CC BY
14
УДК 621.499.4, 51-74
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНИРОВАННОГО НАНОДВИГАТЕЛЯ
ШЕСТАКОВ И.А., ВАХРУШЕВ А.В., ФЕДОТОВ А.Ю.
Институт прикладной механики УрО РАН, 426069, г.Ижевск, ул. Т.Барамзиной, 34
АННОТАЦИЯ. Разработана математическая модель динамики комбинированного двигателя и биологического нанодвигателя кинезина, на основе данной модели удалось решить задачи нахождения основных энергетических параметров комбинированных нанодвигателей, нахождения коэффициента демпфирования биологического нанодвигателя кинезина и определения нагрузки, соответствующей потере устойчивости статора комбинированного нанодвигателя.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: математическая модель, комбинированный нанодвигатель, кинезин, коэффициент демпфирования, микротрубочка.
ВВЕДЕНИЕ
Нанодвигатели окажут значительное влияние на создание принципиально новых наномашин и наномеханизмов, а так же и микромашин. Это связано с тем, что нанодвигатели могут быть приводом различных видов наномашин. Перечислим их: переключатели, насосы, инжекторы, конвейеры, генераторы электрического тока, транспортные машины в жидкости, транспортные машины на поверхности твердого тела [1]. Комбинированный нанодвигатель представляет собой ротор, статор и биологическую пару кинезин-микротрубочка, причем кинезины связаны со статором, а микротрубочка закреплена на роторе (рис. 1).
Рис. 1. Комбинированный нанодвигатель на кинезинах
Устройство и работа комбинированного нанодвигателя и биологического нанодвигателя кинезина представлены в работах [2-3]. По данной работе получено три патента [4-6]. Для изучения динамики разработанного комбинированного нанодвигателя используется математическое моделирование.
Главные задачи в развитии наномашин - продолжительная и непрерывная работа комбинированных нанодвигателей, направленное движение по указанным траекториям, закрепление биологических нанодвигателей в комбинированных нанодвигателях, интеграция комбинированных нанодвигателей в наномашины, и наноприборы.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СТАТИКИ И ДИНАМИКИ НАНОДВИГАТЕЛЯ
Сформулирована математическая модель комбинированного нанодвигателя. При расчете статики и динамики разработан программный комплекс «Combined Nano Engine».
Программный комплекс «Combined Nano Engine», реализующий математическую модель задачи представлен на рис. 2 и состоит из блока подготовки, вычислительного модуля массово-габаритных и энергетических параметров, вычислительного модуля перемещений и деформаций - метод молекулярной динамики, блока согласования.
Рис. 2. Структура программного комплекса «Combined Nano Engine»
Блок подготовки. Подготовка начальных данных необходима как для дальнейшего расчета энергетических параметров, так и для расчета на деформации и устойчивость. Блок подготовки включает в себя определение массово-габаритных параметров комбинированного нанодвигателя, нахождение параметров атомов и их свойств в системе углеродной нанотрубки. На основе состава атомов определяется структура молекул системы: количество атомов в углеродной нанотрубке, типы связи, значение углов и двугранных углов.
Вычислительный модуль энергетических параметров и динамики нанодвигателя. Для реализации данного модуля используется программа МаШСАВ для расчета
^(0=( ' V._ С1)
энергетических параметров и визуализации следующих графиков: мощность; удельная мощность; расход топлива по массе, числу молекул и объему АТФ. Динамика нанодвигателя рассматривается с учетом силы кинезина и демпфирующей силы, вследствие которой шаг равен 8,3 нм.
В первом приближении система, описывающая силу кинезина в зависимости от времени выглядит следующим образом:
t = (0 * 0,005) с (10-2 к - Ы, t = (0,005 * 0,01) с,
где t - время, с; к - коэффициент пропорциональности, Н/с.
Определим коэффициент пропорциональности, зная максимальную силу кинезина 12
Ртах =6-10" Н в момент времени t = 0,005 с:
к = . (2)
При такой функции силы кинезина, мы получаем энергию, выделяющуюся при реакции АТФ.
Решим задачу для случая, когда в системе действует демпфирующая сила. Составим дифференциальное уравнение движения:
тх = Ы -ах, (3)
где а - коэффициент демпфирования, Нс/м, или кг/с.
В результате решения этого уравнения, получим перемещение, скорость и ускорение:
( а \
к / т а / т
л
— / т)г е т 1
2 — / т — / т
к/т — / т
С — \
— Л — *
—t -1 - е т у т
х(0 =
1 / ( — Л к / т — ^
— / т
1-е
т
(4)
(5)
(6)
Далее необходимо определить коэффициент демпфирования а в соответствии с перемещением, массой груза и временем движения. Зададимся значениями перемещения, массы и времени движения груза, и определим а. В соответствии с формулой 4 определим график перемещения кинезина в начальный момент времени (рис. 3), в дальнейшем происходит остановка кинезина, это первая фаза.
Таким образом, процесс движения кинезина в этом случае протекает в три этапа.
В первой фазе происходит, главным образом, шаг кинезина и перемещение груза на
8,3 нм.
Во второй фазе происходит нарастание силы до максимального значения 6 пН, но вся энергия поглощается демпфирующим элементом. В системе возникают колебания.
В третьей фазе происходит снижение скорости до нуля, и проявляются остаточные колебания, связанные с температурой и броуновским движением.
Вычислительный модуль перемещений и деформаций, метод молекулярной динамики. Вычислительный модуль NAMD+VMD используется для расчета конструкции статора на перемещения атомов и деформации. В своих расчетах NAMD использует метод молекулярной динамики (формулы 7 - 10) как наиболее подходящий для данной задачи. Расчетная схема статора представлена в следующем виде: углеродная нанотрубка диаметром 5 нм закреплена вдоль оси с одной стороны, а с другой на нее действует сила от кинезина, распределенная по 96 атомам углеродной нанотрубки (рис. 5 - 7). Таким образом, на один атом углерода действует сила ^ = 0,0625 пН.
-9
8x10 9
9
6x10 9
9
4x10 9
9
2x10 9
0
-4 -4 -4 -4 -3
0 2x10 4 4x10 4 6x10 4 8x10 4 1x10 3
t
Рис. 3. Перемещение кинезина в зависимости от времени при линейном законе изменения движущей силы кинезина
Основа данного метода - решение дифференциального уравнения движения Ньютона для каждого атома. Здесь моделируемая система - совокупность атомов.
Рис. 5. Расчетная схема статора (вид спереди)
Рис. 6. Расчетная схема статора (вид сверху) с приложенной распределенной силой, действующей со стороны кинезина ^=6 пН
Если система состоит из N атомов, то имеем систему из N векторных уравнений с начальными условиями.
Рис. 7. Сосредоточенные силы, действующие на атомы углерода
Уравнения (7) и (8) - независимые, но необходимо их совместное решение [8-10]:
т.
d Г а)
= * (t, г (t)), / = 1,2,...,N,
(7)
где N - число атомов системы; тг - масса /-го атома; г (У) - текущий радиус-вектор /-го атома; * (t, г(0) - суммарная сила, действующая на /-й атом со стороны других атомов. Начальные условия:
Щ (to)
to = 0, г/ (to) = Г = V/ (О = ^0, / = 1,2,.., N,
(8)
где г0 - начальный радиус-вектор /-го атома; V 0,Р/ (t) - начальная и текущая скорости /-го
'/о
атома.
Функция * (t, г (V)) в уравнении (7) - градиент потенциальной энергии:
*)) -Щ^Г •' = 1-2- ...N ,
дг (t)
(9)
где и(?(0) - величина потенциальной энергии; г(t) = {ГЦ(t),г,(0,...,^(t)} - потенциальная энергия зависит от взаимного положения всех атомов.
Потенциальная энергия взаимодействия атомов в молекулярной динамике - сумма различных видов взаимодействий [11]:
и (г^)) = ц + ц + и 9+ и^ + и, (10)
где Ць - потенциальная энергия химических связей; и - потенциальная энергия валентных углов; иф - потенциальная энергия торсионных углов и плоских групп; иу^ -потенциальная энергия Ван-дер-ваальсовых сил; и - потенциальная энергия электростатического взаимодействия.
Несмотря на то, что существует проблема определения параметров силового поля, метод молекулярной динамики эффективно используется при моделировании наносистем [12-17]. Преимущества этого метода в следующем: метод относительно прост, удовлетворительная точность результатов при верном выборе параметров поля, прослеживание характеристик каждого атома с течением времени.
Расчет углеродной нанотрубки, нагруженной силой от действия кинезина, методом молекулярной динамики выполнялся для трех случаев расчетной нагрузки.
В первом случае расчетная сила, действующая на атомы углеродной нанотрубки, в 5 раз больше номинальной. Углеродная нанотрубка устойчива, перемещения атомов не превышают 0,3 нм. Во втором случае расчетная сила, действующая на атомы углеродной нанотрубки, в 100 раз больше номинальной. Начинают проявляться заметные перемещения атомов углеродной нанотрубки, но потеря устойчивости не происходит, через 250 пкс форма возвращается в прежний вид и является стабильной. В третьем случае расчетная сила, действующая на атомы углеродной нанотрубки, в 500 раз больше номинальной (рис. 8). Проявляются значительные перемещения атомов до 30 нм, деформации превышают допустимые и происходит потеря устойчивости.
2
в)
а) 10 пкс; б) 100 пкс; в) 200 пкс Рис. 8. Углеродная нанотрубка, нагруженная силой, в 500 раз превышающей номинальную
В таблице приведены минимальные, средние и максимальные значения перемещений атомов углеродной нанотрубки, нагруженной соответствующей расчетной нагрузкой, где х - перемещение атома вдоль оси х, у - перемещение атома вдоль оси у, z -перемещение атома вдоль оси z, г - абсолютное перемещение атома.
Таблица
Средние и максимальные перемещения атомов для 5, 100 и 500-кратного увеличения нагрузки, (А)
Сила, пН Sг х Sг у Sг z Sг г Мах х Мах у Мах z Мах г
30 1,269 1,448 0,350 1,502 2,538 2,896 0,699 3,003
600 4,078 5,469 1,515 6,473 8,155 10,937 3,029 12,946
3000 5,936 13,722 4,566 14,004 11,871 27,444 9,132 28,007
Блок согласования. Блок согласования необходим для обмена данными между вычислительным модулем MathCAD и вычислительным модулем NAMD+VMD: энергетические параметры влияют на характер деформаций углеродной нанотрубки (чем больше удельная мощность, тем большие нагрузки воздействуют на углеродную нанотрубку, чем меньше размеры и масса углеродных нанотрубок, тем больше они подвержены деформацию и потере устойчивости).
Блок обработки результатов. Этот блок включает в себя создание массивов данных о координатах и скоростях атомов, массивов данных о перемещениях атомов.
ВЫВОДЫ
Составлена комплексная математическая модель задачи для расчета массово-габаритных и энергетических характеристик комбинированных нанодвигателей и динамики кинезина - биологического нанодвигателя.
Математическая модель динамики кинезина при составлении дифференциального уравнения движения в первом приближении учитывает силу кинезина, меняющуюся линейно и силу торможения, благодаря которой обеспечивается шаг 8,3 нм.
Составлена математическая модель задачи - определение перемещений атомов статора под действием расчетной нагрузки со стороны кинезина. Разработан программный комплекс, реализующий математическую модель задачи: блок подготовки, вычислительный модуль MathCAD, вычислительный модуль NAMD + VMD, блок согласования.
Из решения задачи видно, что углеродная трубка может выдерживать нагрузки без потери устойчивости, которые в 100 раз больше номинальных. Таким образом, теоретически, двигатель, собранный из углеродных нанотрубок, может надежно работать при удельной мощности 100000 Вт/кг. При 500 кратном увеличении нагрузки углеродная нанотрубка теряет устойчивость, что соответствует экспериментальным данным.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Wesley R. Browne and Ben L. Feringa Making molecular machines work. Nature Nanotechnology. 2006. V. 1, №1. P. 25-35.
2. Вахрушев А.В., Липанов А.М., Шестаков И.А. Комбинированный нанодвигатель на основе кинезина // Химическая физика и мезоскопия. 2008. Т.10, №32. С. 237-243.
3. Вахрушев А.В., Шестаков И.А. Исследование и оптимизация молекулярного двигателя / Институт прикладной механики УрО РАН. Ижевск, 2007. 34 с. Деп. в ВИНИТИ 11.01.07, №14-В2007.
4. Вахрушев А.В., Липанов А.М., Шестаков И.А. Нанонасосная система // Патент России №2304001. 2007, Бюл. №22.
5. Шестаков И.А., Вахрушев А.В. Молекулярный двигатель // Патент России №2276744. 2006, Бюл. №14.
6. Шестаков И.А., Вахрушев А.В. Молекулярный двигатель // Патент России №2312250. 2005, Бюл. №34.
7. Charles L. Asbury, Adrian N. Fehr, Steven N. Block. Kinesin Moves by an Asymmetric Hand-Over-Hand Mechanism // Science. 2003. V. 302. P. 2130-2134.
8. Берлин А.А., Балабаев Н.К. Имитация свойств твердых тел и жидкостей методами компьютерного моделирования // Соросовский образовательный журнал. 1997. № 11. С. 85-92.
9. Романова Т.А., Краснов П.О., Качин С.В. Теория и практика компьютерного моделирования нанообъектов: справочное пособие // Красноярск : ИПЦ КГТУ, 2002. 223 с.
10. Cagin T., Che J., Qi Y. Computational materials chemistry at the nanoscale // Journal of Nanoparticle Research. 1999. №. 1. P. 51-69.
11. Phillips J.C., Braun R., Wang W. Scalable molecular dynamics with NAMD // Journal of Computational Chemistry. 2005. V. 26, № 16. P. 1781-1802.
12. Морозов А.И. Физика твердого тела. Кристаллическая структура. Фононы : уч. пособие. М. : МИРЭА, 2006. 151 с.
13. Хеерман Д.В. Методы компьютерного эксперимента в статистической физике. М. : Наука, 1990. 176 с.
14. Шайтан К.В. Молекулярная динамика белков и пептидов : уч. мет. пособие. М. : Ойкос, 2004. 103 с.
15. Шайтан К.В. Конформационная подвижность белка с точки зрения физики // Соросовский Образовательный журнал. 1999. № 5. С. 8-13.
16. Эткинс П. Физическая химия / в 3-х томах, т. 1 / пер. с англ. М. : Мир, 1980. 584 с.
17. Rahman A. Correlations in the motion of atoms in liquid argon // Phys. Rev. 1964. V. 136, № 2. P. 405-411.
MATHEMATICAL MODEL COMBINED NANOMOTOR
Shestakov I.A., Vakhrouchev A.V., Fedotov A.Y.
Institute of Applied Mechanics, Ural Branch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia
SUMMARY. A mathematical model of the dynamics of the combined engine and biological nanomotor kinezin, on the basis of this model could solve the problem of finding the key energy parameters for combined nanomotor, finding the damping coefficient of biological nanomotor kinezin and to determine the load corresponding to buckling of composite stator nanomotor.
KEYWORDS: mathematical model, nanomotor, kinesin, damping coefficient, microtubule.
Шестаков Игорь Александрович, младший научный сотрудник ИПМ УрО РАН, тел. (3412) 21-45-83, e-mail: dvigateligor@gmail. com
Вахрушев Александр Васильевич, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий отделом Механики и физико-химии гетерогенных сред ИПМ УрО РАН, e-mail: [email protected]
Федотов Алексей Юрьевич, кандидат физико-математических наук, научный сотрудник ИПМ УрО РАН, e-mail: [email protected]
