CC BY
66
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сварка и свариваемые материалы: В 3-х т. Т 1. Свариваемость материалов. Справ. изд. / Под ред. Э.Л. Макарова. - М.: Металлургия, 1991. - 528 с.
2. Лахтин Ю.М., Леонтьева В.П. Материаловедение. - М.: Машиностроение, 1990. - 528 с.
3. Сараев Ю.Н., Чинахов Д.А. Сварка в щелевую разделку стали 30ХГСА без подогрева // Сварочное производство. - 2002. -№ 7. - С. 18-20.
4. Сараев Ю.Н., Чинахов Д.А. Регрессионные модели механических свойств многослойных сварных соединений стали 30ХГСА // Сварочное производство. - 2002. - № 5. - С. 3-5.
5. Федько В.Т., Брунов О.Г. Управление процессом сварки при импульсной подаче электродной проволоки // Технология металлов. - 2000. - № 8. - С. 27-30.
УДК 536.24:692.2:691.11:519.711.3
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО ДВУМЕРНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА В НЕОДНОРОДНЫХ ДЕРЕВЯННЫХ НАРУЖНЫХ ОГРАЖДЕНИЯХ
А.Я. Кузин, А.Н. Хуторной, Н.А. Цветков, С.В. Хон, Т.А. Мирошниченко
Томский государственный архитектурно-строительный университет E-mail: [email protected]
С помощью математического моделирования исследовано тепловое состояние фрагментов неоднородных наружных деревянных ограждений в форме утепленных бруса и бревна. Проведен сравнительный анализ их теплозащитной эффективности. Разработанная численная технология позволяет проводить тепловую экспресс-диагностику наружных утепленных деревянных стен с различными теплофизическими и геометрическими характеристиками древесины и утеплителя в реальных условиях эксплуатации.
Широкое использование древесины в домостроении в качестве наружных ограждений требует детального изучения теплозащитных свойств ее фрагментов в виде бруса и бревна. Особенно актуальна эта проблема для холодных климатических зон ввиду повышенных требований к теплотехническим характеристикам ограждений [1]. Одним из путей улучшения теплотехнических характеристик деревянных фрагментов служит заполнение их осевых отверстий эффективным утеплителем [2]. Знание механизма теплопереноса в таких неоднородных системах позволит целенаправленно влиять на улучшение их теплозащитных свойств. Оптимальным способом верификации новых способов утепления на конкретных конструкциях при минимальных материально-технических и временных затратах является математическое моделирование. Для повышения адекватности математических моделей ее параметры должны определяться из решения обратных задач с привлечением данных лабораторных либо натурных экспериментов.
Целью настоящей работы является математическое моделирование процессов нестационарного те-плопереноса в неоднородных фрагментах деревянных наружных ограждений в виде утепленных бруса и бревна, параметрическое исследование теплозащитных свойств указанных фрагментов в зависимости от теплофизических и геометрических характеристик утеплителя и их сравнительный анализ.
Физико-математическая постановка задач. Исследуется теплоперенос через плоские неоднородные системы, состоящие из деревянных утеплен-
ных бруса и бревна, осевые отверстия которых заполнены утеплителем (рис. 1). Форма бруса и утеплителя - прямые параллелепипеды, поперечные сечения которых квадраты со сторонами a1 и a2. Бревно и утеплитель представляют собой прямые соосные цилиндры с радиусами R1 и R2. В нижней части бревна имеется технологический вырез, обусловленный условиями сборки бревенчатой стены. Вследствие этого выреза радиальная координата границы rY является переменной величиной, зависящей от угла ф. Угол ф, длина гмф) радиус-вектора ОМ произвольной точки М на линии AD с углом фе[-ф,ф] и площадь поперечного сечения бревна S определяются из геометрических соображений на основании известных R1, ROOi и ф по формулам:
= arcsin ^1R -(R0O]/2)2/R,,
гм (ф)=4 xM + yM >S=12(п - 2<ф +sin 2ф x
где ROOi - расстояние между центрами соседних бревен, м; ф - половинный угол адиабатной границы, рад; хМ, уМ - декартовые координаты точки М, определяемые по формуле:
хм = -Ум tgy,____________
-R00 +JROo,- (1 + tgV)(R2o, - Ri2)
Ум =-----1----------VW~2-------------•
1+tg ф
Тепловая нагрузка на границах бруса и бревна является переменной из-за наличия адиабатных участков на стыках соседних брусьев и бревен и открытых участков, граничащих с внутренним и наружным воздухом.
При записи математических постановок задач нестационарного теплопереноса в утепленных брусе и бревне используется декартовая и цилиндрическая системы координат.
Теплоперенос в поперечном сечении неоднородного бруса в областях 1 и 2 описывается двумя двумерными нелинейными нестационарными уравнениями теплопроводности для однородного бруса и утеплителя
Я • ■= - (и
нейными нестационарными уравнениями теплопроводности для однородного бревна и утеплителя
1 <1(я ^ 1 )+7 ря др >• ■=12>(11)
с начальными и граничными условиями
*, Т=0 = 4 (г,Ф),/ = 1,2; (12)
с начальными и граничными условиями *, | т=о = 4(х УX *'=1,2;
„ 5/, |
—Ях,1 дх I X=0 = а0 (^ ,,т — *0);
Я %\
х 1 дх I
=а (4*- 4);
^*71 = 0-
ду1у=° ;
^*71 = 0*
ду1у=7* ;
_ Я ди = о
х=Х1 ‘2 |х=Х1> Л: Д дх Iх =х 1 ^ -2 дх Х =Х 1
7 * У * Г2;
= 4
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
г,1 дг
= а(4,е-4X р *р*п-р; (13)
=а(4, -4Х ж+р* *р* 2п-р ;(14)
дЪ1
дг
= 0,
(2п-р! <р<р,)и(ж-р! <р<я+р,); (15)
*■ = ^ , , = 1,2; ■ 1р=0 ■ 1ф=2п
д* д*2
= * Я , — = Я 2 —-
1 Г=^2 2 г=.Я.2 ’ гД дг г=К? г>2 дг
(16)
(17)
где г, р - независимые переменные цилиндрической системы координат, г, м, р, рад; гг - радиальная координата внешней границы бревна, зависящая от р, м.
а
*1 х= X, *2 х= X,
*1 у=11 *2 у=71
*1 у=72 *2 у=72
5/1 дх
71 * У * 72;
у1 ду \у=71 X1 * х * X 2;
Я д4| х2 сх Iх1 ^ ’ (8) © У Ук Адиабатные / условия ©
«0
. д4| у-2 ду |у=71 ’ Конвективный теплообмен у, 2 \>Л 1 Конвективный теплообмен
(9) 0
д*1 ду
Х1 * х * X 2
д*2
Я _1 = Я 2
Лу ,1 Я,,|у=72 Лу ,2 ду |у =7 2
Адиабатные/ ^ ^к
условия
(10)
где 4, - температура в начальный момент времени, °С; ^е, - температура наружного и внутреннего
воздуха, °С; /0, ^ - температура на внутренней и наружной поверхностях стены, °С; а0, ак - коэффициент теплоотдачи на внутренней и наружной поверхностях стены, Вт/(м2.К); т- время, с; х, у - координаты, м; с - коэффициент удельной теплоемкости, Дж/(кг.К); Я - коэффициент теплопроводности, Вт/(м.К); р - плотность, кг/м3; X (/=1,2), У, (/=1,2) - координаты внутренних границ расчетных подобластей по х и у, м; Хк, Ук - координата верхней границы расчетной области по х и у, м.
На границах области х=0 и х=Хк задаются условия конвективного теплообмена (3), (4); у=0 и у= Ук
- адиабатные условия (5, 6); на внутренних границах системы - условия четвертого рода (7-10).
Теплоперенос в радиальном сечении утепленного бревна описывается двумя двумерными нели-
Адиабатные
©
tg,ins, а0
Конвективный
теплообмен
Рис. 1. Схемы неоднородных: а) бруса и б) бревна
На внешней CD и внутренней АВ границах радиального сечения выполняются условия конвективного теплообмена (13, 14), на линиях AD и ВС -условия адиабатичности (15). На внутренней границе однородного бревна с утеплителем задается
X
граничное условие четвертого рода (17). На радиусе р=0 - условие периодичности (16).
В математических моделях (1-10), (11-17) нижние индексы 1, 2 характеризуют древесину и утеплитель.
Метод решения задач и результаты численных расчетов. Для численного решения задач использовался метод расщепления [3]. Полученные в результате расщепления одномерные уравнения теплопроводности в однослойных и многослойных областях по соответствующим направлениям рассчитывались итерационно-интерполяционным методом [4-6] с итерациями по коэффициентам с заданной точностью. На внутренних границах областей использовались разностные уравнения, полученные на основе итерационно-интерполяционного метода и учитывающие различие в теплофизических характеристиках древесины и утеплителя.
Определенную трудность при численной реализации второй задачи вызвало нахождение температуры в центре поперечного сечения бревна. При задании в центре поперечного сечения условия симметрии неопределенность типа “0/0”, возникающая в точке г=0 при расчете температуры по г, легко раскрывается по правилу Лопиталя [7]. В рамках рассматриваемой постановки задачи ввиду переменности тепловой нагрузки по обводу условие симметрии в точке г=0 не выполняется. Замена этого условия граничным условием четвертого рода при расчете температуры насквозь через центр по всему диаметру также не достаточно корректна ввиду зависимостей получаемых в этой точке температур от радиального направления. Поэтому для определения температуры в центре был разработан итерационный алгоритм, основанный на решении на каждом временном слое уравнения теплового баланса для элементарного цилиндра с осью г=0 и радиусом поперечного сечения, значительно меньшим радиуса бревна. Поступающее (уходящее) через боковую поверхность элементарного цилиндра тепло идет на его нагревание (охлаждение). Полученная таким образом температура в центре использовалась в качестве граничного условия первого рода при расчете температуры в направлении г для разных р.
Численное решение задач по вышеизложенному алгоритму осуществлялось с помощью программ, разработанных по модульному принципу на языке программирования ФОРТРАН. Тестирование отдельных программных модулей проводилось на основании известных из литературы либо полученных с помощью метода пробных функций аналитических решений [6, 8]. Тестирование задачи осуществлялось путем сравнения численного решения двумерной задачи теплообмена в однородном брусе с известным стационарным аналитическим решением из [9]. В результате численных расчетов было установлено, что независимо от задания начального условия, которое варьировалось от минус 40 °С до плюс 20 °С, численное решение дву-
мерной задачи стремится к единственному стационарному решению [9]. Число узлов разбиения разностной сетки по х и y бралось равным 101, по r и р
- 51 и 21; шаг по времени равнялся 60 с. Для облегчения анализа результатов расчетов предполагалось, что теплофизические характеристики древесины и утеплителя изотропны.
Исходные данные для расчетов: ^=0,2 м, a2=0,1 м, Д=0,1 м, R2=0,05 м, ROO =0,18 м, А1=0,14 Вт/(м.К), А=500 кг/м3, с1=2300 Дж/(кг.К), Я2=0,04 Вт/(м.К), р2=80 кг/м3, с2=1470 Дж/(кг.К), t&n=20 0С, t&e=-40 0С, 4=20 0С. Материал древесины - сосна, утеплителя -пенополиуретан.
Для оценки теплозащитной эффективности однородных и неоднородных деревянных сортиментов и проверки корректности расчетов определялись тепловые потоки через внутренние Q0 и внешние Qw открытые поверхности бруса и бревна длиной 1 погонный метр по формулам:
Y Y
Qo = JФ,y)dy> Qw = Jq(Xk>y)dy (для бруса);
0 0
n+ps
Qo = J q(R„p)R,dP,
2n-ps
n-ps
Qw = J q(R,p)Rdp (для бревна).
Ps
Рис. 2. Распределение перепада температур для утепленных (1-3) и однородных (4) брусьев при тГ1П=168 ч (1 - пенополистирол, 2, 3 - пенополиуретан)
Анализ рис. 2 показывает, что максимальные возмущения температурного поля в утепленном брусе наблюдаются в зонах контакта утеплителя с древесиной. В центре бруса при х=0,1 м располагается сечение с максимальным значением трансмиссионной теплоты, до которого теплота от оси бруса отводится на его периферию, а после которого, наоборот, подводится к оси бруса с периферии. Абсолютные значения перепадов температур ДГ(х)=Г(х, Ук)-^х, Ук/2) на периферии и оси бруса с ростом теплопроводности утеплителя уменьшаются. Теплофизические характеристики пенополи-
стирола: Я2=0,06 Вт/(м-К), р2=150 кг/м3,
с2=1340 Дж/(кг-К); Я2=0,04 Вт/(м-К). Для однородного бруса ввиду одномерности температурного поля перепад температуры равен нулю (кривая 4).
Поведение температур по радиусам характерных направлений (рис. 3) в поперечном сечении утепленного бревна показывает, что максимальное возмущение температурного поля, как и в утепленном брусе, происходит на границе утеплителя с древесиной. Наибольший абсолютный перепад температур в однородном и утепленном бревнах достигается на границе древесины с утеплителем при (р=п/2 и ф=3/2пи составляет 5,3 и 6,0 °С соответственно. Различие в температурах на симметричных относительно горизонтальной оси радиусах незначительно.
Рис 3. Распределение температуры по радиусам в поперечных сечениях однородного (сплошные) и утепленного (штриховые кривые) бревен при ifin=168 ч для разных р: 1) 0; 2) р; 3) п/2; 4) 3/2п; 5) (2п -р) ps=0,451 рад
Переменность тепловой нагрузки на поверхности бревна приводит к существенному изменению температуры по обводу неоднородного бревна и, как следствие этого, к значительному перетеканию теплоты в окружном направлении (рис. 4).
0 1 2 3 4 5 6 Ф,рад
Рис. 4. Распределение плотности теплового потока по обводу утепленного бревна при тп=168 ч для разных г: 1) 1/5г, 2) 2/5г,,, 3) 3/5г, 4) 4/5г, 5) г, м
Зависимость плотности теплового потока по обводу на поверхности утепленного бревна дДт^ф) носит ярко выраженный немонотонный характер (кривая 5) и достигает максимального значения,
равного примерно 8 Вт/м2. По мере удаления от теплообменной поверхности абсолютные значения минимумов и максимумов на температурных кривых, соответствующие углам п/2 и 3/2 п, уменьшаются, а температурные кривые ¡(г,ф) спрямляются, что приводит к уменьшению перетекания теплоты в окружном направлении (кривые 1-4). При расчете плотности теплового потока д^ф) использовались периодические кубические сплайны.
Представляет интерес сравнение теплозащитной эффективности утепленных бруса и бревна (рис. 5).
{э., вт
Рис. 5. Тепловые потоки через утепленные бревно (сплошные кривые 1-3) и брус (штриховая кривая 2) для различных значений отношения радиусов утеплителя и бревна (1 - пенополистирол, 2,3 - пенополиуретан)
Штриховая кривая 2 соответствует утепленному брусу, площади поперечных сечений древесины и утеплителя которого равновелики соответствующим площадям утепленного бревна (сплошная кривая 2). Анализ рисунка показывает, что теплозащитная эффективность утепленного бруса примерно на 15...20 % выше, чем для утепленного бревна. а Вт
0 20 40 60 80 100 120 140 160 т,ч
Рис. 6. Тепловые потери через 1) внутреннюю и 2) наружную поверхности утепленных бревна (сплошные) и бруса (штриховые кривые)
Рис. 6 показывает характер зависимости тепловых потерь через внутреннюю и наружную поверхности утепленных бруса и бревна от времени для базовых вариантов расчетов. При понижении температуры наружного воздуха с 20 до -40 °С тепловые
потери через наружные поверхности бруса и бревна (кривые 2) вначале резко растут, достигая при т»1 ч максимальных значений, а затем уменьшаются, стремясь к своим стационарным значениям. Тепловые потери через внутренние поверхности бруса и бревна (кривые 1) с самого начала постоянно медленно растут, также асимптотически стремясь к своим стационарным значениям только снизу. После выхода процесса теплопереноса на стационарный режим тепловые потери через внутреннюю и наружную поверхности каждого из фрагментов уравниваются, что служит одним из подтверждений достоверности расчетов. При этом тепловые потери через утепленный брус ниже, чем через утепленное бревно: 6,3 Вт и 7,8 Вт соответственно.
Таким образом, на основании математического моделирования процессов нестационарного тепло-переноса в неоднородных брусе и бревне выявлены
закономерности распределения температур и плотностей тепловых потоков в их поперечных сечениях; проведен сравнительный анализ теплозащитной эффективности. Показано, что снижение теплопроводности утеплителя и использование деревянных фрагментов в форме утепленного бруса вместо утепленного бревна приводит к повышению теплозащитной эффективности деревянных наружных ограждений. Разработанная численная технология позволяет проводить тепловую экспресс-диагностику наружных утепленных деревянных стен с различными теплофизическими и геометрическими характеристиками древесины и утеплителя в реальных условиях эксплуатации.
Работа выполнена по программе Федерального агентства по образованию “Развитие научного потенциала высшей школы” (Подпрограмма 2. Прикладные исследования и разработки по приоритетным направлениям науки и техники), код проекта 7756.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. СНиП 11-3-79*. Строительная теплотехника / Госстрой России. - М.: ГУП ЦПП, 2000. - 29 с.
2. Пат. 38793 Россия. МПК E04C 3/292. Деревянный брус / А.Н. Хуторной, С.В. Хон, А.Г. Козырев, А.В. Колесникова, О.И. Недавний, А.Я. Кузин, Н.А. Цветков. Приоритет 22.03.2004. Зарегистрирован 10.07.2004. Бюл. № 19. - 2 с.: 1 ил.
3. Яненко Н.Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. - Новосибирск: Наука, 1967. -195 с.
4. Гришин А.М., Берцун В.Н. Итерационно-интерполяционный метод и теория сплайнов // Доклады АН СССР. - 1974. - Т 214. - № 4. - С. 751-754.
5. Гришин А.М., Зинченко В.И., Ефимов К.Н., Субботин А.Н., Якимов А.С. Итерационно-интерполяционный метод и его приложения. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 2004. - 318 с.
6. Гришин А.М., Кузин А.Я., Миков В.Л., Синицын С.П., Трутников В.Н. Решение некоторых обратных задач механики реагирующих сред. - Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1987. - 247 с.
7. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1973. - 831 с.
8. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.
9. Богословский В.Н. Строительная теплофизика. - М.: Высшая школа, 1970. - 376 с.
УДК 621.923
ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ В ШЕСТИУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКЕ, ОСЛАБЛЕННОЙ ЦЕНТРАЛЬНЫМ КРУГЛЫМ ОТВЕРСТИЕМ С ШЕРОХОВАТОСТЬЮ
Р.К. Калбиев
Азербайджанский архитектурно-строительный университет, г. Баку E-mail: [email protected]
Работа посвящена изучению напряженного состояния шестиугольной пластинки, ограниченной снаружи шестиугольным контуром, а изнутри центрально расположенным отверстием, близким к круговому. На основе методов теории функции комплексного переменного и конформного отображения рассмотрено напряженное состояние для неодносвязных областей. Искомые функции ищутся в виде степенных рядов, коэффициенты которых определяются решением совокупности некоторых бесконечных систем линейных алгебраических уравнений.
Работоспособность деталей машин и элементов конструкций в виде пластин зависит от наличия в них концентратов напряжений типа полостей, щелей, шероховатостей и т.д. Поэтому изучение распределения напряжений и деформаций около таких дефектов представляет теоретический и практический интерес.
Как известно, в отличие от идеальной, изображаемой на чертежах, реальная поверхность тел (деталей) никогда не бывает абсолютно гладкой, а всегда имеет микро- или макроскопические неровности, образующие шероховатость. Качество обработки поверхности деталей машиностроении существенно влияет на их прочность. Так, например,
