CC BY
27
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И
Том XIII 1982 №5
УДК 532.517.2 532.517.4
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ КОГЕРЕНТНЫХ СТРУКТУР В ПРИСТЕННОЙ ОБЛАСТИ ТУРБУЛЕНТНОГО ПОГРАНИЧНОГО СЛОЯ
В. С. Садовский, М. Ф. Шаймухамбетов
В развитие детерминистического подхода к описанию течения в пристенной области турбулентного пограничного слоя, изложенного в работах [1, 2], исследуется ячеистое течение Куэтта, возмущенное в плоскости, перпендикулярной основному потоку, периодическим по времени циркуляционным полем скорости. Наложенное поперечное течение обеспечивает периодическое вторжение к нижней стенке завихренной в продольном направлении части жидкости, отчасти моделируя известное явление вторжения и выбросов жидкости в турбулентном пограничном слое. Стационарная модель Г. И. Таганова, исследованная в [1, 2], является предельным состоянием рассматриваемого модельного течения.
1. Рассмотрим ячеистое течение Куэтта по схеме, представленной на рис. 1 (см. также [1]). Нижняя плоскость у = 0 неподвижна, а верхняя (у — Ь) движется в направлении оси х с постоянной
скоростью V0. В направлении оси z в каждой из ячеек размером X имеется возмущающее поперечное течение, характер которого будет уточнен ниже. Изменение всех гидродинамических величин вдоль оси х отсутствует. В силу последнего допущения уравнения Навье —Стокса расщепляются, поэтому исследование решения может быть проведено в два этапа: 1) для наложенного поперечного течения (в плоскости у, z); 2) для продольной составляющей скорости в направлении оси х [1].
Для моделирования нестационарных когерентных структур в пристенной области развитого турбулентного пограничного слоя (ТПС), возникающих стохастически по времени и пространству, но имеющих вполне определенный период повторяемости, естественным представляется использовать периодическое по времени течение, причем такое, чтобы в поперечном к основному потоку направлении (плоскость х — const) были достаточно ярко выражены вторжение к нижней стенке и подъем от нее определенной части жидкости. Учитывая, что в реальном ТПС во время вторжения в пристенную область наибольшая продольная завихренность сосредоточена именно в опускающейся струйке жидкости, примем следующие упрощающие допущения о характере наложенного поперечного течения: 1) вся продольная завихренность внутри каждой ячейки сконцентрирована в двух симметричных относительно середины ячейки областях и £2’> 2) величина вихря в S, и £, противоположна по знаку и одинакова по величине и не изменяется со временем. Принятие этих допущений равносильно тому, что кинематика наложенного поперечного течения описывается уравнениями Эйлера. Однако для того чтобы решения уравнений Эйлера не приходили в противоречие с вязким характером движения жидкости в поперечном направлении, необходимо допустить, что стенки ячеек _у = 0 и у — Ь подвижны в направлении оси z и скорость их перемещения в каждой точке совпадает со скоростью, определяемой решением уравнений Эйлера в той же точке; отсутствие диффузии вихревых областей Ej и £2 не противоречит вязкому характеру поперечного течения, если предположить, что на границах вихревых областей имеются вязкие напряжения, определяемые кинематикой невязкого движения, которые совершают работу, полностью компенсирующую диссипацию механической энергии в наложенном поперечном течении.
Итак, в качестве поперечного течения, возмущающего основной продольный поток, принимается поле скорости, индуцируемое в каждой из полуячеек вихревой областью £, за пределами которой продольная завихренность равна нулю. Это поле скорости описывается уравнениями Эйлера. Так как в любой момент времени вихревые области Ej и Е2 симметричны по отношению к вертикальным границам ячеек, равномерно распределенным вдоль оси z, условие непротекания на них выполняется автоматически. В качестве граничного условия на границах _у = О и у — Ь ставятся условия невязкого течения: г» = 0 при у = 0 и у = Ь.
Нахождение в точной постановке периодического решения уравнений Эйлера, содержащего конечные области с постоянной завихренностью, граница которых деформируется со временем и подлежит определению, представляет самостоятельную и достаточно сложную задачу. Учитывая, что основной целью работы является выявление эффектов нестационарности в продольном
течении, примем упрощенную модель поперечного течения. Будем считать, что поперечное сечение вихревых жгутов является круговым в любой момент времени. Очевидно, что радиус его в силу несжимаемости жидкости будет неизменным по времени. Положение вихревой области в пространстве будем определять координатами центра площади области £. В таком приближении задача о движении вихревых областей равносильна задаче о перемещении точечного вихря с циркуляцией Г (создаваемой вихревой областью 2) в прямоугольной полуячейке. Если у0 и г0— координаты центра площади, то уравнения движения его
dy0 __ 1 tg хг0 sh2 лу0 dt 4 cos2 ъг0 -j- sh2 xy0
dz0 1 сth nz0 cos2 hz0
dt 4 cos2 izZq + s h2 -ку0
(1.1)
Здесь линейные размеры отнесены к полуширине ячейки Х/2,
а время — к величине = Следует отметить, что уравнения
(1.1) являются не абсолютно точными, поскольку они учитывают скорости, индуцируемые в точке у0, z0 лишь двумя парами бесконечных цепочек вихрей, распределенных вдоль оси z с шагом X и симметричных относительно оси z. Поэтому их следует использовать при движении вихря в нижней половине ячейки. При переходе вихря в верхнюю часть ячейки в (1 1) использовались две пары цепочек, отображенных относительно оси у=-Ь. Такое упрощение является оправданным для прямоугольных ячеек с удлине-
и 26 . .
нием # = 4, так как в этом случае влияние горизонтальных
границ на перемещение вихря в ячейке проявляется лишь на расстояниях Д_у < Х/2 от них. На остальных участках траектории вихрь следует с постоянной скоростью вдоль вертикальной границы (в книге Г. Билля [3] рассмотрено движение точечного вихря в прямоугольной области и приведена приближенная величина периода обращения вихря, когда его траектория проходит вблизи центра ячейки).
Интегрирование системы (1.1) осуществлялось на ЭВМ БЭСМ-6 методом Рунге—Кутта 4-го порядка точности. Знание координат у0 и z0 в произвольный момент времени позволяет выписать поле скоростей в любой точке ячейки (ниже они выписаны с учетом лишь двух основных пар вихревых цепочек):
____|_Г_____________Sin Т. (Z — г,,)_________sinn(zj- 20)
4 I f'h Г( tr _ t».\ _ t>r\c ITT l -у _ _
w
ch [(j/ — j/0) Tz] — cos It (z — zq) ' chi (y — y0) -j- cos % (z + z0)
_____________sin [(г + z0)"] ________________sin ti{z — z0)________________________‘
ch it (y + y0) -j- cos it (z + z0) ch it (y + j/0) — cos n (z — z0)
'__________________sh тс (у -l- y0)________________________|__________________sh it (y — y0)________________________
ch It (y + y0) — cos 1C (z — 2o) ch It (y — y0) — cos n (z — z0)
________ sh it (jy + y0) sh it (y — yo)
(1.2)
ch u (y + y0) -j- cos 1C (z + 20) ch It (y — y0) — cos it (z + z0)
Скорости v и w обезразмерены с использованием соотношения У* = 2Г/Х.
(2.2)
Соотношения (1.2) применяются для нижней части полуячейки |г|<’1/2, у < Я/2 и за пределами вихревой области 2 [при _у>Я/2 в (1.2) необходимо использовать две пары вихревых цепочек, симметричных относительно верхней границы ячейки]. Внутри вихревого жгута из (1.2) удалялись особенности, соответствующие собственному точечному вихрю с координатами уй, г0, но, по аналогии с вихрем Рэнкина добавлялись компоненты скорости, инду-цируемТые равномерно распределенной завихренностью. На рис. 1 дано качественное изображение у—компонента скорости по ширине ячейки для у =у0.
2. На основании сделанных выше предположений продольный компонент скорости удовлетворяет уравнению
ди , ди . ди 1 { д2 и , д2 и \ /г> ,.
ж + = + ( )
здесь скорость а отнесена к скорости перемещения 1/0 верхней
Г 2Г X 1
стенки у — Н в направлении х, а Ие± = — = — ----число Рей-
нольдса поперечного течения (V — кинематический коэффициент вязкости).
Граничные условия для величины и аналогичны принятым в [1, 2]:
а —0 при ,у = 0;
и = 1 при у = Я;
-^ = 0 при 2=4;-^- (естественно, что для исследования картины
течения достаточно ограничиться рассмотрением лишь одной полуячейки).
Существенно, что входящие в (2.1) компоненты скорости V, ив определяются независимо от продольного течения и считаются известными функциями координат и времени.
В работе [1] показано, что при возрастании параметра Рех в случае стационарной модели вблизи горизонтальных границ прямоугольной ячейки достаточно интенсивно развиваются области
небольших (по у) размеров с большими градиентами . Учитывая, что в конечном счете важно знать с наибольшей точностью решение именно в этих областях, для увеличения точности расчетов было введено растяжение в направлений оси у расчетной области вблизи стенок у = 0, у=Н путем перехода к новой переменной $(0<5-<1):
= 5 — а эШ 2тс 5, (2.3)
где на основании численных экспериментов принято , 1 Кех
“ 2п Яе± + 50 •
Очевидно, что равномерная по 5 расчетная сетка обладает сгущением по у вблизи стенок _у = 0 и у = Н, которое автоматически возрастает с ростом Рех. В переменных я, г уравнение (2.1) принимает вид:
ди . / я" \ ди . ди 1
+ (то — ^ + 1Ю
д2 и , д*и\
05* 1 дг2 )
Я' = -гг (1 — 2тох СОБ 2тс$)
-1.
(2.4)
Уравнения (2.4) и граничные условия (2.2) являются линейными, однако сложность в нахождении решения определяется тем, что зависимость коэффициентов v, w от времени не представима через элементарные функции. Поэтому эти уравнения совместно с (1.1) решались численно на ЭВМ БЭСМ-6.
В качестве разностной схемы использовалась неявная схема переменных направлений Письмена—Рекфорда [4]. Существо метода вкратце сводится к следующему. Плоскость переменных (s, z) покрывается прямыми st = const, Zj = const через равные промежутки As и az, и в точках пересечения прямых производные от искомой функции а заменяются конечными разностями на шаблоне „крест“. Переход по времени от t к t-{■ At совершается в два этапа с использованием промежуточного временного слоя, соответствующего
значению t-\--^-At. На промежуточном слое аппроксимирующая
система алгебраических уравнений решается методом прогонки по s, а на основном — прогонкой по г. Количество узловых точек на каждом временном слое определяется желаемой точностью расчетов и памятью ЭВМ. В большинстве расчетов было принято Ns = 75, Мг = 21. Шаг по времени составлял Д£ = 0,1 -^-0,2 (в единицах t* = X2[4T) при полном периоде оборота вихря Т = 25 -4- 60.
Существенным моментом является задание начального условия для нестационарного уравнения (2.4). Дело в том, что для описания модельного течения в пристенной области ТПС в работе используется периодическое по времени решение. Однако при заданном в начальный момент времени положении вихревой области (и тем самым начальном поперечном течении) соответствующий этому моменту времени профиль продольной скорости, необходимый для обеспечения периодичности решения, остается неопределенным. Поэтому естественным представляется использование метода установления при нахождении периодического решения в продольном направлении.
Пусть при / = 0 заданы величина Г и положение вихревой области, а также некоторое начальное приближение и0 (s, z, 0), соответствующее определенному Re_i.. Осуществляя интегрирование системы (1.1) совместно с (2.4) в пределах достаточно большого количества оборотов вихря в прямоугольной ячейке и учитывая периодичность коэффициентов v, w, можно получить предельное периодическое решение для u(s, z, t) при достаточно хорошем его начальном приближении. Расчеты показали, что этот метод решения вполне осуществим. .
3. Исследуемое периодическое по г и t течение Куэтта зависит от нескольких свободных параметров. Определяющим для продольной составляющей скорости и является число Rej. циркуляционного поперечного течения, которое само не зависит от Rej., поскольку оно непосредственно входит в уравнение для продольной скорости. Вторым параметром задачи является удлинение ячейки Н — 2Ь/1. Наконец, свободными параметрами являются период Т наложенного циркуляционного течения и радиус R вихревой области.
В задачу настоящей работы не входит детальное исследование влияния всех параметров на характеристики течения, так как это потребовало бы чрезвычайно большого машинного времени. Поэтому большая часть расчетов выполнена для значения удлинения
ячейки Н= 6. Для целей работы этого значения Н вполне достаточно, поскольку расчеты показывают, что в этом случае на движение вихревой области в диапазоне (т. е. порядка 70%
по высоте ячейки) горизонтальные границы не оказывают влияния, и на этом участке вихрь движется с постоянной скоростью параллельно вертикальным стенкам.
Использованное количество узловых точек в поле течения ЛГу = 75, Nz = 2\ обеспечивает полную загрузку всей дополнительной памяти БЭСМ-6 на барабанах и приемлемое время расчета ^—15 мин, необходимое для расчета всех характеристик течения за один полный оборот вихря в ячейке.
Величина R — радиуса вихревой области — выбрана /? = 0,15, • максимальное значение скорости поперечного течения оказывается ~1, при этом внутри вихревой области содержится ~ 12 — 20 узловых точек, что вполне достаточно для правильного описания поля скорости в окрестности вихря.
Период, течения Т определяется заданием начальной z0—ординаты центра вихря, отсчитываемой от вертикальной стенки, при у = /У/2 и оказывается равным Т= 27,4; 49,6 при значениях
z0 = —0,35; —0,25 соответственно.
Для установления периодического решения уравнения (2.1) требуется 8—12 оборотов вихря в ячейке. Расчеты проведены для значений свободного параметра Rex = 50; 100; 150; 230. При этом решение для Rej.=50 является начальным приближением к решению для Rex = 100 и т. д. Такая последовательность в нахождении решения оказывается необходимой и связана с достаточно сильной зависимостью процесса „установления11 периодического решения от начального условия.■
В соответствии с детерминистическим подходом к исследованию течения в вязком подслое ТПС, выдвинутом в работах [1, 2], примем, что рассматриваемое существенно пространственное нестационарное течение на протяжении периода Т моделирует существующее в реальном ТПС явление опускания жидкости к стенке с последующим ее подъемом от стенки, возникающим стохастически, но развивающимся на определенном интервале времени вполне детерминистически. В соответствии с этим сопоставим мгновенный профиль скорости при z = const с мгновенным профилем скорости в пристенной области ТПС. Поскольку рассматривается в среднем плоский турбулентный слой (не зависящий от координаты z) и поэтому возникновение выбросов и вторжений жидкости равновероятно для любых точек z, механизм осреднения величин модельного течения (необходимый для перехода к турбулентным характеристикам) помимо осреднения по времени должен включать еще осреднение по z в пределах ячейки с общей протяженностью Примем, что вычисление осредненной величины от любой функции / производится по правилу
т
/(У) =-И </>*■’ </> = -fjVdz> (З-1)
о ..
а отклонение мгновенного значения / от / назовем пульсацией. Легко видеть, что применение операции осреднения (3.1) к v и w дает v = w = 0, что соответствует реальному плоскому турбулентному пограничному слою.
Пусть т0 — осредненное значение напряжения трения на стенке. Тогда и* = 1А0/р и /^ = V/—-динамическая скорость и вязкая длина соответственно — являются характерными масштабами скорости и. длины в пристенной области. Введем новые переменные, свойственные пристенной области ТПС:
(У+. г+) = (у, г)//*; (и+, ю+, да+)=(и, «0/и*. (3.2>
где знаком обозначены размерные величины.
Можно (по аналогии с [1]) показать, что осреднение (3.1), примененное к уравнению (2.4), с использованием уравнения неразрывности
£ + -£-°
и граничных условий непротекания на вертикальных границах для V и т приводит к соотношению
йи+
*Ул
— и+ v+ — 1. (3.3)
Тем самым модельное течение обладает свойством, присущим реальному ТПС в пристенной области: сумма рейнольдсовых и вязких напряжений не зависит от расстояния до стенки.
Однако есть и существенное различие между модельным и реальным течениями. Если в модельном течении значения продольной и и поперечной V составляющих скорости независимы друг от друга (число Иех является свободным параметром), то в реальном ТПС, как показывает опыт [5, 6], имеет место соотношение:
[(^)1/2/«*]т.х~1, (3.4)
где среднеквадратичное значение поперечной пульсации 1)+ берется вдали от вязкого подслоя. Мы принимаем, что аналогичное соотношение имеет место и для модельного течения. Так же, как и
В [I], вводим величину Х+ = 1/1%, которая в реальном ТПС является
фундаментальным параметром, определяющим поперечный (по г) размер вихреобразований.
Принятые условия позволяют для данного параметра ввести связь между продольным и поперечным течениями. Действительно,
пусть УГ&тах=о. Тогда из определения Иех и (3.4) следует:
А_|_ = 2а Нех. (3.5)
Тем самым для каждого Х+ однозначно определено число Рейнольдса поперечного течения, входящее в основное уравнение (2.4). Пусть известно решение этого уравнения. Тогда формулы перехода от характеристик модельного течения к соответствующим в ТПС имеют вид (см. [1]):
А, — ^, —
(у+, г+) = (у, г); и+ = ^и:
(3.6)
Здесь А = при у = 0, а величина и' —и — и представляет со-
иу
бой пульсацию продольной скорости. Тем самым формулы (3.6)
дают возможность сопоставить решение модельного течения характерным осредненным и пульсационным характеристикам турбулентного пограничного слоя.
На рис. 2 представлена расчетная зависимость от времени ос-редненного по 2 напряжения трения (т) при у = 0 для А+ = 100, г0 — — 0,35. Видно, что с приближением вихревого жгута к стенке имеет место ярко выраженное импульсивное возрастание (-г) (вертикальная штриховая линия соответствует моменту времени, когда вихрь проходит положение 2=0 и находится на наименьшем
Рис. 2
удалении от стенки). Примечательно, что резкое увеличение напряжения трения происходит на режиме Опускания (вторжения) в пристенную область. На том же рисунке приведен профиль осредненной по г продольной скорости («>, который можно сопоставить с мгновенным профилем скорости в некоторой точке реального ТПС, в сравнении с профилем средней скорости и+ (_у+).
Рис. 3 и 4 дают представление о соответствии среднеквадратичных пульсационных составляющих скорости опытным данным, а также расчетным данным [1], [10] для Х+=100 (Рех=230; Т=49,6; /? = 0,2), что соответствует случаю развитого ТПС на гладкой стенке. Видно, что расчетные зависимости (сплошные линии) вполне
5— «Ученые записки ЦАГИ» № 5
65
Рис. 3
Рис. 4
приемлемо воспроизводят экспериментальные (штриховая дорожка по результатам работ [5—9, 11]), находятся в некотором качественном рассогласовании с расчетными данными [10] и приближают данные стационарной модели [1] для продольных пульсаций к экспериментальным. Отметим, что аномальное поведение при 25 < <_у+<45 расчетных пульсационных характеристик работы [10] в значительной мере является следствием принятого условия и'=0 при у+=45, т. е.'что на верхней границе расчетной ячейки отсутствует пульсационная составляющая продольной скорости (в то время как экспериментальное значение среднеквадратичной пульсации в этой области составляет ~75% от максимального).
Что касается расчетного профиля средней скорости (рис. 5, сплошная линия), то хотя результаты данной работы и прибли-
]_I
100
Рис. 5
жают результаты стационарной модели [1] к опытным данным, все же за пределами вязкого подслоя имеет место занижение расчетных данных в сравнении с экспериментальными. Проявление этого обстоятельства является следствием достаточно больших рейнольд-совых напряжений в модельном течении.
4. Построение математических моделей для описания течения в пристенной области развитого ТПС с помощью уравнений Навье— Стокса вызвано появлением во второй половине 60-х годов принципиально новых эксперимедтальных данных о турбулентных движениях жидкости. Обнаружение достаточно организованных вихревых структур в пристенной области с характерным поперечным размером А+ (в направлении оси г), приобретающего роль одного из определяющих и фундаментальных параметров, оправдывает использование уравнений Навье—Стокса для модельного описания этих структур, возникающих стохастически по времени и пространству, но развивающихся в течение некоторой части времени существования вполне детерминистически.
Переупрощение картины течения, вызванное необходимостью получения выходных расчетных данных, связано с введением (как в стационарной модели [1, 2], так и в настоящей работе) искусственных граничных условий (наличие переменной скорости стенки в направлении оси г), а также подвода энергии на границе вихревой области, компенсирующей вязкую диссипацию в наложенном течении. (В (1) подвод энергии осуществляется вдоль границ полуячеек. Аналогичный подвод энергии на верхней границе полуячейки у+ = АЪ имеет место и в работе [10], вышедшей из печати в момент, когда результаты настоящей работы были в основном уже получены).
Представляется, что сложность нестационарного пространственного течения в рассматриваемой области столь велика, что в настоящее время теоретическое осмысливание может идти только путем исследования упрощенных моделей течения.
В заключение авторы выражают благодарность Г. И. Таганову за постоянное внимание и обсуждение работы.
1. Садовский В. С., Синицына Н. П., Таганов Г. И. Численное исследование математической модели пристенного вязкого течения в турбулентном пограничном слое. Пристенное турбулентное течение. Труды XVI11 Сибирского теплофизического семинара, ч. I, 1975, г. Новосибирск.
2. Т а г а н о в Г. И. Что такое турбулентный пограничный слой? Часть I. Гидродинамические механизмы течения. Теория профиля ос-редненной скорости. Численные методы механики сплошной среды. Т. 8, № 8, 1977, г. Новосибирск.
3. Билля Г. Теория вихрей. Л.—М., ОНТИ, 1936.
4. Самарский А. А. Теория разностных схем. М., „Наука“,
1977.
5. Kline S. J. The structure of turbulent boundary layer. „J. Fluid Mech"., vol. 30, p. 4, 1967.
6. Grass A. T. Structural features of turbulent flow over smooth and rough boundaries. „J. Fluid Mech., vol. 50, p. 2, 1971.
7. Reischman М. М., Tiederman W. G. Laser-doppler anemometer measurement in drag — reducing channel flows. „J. Fluid Mech“, vol. 70, p. 2, 1975.
8. Veda H., Hinze J. O. Fine-structure turbulence in the wall region of turbulent bondary layer .„J. Fluid Mech“., vol. 67, p. 1, 1975.
9. Perry A. E., Abell C. J. Scaling law for pipe — flow turbulence. ,J. Fluid Mech.“, vol. 67, p. 2, 1975.
10. H a t zi a v r a m i d i s D. Т., Hanratty T. J. The representation of the viscous wall region by a regular eddy pattern. „J. Fluid Mech.“, vol. 95, p. 4, 1979.
11. Reichardt H. Das verhalten der viskosen wandstrolmung in turbulenten Grenzschichten. Deutsche Luft-und Raumfahrt, Mitteilung 71 — 13, 1971.
Рукопись поступила 161111 1981
