CC BY
34
В. А. Павловский, Ю. С. Чечитова, Н. Н. Парфенова, Э. В. Земцовский
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКОГО СТРЕССА, ВОЗНИКАЮЩЕГО В ПРОЦЕССЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ АСИММЕТРИЧНЫХ СТВОРОК АОРТАЛЬНОГО КЛАПАНА
1. В связи с неуклонным ростом частоты развития склеродегенеративного кальциноза аортального клапана (СДКАК), часто требующего хирургического вмешательства, проблемы структуры и функции аортального клапана привлекают особое внимание исследователей. Аортальный клапан рассматривается как функциональный ансамбль [1, 2].
Основной поток исследований, касающихся патологии аортального клапана, посвящен изучению бикуспидального аортального клапана (БАК), который является самым распространенным врожденным пороком сердца. Так, среди новорожденных БАК выявляется в 4,6% случаев [3], у лиц молодого возраста, по данным [4] популяционного ЭхоКГ исследования, - в 0,8%, а у взрослых обнаруживается примерно в 2% случаев [5, 6]. Наличие БАК принято тесно связывать с ранним формированием СДКАК [79]. Имеется множество подтверждений тесной взаимосвязи БАК с ранним развитием кальциноза и стенозирования [10-12]. Важно учитывать роль костного сиалопротеина и морфогенетического протеина-2 в формировании аортального стеноза [13].
Есть все основания полагать, что в основе развития кальциноза аортального клапана лежит гемодинамическая перегрузка створок, их микротравматизация, создающая условия для запуска цепи патологических событий. Среди последних называют накопление липидопротеинов низкой плотности (ЛПНП), активацию металопротеаз, инфицирование с исходом в склерозирование и обызвествление [7, 9, 11, 12, 14, 15].
Известно, что подавляющее число больных с СДАК имеет трехстворчатый аортальный клапан (ТАК). Он состоит из трех симметрично расположенных створок, которые, закрываясь в диастолу, образуют фигуру, похожую на перевернутую эмблему автомобиля «Мерседес». При этом комиссуры располагаются на 2, 6 и 10 ч соответственно (рис. 1). В 1970-е годы появились данные о том, что размеры оснований аортальных полулуний могут сильно варьировать, а строго симметричные створки встречаются лишь в 5% случаев [16]. Однако до недавнего времени критерии асимметрии этого клапана - критерии АТАК - оставались не разработанными, и можно констатировать, что вопросу о симметричности ТАК не уделялось достаточного внимания.
Вместе с тем есть все основания полагать, что значительная асимметрия створок может создать условия для возникновения перегрузок соединительной ткани створок.
Павловский Валерий Алексеевич — профессор кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной механики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научное направление: гидродинамика. E-mail: [email protected].
Чечитова Юлия Сергеевна — магистр кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной механики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научное направление: гидродинамика.
Парфенова Нина Николаевна — доцент кафедры пропедевтики внутренних болезней Санкт-Петербургской государственной педиатрической медицинской академии. Научное направление: кардиология.
Земцовский Эдуард Вениаминович — профессор кафедры пропедевтики внутренних болезней Санкт-Петербургской государственной педиатрической медицинской академии. Научное направление: кардиология. E-mail: [email protected].
© В. А. Павловский, Ю. С. Чечитова, Н. Н. Парфенова, Э. В. Земцовский, 2008
Это, в свою очередь, через механический стресс запускает цепь патологических событий, способных в итоге привести к формированию идеопатического стеноза и кальциноза аорты. Не случайно бикуспидальная аорта, при которой створки аортального клапана испытывают особые перегрузки, приводит к раннему формированию кальциноза аорты [7-9].
Рис. 1. Схема расположения створок в трехстворчатом аортальном клапане.
Исходя из общепринятых подходов к диагностике нормы в биологии и медицине, нами был рассчитан диапазон допустимых колебаний площадей створок и предложены диагностические ЭхоКГ критерии АТАК [17]. На основе предложенных критериев выявлена распространенность АТАК среди практически здоровых лиц молодого возраста (около 20% случаев) и показана взаимосвязь между выраженной АТАК и иными стигмами дизэмбриогенеза.
Вместе с тем математическая модель возникновения механического стресса и распределения функциональных нагрузок на асимметричные створки аортального клапана остается до настоящего времени не разработанной, что и послужило основанием для проведения настоящего исследования.
2. Гидромеханика аортального клапана может быть исследована с помощью закона Бернулли. Для сосуда объема V, когда в нем существует давление p, справедливо соотношение
pV = const.
При сжатии объема V давление будет возрастать. Такая картина наблюдается во время сокращения сердца. Клапан закрыт в том случае, когда сердечное давление p1 меньше давления p2 в артерии: p1 <p2. При увеличении p1 клапан открывается, и кровь выдавливается в сосуд со скоростью, которую можно определить по разнице верхнего pB и нижнего pH артериального давления. Опираясь на закон Бернулли [18], получаем
Р 2 р W
В данном случае кровь рассматривается как несжимаемая жидкость (p = const), скорость течения много меньше скорости звука. Энергетическим обменом также пренебрегаем. Хотя закон Бернулли выведен лишь для идеальной жидкости (вязкость отсутствует), но сфера его применения значительно шире [19], что позволяет использовать соотношение (1).
Интересно, что стенки клапана дают сужение струи, которое наблюдается при свободном истечении из отверстия в жидкость с меньшим давлением. Как поведет себя струя крови, попадая в сосуд, пока неизвестно. На этот счет есть только некоторые предположения, высказанные Р. Н. Мирошиным [20]. Если бы стенок сосуда не было, то получилась бы завихренность в виде вихревого кольца, которое чуть ниже по потоку отрывается и далее разрушается, турбулизируя жидкость (рис. 2). Такая картина наблюдается при резком истечении, что характерно для сердечно-сосудистой системы, поскольку кровь движется толчками. Течение с вихревым кольцом весьма вероятно, так как кровоток по оси кольца ускоряется, становясь больше, чем при выходе из сердца.
Рис. 2. Схематическое изображение течения с вихревым кольцом.
Далее сердце расширяется, давление снаружи р2 становится больше, чем внутреннее р\. Начинается следующий цикл.
При пороке, когда клапан двудольный, большая доля дольше открывается и медленнее закрывается. Таким образом, всегда остается какая-то щель, получается не осесимметричная струя, и профиль скоростей выглядит так, как показано на рис. 3.
Рис. 3. Профиль скоростей для не осесимметричной струи (при двудольном клапане).
К тому же при отражении от верхней стенки сосуда около большого клапана образуется вихрь. Получается ситуация, которую можно наблюдать в реках, текущих в меридиональном направлении - один берег размывается, второй заиливается. То есть в данном случае вихревое кольцо не наблюдается.
При асимметрии трехстворчатого клапана ситуация аналогична. Течения с вихревым кольцом также не будет.
3. Синусам и их роли в работе аортального клапана посвящено достаточно большое количество работ [21-23]. Были проведены эксперименты на моделях трехстворчатого аортального клапана, помещенного поперек трубки, с синусом позади каждой створки. При открытом клапане поперечное сечение синуса выглядит так, как изображено на рис. 4. Визуализация течения показала, что створки клапана открываются плавно. Когда верхушка створки проходит кромку синуса Я, в нем индуцируется трехмерное вихревое движение, при котором поток входит в синус в середине кромки, закручивается сначала назад вдоль стенки синуса, затем вдоль створки, вливаясь в основной поток
в точках присоединения свободных краев створок. Вихревое движение и положение створки (слегка выступающей в область синуса) остаются приблизительно установившимися в течение некоторого времени после достижения максимальной скорости в аорте. Створка начинает плавно закрываться и перед тем, как аортальный поток меняет направление, просвет прикрыт примерно на 72%. В обратном направлении пропускается только 2% основного потока. Профиль скорости в аорте сразу же за клапаном в течение всего времени сохраняется плоским. В модели без синусов створки при открытии клапана касались стенки аорты. Клапан закрывался неплавно и сразу после того, как скорость меняла свое направление, причем утечка в обратном направлении составляла до 25%.
Рис. 4. Схематическое изображение разреза синуса Вальсальвы в плоскости симметрии, показывающее образование вихря в синусе.
Эти наблюдения показывают важное значение синусов для плавного закрытия клапанов. Однако сами по себе вихревые движения не имеют решающего значения, что обнаружено в экспериментах, где они были незначительными, а створки закрывались плавно.
Когда вихревое движение отсутствует, постоянное давление в синусе равно давлению в аорте у расположенного ниже края створки. Отсюда следует, что клапан из открытого положения (стороны параллельны) станет переходить в закрытое, когда аортальный поток начнет замедляться (и = 0). Однако считается, что вихревое течение помогает клапану закрыться. Для того чтобы створки выступали в область синуса при установившемся потоке или при пиковом значении скорости, необходимо, чтобы динамическое давление вихря уравновешивало малое добавочное давление на аортальной стороне створки, появляющейся в результате расхождения потока.
Наиболее простая количественная модель соотношений между неустановившимися значениями давления и скорости в аорте и синусах представлена в работе [23]. Предположим, что синусы - это полусферы радиуса а и что скорость течения в аорте (в точках I и А на рис. 4) есть и ^). Тогда
Ра - Рі = -2раи,
(2)
где р - плотность крови, равная 1.05 • 103 кг/м3; точкой обозначена производная по времени.
Поскольку давление на кромке синуса Я есть давление торможения, то
1 ГГ2
РН~РА = ~ри .
В экспериментах было обнаружено, что максимальная скорость в синусе (в точке С) равна около 0.9 и. Если же предположить, что она равна и, то
так что
рн-рс = 2Ри
Рс - Рі = -2раи.
Из (2) и (3), так же, как из (4) и (5), следует
Рн-Рі = ^Ри ~ %раи•
(4)
(5)
(6)
Результаты расчетов величин скоростей и разностей давлений, согласно формулам (4)-(6), в зависимости от времени хорошо согласуются с экспериментальными данными, приведенными в работе [23].
4. Рассмотрим нагрузки на створки аортального клапана. Очевидно, что при наличии полной симметрии створок нагрузки на них будут одинаковыми. В случае нарушения симметрии возникает неравенство усилий, которое воздействует на створки клапана. Оценить его можно, заменяя каждую створку упругой балкой и выполняя расчет по линейной теории упругости [24]. Схема замены каждой створки соответствующей ей консольной балкой, заделанной в стенку клапана, показана на рис. 5. Поскольку балки имеют разную длину, то для сравнительного анализа нужно рассмотреть самую длинную и самую короткую балки (соответствующие большей и меньшей створкам).
Рис. 5. Схема замены створок клапана балками. а - нагрузка на длинную балку; б - нагрузка на короткую балку.
Для простоты будем считать, что балки имеют равные модули упругости Е, одинаковые сечения, один и тот же момент инерции поперечного сечения I и момент сопротивления этого сечения Ш. Разными у них будут длины и интенсивности распределенных нагрузок #1 и , которые в первом приближении можно считать равномерными.
Прогиб в произвольном сечении г для балки с равномерно распределенной нагрузкой, как известно [24], определяется формулой
ЧІ4
г2 / г г2
— ( 6 — 4 — -Ь —
24ЕІ І2 V I I2
откуда на конце балки, при 2 = I, максимальный прогиб:
У =^-
тах 8 ЕГ
Следовательно, выражение для длинной балки
у( 1) = яА тах 8Е1-
Поскольку из физических соображений следует, что в точке соприкосновений концов балок (створок) прогибы одинаковы, то можно установить связь между величинами нагрузок q1 и q2:
чЛ =
8ЕІ &ЕІ1
откуда
(7)
Формулу (7) можно переписать в несколько другом виде, вводя в рассмотрение Л -параметр нарушения симметрии створок клапана:
Л=£, л< 1.
11
Тогда
л 4 q1 л 4
41 = а <й, — = Л .
#2
Напряжение в консольной балке определяется [24] по формуле
М
где М - изгибающий момент в рассматриваемом сечении. При равномерно распределенной нагрузке
из этого вытекает, что максимальный изгибающий момент и максимальное напряжение имеют место в основании балки. Следовательно, при г = 0 достигается напряжение
_ я12 сгтах -
Считая момент сопротивления поперечного сечения Ш одинаковым для обеих балок, для напряжений можно записать
1 = чЛ 2 = 42II
^шах 2"И^ 7 ^тах 2"И^ *
Сравнение отношений максимальных напряжений в длинной и короткой балках при-
водит к формуле
^тах _ чЛ = [(П V [к \ 2 = Л4 = Л2
^паХ q2Щ vq^ \12/ Л2
Так как параметр нарушения симметрии створок клапана Л < 1, то
1 < 2 ^max < ^max'
Отсюда можно сделать вывод, что напряжение, которое испытывает меньшая из створок у основания, больше в (^-) раз.
5. На основании проведенного исследования установлено, что актуальность математического моделирования функционирования сердечно-сосудистой системы очевидна в настоящее время. Асимметрия в строении аортального клапана приводит к неравномерному распределению нагрузок у основания створок - возникновению гидродинамических перегрузок. Это способствует развитию дефектов соединительной ткани створок и запуску цепи патологических событий в сердечно-сосудистой системе.
Summary
Pavlovsky V. A., Chechitova Yu. S., Chistov A. L., Parfenova N. N., Zemtzovsky E. V. Mathematical modeling of the mechanical stress arising in functioning of asymmetric shutters of the aorta valve.
The structure of the valve of an aorta is considered. The hydrodynamical theory of its work is discussed. Distribution of loadings on the asymmetry shutters of the valve is investigated. Mathematical modeling of the aorta valve with asymmetric shutters is constructed. The qualitative result is received.
Key words: the valve of an aorta, hydrodynamics, hydrodynamical loadings,the asymmetric shutters of the valve.
Литература
1. Robicsek F., Thubrikar M. J., Fokin A. A. Cause of degenerative disease of the trileaflet aortic valve: review of subject and presentation of a new theory // Ann. Thorac Surg. — 2002. — Apr. — Vol. 73, N 4. -P. 1346-1354.
2. Дземешкевич С. Л., Стивенсон Л. У., Алекси-Месхишвили В. В. Болезни аортального клапана. Функция, диагностика, лечение. - М.: ГЭОТАР-МЕД, 2004. - 328 с.
3. Фейгенбаум Х. Эхокардиография / Пер. с англ.; Под ред. В. В. Митькова. — М.: Видар, 1999. - 512 с.
4. Шиллер Н., Осипов М. А. Клиническая эхокардиография. - М.: Медицина, 2005. - 344 с.
5. Tutar E., Ekici F., Atalay S., Nacar N. The prevalence of bicuspid aortic valve in newborns by echocardiographic screening // Amer. Heart J. - 2005. - Vol. 150, N 3. - P. 513-515.
6. Nistri S., Basso C., Marzari C. et al. Frequency of bicuspid aortic valve in young male conscripts by
echocardiogram // Amer. J. Cardiol. - 2005. - Vol. 96, N 5. - P. 718-721.
7. Roberts W. C., Ko M. J. Weight of Operatively-Excited Stenotic Unicuspid, Bicuspid, and Tpicuspid Aortic Valves and Their Relation to Age, Sex, Body Mass Index, and Presense or Absence of Concomitant Coronary Artery Bypass Graftimg // Amer. J. Card. - 2003. - Vol. 92. - P. 1057-1065.
8. Fernandes S. M., Sanders S. P., Khairy P., Jenkins K. J. et al. Morphology of bi-cuspid aortic valve in children and adolescents // J. Amer. Coll. Cardiol. - 2004. - Vol. 44. - P. 1648-1651.
9. Lewin M. B., Otto C. M. The bicuspid aortic valve: adverse outcomes from in-fancy to old age //
Circulation. - 2005. - Vol. 111. - P. 832-834.
10. Roberts W. C. The congenitally bicuspid aortic valve. A study of 85 autopsy cases // Amer. J.
Cardiol. - 1970. - Vol. 26. - P. 72-83.
11. Thubrikar M. J., Jaffar A., Stanton P. N. Pattern of calcific deposit in operta-tively excises stenotic or purely regurgitant aortic valves and their relation to mechanical stress // Amer. J. Cardiol. - 1986. -Vol. 58. - P. 304-308.
12. Mochler E. R. Mechanisms of Aortic Valve Calcification // Amer. J. Cardiol. - 2004. - Vol. 94. -P. 1396-1402.
13. Kaden J. J., Bickelhaupt S., Grobholz R. et al. Expression of Bone Morphogenetic Protein-2 in Calcific Aortic Stenosis // J. Heart Valve Dis. - 2004. - Vol. 13, N 4. - P. 560-566.
14. Roberts W. C., Ko J. M. Weights of individual cusps in operatively-excised stenotic tricuspid aortic
valves // Amer. J. Cardiol. - 2004. - Vol. 94, N 5. - P. 681-684.
15. LeMaire S. A., Wang X., Wilks J. A., Carter S. A. et al. Matrix metalloproteinases in ascending aortic aneurysms: bicuspid versus trileaflet aortic valves // J. Surg. Res. - 2005. - Vol. 123, N 1. - P. 40-48.
16. Vollebergh F. E. M. G., Becker A. E. Minor congenital variations of cusp size in tricuspid aortic valves; possible link with isolated aortic stenosis // Br. Heart J. - 1977. - Vol. 39. - Р. 1006-1011.
17. Земцовский Э. В., Красовская Ю. В., Парфенова Н. Н. и др. Критерии диагностики и клиническая оценка асимметрии трехстворчатого аортального клапана // Терапевт, архив. - 2006. -
№ 12. - С. 50-55.
18. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987. - 736 c.
19. Фабер Т. Б. Гидродинамика. - М.: Наука, 2001. - 90 c.
20. Павловский В. А. Математическое моделирование работы сердечно-сосудистой системы: Учеб. пособие. - СПб: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2007. - 119 c.
21. Педли Т. Гидродинамика крупных кровеносных сосудов / Пер. с англ.; Под ред. С. А. Регирера, Н. А. Шадриной. - М.: Мир, 1983. - 400 c.
22. Беллхауз Б. Распределение скоростей и давлений в клапане аорты // Механика. - М.: Мир, 1970. - № 4. - C. 85-98.
23. Беллхауз Б., Тальбот Л. Гидромеханическая теория клапана аорты // Механика. - М.: Мир, 1970. - № 1. - C. 96-110.
24. Короткин Я. И., Локшин А. З., Сиверс Н. Л. Изгиб и устойчивость стержней и стержневых систем. - М.: МАШГИЗ, 1953. - 519 c.
Статья рекомендована к печати проф. Ю. М. Далем.
Статья принята к печати 29 апреля 2008 г.
