Математическое моделирование напряженного состояния шахтной взрывоустойчивой перемычки Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

© by Wydawnictwo CNBOP-PIB Please cite as: BiTP Vol. 31 Issue 3, 2013, pp. 33-39

D01:10.12845/bitp.31.3.2013.3

канд. техн. наук В.Г. АГЕЕВ/ V.G. AGEYEV1

канд. техн. наук И.Ф. МАРИЙЧУК /I. Ph. MARIYCHUK2

Принята/Accepted: 19.07.2013; Рецензирована/Reviewed: 09.09.2013; Опубликована/Published: 30.09.2013

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ШАХТНОЙ ВЗРЫВОУСТОЙЧИВОЙ

ПЕРЕМЫЧКИ3

The Mathematical Modelling of the Stress State of the Explosion-stable Mine Stopping

Содержание

Цель: Определение основной технической характеристики шахтной взрывоустойчивой перемычки с проемными трубами - толщины в зависимости от механических характеристик материала, площади сечения и глубины расположения выработки и внешних нагрузок.

Методы: Теоретический метод исследований напряженно-деформированного состояния шахтной взрывоустойчивой перемычки, возводимой горноспасателями из гипса, с использованием одного из основных численных методов решения краевых задач теории упругости - вариационного.

Результаты: Разработана математическая модель напряженно-деформированного состояния шахтной взрывоустойчивой перемычки с проемными трубами, представленной в виде толстой пластины с радиусом кривизны, меняющимся по параболической зависимости, под действием нормальной и сжимающей нагрузок, а три ее края жестко закреплены, четвертый - свободный; получены распределения напряжений в перемычке по относительным координатам в зависимости от ее толщины, механических характеристик гипса, действующих нагрузок, площади сечения и глубины расположения выработки; прочность перемычки с одной проемной трубой радиусом 0,8 м обеспечена в выработке с площадью сечения 4...30 м2, ас двумя такими трубами - с площадью 8 м2; значения толщин перемычек, полученные при использовании разработанной математической модели, в среднем на 14% меньшие, чем приведенные в нормативных документах.

Выводы: Разработанная математическая модель напряженно-деформированного состояния шахтной взрывоустойчивой перемычки позволила научно обосновать ее основную техническую характеристику - толщину в зависимости от механических характеристик материала, условий нагружения, площади сечения и глубины расположения выработки, что обеспечит безопасную работу горноспасателей и снижение затрат при возведении перемычек в результате ликвидации аварий при взрывах в угольных шахтах.

Summary

Objective: Determination of the principal technical characteristic of the explosion-stable mine stopping with embrasure pipes, i.e. thickness, depending on mechanical characteristics of the material, cross-sectional area and disposition depth ofamine working and external loads.

Methods: The theoretical method of investigation of the stress state of the explosion-stable mine stopping being erected by the mine rescuers from gypsum with the use of one of the basic numerical methods of the solution of the boundary problems ofthe elasticity theory, i.e. the variation method, is applied.

Results: The mathematical model ofthe deflected mode ofthe explosion-stable mine stopping with embrasure pipes represented in the form ofathick plate with a radius ofcurvature changing according to the parabolic dependence under

1 Научно-исследовательский институт горноспасательного дела и пожарной безопасности „Респиратор"; Адрес: Украина, Донецк, ул. Артема, 157; электронная почта: [email protected] / The "Respirator" Scientific Research Institute of Mine-Rescue Work and Fire Safety; address: Ukraine, Donetsk, Artem, 157; e-mail address: [email protected];

2 Донецкий государственный технический университет; Адрес: Украина, 83001, Донецк, Артема, 58; электронная почта: [email protected] / Donetsk National Technical University; address: Ukraine, 83001, Donetsk, Artema, 58; e-mail address: [email protected];

3 Авторы внесли одинаковый вклад в статью / The authors contributed equally to this work;

D01:10.12845/bitp.31.3.2013.3

the influence of the normal and pressure load, and its three edges are fixed and the fourth one is free, is worked out; the distributions of the tensions in the stopping according to the relative coordinates depending on its thickness, mechanical characteristics of gypsum, acting loads, cross-section area and disposition depth of the mine working are received; the strength of the stopping with one embrasure pipe of 0.8 m radius is ensured in the mine working with the cross-section area from 4.. .30 m2 and with such two tubes - in the mine working with the cross-section area of 8 m2; the values of the stopping thicknesses received by the use of the mathematical model worked out are by 14 per cent lower on average than the values adduced in normative documents.

Conclusions: The mathematical model of the deflected mode of the explosion-stable mine stopping worked out allowed the scientific substantiation of its principal technical characteristic, i.e. thickness, depending on mechanical characteristics of the material, loading conditions, cross-section area and disposition depth of the mine working, what will guarantee the safe operation of the mine rescuers and cost reduction by erection of the stoppings as a result of accident elimination by the explosions in the coal mines.

Ключевые слова: горная выработка, взрыв, перемычка, толщина, проемные трубы, гипс, механические характеристики, вариационный метод, напряжения, математическая модель;

Key words: mine working, explosion, stopping, thickness, embrasure pipes, gypsum, mechanical characteristics, variation

method, tensions, mathematical model;

Вид статьи: оригинальная научная работа;

Type of article: original scientific article;

1. Введение

За последние 10 лет в Украине горноспасатели возвели в среднем в год 26 перемычек, наиболее сложными из которых являются взрыво-устойчивые перемычки с проемными трубами, предназначенные для вентиляции пожарного участка горной выработки. В практике при сооружении или закрывания изоляционных перемычек были случаи разрушительных взрывов метана и других горных газов, в результате чего пострадали горноспасатели.

В нормативных документах [1,2] приведены значения толщины взрывоустойчивой перемычки (далее - перемычки) в зависимости от толщины сечения горной выработки и предельных значений напряжений на сжатие строительного и высокопрочного гипса научно не обоснованы, так как получены на основании данных экспериментальных исследований для перемычки круглой формы и без проемных труб.

В работе [3] приведена математическая модель напряженно-деформированного состояния монолитной перемычки, которая не учитывает влияние проемных труб, а также не приведены результаты исследований.

2. Методы

Рассмотрим наиболее обобщенную расчетную схему перемычки с проемными трубами в виде толстой пластины (плиты) с радиусом кривизны, меняющимся по параболической зависимости, с защемленными краями по основному контуру и свободным краем в верхней части под действием нормальной нагрузки qz от воздушной ударной волны и сжимающей - qx от разрушенных горных пород, а также, в частности, с защемленными краями при q = 0. Начало ко-

ординат расположим в нижнем левом углу перемычки (рис. 1).

Рис. 1. Расчетная схема взрывоустойчивой перемычки: 1 - наливная гипсовая перемычка; 2 - проемная труба; 3 - контур крепи в свету; 4 - подсыпка почвы выработки; 5 - монолитная порода; 6 - опалубка; 7 - контур вруба в зоне перемычки; 8 - закладка породой; 9 - металлическая

арочная крепь; 10- затяжка Fig. 1. Designmodel ofthe explosion-stable stopping: 1 - bulk gypsum stopping, 2 - embrasure pipe, 3 - clear contour ofthe stopping, 4 - addition ofthe soil ofthe

mine working, 5 - monolithic rock, 6 - sheathing, 7 - cut contour in the zone of the stopping, 8 - filling by rock, 9 - metallic arched support, 10 - lacing

Представим полные компоненты напряжений о и т, МПа, в виде суммы напряжений (без указания нижних индексов)

(1)

где индекс «с» относится к монолитной перемычке, «о» - к перемычке с отверстиями.

Используя прием, состоящий в представлении полного прогиба пластины ^ в виде суммы двух составляющих - за счет изгиба w0 и сдвига w1 [4], а также основные соотношения для де-

— ^c

o

o

D0I:10.12845/bitp.31.3.2013.3

формаций, параметров кривизны, поперечных сил, изгибающих и крутящего момента, вариация полной энергии деформированной пластины примет вид [3]

ю - в и [ , о,. » + ¿ь^*)+(£ - а.}*.] &

(2)

Здесь введены следующие обозначения

где Б , ... Б66 - жесткости на изгиб и кручение пластины, МПа-м3; А , ... А*12 - упругие параметры пластины, МПа-м; Ф - функция усилий; V -потенциал нагрузки д

Неизвестные функции w0 (х,у), w1 (х,у), Ф (х,у) представим в виде

w0 =£]=1aJf1(x)gJ(y) wt - CjUj^Vjiy}

(5)

(6) (7)

Интегралы в уравнениях (10) вычисляют в пределах 0 <х < Му (1 -у); 0 <у < 1, а штрихами обозначены краткие производные.

Выражения для напряжений имеют следующий вид:

«; - £ Е-:, 1Л>"ч, + ;1ГВС' IКЛ-'Ч + + 'ММХ + < ; "у, + --,} - + :

= 'Т -.ь.р'ч: г 1 ">;)■( ! ■■ * ■■ {)

(11)

где Е, V - модуль упругости, МПа и коэффициент Пуассона материала перемычки.

Напряжениями о2 пренебрегаем в виду их малости при е2 — 0.

Нагрузку на перемычку от разрушенных горных пород представим в виде:

(12)

где а., Ь., с. - неопределенные параметры;^ ... g -известные координатные функции.

Вводя безразмерные величины и константы по формулам

получим следующую систему линейных алгебраических уравнений:

(9)

где

где у - удельный вес пород 0.0:?.Ч—}; - напряжение на сжатие пород (с = 30 МПа); Н - глубина расположения выработки, м.

Выражение для потенциала внешней нагрузки имеет вид

(13)

В качестве координатной системы можно выбрать функции, удовлетворяющие геометрическим граничным условиям (относительно функции и ее производной) по методу Ритца или всем условиям - Бубнову-Галеркину [5]. В данном случае примем координатные функции в виде степенных рядов, точно удовлетворяющие условиям на контуре, где в зависимостях (5)-(7)у -1.

/, = с»4 - + = <*»■■ 4т* + и,=(т:- г*)/Щ

(14)

Для определения компонент напряжений с учетом проемных труб используем зависимости [6]

(15)

где 2 = х1 + гух - комплексная переменная, а х1 и у1 - координаты срединной поверхности перемычки.

Искомые комплексные потенциалы 9(2) и %(£) представим в виде

DOI:10.12845/bitp.31.3.2013.3

Тогда в первом приближении (т = 1) эти коэффициенты определяем из системы алгебраических уравнений

к=1

ш т+2

к=1

^ ' (г-/)" (г + /)*

(16)

Коэффициенты А , Вк ависят от граничных условий на контуре правого отверстия:

фй-му(0-х(0=/('.0 (17)

где х —

3-у 1 + \

; I - аффикс точки на контуре;

- известная функция, моделирующая за-гружение на контуре, которую представим в виде

(18)

Здесь величины р и q представляют собой осредненные значения напряжений на контуре

Хсп и7„с,т.е.

Р =

л 2к -« 1%

= -— ? = - — \YZds

2п{ 2п{ "

(19)

где

= г^.СшС«*) } О;

соз(пг)

¿У

ах'

ссч(пу)

¿а

сГ; )

(20)

Представление комплексных потенциалов в виде (16) позволяет удовлетворить граничному условию на контуре левого отверстия автоматически.

Поставленная задача будет решена, если определены коэффициенты Аки Вк, для чего воспользуемся методом малого параметра [7].

После определения постоянных коэффициентов Ак, Вк на основании формул (20), (21) известными являются комплексные потенциалы 9(2), Х(г) (16). Компоненты напряжений, учитывающие влияние проемных труб, определяют из соотношений (15), а полные - из (1).

В качестве максимальной нагрузки qz принимаем ее значение, равное 2,8 МПа [8].

Программа позволяет выносить на печать распределение напряжений в относительных координатах (0, 1) в плоском и двухмерном изображениях.

В качестве условия прочности используем первую и вторую теории [9], согласно которым максимальные нормальные и касательные напряжения не должны превышать соответствующие предельные их значения для материала перемычки, выполненной из различных марок гипсов.

В конечном счете, определим основную техническую характеристику перемычки -толщину в зависимости от диапазона изменения механических характеристик гипса, сечения выработки с учетом ее максимальной глубины расположения в виде аналогичной таблицы, которая приведена в нормативных документах.

3. Результаты

На основании разработанных алгоритма и составленной программы сначала провели исследования напряженного состояния перемычки, которая прошла испытания в штольне Карагайлы (Казахстан) со следующими данными: 5 = 4 м2; qz = 1,36 МПа; к = 0,55 м; К0 = 0,6 м; Е = 2,77 • 103 МПа; V = 0,22; <гпсж = 3,0 МПа; ^ = 1,5 МПа; тп= 0,72 МПа, т.е. для наихудших условий испытаний по нагрузке и толщине перемычки, а также

механическим характеристикам (минимальным) для строительного гипса.

Распределения максимальных нормальных напряжений ох в этой перемычке в относительных координатах при вышеуказанных исходных данных, а также радиусе проемных труб 0,8 м и нагрузке 2,8 МПа приведены на рис. 2 и 3, откуда следует, что максимальными являются напряжения на растяжение и на сжатие, возникающие на наружной и внутренней поверхностях, которые равны и отличаются знаками, не достигая своих предельных значений, так как в данном

случае am

0,20 МПа < с = 1,5 МПа. Проч-

ность перемычки не будет обеспечена при ее толщине 0,35 м. При этом результаты исследований показали, что, несмотря на относительно малые значения касательных напряжений, учет поперечного сдвига (перемещения увеличивает нормальные напряжения примерно на 30%.

Ох,МПа 0 10-'

МП»

4.li

Рис. 2. Распределение нормальных напряжений в перемычке с защемленными краями (штольня Карагайлы, Казахстан) по безразмерным координатам: а - <гх;б- ay; S — 4 м2; qz — 1,36 МПа; h — 0,55 м; R0 — 0,6 м; E — 2,77 ■ 103 МПа; v = 0,22; спсж = 3,0 МПа;

о-пр=1,5МПа;тп=0,72 Fig. 2. Distribution ofthe normal tensions in the stopping with the fixed edges (Karagayly gallery, Kazakhstan) according to non-dimensional coordinates: а-ох;б-а^=4м2; qz = 1,36 МПа; h — 0,55 м; R0 = 0,6 м; E — 2,77 ■ 103 МПа; v = 0,22; спсж — 3,0 МПа; спр=1,5МПа;хп=0,72

DOI:10.12845/bitp.31.3.2013.3

В дальнейшем толщину перемычки и площадь сечения выработки, как и на рис.3, использовали согласно нормативным документам.

Результаты исследований максимальных напряжений ох и оу в перемычке с вышеприведенными параметрами, но с защемленными краями по основному контуру и свободному в верхней части приведены на рис. 4.

Рис. 3. Распределение максимальных напряжений сх в перемычке с защемленными краями: S — 4 м2; qz = 2,8 МПа; h — 1,6 м; R0 = 0,8 м; механические характеристики для строительного гипса Fig. 3. Distribution ofthe maximum tensions сх in the stopping with the fixed edges: S =4 m2; qz — 2,8 МПа; h — 1,6 м; R0 = 0,8 m; with the mechanical characteristics for hemihydrate plaster

Рис. 4. Распределение нормальных напряжений в перемычке с защемленными краями по основному

контуру, свободному краю в верхней ее части с нагрузкой q2 и механическими характеристиками для строительного гипса: а - стх;б- оу; 5 =4 м2; q = 2,8 МПа; к = 1,6 м; две проемные трубы сЯ0 = 0,8м; Н= 1500 м

Fig. 4. Distribution ofthe normal tensions in the stopping with the fixed edges along the main contour and the free edge in its upper part with the load qz and mechanical characteristics for hemihydrate plaster:a - ax; б - ay; S = 4 m2; qz = 2,8 МПа; h = 1,6 m; two embrasure pipes With R0 = 0,8 m; #= 1500m

В данном случае максимальными напряжениями являются сжимающие а, возникающие в защемленных угловых точках верхней части перемычки, причем условие ее прочности не выполняется, так как а™, = 3,0 МПа. Выполняется

' ПСЖ '

это условие для перемычки при сечении выработки 8 м2 и больше, расположенной на максимальной глубине 1500 м (рис. 5), на которой нагрузка qz принимает значение 1,12 МПа.

Для перемычки с предельными значениями на сжатие гипса свыше 3,0 МПа и 9,0 МПа [1], его значений для модулей упругости и коэффициентов Пуассона [2] максимальные напряжения также не превышают своих значений. В частности, для перемычки, выполненной из высокопрочного пластифицированного гипса со следующими механическими характеристиками: модуль упругости E = 6,77 • 103 МПа, коэффициент Пуассона v = 0,28, предельное напряжение на сжатие апсж = 12,2 МПа, - расположенной на глубине выработки 1500 м, результаты приведены на рис. 6.

Рис. 5. Распределение максимальных напряжений ау в перемычке с защемленными краями по основному контуру, свободному краю в верхней ее части с нагрузкой qz: 5=8 м2; qz = 2,8 МПа; h = 2,2 м; две проемные трубы с R0 = 0,8 м; H = 1500 м; механическими характеристиками

для строительного гипса Fig. 5. Distribution ofthe maximum tensions ау in the stopping with the fixed edges along the main contour and the free edge in its upper part with the load qz: S =8 m2; qz = 2,8 MPa; h = 2,2 m; two embrasure pipes with R0 = 0,8 m; H = 1500 m; and mechanical characteristics for hemihydrate plaster

Вышеприведенные результаты исследований показывают, что при возведении перемычек в выработках с площадью сечением от 4...7 м2 можно использовать одну проемную трубу

DOI:10.12845/bitp.31.3.2013.3

диаметром 0,8 м, а с большим ее сечением - две, причем запас прочности составляет от 1,7 до 2,0.

На основании полученных результатов расчета на прочность перемычки определена ее толщина, значения которой сравнивали с аналогичными значениями, приведенными в таблице нормативных документах, откуда следует, что они уменьшены от 7 до 21%, т.е. в среднем на 14%, что позволит снизить затраты на возведение перемычек.

Рис. 6. Распределение максимальных напряжений ау в перемычке с защемленными краями по основному контуру, свободному краю в верхней ее части с нагрузкой qz: S =30 м2; qz = 2,8 МПа; h = 4,5 м; две проемные трубы с R0 = 0,8 м; H = 1500 м; механические характеристики для высокопрочного пластифицированного гипса Fig. 6. Distribution of the maximum tensions ау in the stopping with the fixed edges along the main contour and the free edge in its upper part with the load qz: S =30 m2; qz = 2,8 МПа; h = 4,5 m; two embrasure pipes with R0 = 0,8 m; H= 1500 m; with the mechanical characteristics for the high-strength plasticized gypsum

4. Дискуссия по поводу методов и результатов

Результаты разработанного метода исследований напряженного состояния перемычки с проемной трубой подтверждены данными экспериментов, полученными в штольне Карагай-лы (Казахстан), что говорит о его достоверности. Полученные раннее значения толщины гипсовой перемычки являются завышенными в связи с тем, что они получены для ее круглой формы и без учета проемных труб. Данный метод позволяет определять перемещения, деформации, внутренние силы и моменты, все компоненты напряжений, возникающие в перемычке с различными механическими характеристиками ее материала и формы, условиями нагружения и граничными условиями.

5. Подведение итогов. Выводы

Разработанная математическая модель напряженно-деформированного состояния взрывоустойчивой перемычки позволила научно

обосновано определить основную ее техническую характеристику - толщину в зависимости от механических характеристик, условий нагружения, сечения и глубины расположения выработки, которая позволяет обеспечить безопасную работу горноспасателей и снизить затраты при возведении перемычек в результате ликвидации аварий при взрывах в угольных шахтах.

Список литературы

1. Статут ДВГРС по оргашзаци 1 веденню пр-ничорятувальних робгг: НПАОП 1.1.30-4.0197: Затв. Мшвуглепромом Украши 06.06.97 № 232, Ктв, 1997,454 с.

2. СОУ 10.1-00174102-016:2011. Вентиляцшш, гзолюючг та вибухостшю перемички при лгквгдаци аварш у вугглъних шахтах, Конструк-цЫ, матергали та технологгя зведення, Ктв, 2012, 55 с.

3. Ageev У.в. Математическая моделъ напряженно-деформированного состояния шахт-

D01:10.12845/bitp.31.3.2013.3

ной взрывоустойчивой монолитной перемычки, Науковий BicHHK УкрНДШПБ, 2012, № 2, С. 165-172.

4. Timoshenko S.P., Сопротивление материалов. Т.1,М.: Физматгиз, 1965, 343 с.

5. Mikhlin S.G. Вариационные методы в математической физике, М.: Гостехиздат, 1957,422 с.

6. Sherman D.I. О напряжениях в плоской весомой среде с двумя одинаковыми симметрич-норасположенными круговыми отверстиями, Прикладная математика и механика, 1951, Т. 1, вып. 3., С. 94-99.

7. Kosmodamianskii A.S., Распределение напряжений в изотропных многосвязных средах, Сб. науч. тр. ДонГУ- Донецк, 1972, № 2, С. 103-110.

8. Sobolev G.G., Горноспасательное дело / G.G. Sobolev., М.: Недра, 1979, 432 с.

9. Beliaev N.M., Сопротивление материалов / N.M. Beliaev, М.: Наука, 1976, 608 с.