CC BY
27
УДК 519.85
0.С. ПИЧУГИНА*
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОМБИНАТОРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ И ПРИМЕНЕНИЕ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ
Харьковский национальный университет радиоэлектроники, г. Харьков, Украина
Анотаця. У po6omi запропоновано nidxid до побудови функщоналъно-аналтичних представлень сктченних точкових конфiгурацiй, що е образами множин комбтаторних конфiгурацiй в арифме-тичному ев^довому просторi. Побудовано ряд таких представлень множин ев^дових конфiгу-рацт перестановок. Запропоновано схему побудови е^валентног моделi до задачi оптимiзацii на загалътй ев^довт множит перестановок векторiв у виглядi задачi дискретного програмування. Показано застосування отриманих резулътатiв до задач розмщення об'ектiв довтъног вимiрнос-тi.
Ключов1 слова: конфiгурацiя, ев^дова комбтаторна конфiгурацiя, загалъна множина перестановок, функцюналъно-аналтичне представлення, ев^дова комбтаторна множина, задача розмi-щення, метричш характеристики, параметри розмщення.
Аннотация. В работе предложен подход к построению функционалъно-аналитических представлений конечных точечных конфигураций, являющихся образами множеств комбинаторных конфигураций в арифметическом евклидовом пространстве. Построен ряд таких представлений множеств евклидовых конфигураций перестановок. Предложена схема построения эквивалентной модели к задаче оптимизации на общем евклидовом множестве перестановок векторов в виде задачи дискретного программирования. Показано применение полученных резулътатов к задачам размещения объектов произволъной размерности.
Ключевые слова: конфигурация, евклидова комбинаторная конфигурация, общее множество перестановок, функционалъно-аналитическое представление, евклидово комбинаторное множество, задача размещения, метрические характеристики, параметры размещения.
Abstract. In the paper, an approach to the construction of functional-analytic representations offinite point configurations being the images of sets of combinatorial configurations' sets in the arithmetic Euclidean space is presented. A number of the representations for the Euclidean permutation configuration sets is constructed. A scheme offorming an equivalent model of an optimization problem on the general Euclidean permutation of vectors set as a discrete problem is proposed. Applicability of the results to placement problems for arbitrary dimension objects is demonstrated.
Keywords: configuration, Euclidean combinatorial configuration, the general permutation set, functional-analytic representation, Euclidean combinatorial set, placement problem, metric characteristics, placement parameters.
1. Введение
Конфигурации в разных контекстах встречаются в различных теоретических областях. Наиболее распространенным является понятие конфигурации как множества прямых на плоскости или в пространстве в совокупности с их точками пересечения [1, 2]. Это понятие конфигурации в смысле Т. Рейе, часто называемой геометрической, было обобщено в нескольких направлениях. На сегодняшний момент они подразделяются на топологические, геометрические и комбинаторные [3]. Конфигурацию называют топологической, если она задает некоторое размещение псевдолиний в проективной плоскости с соответствующим множеством их пересечения. Конфигурации относят к геометрическим, если линии рассматриваются в евклидовой или проективной плоскости, а точки формируются в результате пересечения этих линий. Наиболее распространенными являются комбинаторные конфигурации, в которых в качестве точек и линий рассматриваются абстрактные множества. Именно в последнем контексте конфигурации рассматривались К. Бержем [4]
© Пичугина ОС., 2018
ISSN 1028-9763. Математичш машини i системи, 2018, № 1
для решения задач комбинаторного анализа и было введено строгое математическое понятие конфигурации как отображение
(1)
некоторого исходного множества А элементов произвольной природы в конечное абстрактное результирующее множество
В = {Ъ1,...,Ък} (2)
определенной структуры при выполнении заданного набора ограничений О. Хотя формально Берж не накладывал ограничений на мощность исходного множества, фактически он рассматривал их конечный случай, полагая
А = {аь...,ап). (3)
Именно в этом контексте конфигурации рассматривались в дальнейшем, например, в [5-8], с применением для этого случая понятия комбинаторной конфигурации или конфигурации в смысле К. Бержа.
Комбинаторная конфигурация (1) осуществляет структурирование результирующего множества (2), а ее результат п представляет собой упорядоченную последовательность элементов из В :
% =
г а\ ■•• ап Л ''' ^Jn J
bJVbJ2'-'bJn
(4)
которую можно также представить четвёркой:
(A,B,\\!,Q). (5)
Рассмотрим задачу комбинаторной оптимизации в следующей постановке. Пусть на
множестве П комбинаторных конфигураций (4) задана функция f: П —» R^. Требуется найти
*
п = arg min /(7г), (6)
яеРсП
где P - множество допустимых решений задачи.
Отобразим множество П в пространство Rn , ri >п так, что для образа Е множества П выполнено
Зф: Е = ф(П), П = ф-1(£) , (7)
после чего перейдем к рассмотрению задачи вида
х - arg min h(x). (8)
XG Ic£
(8) представляет собой задачу оптимизации на множестве Е cz Rn евклидовых комбинаторных конфигураций размерности п' или е-конфигураций [9-11], каждая из которых представима в виде Vx е Е Зя; е П: х = ф(тт), % = ф ' (х) и задается пятеркой:
(¿.Д.у.ф.П). (9)
Целью данной работы является поиск подходов: а) к математическому моделированию множества П комбинаторных конфигураций и множества Е е-конфигураций в зависимости от параметров четверки (5) и пятёрки (9) соответственно; б) к эквивалентному
формулированию задачи (6) как задачи дискретной оптимизации, то есть к построению задачи (6) такой, что
тг* =ф"1(Л;*); (10)
в) к решению задачи (6). Также будут указаны возможные приложения полученных результатов в геометрическом проектировании.
2. Теоретические сведения и обозначения
Приведем некоторые сведения из [9]. Пусть Е - конечное и не вырожденное в точку множество точек в Я", а Т — {fj(x)}jeJ ~ множество функций, определенных на Е, где Зт ={1 ,...,т}.
Представление множества Е с помощью функциональных зависимостей
= (11)
/¿(х)<0,]^тит> (12)
называется функционально-аналитическим или / -представлением множества Е .
Система (11) называется строгой частью / -представления, система (12) - нестрогой частью, а количество ограничений - его порядком. Так, т будет порядком / -представления (11), (12), а т',т" = т — т' - порядком его строгой и нестрогой частей соответственно.
Геометрически /-представление (11), (12) задает Е как пересечение т' поверхностей: Б у ~ ¡х е М" : /¡(х) = 0}, / е.//?/, после чего из образованного надмножества множества Е выделяется непосредственно Е при помощи ограничений (12), задающих некоторые подобласти Н" : Cj ={х<еЯп : fj+т'(х) < 0}, / е.]т<<.
Классификация / -представлений может быть произведена в зависимости от вида входящих в них функций, а также порядка строгой и нестрогой его частей и / -представления в целом. Так, по виду функций (4), (12) / -представления множества Е могут быть линейные и нелинейные, непрерывные, дифференцируемые, гладкие, выпуклые, полиномиальные, тригонометрические и т.п.
В свою очередь, для этих видов может быть введена дальнейшая классификация. Например, (11), (12) - полиномиальное / -представление Е, если все функции семейства - полиномы. Введя понятие степени полиномиального / -представления как наивысшей степени этих полиномов, можно выделить линейные, квадратичные, кубические, биквад-ратичные и полиномиальные представления высших степеней.
Общая задача построения функционального представления множества Е состоит в нахождении некоторой системы ограничений (11), (12), задающей множество Е. Поскольку Е конечно, существует бесчисленное множество его / -представлений, поэтому данная задача всегда разрешима. Более того, теоретически разрешимой является также задача построения полиномиального / -представления [12].
Классификация / -представлений в зависимости от соотношения параметров т, т, т" осуществляется следующим образом: система (11), (12) называется:
• строгим представлением Е, если в нем присутствует только строгая часть, то есть
т' = т, т" = 0 ;
• нестрогим - если в / -представлении есть только нестрогая часть, то есть
т' = 0,т" = т;
• общим / -представлением, если присутствуют строгая и нестрогая части, то есть
т'(т-т') > 0.
Если А= а1,...,ап - мультимножество, то символами {А} = (а^,...,ап^ [А] — [а1,...,ап] будем обозначать упорядоченную последовательность элементов А . Если к тому же А - числовое мультимножество, то а = (А) = (а\ ,...,ап ) будет вектором из его элементов. И, наоборот, если х = - кортеж элементов, в частности, вектор
х = (х1,...,хп), то X — {х} — будет мультимножеством его элементов.
УхеЕ 0(х)^0, \fg^GЗx^E :G(x)^G\{g} .
Если множество А состоит из упорядоченных последовательностей элементов, то индуцирующим его мультимножеством называется А такое, что
А = {а^1 : а± -<... УаеА {а}^А; Уге^БаеА: {а} <хА\{аг}.
Основа Я(А) — {а^ ,...,ак} индуцирующего мультимножества называется образующим множеством для А.
3. Математическая модель
Заметим, что, исходя из (4), каждой конфигурации л е П можно поставить во взаимнооднозначное соответствие некоторый вектор ( ¡\,..., ¡п): 1< // < п, / е.]п . Для того же, чтобы отобразить произвольную конфигурацию как элемент множества П, далее будем использовать обозначения:
л = [ль...,лп], (13)
Будем также считать, что вся необходимая информация о задаче оптимизации сосредоточена в комбинаторной конфигурации, а именно в таких параметрах четверки (5), как исходное множество (3) и результирующее множество (2).
Остановимся на случае, когда множества А, В представляют собой совокупность векторов одинаковой размерности, то есть существуют я, т е N :
Т s
ai=(ali,...,asi) (14)
leJk. (15)
Перепишем задачу (6) в следующем виде:
*
л = arg min /(а, я), (16)
л е Р(я, Ь) , (17)
где Да, Ь) = {ле П(Ь): ft{ а, л) < О, i е Jt}, (18)
a = K-W„.b = [bj]JeJk. (19)
Учитывая (18), представим условие (17) в виде
яеП(Ь), (20)
fi (а, я) < 0, г eJt (21)
и перейдем к рассмотрению задачи (16), (20), (21).
Положим теперь, что элементы исходного множества могут быть переменными, а элементы результирующего множества - фиксированными. Условимся использовать обозначение a и a для числовой величины или вектора, рассматриваемого как константа и как переменная соответственно, в результате чего формулы (14), (19) преобразуются в
щ =(a\i,...,aSi)T , a = [ai]i<Ejn> b = [bj]jejk, а задача (16), (20), (21) приобре-
тает форму (20),
* —
7t = arg min f (a, 7t), (22)
¿(¡,7t)<0, ieJt. (23)
При этом (5) переходит в четверку , где А = {ai,...,an} .
Пусть множество П содержит все комбинаторные конфигурации вида (4), удовлетворяющие условию
Q = {v: {7t} = G}, (24)
где G = {b^1 Щ+... + Щ =п, то есть V7tеП 3j\,...,jn : {n} = {bj ,bj ,...,bj } = G.
По построению видно, что множество П включает все перестановки из мультимножества G, состоящего из n элементов, к из которых различны. Иначе говоря, это общее евклидово множество перестановок или общее e-множество перестановок [13] из мультимножества числовых векторов G :
П = /к(С). (25)
Тогда наша цель состоит в решении задачи оптимизации вида (20), (22), (23), (25). Сформулируем ее как задачу (33) на множестве е-конфигураций. С этой целью зададим биективное отображение ср между элементами результирующего множества В и множеством £ действительных чисел:
£ = {е\,...,ек}, et <ei+l, /е (26)
такое, что ej - <p(b j), bj=(p~^(ej), / e J¡{. Тогда множество
£ = ф(П) = {* = (*1.-.*и)еД" : лг-ф(тс) = (фС^х),...,ср(0)}тгеП (27)
будет представлять собой общее множество евклидовых конфигураций перестановок размерности п' = п или общее С -множество перестановок [9]:
E = Enk{G), (28)
индуцирующим мультимножеством которого является числовое мультимножество:
G = {e"l,...,elk} = {gb...,gn}, gj<gi+1, ieJn_i, а образующим - числовое множество £ вида (26).
Представим задачу (20), (22), (23) в эквивалентной форме:
* — _i х -arg min /(а,ф (х)), (29)
/% (а, ф-1 (л:)) < 0, /е Jt, (30)
ie£, (31)
где E - множество вида (28).
Задача (29-31) представляет собой задачу евклидовой комбинаторной оптимизации
[13] на С-множестве Е вида (28), решив которую и учитывая (10), мы одновременно
*
найдем оптимальное решение % исходной задачи.
Для того, чтобы представить (29-31) как задачу математического программирования, рассмотрим возможные пути аналитического описания условия (31) принадлежности допустимого решения x дискретному множеству E . Иначе говоря, перейдем к задаче построения функционально-аналитического представления множества Enk (G).
4. Функционально-аналитические представления Епк (О)
Рассмотрим случай, когда
п = к, (32)
то есть мощности исходного и результирующего множеств для рассматриваемого нами множества комбинаторных конфигураций совпадают. Соответственно, множество П является евклидовым множеством перестановок без повторений из С [13, 14]: П = 7^(С), а его образ Е - это С -множество перестановок без повторений [9]:
Е = Еп{С) = Еп{£).
В этом случае условие (31) имеет форму х<^Еп(0) и может быть представлено двумя условиями: а) координаты вектора х принимают значения из £ (далее Ограничение 1); б) координаты вектора х попарно различны (далее Ограничение 2). Ограничение 1 можно записать в виде
xie.S,i€.Jn (33)
<гП
или в векторном виде х е с .
В качестве функционально-аналитического представления Ограничения 1 можно предложить следующее равенство:
п
]^[(хг-е7) = 0, (34)
7=1
Ограничение 2 представим в виде
Хг- 1 <1 < ] <п
или
xi xj
>5r, 1 <i<j<n, (35)
где г е Rl, 8= min {ег+1 - et}.
i<Ejn-1
г
Перемножив левые и правые части ограничений (35), имеем еще одну форму Огра-
ничения 2 - | | |хг- - х^
>ЪСгп
1</< /<тг
Это неравенство можно ужесточить до вида
П \х1~х] =ДГ, (36)
где Лг = \е1~еу , поскольку функция
1</< 7<и
принимает единственное значение Аг на Еп (С) .
Так, например, при г = 2 равенство (36) принимает вид квадратичного ограничения:
П ^г~х])2= П (З-*./)2, (38)
1</< 7<и 1</< 7<и
а неравенства (35) обращаются в систему квадратичных ограничений
(хг- -Ху)2 > 52, 1 < / < у < и. (39)
В результате имеем ряд / -представлений множества Еп (О) таких, как (34), (38) (далее (Еп(О) .FR1)) и (34), (39) (далее (Еп(О) .FR2)). Оба они - невыпуклые полиномиальные / -представления Еп (О) степени СП . При этом (Еп (О) Ж1) - строгое / -
9 9
представление порядка п +1, а (Еп (С) Ж2) - общее порядка Сп + п = Сп+\.
Предположим теперь, что условие (32) не выполнено. Это означает, что
п> к. (40)
Для этого случая на множестве Е Ограничение 1 также выполнено и может быть записано в формах (33), (34), чего нельзя сказать об Ограничении 2. Действительно, поскольку, в силу (40), индуцирующим для Е является мультимножество, произвольная е-конфигурация из Е будет содержать кратные координаты, следовательно,Ограничение 2 не выполняется. А это означает, что для функционально-аналитического представления условия
х^Епк{0)
необходимо найти другие признаки элементов данного множества е-конфигураций перестановок, обеспечивающие повторение координат его элементов заданное число раз.
Теорема 1. Если функция /(х) - симметрична, то она принимает постоянное значение на множестве е-конфигураций перестановок, индуцированных одним и тем же мультимножеством О , а именно,
Лх) = /^), (41)
Е'
где Е'^Епк(С), ё=(0)=(ёъ-••&»)■
г
Доказательство. Пусть хе£', тогда УуеЕ',уФх 3 \,...,in: {\,...,in)-Jl
п ■
Уг ■ т0 есть е-конфигурация у получена из х перестановкой ее координат. А
j
поскольку по условию /(х) - симметричная функция, то для любого у <еЕ' f (х) = /(у) , то есть на всем множестве E' e-конфигураций перестановок f (x) принимает постоянное
значение и 3/0 : f(x) = /0 .
Е'
Более того, f (x) принимает значение fo на всем множестве Enk (G):
/(*) = /о- (42)
Епк(°)
Определим /о, выбирая в (42) в качестве х вектор geEnjc(G), получая /О) = /о = f(g) и> в частности, (41).
Епк(°)
Заметим, что функция (37) принимает постоянное значение на множестве (28). Действительно, она симметрична, а согласно теореме 1, произвольная симметричная функция принимает постоянное значение на множестве е-конфигураций перестановок, индуцированных одним мультимножеством, а именно Vr > 0 и(х, г) = u(g, г) . Таким образом,
Епк(°)
все точки Enk(G) удовлетворяют ограничению (36), где Дг определяется по формуле
r
Дг= П \si-sj
1</< ]<п
В частности, аналогом квадратичного уравнения (38) будет
П (*/-*/)2= П (43)
1 <1<)<П 1<7 <]<П
Итак, построено / -представление множества Епк (О) вида (34), (43) (далее ( Епк (О) .FR1)). Подобно (Еп (О) .FR1), это представление строгое, невыпуклое, полино-2
миальное степени Сп и имеет порядок 1 + п .
Возникает вопрос о возможности построения полиномиальных представлений Епк (О) низших степеней, в том числе выпуклых.
Для того, чтобы построить такие / -представления множества Епк (О), перепишем условие (24) в эквивалентной форме О = .' Х={х} = О} или \/х е Епк(0):
{хь...,хп} = &1,...^п}. (44)
Представим условие (44) в эквивалентной форме:
(x-gl)■...(x-gn) = 0, хеЯ. (45)
Действительно, решение уравнения (45) по переменной х предполагает нахождение множества XI,...,хп его корней, которые в точности образуют мультимножество О, обеспечивая тем самым выполнение условия (44). Перепишем уравнение (45) в терминах его корней, воспользовавшись формулой Виета:
хп-(gl+... + gn)xn-l +(glg2+... + gn_lgn)xn-2 +... + (-\)п gl■g2■...gn=0.
В результате имеем систему из п уравнений:
Е №■= Е (46)
ю<^п,|ю|=^'ею <я<^Jn,\a\=j гею
решением которой будет множество п действительных чисел XI,...,хп вида (44) и только они. С другой стороны, рассматривая каждое из уравнений системы (46) как уравнение поверхности в Я", связывающее координаты вектора х = (л"| ,...,хп), получаем, что полным решением этой системы будет в точности общее С -множество перестановок Епк(0). Соответственно, (46) - это строгое полиномиальное представление этого множества (далее Епк (О) .FR2)), степень и порядок которого совпадают с размерностью пространства и равно п .
Введем обозначения для элементарных симметрических полиномов
«/(*)= X (47)
юсУи,|со|= 7 /ею
и перепишем ( Епк (О) в виде
"/(■*) = "/#) (48)
Заметим, что для больших размерностей преставление (Епк (О) становится
неприменимым из-за трудоемкости вычисления значений функций (47). В самом деле,
пусть, к примеру, п - четно и рассматривается 7 = ~ -ое уравнение этой системы. Оно со-
пп/2 п
держит Сп слагаемых, каждое из которых, в свою очередь, состоит из — множителей,
то есть вычисление значения функции ип (х) в точке требует выполнения неполиномиаль-
2
ного по п числа операций.
Построим еще одно функциональное представление множества Епк (О) на базе ( Епк (О) основанное на известных соотношениях элементарных симметрических
полиномов (47) со степенными суммами:
п
= (49)
/=1
устанавливаемыми с помощью тождеств Ньютона-Жирарда [15]:
7-1
(х) = ] ■ + £ НГ-^Ч (*)• Л/-* (*) (50)
/=1
Применяя рекуррентно формулу (50) к обеим частям (48), получаем qj(x) = qj(g) , /' е ./„ или, учитывая (49),
п п
XV "!>/•./<•'/,- (51)
/=1 /=1
Подобно (46), система уравнений (51) может быть рассмотрена в двух контекстах: первый - как система для определения множества решений уравнения (45); второй - как
г>П
система, задающая множество поверхностей в пространстве К , в пересечении которых образуется в точности множество Епк (О). Таким образом, найдено еще одно / -представление (51) множества Епк (О) (далее (Епк(О) .FR3)). Как и (Епк (О) .FR2), оно строгое, полиномиальное, а его степень и порядок равны п . В то же время оно обладает видимыми преимуществами по сравнению с ( Епк (О) .FR2), а именно, простотой входящих
в него функций и его выпуклостью в ортанте .
Использование понятия евклидовых комбинаторных конфигураций и свойства (44) е-конфигураций перестановок позволило предложить новое, значительно более простое, доказательство следующей теоремы, представленной в [16].
Теорема 2. Каждая из систем уравнений (46), (51) задает строгое функционально-аналитическое представление множества Епк (О). Сформулируем обобщение теоремы 2.
Теорема 3. Если -биективное отображение между элементами образующего
г г
Епк(0) множества £ и множеством = { действительных чисел, то каждая из
систем уравнений
п п
(52)
/=1 /=1
X Е (53)
юсУи,|со|=7/есо юсУи,|ю|=7/есо
задает строгое функционально-аналитическое представление множества Епк (О).
Доказательство. Введем в рассмотрение мультимножество
= &1>-^п} = {е1П1 >->екк}'- ёг = !(&)> и осуществим в (52), (53) следующую
замену переменных:
= ), X, = ), (54)
В результате получим две системы уравнений:
П П
= (55)
/=1 /=1
Согласно теореме 2, система (55) представляет собой (Епк(О') .FR2), а (56) -( Епк(О') .FR3). С учетом того, что (52), (53) формируется (55), (56) заменами перемен-
—1 ' —1 ' —1 ' ных, обратными к (54): х, = \ (хг-), = В, ), / е ; е^ = (еу ), / е , имеем
х' е Епк(°') <=> х е Епк(°) ,
а (52), (53) - это записанные в терминах координат е-конфигурации х представления {Епк(0')Ш2\{Епк(0')ШЪ).
Следствие 1. Vа е Е^ каждая из следующих систем уравнений
п п
X (ъ - аУ - X - аУ = 0, у е ,
7 = 1 7=1
X До*-*)-7'- Е П^-^0--^-7«
со£7„,|ю|=7/ею юс./й,|со|=7/ею
является строгим / -представлением множества Епк (G).
V / V V\Т
Наконец, введя в рассмотрение функцию х — покоординатного возве-
дения вектора в степень геТ?1, / -представление (51) может быть записано в векторной форме:
х'Г е = е,./ е.//7, (57)
где е - единичный вектор. Тогда, возвращаясь к исходной задаче (20), (22), (23), (25) на комбинаторных конфигурациях, получаем, что условие (20) может быть записано в виде
ф(71УТ-е = ^Т-е,уеУи. (58)
В результате исходная задача сводится к поиску экстремума функции /(а, л) в области, заданной функциональными ограничениями (23), (58). Переменными в ней по условию являются п ■ 5 координат векторов исходного множества А , а также п ■ т координат векторов (13), составляющих конфигурацию л. В целом эта задача оптимизации имеет размерность п($ + да). В то же время задача евклидовой комбинаторной оптимизации (29), (30), (57) имеет размерность п(я +1), поскольку переменными в ней являются координаты векторов исходного множества и координаты х . Также она сформулирована как задача
математического программирования, решив которую одним из методов дискретного про*
граммирования [ 17-20] будет найдена не только оптимальная е-конфигурация х , но и оп-
*
тимальная комбинаторная конфигурация л вида (10). 5. Применение результатов в задачах размещения
Пусть множество т -мерных объектов {0/}/е,/ с известными метрическими характеристиками размещаются в области Од а Ят с фиксированными параметрами размещения. Необходимо найти параметры размещения объектов Ог, / е Зп, а также метрические характеристики области размещения, при которых достигается экстремум функции / и при этом объекты размещения попарно не пересекаются и расположены в области размещения.
Построим математическую модель данной задачи как задачи на множестве евклидовых конфигураций перестановок. Исходным множеством будут служить векторы параметров размещения, а результирующим - различные векторы метрических характеристик
Т
объектов размещения. Пусть |Зг = (р^,...,) - вектор метрических характеристик объекта ()[ (/ е .1 п), тогда для построения результирующего множества В вида (2) выделим
основу из мультимножества G = Jß, метрических характеристик объектов размещения и осуществим присвоение В = >5(В') .
Учитывая наличие области размещения Oq , нумерацию объектов будем осуществлять с нуля - {Oj}. о , где Jn = JnKj {0}, и именно они будут служить исходным множе-
7£j п
ством для формирования конфигураций. Параметрами векторов (14) будут параметры размещения объектов, иначе говоря, координаты их полюсов.
Согласно условию задачи, параметры размещения области Oq заданы, остальные должны быть найдены, таким образом формула (14) приобретает вид
а0 =(alO'-'asö)T ^rS> щ =(an,...,aSi)T <eRs ,
где s - число параметров размещения, ао еОд - полюс области размещения, -
полюса объектов размещения. В то же время формула (15) преобразуется в - - - Т т
¿0= b\o,...,bmo <eRs , bj - b{j,...,bmj
где m - количество метрических характеристик, которые должны быть найдены только для области размещения, остальные фиксированы.
Задача (16), (20), (21) преобразуется в
* —
71 = arg min /(ао,а,7г), (59)
леП(й0,Ь), (60)
fi а0,я,п <0, ieJf, (61)
где 71:
i — — \ а0 а\ ... ап
~h{) ЬЛ - bJnj
bJ0'bjV-'bJn
Здесь система ограничений (61) включает два блока - условия попарного непересечения объектов размещения:
> 0, 1 </'</"< п (62)
и условия их размещения в области Оо :
*
>0,/'е;й, (63)
где О0 - дополнение области размещения, Ф^ - фи-функция [21]. В терминах метрических характеристик и параметров размещения условия (62), (63) могут быть представлены в виде
1 </'</"< и, (64)
Ф'(а0,Ьо,аг',Ьг)>0, /'еУ„. (65)
Формализуем ограничение (60), переписав его следующим образом:
(66) (67)
где С - мультимножество метрических характеристик, а
тт тшах
ьгтп I 0(\ ,0[
с: Ят - параллеле-
пипед, в пределах которого могут изменяться метрические характеристики области Од .
Теперь можно осуществить переход к рассмотрению общего множества е-конфигураций перестановок по вышеприведенной схеме и задаче евклидовой комбинаторной оптимизации на нем. Мы же предложим математическую оптимизационную модель на евклидовом комбинаторном множестве Рпк (С) с использованием его / -представления вида (58), которое, с учетом (27), представим в виде
п п
ХФ-7'К) = Е(Р ^Р/О.У^Л- (68)
г=1 г=1
Получили модель оптимизации (59), (64), (65), (67), (68) смешанно-комбинаторного типа, в которой переменными являются и метрические характеристики, и параметры размещения объектов, а также метрические характеристики области. За счет условия (68) допустимым решением этой задачи будет допустимое размещение объектов заданных изначально размеров. Искусственное его добавление позволяет существенно, а именно в
IРпк (С)| =- раз, увеличить область поиска оптимального решения по сравнению
с традиционными постановками задач размещения, в которых метрические характеристики объектов фиксированы [14, 21], и, соответственно, увеличить вероятность получения более точного решения при применении приближенных методов. Также это демонстрирует, как практически может быть применен метод искусственного расширения пространства [2224] для решения реальных задач.
Предложенный подход к построению оптимизационных моделей на множествах комбинаторных конфигураций как задач оптимизации на множествах евклидовых комбинаторных конфигураций может быть применен к другим классам е-конфигураций, таким как множества евклидовых конфигураций размещений и перестановок со знаком, а также специальным классам множеств е-конфигураций перестановок, размещений, перестановок со знаком [9] и др. При этом для построения / -представлений этих множеств могут быть применены результаты работ [16, 25-30].
6. Выводы
В данной статье предложен новый подход к построению функционально-аналитических представлений образов евклидовых комбинаторных множеств, основанный на применении понятия евклидовой комбинаторной конфигурации как отображения конечного множества в точку евклидова арифметического пространства. Данный подход применен к общему евклидову множеству перестановок и его отдельным классам для построения непрерывных функциональных представлений, что позволяет применение методов непрерывной оптимизации к решению дискретных задач на этих множествах.
Построена обобщенная модель оптимизации на множествах комбинаторных конфигураций в смысле Бержа с участием как исходного, так и результирующего множества. Для тех из них, результирующие множества которых представляют собой векторы одной размерности, построена эквивалентная модель на множестве евклидовых комбинаторных конфигураций с использованием полученных непрерывных функциональных представлений.
Построена модель размещения геометрических объектов с одинаковым числом метрических характеристик как задача оптимизации на множестве евклидовых комбинатор-
ных конфигураций, где исходным множеством выступают векторы параметров размещения, а результирующим - векторы метрических характеристик. Данная модель позволяет варьирование множества переменных характеристик, в результате чего она охватывает как традиционную модель размещения объектов, где метрические характеристики объектов размещения фиксированы, так и случай, когда все или часть из них переменные, где сходимость к допустимой точке обеспечивается дополнительными ограничениями, а оптимизация проводится на образе общего евклидова множества перестановок.
Область применения результатов работы может быть расширена на другие классы евклидовых комбинаторных множеств, а также другие задачи геометрического проектирования и оптимального планирования.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Reye T. Die Geometrie der Lage / Reye Т. - Leipzig: Baumgartners Buchhandlung, 1892. - 343 p.
2. Gropp H. Configurations between geometry and combinatorics / H. Gropp // Discrete Applied Mathematics. - 2004. - Vol. 138, N 1. - P. 79 - 88.
3. Grunbaum B. Configurations of Points and Lines / Grunbaum B. - Providence, R.I: American Mathematical Society, 2009. - 399 p.
4. Berge C. Principes de combinatoire / Berge C. - Paris: Academic Press, 1968. - 146 p.
5. Гуляницкий, Л.Ф. До формалiзацil та класифшаци задач комбшаторно! ошишзаци / Л.Ф. Гуля-ницкий // Теорiя оптимальных ршень. - 2008. - № 7. - С. 45 - 49.
6. Донець Г.П. Екстремальш задачi на комбшаторних конф^уращях / Г.П. Донець, Л.М. Колечкша.
- Полтава, 2011. - 328 с.
7. Сачков В.Н. Комбинаторные методы дискретной математики / Сачков В.Н. - М.: Наука, 1975. -319 с.
8. Стоян Ю.Г. Описание классов комбинаторных конфигураций на основе отображений / Ю.Г. Стоян, И.В. Гребенник // Доклады НАН Украины. - 2008. - № 10. - С. 28 - 31.
9. Стоян Ю.Г. Евклидовы комбинаторные конфигурации: монография / Стоян Ю.Г., Яковлев С.В., Пичугина О.С. - Харьков: Константа, 2017. - 404 с.
10. Яковлев С.В. Задачи оптимизации на евклидовых комбинаторных конфигурациях и их свойства / С.В. Яковлев, О.С. Пичугина // Питання прикладное' математики i математичного моделювання. -2017. - Вип. 17. - С. 278 - 263.
11. Яковлев С.В. Свойства задач комбинаторной оптимизации на полиэдрально-сферических множествах / С.В. Яковлев, О.С. Пичугина // Кибернетика и системный анализ. - 2018. - № 1. - С. 111
- 124.
12. Harris J. Algebraic Geometry: A First Course, 1st ed. / Harris J. - N.Y.: Springer-Verlag, 1992. -328 p.
13. Стоян Ю.Г. Теорiя i методи евклщово! комбшаторно! опташзаци / Ю.Г. Стоян, О.О. Смець. -К., 1993. - 188 с.
14. Стоян Ю.Г. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования / Ю.Г. Стоян, С.В. Яковлев. - К., 1986. - 268 с.
15. Seroul R. Programming For Mathematicians / Seroul R. - Berlin, New York: Springer, 2000. - 431 p.
16. Пичугина О.С. Функционально-аналитические представления общего перестановочного множества / О.С. Пичугина, С.В. Яковлев // Восточно-Европейский журнал передовых технологий. -2016. - № 4 (79). - С. 27 - 38.
17. Баранов В.И. Экстремальные комбинаторные задачи и их приложения / В.И. Баранов, Б.С. Стечкин. - [2-е изд.]. - Москва: Физматлит, 2004. - 240 с.
18. Korte B. Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms / B. Korte, J. Vygen. - Heidelberg, New York: Springer, 2012. - 660 p.
19. Pardalos P.M. Handbook of combinatorial optimization / Pardalos P.M, Du D-Z., Graham R.L. - New York, 2013. - 3409 p.
20. Сергиенко И.В. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы решения, исследования / И.В. Сергиенко, В.П. Шило. - К.: Наукова думка, 2003. - 261 с.
21. Chernov N. Mathematical model and efficient algorithms for object packing problem / N. Chernov,
Y. Stoyan, T. Romanova // Comput. Geom. - 2010. - Vol. 43, N 5. - P. 535 - 553.
22. Pichugina O.S. On Lifting Approaches To Geometric Design Problems / O.S. Pichugina, T.E. Romanova, S.V. Yakovlev // Тези доповщей XIV мiжнар. наук.-практ. конф. «Математичне та програмне забезпечення iнтелектуальних систем (MPZIS-2016)», (Днiпропетровськ, 16-18 листопада 2016 р.). - Дшпропетровськ, 2016. - С. 154 - 155.
23. Yakovlev S. V. The Method of Artificial Space Dilation in Problems of Optimal Packing of Geometric Objects / S.V. Yakovlev // Cybern. Syst. Anal. - 2017. - Vol. 53, N 5. - P. 725 - 731.
24. Яковлев С.В. О комбинаторной структуре задач оптимального размещения геометрических объектов / С.В. Яковлев // Доклады НАН Украины. - 2017. - № 9. - С. 26 - 32.
25. Pichugi^ O. Convex extensions and continuous functional representations in optimization, with their applications / O. Pichugirn, S. Yakovlev // J. Coupled Syst. Multiscale Dyn. - 2016. - N 2 (4). - P. 129 -152.
26. Pichugi^ O. Continuous Representations and Functional Extensions in Combinatorial Optimization / O. Pichugi^, S. Yakovlev // Cybernetics and Systems Analysis. - 2016. - N 6 (52). - P. 921 - 930.
27. Pichugi^ O. Continuous Approaches to the Unconstrained Binary Quadratic Problems / O. Pichugi^, S. Yakovlev // Mathematical and Computational Approaches in Advancing Modern Science and Engineering. - Switzerland: Springer, 2016. - P. 689 - 700.
28. Pichugi^ O. Continuous representation techniques in combinatorial optimization / O. Pichugi^, S. Yakovlev // IOSR Journal of Mathematics. - 2017. - N 2 (13), Ver. V. - P. 12 - 25.
29. Pichugi^ O. Optimization on Polyhedral-Spherical Sets: Theory and Applications / O. Pichugi^, S. Yakovlev // IEEE First Ukraine Conference on Electrical and Computer Engeneering (UKRCON). -2017. - P. 1167 - 1174.
30. Пичугина О.С. Оптимизация на общем множестве перестановок со знаком / О.С. Пичугина // Системш дослщження та шформащйш технологи. - 2017. - № 4. - С. 74 - 96.
Стаття над1йшла до редакцп 10.01.2018
