Математическое моделирование геометрических фракталов с помощью R-функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.6

Семерич Ю.С., Романова Е.Г., Романов Н.А.

ПГУ, 440026, Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФРАКТАЛОВ С ПОМОЩЬЮ R-ФУНКЦИЙ

Аннотация. Рассматривается задача построения уравнений границ геометрических фракталов с помощью метода R-функций. Выполнена визуализация функций, описывающих такие фрактальные области как ковер Серпинского, салфетка Серпинского, губка Менгера и др. Построено уравнение границы фрактальной области, получившей название звезда Давида.

Ключевые слова: метод R-функций, геометрический фрактал, обратная задача аналитической геометрии, размерность Хаусдорфа-Безиковича.

В работе изучается метод построения уравнений границ геометрических фракталов с использованием метода R-функций. Основной особенностью данного метода является построение неявно заданных функций для произвольных геометрических областей [4].

Понятия фрактал и фрактальная геометрия, появившиеся в конце 70-х, с середины 80-х прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово фрактал образовано от латинского «fractus» и в переводе означает состоящий из фрагментов. Оно было предложено Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных, но самоподобных структур, которыми он занимался. Одним из основных свойств фракталов является самоподобие: в самом простом случае небольшая часть фрак-

тала содержит информацию обо всем фрактале. Определение фрактала, данное Мандельбротом, звучит так: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны

целому».

В основе построения широкого класса фрактальных объектов лежит понятие канторового множества на прямой. Исходным является отрезок прямой [0,1] из которого исключается интервал (V3*2/3)

, затем из каждого сегмента оставшегося замкнутого множества опять исключается средняя треть, то есть интервалы (1/9,2/9) и (7/9,89) и так далее. Если посчитать длину оставшихся отрезков, пользуясь формулой геометрической прогрессии, а затем, перейти к пределу, то получаем ноль. Вместе с тем, нетрудно проверить, что общая длина удалённых отрезков стремится к 2/3 . Следовательно, оставшаяся часть должна иметь длину V3, несмотря на то, что не содержит в себе ни одного отрезка. Такой парадокс можно объяснить тем, что рассматриваемый объект имеет фрактальную геометрию, а значит, обладает дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича, которую можно определить следующим образом. Пусть в N -мерном пространстве задано некоторое множество то-

чек. Возьмём кубы размера £ и посчитаем, какое минимальное их число может покрыть всё множество. Такое число обозначим через n£) . Теперь возьмём кубы с размером £2 и окажется, что их

нужно n(£) . Уменьшая размер куба, получаем в пределе величину D = lim|logn£)/log£ , называемую

фрактальной размерностью множества или размерностью Хаусдорфа-Безиковича. Для канторового множества эта размерностью оказывается дробной и равна D = log2/log3«0,63 .

Рассмотрим вопрос о построении уравнений границ некоторых геометрических фракталов с помощью конструктивных средств теории R-функций следуя работам [1 - 3] . Для этого, прежде всего, изложим основную идею теории R-функций в задаче построения уравнения границы произвольного

геометрического объекта. Пусть даны система областей 2(=(а((х, у)> 0) (i = 1,2,..., m) , которые назовём

опорными и булева функция F(XV,X2,...,Xm) . Построим предикат, определяющий область Q , сконструированную из опорных областей 2(=(а((х, у)> 0) (i = 1,2,..., m) по логическим правилам, определяемым

булевой функцией F , с помощью следующих логических операций над множествами: «П» - пересечения, «U» - объединения и «—,» - дополнения. Формально это можно записать в виде

Q = F({z1;z2,...,zm},{n,uy). (1)

Переход от предикатного способа задания области Q в виде (1) к аналитическому виду с помощью неравенства 0, = (ю(х, у)>0) может быть осуществлен с использованием основной теоремы теории R-функций.

Теорема [1]. Пусть даны опорные области 2,- =(ст/ (x, у)> 0) (i = 1,2,..., m) , Q = F у, 22,..., Ц ) = 1 - предикатное уравнение, определяющее сложную область Q , f (a, a2,...Gm) есть R-функция, для которой F(2^ Пт,..., 2m) является сопровождающей. Тогда неравенство f (a, о^,...^)>0 определяет область Q , а уравнение f (о, с^,...) = 0 - её границу.

Построение R-функции f (a, о2,...&т) , для которой F(2, 22,..., 2т) является сопровождающей, легко осуществить с помощью какой-либо из достаточно полных систем R-функций, например, системы ^Яа : xла у = (1 + а) 1 (x + у — ^х2 + у2 — 2аху)

хwa у = (1 + а) 1 (х + у + yjх2 + у2 — 2аху) (2)

х = —х

Здесь Аа называется R-конъюнкцией, Уа - R-дизъюнкцией, а параметр а( х, у) выбирается из условия —1 <а(х, у)< 1 , а(х, у) = = а(у, х) = а(—х, у) = а(х, — у) . В частности, на практике используется

а(х, у) = (1 + х2 + у2 ) .

Из сформулированной выше теоремы следует, что переход от предикатной формы задания области Q к уравнению её границы осуществляется с помощью формальной замены Q на о(х, у) , £г- на (тДх, у) (/ = 1, 2,т) , а символы {П, Ц- на символы R-операций {да, va,—} соответственно. Получим в итоге аналитическое выражение, определяющее в элементарных функциях требуемое уравнение границы о(х, у) = 0 . При этом для внутренних точек области о(х, у)> 0 , а для внешних о(х, у)< 0 .

Перейдем к построению уравнения границы фрактальной области, которая называется ковер Сер-пинского. Процесс его построения состоит в следующем: исходный квадрат разбивается на 9 равновеликих квадратов, центральный из которых исключается. Далее каждый из оставшихся квадратов подвергается аналогичной процедуре и так далее. Устремляя этот процесс к бесконечности, получаем в итоге фрактальный объект с дробной размерностью D = log8/log3«1,893 . Поскольку реализовать его на практике невозможно, то процесс прерывается на k -м шаге, а получаемый при этом объект называется предфракталом к-го уровня.

Для построения уравнения границы предфрактала нулевого уровня ковра Серпинского зададимся двумя областями

°i (х) = (а2 - х2 )^2а , (у)=(а2 - у2 2а ,

тогда уравнение о0(х, у) = ^л

-0 будет задавать левого уровня. С учётом этого, а так же пользуясь уровня зададим в виде:

О (х, у') = о0 (х, у)л0 о(3х, 3у)/3 = 0 .

В итоге приходим к следующей рекуррентной формуле

(°0 (х у),

W-1 (х у)л0 Fk (х у).

, , (°0 (х

О (х у ) = 1 У

К- (

искомое ур свойством

авнение границы предфрактала ну-самоподобия, предфрактал первого

Здесь к = 1,2,.

Fk (х, у) задаё

тся в виде

Fk (x, у ) = —

lo2 .у ( 3*-1 ж 2 .у ( 3*-1 ж

о 3—arcsin I sin I-------х I 1, 3—arcsin I sin I---у

ж II 2 II, ж II 2 у

k (х у) 3k

На рис. 1 изображены картины линий уровня предфракталов ковра Серпинского в зависимости от

значений параметра k .

k = 0

k = 1

k = 2

k =3

Рис.1. Ковер Серпинского для различных значений k

В качестве следующего примера фрактала рассмотрим треугольник (или салфетку) Серпинского. Для его построения из центра равностороннего треугольника удалим треугольник. Повторим эту же процедуру для трех образовавшихся треугольников (за исключением центрального), и так до бесконечности. Если мы теперь возьмем любой из образовавшихся треугольников и увеличим его, то получим точную копию целого. В данном случае мы имеем дело с полным самоподобием. В этом фрактале инициатор и генератор, как и в предыдущем случае, одинаковы. При каждой итерации добавляется уменьшенная копия инициатора к каждому углу генератора, и так далее. Если при создании этого фрактала произвести бесконечное число итераций, он бы занял всю плоскость, а потому его дробная размерность равна D = log9/log3 = 2 .

Предфрактал нулевого уровня зададим как пересечение трёх систем полос, повёрнутых друг относительно друга на угол 60 градусов в виде

О0 (х у) = СТ1 (у) л0 ст2 (х у) л0 ст3 (х у) ,

где &1 (у)

•Д (2ж = — cos I —= 2ж

ст2 (х у ) = OiI мП х +1 у I ,

^(x, у) = СТ11 ^х +1 у

а

Конечная рекуррентная формула для предфрактала

О (х у)

О0 (x, у ),

О-1(x, у) л0 Fk (x, у + ^(2-k - (-1)k ) j ’

k -го уровня имеет вид

где k = 1,2,... , а Fk (х, у) задаётся в виде Fk (х, у) = -2k®0 ^х, - 2^) .

На рис. 2 изображены картины линий уровня предфракталов треугольника Серпинского в зависимости от значений параметра k .

к = 0

k = 2

A

AA A A

AA AA A A A A

4AA44M4

k = 3

Рис.2. Треугольник Серпинского для различных значений к

Обобщая рассмотренный подход на пространство R3 можно построить уравнения границ таких тел как пирамида Серпинского и губка Менгера, которые изображены на рис. 3 и 4 соответственно.

При этом фрактальная размерность пирамиды Серпинского равна log25. У фигуры нулевой объем (на каждом шаге половина объема выбрасывается), но при этом площадь поверхности сохраняется от итерации к итерации, и у фрактала она такая же, как и у начальной пирамиды.

к = 0 к = 1 к = 2 к = 3

Рис.3. Пирамида Серпинского для различных значений к

ln20 _ __

Размерность губки Менгера равна ------= 2.73 , поскольку состоит из 20 равных частей, каждая из

ln3

которых подобна всей губке с коэффициентом подобия 1/3. Этот фрактал является универсальной кривой: любая кривая в трехмерном пространстве гомеоморфна некоторому подмножеству губки. У

губки Менгера нулевой объем (так конечно большая площадь.

к = 1

как на каждом шаге он умножае

к = 2

на 20/27), но при этом бес-

к = 3

Рис.4. Губка Менгера для различных значений к

В результате сечения губки Менгера плоскостью проявилась предфрактальная область, название которой можно дать как звезда Давида (рис. 5) . При этом размерность Хаусдорфа такой области

ln8

равна ----= 1,89 .

р ln3 ,

Рис. 5. Звезда Давида

Построим уравнение этой фрактальной области.

объединение двух равносторонних треугольников т0 (х У) = (°1 Л0 О )v0 (о, л0 о, ) = О ,

где

o1=-y -1J31х| + а,

Я| I , 2<j3

> = У — V3 |х| Л—— а,

о = У Л-----а,

2 3

Уз

о. = — у Л----а,

4 3

о

Предфрактал нулевого уровня <т (х, у) зададим как

a - сторона треугольника.

Уравнение предфрактала k-ого уровня имеет вид т = mk—1Л0 F (ц^ ,Mhy)

rn0(3kЦц) т0(3k)

W к

Fk (Mhx, Mhy)" 0

Функция Fk (м-hx,Mhy) задает бесконечное множество звезд, которые появляются при разбиении предфрактала (к-1)-ого уровня до уровня к. Здесь ц,цЬу - функции тиражирования области вдоль

осей координат

h . ( . ях Л 2sh . ( . яу , . . ......., ___ . , .

М = — arcsin I sin— I, м =-----arcsin I sin —— , м =— arcsin I sin-1— , м =-------arcsin I sin

^ я l h I *hy я l 2sh J ^ я l h 2 J ^hy2 я I

ях яЛ 2sh . ( . я(у — sh)

____I___I // —______a tv* e itil счг» ___L.

2sh

, 4a

h = ~r

->k

с шагом 3 и поправкой Полученные уравнения были

s-6/7.

визуализированы в среде Wolfram Mathematica

(рис.6).

Рис.6. Звезда Давида для различных значений k

Таким образом, в данной работе показано, как с помощью конструктивного аппарата теории R-функций можно записывать уравнения границ геометрических фракталов. При этом получена фрактальная область, получившая название звезда Давида, уравнение границы которой построено используя рассмотренную методику. Данный подход может быть развит на другие типы фрактальных областей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Рвачев В.Л. Теория R-функций и некоторые её приложения. - К.: Наук. думка, 1982. - 506

с.

2. Кравченко В.Ф., Басараб М.А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. - М.: Физматлит, 2004. - 308 с.

3. Максименко-Шейко К.В., Толок А.В., Шейко Т.И. R-функции как аппарат в приложениях фрактальной геометрии // Прикладная информатика. - 2010. - №6(30). - С. 21-27.

4. Семерич Ю.С., Романова Е.Г., Романов Н.А. Решение обратной задачи аналитической геометрии методом R-функций // Труды международного симпозиума "Надежность и качество". 2012. Т. 1. С. 229-231.