиус пузырьков, Р, - давления фаз, д -интенсивность теплообмена, п - число пузырьков в единице объема, V - радиальная скорость пузырьков, Р,0 - истинные плотности фаз, г - показатель адиабаты для газа, а, - объемные содержания фаз. Скорости и и и соответствуют движению по координатам х и у. Нижними индексами } = I, * и h отмечены параметры жидкой, газовой фаз и газогидрата. При описании радиального движения, в соответствии с уточнением, предложенным в [7] будем полагать, что скорость радиального движения V состоит из двух слагаемых:

3 2 „ (р* _ р1)

а—- + - + 4п —- = „—-,

Шг 2 а р1

... Р* _ Р,

(2)

где '№к описывается уравнением Рэлея-Ламба, У1 -

вязкость жидкости. Добавка ~№А определяется из решения задачи о сферической разгрузке на сфере радиуса а в несущей жидкости в акустическом приближении [8].

Примем жидкость акустически сжимаемой, а газ калорически совершенным:

Р1 = Р0 + сХр1 _р10\ р* =р*-Т* , (3)

где — - газовая постоянная. Т епловой поток д, задается приближенным конечным соотношением:

т* _ т

2а

= 0 т* Р,

_ д*а + 9а1 = JhLh ,

3 (4)

да1 = 0, = ^1 а

Т0 Р0 Vа0 У

где т - температура жидкости, лд - теплопроводность, N1^ - число Нуссельта:

Ни * =

Ре = 12(г_ 1)

л/Рё, Ре > 100 10, Ре < 100

а\Ц - 1

(5)

Т _ т

Г* т0|

к =

* сР

0

Интенсивность фазовых переходов определяется следующим соотношением:

т ( р) _ та т, ( р)

ь

кь =

bmLhРg

где

т, = тп + т,\п-^, та = т = т0.

(6)

(7)

Учет дробления

Экспериментальные данные [5], полученные при непосредственной визуализации пузырьковой жидкости в процессе распространения волн, а также анализа осциллограмм давления в рассматриваемой системе показывают, что эволюция волн сопровождается дроблением пузырьков. При этом качественный и количественный характер дробления сильно зависит от амплитуды волны. Если при достаточно слабых волнах (Др »105 Па) дробление происходит на несколько фрагментов, то при сравнительно умеренном повышении амплитуды (Др » 2 105 Па) дробление может происходить на сотни или даже тысячи фрагментов. Как известно основными механизмами, приводящими к дроблению пузырьков, являются неустойчивости Тейлора и Кельвина-Гельмгольца. При распространении волн давления в пузырьковой жидкости максимальные значения чисел Бонда и Вебера, определяющих критерий дробления, достигаются в момент максимального сжатия пузырьков. В первом случае, когда дробление может происходить из-за неустойчивости Тейлора, это связано с тем, что именно в этот момент достигается наибольшее значение величины ускорения для радиального движения пузырьков. В случае механизма неустойчивости Кельвина-Гельмгольца, величина относительной скорости

пузырьков Iи также достигает максимального

значения в этот момент. Представляется, что главным механизмом дробления пузырьков в этих экспериментах является неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. Согласно, теоретическим оценкам, полученным в [6] условие устойчивости пузырьков по этому механизму по порядку величины определяется неравенством:

2арЖ,

Шв = * * < Шв, = 2рс,

а

(8)

где а - коэффициент поверхностного натяжения; с -эмпирический параметр порядка единицы (численное значения которого может быть уточнено на основе верификации теоретической модели с результатом экспериментов). В дальнейшем при оценках для него будем использовать значение с = 2 . Запишем уравнение производной по времени для ии :

ди, ди, 3'№ 3с

—- = 2—1 _и.-----------------т\и. \ь,

дг дг * а 4а * *

(9)

где ст - коэффициент вязкого сопротивления жидкости движению пузырька.

к

*

0

При распространении волн давления, основными силами действующими на пузырек являются [6] силы Архимеда и присоединенных масс. При учете этих сил из (9) для относительной скорости следует ц ¡» 2ц . Тогда для текущего значения числа Вебе-

(10)

(11)

ра в волне давления можем записать:

2арЦ\

Шв = * * < Шв, = 2рс

а

Величина максимальной скорости жидкости при распространении ударной волны с амплитудой Др оценивается на основе выражения: ц) „Ар

1 рс

где С - скорость волны. Из выражения (10) с учетом (11) следует, что при увеличении амплитуды волны в два раза, число Вебера возрастает уже более четырех раз. Поэтому, с ростом амплитуды волны растет также тенденция к дроблению, причем нелинейно.

Наибольшие значения чисел Вебера, вычисленных на фоне волны реализуются в моменты первого максимального сжатия пузырьков на переднем фронте. Для анализа возможного дробления и получения количественных оценок для критических амплитуд волны (при котором возможно дробление), а также для определения числа фрагментов при дроблении пузырьков в зависимости от амплитуды волны, наиболее важным является динамика первого сжатия пузырьков в волне. Пусть а(т), р°(т) и Цт) - пиковые значения радиуса пузырьков, плотности газа и скорости жидкости на фронте волны. В случае, когда число Вебера из (8) при этих значениях не достигает критического значения Шв(т) < Шв,, то дробление не происходит. Если же Шв(т) > Шв,, то из уравнения

2а(т) р>(т)ц(т)2 ¿.и, и*,

а

< Шв,т) = 2рс

(12)

определяем значение наибольшего радиуса а

(т) ,

при котором для значений относительной скорости цт и плотность газа р°(т) согласно критическому условию (8) пузырьки еще устойчивы. Далее положим, что пузырьки с радиусом а('т) мгновенно распадаются на фрагменты с радиусами а*т). При этом число фрагментов N после дробления одного пузырька определяется из равенства объема исходного пузырька в момент максимального сжатия

а('т) суммарным объемом фрагментов:

—па{т)Ъ = —ра,т)3N. (13)

3 3

Отсюда имеем N = (а(т) / а,(т))3. В зоне смеси охваченной раздробившимися пузырьками расчет ведем с приведенным радиусом. При этом полагаем, объем приведенного пузырька равен суммар-

ному объему всех фрагментов кластера, образовавшегося дроблением пузырька. Увеличение удельной межфазной поверхности учитывается введением поправочного коэффициента ^/3 для слагаемых содержащих параметры ] и да.

В качестве альтернативной и более простой схемы учета дробления можно также принять, рассмотрев вместо исходной смеси с радиусами пузырьков а0 более мелкодисперсную с радиусом а ,

причем таким, чтобы на всем основном протяжении распространения волны выполнялось условие (8) для заданной интенсивности волны.

Приведем оценку для критической амплитуды волны Др,, разделяющей режим распространения волн с дроблением и без дробления пузырьков. Полагая величину этой критической амплитуды достаточно слабой, чтобы в (12) можно было приближенно принять а,т) „ а0, р*(т) „ р*0, Цт = Др, / р°0С

(С = ^ГР0 /Р°0а*0 ), из (12) будем иметь оценку:

Др, = №

Р

V р*0)

р0а | • (14)

а,

Численный анализ

Были проведены расчеты, моделирующие эволюцию волн давления в воде с пузырьками фреона применительно к условиям эксперимента из [5]. Для термодинамических параметров фреона приняты следующие значения с = 590 (Дж/кг-град),

- = 68.76 (Дж/кг-К), л* = 8.76 10_3 (Вт/мтрад), г= 1.14.

Для исходного состояния пузырьковой системы находящейся в рабочей камере ударной трубы длиной I = 1.5 м приняты значения параметров: р0 = 105 Па то = 274 К гр; = 5.3 кгХ а*0 = 0.Ь а0 = 2-10_3 м. Кроме того, для значений пара -метров, связанных с гидратообразованием примем: О = 0.3 и р,(т0) = 0.43 105 Па. Ударная волна создавалась внезапным повышением давления на границе х = 0 до значения р = р . При расчетах граница х = I полагалась жесткой непроницаемой стенкой. Для безразмерного эмпирического коэффициента, связанного с кинетикой гидратооб-разования, выбрано значение ¡¡ = 3 • 10_5.

На рис. 2 и 3 представлены расчетные осциллограммы давления и объемного газосодержания пузырьков для датчика с координатой х = 1 м. Исходные значения параметров пузырьковой смеси и амплитуды волны следующие: а*0 = 0.104 и 0.107 ;

а0 = 2 10_3 м Др = 1.3 • 105 и 2.5-105 Па. Точечные линии соответствуют расчетным осциллограммам полученным для смесей с исходными радиусами пузырьков а0 = 2 10_3 м, сплошные для приведенных однородных смесей соответственно с радиуса-

1/2

ми пузырьков а0 = 10_3 м (Рис. 2) и а0 = 10_4 м (Рис. 3), полученной от исходной смеси дроблением каждого включения на N = 10 и 8 103 фрагментов. Эти значения для дисперсности соответствуют максимальным исходным радиусам, когда смесь остается устойчивой относительно дробления для соответствующих амплитуд Др = 1.3-105 и 2.5 105 Па. Пунктирные осциллограммы соответствуют расчетам согласно вышеописанной первой схеме, когда в момент первого схлопывания, вместо кластера, образованного дроблением одного пузырька, вводится приведенный пузырек соответствующий поправке для тепло и массообмена.

г, с

а

§

0.12

0.10

0.08

0.06

0.04

0.02

0.000.00

■и..

0.01

0.02

0.03

б

0.04

0.05

0.06

г, С

Рис. 2. Расчетные осциллограммы давления (а) и объемного газосодержания (б) при исходных параметрах пузырьковой смеси и амплитуды волны: а0= 0.104,

Др = 1.3 105 Па.

Из анализа и сравнения экспериментальных осциллограмм [5] с расчетными видно, что имеет место наилучшее качественное и количественное согласование (по частотам колебаний давления, а также по амплитудам отраженной волны) для приведенной смеси с максимально возмож -ной дисперсностью. Отметим также, что наблюдаемое в экспериментах [5] число фрагментов, на

которое дробятся отдельные пузырьки, в зависимости от интенсивности волны, по порядку величин удовлетворительно согласуется с вышеприведенными значениями для N.

Д р, МПа

г, с

г, с

б

Рис. 3. Расчетные осциллограммы давления (а) и объемного газосодержания (б) при исходных параметрах пузырьковой смеси и амплитуды волны: а0= 0.107,

Др = 2.5 105 Па.

Выводы

Полученная система уравнений была приведена к безразмерному виду и записана в системе переменных Лагранжа для удобства расчета. Система уравнений в переменных Лагранжа решалась методом Рунге-Кутта. В одномерном приближении проведено численное исследование динамики волн давления в воде с пузырьками фреона-12 с учетом гидратообразования. На основе предложенной схемы дробления пузырьков в ударной волне показано, что с увеличением амплитуды волны сжатия растет склонность пузырьков к процессу дробления. Это является одним из главных факторов интенсификации процесса гидратообразования. Поэтому, дальнейшее развитие теории волновой динамики пузырьковой жидкости с наличием гидратообра-зования должно идти с уточнением кинетических зависимостей и соответствующих эмпирических параметров для процессов дробления, и межфазного массооб-мена и в том числе гидратообразования.

а

а

§

а

Автор выражает благодарность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору Владиславу Шайхулагзамовичу Шагапову за полезные замечания и постоянный интерес к исследовательской работе автора, а также Игорю Александровичу Чиглинцеву за полезные советы в ходе получения численных результатов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Гранта Российской фонда фундаментальных исследований (08-01-97033), Программы фонда фундаментальных исследования ОЭММПУ РАН (ОЕ-15) и Программы фонда фундаментальных исследований Президиума РАН (П-17).

ЛИТЕРАТУРА

1. Anderson V., Woodhouse S., Graff O. Fr., Gudmundson J. S. Hydrates for deep ocean storage of CO2 // Proc. 5 Int. Conf. on Gas Hydrates. Trondheim, Norway, 2005 June 13-16. P. 1135-1139.

2. Miyata K., Okui T., Hirayama H. A challenge to hige-rate industrial production of methane hydrate // Proc. 4 Int. Conf. on Gas Hydrates. Yakohama, Japan, 2002 May 19-23. P. 1031-1035.

3. Takaoki T., Iwasaki T., Katoh Y. et al. Use of hydrate pellets for transportation of natural gas - advantage of pellet form of natural gas hydrate in sea transportation // Proc. 4 Int. Conf. on Gas Hydrates. Yakohama, Japan, 2002 May 19-23. P. 982-986.

4. Gudmundsson J., Mork M., Graff O. Hydrate non-pipeline technology // Proc. 4 Int. Conf. on Gas Hydrates, Yakohama, Japan, May 19-23. 2002. P. 997-1002.

5. Донцов В. Е., Накоряков В. Е., Чернов А. А. // Докл. АН.

2006. Т. 411. С. 4.

6. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. М.: Наука,

1987. Т. 1. 360 с.

7. Кутателадзе С. С., Накоряков В. Е. Тепломассообмен и волны в газожидкостных системах. Новосибирск: Наука, 1987. 302 с.

8. Нигматулин Р. И., Шагапов В. Ш., Вахитова Н. К. // Докл.

АН. 1989. Т. 304. С. 1077-1088.

Поступила в редакцию 13.11.2009 г.