МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ Текст научной статьи по специальности «Технологии материалов»

УДК 539.37

doi: 10.48612/dnitii/2024_53_5-14

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ПЕРЕКРЕСТНО АРМИРОВАННОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

Н. А. Берков *

А. И. Архангельский* / **

Т. А. Горшунова*

М. В. Архангельская* / ***

* МИРЭА—Российский технологический университет, г. Москва ** Московский политехнический университет, г. Москва

*** Российская академия народного хозяйства и Государственной службы при президенте Российской Федерации, г. Москва

г

ы О

-I

ы

Э

СО

Аннотация

Для композиционных материалов волокнистой структуры, получаемых при изготовлении композитной оболочки намоткой, предложена математическая модель композитной оболочки, позволяющая оценить прочностные свойства композита. Разработанная математическая модель применена для оценки прочности армированной цилиндрической оболочки, нагруженной осевой растягивающей силой. Эта модель в дальнейших исследованиях будет уточняться для композитов различной структуры и свойств компонентов.

Ключевые слова

Композиционно волокнистый материал, армирование, армированная цилиндрическая оболочка, прочность цилиндрической оболочки.

Дата поступления в редакцию

24.11.2024

Дата принятия к печати

09.12.2024

Материал композитной конструкции имеет слоистую структуру, представляющую собой совокупность связанных слоев с различной ориентацией и определенной схемой чередования. Чаще всего предполагается, что взаимный сдвиг между слоями отсутствует. В отличие от линейно-упругих однородных материалов в слоистых композиционных материалах равномерному распределению деформаций по толщине в общем случае соответствует неравномерное распределение напряжений. Однако инженерные модели, применяемые в анализе композитных конструкций, используют интегральные прочностные и жесткостные храктеристики материала.

Поэтому на практике применяются два основных подхода в оценке прочности композиционного волокнистого материала (КВМ). Согласно первому, КВМ рассматривается состоящим из отдельных,

I

о

■ I а I

я: <и

* в £

8 *

ш га

х о

< а

< 8

^ £ < щ

^ о

X

и

ш

о *

о. ш ш

<и т

Н

га

<и н га X 2

но связанных между собой слоев. Вводятся критерии разрушения, которые рассматриваются для каждого слоя, и потеря несущей способности наступает при нарушении сплошности материала. Согласно второму подходу, прочностные свойства определяются для всего послойного пакета композиционного материала на основании известных (экспериментально определенных) прочностных характеристик отдельного слоя. Второй подход чаще применяется на практике, учитывая многообразие по структуре композитных конструкций (намотанных, из тканевых КВМ и др.). Следует отметить, что наиболее важными для практики являются прочностные свойства КВМ для плоского напряженного состояния, поскольку чаще всего это имеет место для реальных конструкций, особенно оболочек.

Наиболее разработаны критерии прочности для однородных изотропных материалов. Однако для армированных материалов, состоящих из двух компонентов и являющихся неоднородными, разработка таких критериев является гораздо более сложной проблемой. Трудности возрастают для приложений таких критериев в условиях сложного напряженного состояния, так как необходимо не только смоделировать сложное напряженное состояние, но и поставить соответствующие экспериментальные исследования.

При анализе критериев прочности нужно использовать определенные понятия «разрушения», поскольку наличие разнородных компонентов вносит свои особенности в поведение (деформирование) не только отдельных компонентов, слоя композита, но и композиционного материала в целом. Обычно под разрушением понимается потеря несущей способности материала при любом напряженном состоянии. Состояние текучести соответствует началу неупругого деформирования материала. Понятие растрескивания рассматривается как мгновенное образование свободных поверхностей в материале, которые способны ускорить разрушение материала. Поэтому в проблеме критериальной прочности композита существует много аспектов, связанных как с возникновением и развитием различных форм предразрушения (растрескивание связующего, излом волокон, расслоение, нарушение адгезии и т. д.), так и с влиянием разных факторов (условия нагружения, среда, температура и др.). Понятно, что учет всех таких факторов и особенностей настолько усложняют проблему критериев прочности, что не позволяют получить определенные прикладные оценки прочности, применимых для анализа инженерных композитных конструкций.

Критериям прочности посвящена обширная литература. В работе [1] приводится ряд критериев прочности, полученных для неоднородных композитов, рассматриваемых как сплошная среда, математическая модель которой строится на основе экспериментальных данных. Разрушение исследуется в предположении однородности анизотропного материала, когда в нем возникают нарушения сплошности. Использование критериев разрушения полезно при разработке новых композиционных материалов для различных технических приложений. Феноменологические критерии разрушения осуществляют обратную связь с изменениями геометрии композита, определяют технологию его изготовления.

Для расчетного анализа композитных конструкций, особенно изготовленных намоткой, необходимо знать (или определить) основные механические свойства (упругие и прочностные характеристики) композиционного волокнистого материала. Следует учитывать, что композиционный материал характеризуется неоднородностью и анизотропией свойств (в отличие от металлов). Чаще всего композиционный материал по микроструктуре является двухкомпонентным и состоит из волокон и связующего (полимерного, металлического и др.). Макроструктуру КВМ образуют слои (монослои), состоящие из определенным образом ориентированных волокон, заключенных в связующем. Явления, протекающие на микроуровне, определяют как форму разрушения, так и соответствующие прочностные характеристики материала, однако механизм и взаимодействие этих явлений изучены еще недостаточно полно. Поэтому большинство инженерных расчетов основано на макромодели, согласно которой основным элементом материала, в котором происходит разрушение, является армированный слой.

Ниже рассматриваются однонаправленные композиционные материалы с полимерной матрицей (связующим) при одноосном напряженном состоянии (нагружении). На рис. 1 представлен слоистый КВМ, состоящий из двух однонаправленных композитов. Свойства слоя (монослоя) как базовой структурной части композита во многом определяют прочность всего композитного изделия.

Рис. 1. Монослой симметрично-армированного композита

Для анализа прочности слоя при одноосном нагружении используются те же методы, что и для других материалов и конструкций: экспериментальный, теоретический, полуэмпирический.

Экспериментальные методы позволяют получать данные для механических свойств волокна (нити) и матрицы вместе без выяснения природы прочности слоя и информации о путях совершенствования слоя.

Применение теоретических методов предполагает создание математической модели, отражающей физическую картину поведения объекта исследования, в данном случае слоя, с его свойствами. При этом желательно иметь и какие-то данные стандартных экспериментов.

Полуэмпирический подход применим (и нередко используется для анализа прочностных и упругих свойств композита), но не обладает необходимой общностью.

Для слоя принимаются следующие обозначения направлений:

1 — вдоль волокон (нитей);

2—перпендикулярно нитям в плоскости слоя;

3 — перпендикулярно плоскости слоя.

Эти оси называются главными слоями материала.

Однонаправленные композиты представляют собой конгломерат прочных волокон (нитей), расположенных в непрочной или малопрочной матрице. (При изготовлении композита в нем возникают какие-то начальные напряжения, которые здесь не рассматриваются.) У большинства однонаправленных композитов кривые деформирования практически линейны вплоть до разрушения при продольных растяжении и сжатии, поперечном растяжении. В то же время поперечное сжатие и внутрислой-ный сдвиг композита характеризуются определенной нелинейностью и, следовательно, относительно большой деформацией.

Поверхность (точнее — оболочка) раздела волокна с матрицей имеет очень малую толщину, однако ее роль велика: она обеспечивает структурную целостность композита. Увеличение прочности связи по поверхности увеличивает и прочность композита, но делает его более хрупким.

г

м О

-I

м

Э СО

I

о

■ I а I

я: <и

«8

'И

Н

Ш га

х о

< а

8*

< 8

^ £

< <и 41 о

X

и <и т

н

га

< н . га

X 2

ш

О *

о. ш ш

Будем считать слой разрушенным, когда перестает работать предложенная модель материала. Исследование напряженно-деформированного состояния слоя ограничиваем рамками линейной теории упругости.

Рассмотрим задачу прочности цилиндрической оболочки, нагруженной осевой растягивающей силой Р. Оболочка постоянной толщины Н состоит из двух слоев с симметричным армированием ±а: в каждом слое ось 1 составляет угол +а или -а с меридианом оболочки. Расчетная модель композита, которая используется для нахождения растягивающих и сжимающих напряжений, предполагает равномерное «размазывание» нитей каждого слоя по оболочке, которая превращается в слоеный пакет, сохраняющий свою толщину Н неизменной:

где Нс—общая толщина связующего; Нн — толщина слоя нитей (наполнителя).

Уравнения равновесия элемента цилиндрической оболочки (рис. 2) имеют вид:

2ГН соб а + Тхс - Тх, 2ТИ эт а + Тус= О, Тх =

(1)

где Тн — погонные усилия в нитях одного направления; Тхс , Тус—погонные усилия в связующем в меридиональном (ось х) и окружном (у) направлениях оболочки; Тх—погонная растягивающая нагрузка; Л—радиус срединной поверхности оболочки. Уравнения (1) можно представить в такой форме:

,

(2)

олЛ

г'с"*х г> -1 н -2

,

(3)

где Охс , оус—осевые и окружные напряжения в связующем.

Рис. 2. Усилия в армированной цилиндрической оболочке

Относительные деформации связующего в осевом и окружном направлениях определяются из закона Гука для материала

Sxc = °хс Zyz = тг(°ус -M^xe)'

1

а относительная деформация нитей определяется выражением

sH = sxc cos2 а + syc sin2 a ,

(4)

(5)

где Ес , ^ — модуль упругости и коэффициент Пуассона связующего.

Расчетная модель строится в предположении равенства нулю коэффициента Пуассона наполнителя (нитей). С учетом зависимостей (2) и (3) относительные деформации (4) записываются в виде:

s = ——

XX Е h

S = — vc Е

1 -2^-(cos1 а-цsin a)

2^y~(iucos2 a-sin1 a)- ju

(6)

Уравнение (5) преобразуем в виде зависимости погонных усилий в нитях от упругих постоянных материалов нити и связующего, угла намотки, объемного содержания компонент:

cos2 а-/лsin2 а

2 Т

Z-L н __

Т ~ Е h о 1 '

х 0 0 +1-2(1 + ju)sin~ acos- а 2EHhH

(7)

Порядок расчета включает следующие этапы.

1. При заданном объемном отношении связующего и наполнителя hc /2Нн для разных углов намотки а из выражения (7) находится отношение 2Тн /Tx.

2. Используя выражения (2) и (3), вычисляются относительные осевые и окружные напряжения в связующем.

3. Строятся графики изменений относительных величин

Т-1Тн - -°хЛ - _ауЛ

1 ~ - —^ ' аУс - — .

X X X

по которым устанавливается вклад составляющих композита в восприятие внешней нагрузки.

Разработанная методика была внедрена в вычислительную программу SAIS [2] которая была опробована в [3 - 6].

Пример таких графических зависимостей для определенного композиционного волокнистого материала, полученного намоткой, с параметрами: Ен = 60 Гпа, Ес = 6 Гпа, СТвн = 1 Гпа, СТвс = 120 Мпа, £вн = 1,66%, £вс = 2%, = 0,35; 2hM = hс = h/2, представлен на рис. 3.

Z н

Û -I м

D

CÛ

i

о

■ i

О. I

а щ

= I

I * Й

Ш га

i_ и

х о

< a

< S

^ £

< щ

- °

па S

О и

* i

га

ш ш

< н . га х Z

Рис. 3. Зависимости погонного усилия в нити и напряжений в связующем от угла намотки

В рассмотренном подходе считалось известным значение модуля упругости материала нити Ен . Нахождение величины модуля упругости Ен является самостоятельной задачей, которую можно решить на основе, например, эксперимента по растяжению перекрестно армированной цилиндрической оболочки. Прочностные характеристики связующего устанавливаются с помощью испытаний стандартных образцов.

Так, если при растяжении цилиндрической оболочки силой Р измерить деформации £х = £хс и £у = £уС , то по формуле (4) можно вычислить модуль упругости материала нитей

Тх(соз2 а-//sln2 а)-Ескс£в

л

£НЛН[2-(1 + ¡л2а]

(8)

Следует иметь в виду, что вычисленный таким образом модуль упругости нити является условным, так как нить в процессе изготовления композитного изделия намоткой пропитывается связующим, вокруг нее образуется так называемый поверхностный слой и т. п. Но в расчете этот модуль может фигурировать в качестве достоверной величины.

Временное сопротивление нитей ввн находится при разрушении вследствие разрыва нитей перекрестно армированной цилиндрической оболочки, нагружаемой растягивающей силой Р. Следует использовать оболочку с малыми углами намотки а, так как при малых углах намотки исключается возможное раннее разрушение связующего, когда в нем величина возникающих касательных напряжений (см. ниже) достигнет предельного значения твс .

Согласно уравнению равновесия (1)

(9)

где Рразр — значение осевой силы в момент разрушения оболочки; Тхср = ОХсрНс — значение погонной осевой силы, возникающей в связующем в момент разрушения.

Осевые напряжения в связующем в момент разрушения определяются из закона Гука

<Jxcp=-+ И8 ) ,

ЛСР 1 _ 2 xp yp 1 yl

где £xp, £yp — относительные деформации оболочки в момент разрушения.

Вопрос разрушения намотанной оболочки нельзя рассматривать, опираясь на принятую в теории оболочек схему расчета, не учитывающую сдвиговых напряжений, возникающих в поперечных плоскостях (xz) и (yz). На рис. 4 изображена элементарная ячейка двухслойного композиционного материала оболочки, при деформации которой наблюдается отклонение нитей от первоначального положения на угол Да.

Рассматривая деформацию элемента нити (рис. 4b), получим

ds¡ = ds"

1 + 2

.dx.i rdy^

£ (-)- +£ (—)-

x ds У ds

Учитывая соотношения -^- = cosa, -—= sincc,

после преобразований получаем:

dsl =(\ + £xcos2a + £ sin2 a)ds.

Рис. 4. Элементарная ячейка и деформация элемента нити двухслойного композита

Из геометрии деформированной ячейки следует:

или

и

Z м

О

-I

м

D CD

i

о ■ i О. I

а (и = 1 'И

Is Н

ш я

I- и

X о

< а.

<S

S i

< ш

* ° oí ¡J

О и * Í

ш

я

UQ 2

< н . я X Z

ат(а + Аа) = .уш - ехсоз2а - еус о$2а), Ла - (б - Бх )$тасояа.

Наличие угла Да вызывает сдвиги в поперечных плоскостях (хг) и (ух), соответственно деформации сдвига ухг и ууг . Наибольшие сдвиговые деформации ухг и ууг имеют место в сечениях, наиболее удаленных от центра ячейки (см. рис. 4), где к тому же наименьшее расстояние к между нитями слоев напрямую зависит от процентного соотношения наполнителя и связующего:

Гхг =2

-Л^ у 1хла

' /ух 'г ^

к 2

(11)

В первом приближении можно считать к = Нс/4 и постоянным.

Касательные напряжения поперечного сдвига (по закону парности напряжения межслойного сдвига)

Тух = ОсУуг, Тхг = ОсУхг,

определяемые в связующем согласно закону Гука при сдвиге Ос—модуль сдвига материала связующего), с уменьшением процентного содержания связующего увеличиваются. Существует предельное соотношение, при котором к = 0. В этом случае растрескивание связующего начинается в самом начале нагружения, если а Ф 0. Если Уя — объем, занимаемый наполнителем, а V— общий объем наполнителя и связующего, то их предельное отношение приблизительно равно ^ /V = 0,78.

Разрушение связующего следует оценивать по достижению интенсивности напряжений 0{с величины предела прочности овс

(12)

Оценим влияние касательных напряжений межслойного сдвига на примере растягиваемой погонными силами Тх двухслойной намотанной цилиндрической оболочки. Для нити примем поперечное сечение в виде эллипса (круговое сечения нити при намотке превращается в эллиптическое) с полуосями а = 0,36 мм, Ь = 0,27 мм и площадью поперечного сечения Рн = 0,314 мм2. Прямоугольное сечение ячейки композита с примыкающим к нити связующим имеет размеры 0,9 мм х 0,7 мм, а расстояние между слоями к = 0,16 мм.

Для угла намотки а = 45° получим линейные деформации

ех = 0/753—^—, £ =-0,56 Т"

ЕА' у ' ЕСИС Согласно выражению (11) записываем деформации сдвига в виде:

Т.

Гхг = Ууг = 5,3'7

ЕпК

Интенсивность деформаций в нашем случае представляется как

,

ЗУ - - 4 хх у2

где

el - exev + el = 0,46-^4 у2 + у2 = 43-^-A x> > Eh r>'z Eh'

С 'c

Таким образом, вклад сдвиговых деформаций в величину ц оказывается на два порядка большим вклада линейных деформаций.

Следовательно, разрушение композита вследствие разрушения связующего в действительности происходит при значениях нагрузки Tx гораздо меньших принятых (см. рис. 3).

Можно отметить следующее. Испытание на растяжение намотанной цилиндрической оболочки позволяет установить свойства составляющих композита и определять несущую способность конструкций из композиционных материалов, анализируя их напряженно-деформированное состояние. При этом не требуется разрабатывать какие-то новые критерии прочности: надежно «работают» известные для изотропного материала критерии.

Подобный структурный анализ вместе с экспериментом объясняет и нелинейности (здесь их не касались) в зависимости величины растягивающей силы от осевой деформации, так как интенсивность напряжений агс чувствительна к нелинейной зависимости касательных напряжений т от деформации сдвига у связующего.

В дальнейшем можно уточнить полученные оценки предельных напряжений композита, образованного намоткой, учитывая коэффициент Пуассона наполнителя и нелинейность в поведении связующего.

и

Z н

Û -I н

D CD

Библиографический список

1. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. —М.: Машиностроение, 1968. — 192 с.

2. Скопинский В. Н., Берков Н. А., Михайлов В. В. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2011611624 Stress Analysis in Interesting Shells (SAIS) / В. Н. Скопинский, Н. А. Берков, В. В. Михайлов. Зарегистрировано в Реестре программ для ЭВМ 17.02.2011 г.

3. Берков Н. А., Архангельский А. И., Горшунова Т. А., Архангельская М. В., Муханов С. А. Моделирование пластического разрушения цилиндрических сосудов с патрубком под действием внутреннего

давления. — Системные технологии.—2023. — № 4 (49). — С. 45 - 53.

Q (U

4. Берков Н. А., Архангельский А. И., Горшунова Т. А., Архангельская М. В. Прочностной анализ — ^

пересекающихся композитных оболочек вращения // Системные технологии. — 2022. — № 3 (44). — )3 а

С. 169 - 175. * ™

U £

5. Скопинский В. Н., Берков Н. А., Вожова Н. В. Упругопластический анализ напряжений в пересе- s кающихся цилиндрических оболочках, укрепленных накладным кольцом // Химическое и нефтегазовое ¡¡^ го

машиностроение. 2010. № 4. С. 14.

combined loading // International Journal of Pressure Vessels and Piping. 2015. V. 126 - 127. February -March. P. 8 - 16.

I

0

1 O. X

X o

< a.

X s

6. Skopinsky V. N., BerkovN. A., Vogov R. A. Plastic limit loads for cylindrical shell intersections under tL Jj

< *

S i

<8 to * О и

CL ?

ш й Ш £

< н . го x Z

MATHEMATICAL MODELING OF THE STRESS-STRAIN STATE OF A CROSS-REINFORCED CYLINDRICAL SHELL UNDER TENSION

N. А. Berkov *

А. I. Arkhangelsky * / **

^ А. Gorshunova *

М. V. Arkhangelskaya * / ***

* MIREA — Russian Technological University, Moscow ** Moscow Polytechnic University, Moscow

*** Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration, Moscow

Abstract

For composite materials of a fibrous structure obtained in the manufacture of a composite shell by winding, a mathematical model of the composite shell is proposed, which makes it possible to evaluate the strength properties of the composite. The developed mathematical model is used to assess the strength of a reinforced cylindrical shell loaded with an axial tensile force. This model will be refined in further studies for composites of various structures and properties of components.

The Keywords

Composite fibrous material, reinforcement, reinforced cylindrical shell, strength of the cylindrical shell.

Date of receipt in edition

24.11.2024

Date of acceptance for printing 09.12.2024

Ссылка для цитирования:

Н. А. Берков, А. И. Архангельский, Т. А. Горшунова, М. В. Архангельская. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния перекрестно армированной цилиндрической оболочки при растяжении. — Системные технологии. — 2024. — № 4 (53). — С. 5 - 14.