CC BY
87
Для решения задачи массопереноса в трубчатом реакторе (математическая модель(1)) использовалась вычислительная схема с оптимальным значением параметра стабилизации ^ е [0,1;0,001] на вложенных сетках 5х 5, 10 х10, 20 X 20
с базисными функциями второго порядка. Для задачи, приближенной к реальной, доминирование конвекции было значительно меньше (на 2-4 порядка), чем для модельных задач, что обусловило значительное уменьшение погрешности (на 2-3 ).
Проведенные вычислительные эксперименты показали возможности применения разрывного метода Галеркина для решения конвективно-диффузионных задач с преобладанием конвекции. Оптимальный выбор параметра стабилизации позволяет повысить точность решения задачи как минимум на один порядок.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Arnold D.N., Brezzi F., Cocburn B., Marini D. Unified analysis of discontinuous Galerkin methods for elliptic problems // SIAM J. Numer. Anal. - 2002. - Vol. .39, № 5. - P. 1749-1779.
2. Cocburn B. Discontinuous Galerkin methods for convection-dominated problems // In High -Order Methods for Computational Physics. - 1999. Vol. 9. - P. 69-224.
3. Baumann C.E.and Oden J.T. A discontinuous hp finite element method for convection-diffusion problems // Comput. Methods Appl. Mech. Eng. - 1999. - № 175. - P. 311-341.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н. О.П. Солоненко.
Иткина Наталья Борисовна - Новосибирский государственный технический университет; e-mail: [email protected]; г. Новосибирск-99, ул. М. Горького, 92, кв. 3; тел.: 80059383464;
; . . .; .
Itkina Natali Borisovna - Novosibirsk State Technical University; e-mail: [email protected]; 92, M. Gorky street, ap. 3, Novosibirsk-99, Russia; phone: 80059383464; the department of computational technologies; cand. of eng. sc., associate professor.
УДК 629.7.016
О.Д. Крееренко, Е.С. Крееренко МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ САМОЛЕТА , ,
НА ОСНОВЕ СИНЕРГЕТИЧЕСКОГО ПОДХОДА
Статистические данные по авиационным происшествиям в классах пассажирских и транспортных самолетов мира показывают, что значительная доля авиационных проис-, , -ния самолета с наземными объектами вследствие его выкатывания за пределы взлетно-
( ). ,
отказы в системах самолета, а также человеческий фактор. В связи с этим проблема совершенствования законов автоматического управления для обеспечения заданного уровня безопасности при движении летательного аппарата (ЛА) по ВПП остается весьма актуальной. В докладе рассмотрен новый синергетический подход к синтезу законов автоматического управления движением самолета по ВПП. Такой подход позволяет всесторонне и в полном объеме учесть естественные динамические свойства ЛА как нелинейного, многомерного и многосвязного объекта управления (ОУ) [1].
Математическая модель; летательный аппарат; синергетический синтез; законы .
O.D. Kreerenko, E.S. Kreerenko
MATHEMATICAL MODELLING OF MOVEMENT OF THE AIRCRAFT ON THE RUNWAY, OPERATED THE REGULATORS SYNTHESIZED ON THE BASIS OF THE SINERGETIC APPROACH
The statistics associated with the flight accidents of the passenger and cargo transport airplanes demonstrate that the considerable amount of the flight accidents during landing including the crashes is caused by collision with ground objects resulted from running off the runway. As a rule, a flight accident is an effect of the failures of airborne systems or resulted by human factor. Thereby the development of automatic control laws of the airplane motion on the runway enabling required level of safety is still of high priority. This paper reviews the synergetic approach to synthesis of the automatic control laws of an airplane motion on the runway. Such an approach allows consider entire dynamic behavior of the airplane being reviewed as non-linear, multidimensional and multiply connected control object [1].
Mathematical model; aircraft; synergetic synthesis; control laws.
. -
ния для обеспечения заданного уровня безопасности при движении ЛА по ВПП остается весьма актуальной. Цель исследования: синергетический синтез законов управления движением ЛА по ВПП [1]. Задачи: формирование математической ( ) , ; отклонения органов управления ЛА.
Математическая модель объекта, описываемого системой нелинейных дифференциальных уравнений 12-го порядка [2], в переменных состояния:
X1 (t) = Х2 Хб - Х3 Х5 - g sin Х10 + a1 u1;
X2 (t ) = Х3 Х4 - Х1Х6 - g cos xwcos Х11 + a1 u2;
X3 (t) = Х1Х5 - Х2Х4 + g cos Х10 sin Хц + a1 u3;
Х4(t) = a2Х6Х5 - a3Х6Х4 + a4u4 + a5u5;
Х5 (t) = a6Х6Х4 - a3Х6Х5 + a5u4 + a7u5;
Х6 (t) = a8 (x2 - Х52) + a9Х4Х5 + a10u6;
Х7 (t) = Х1 cos Х10 cos Х12 + x2c1 + x3c2; (1)
Х8 (t) = Х1 sin Х10 + Х2 cos Х10 cos Хц - Х3 sin Хц cos Х10;
Х9 (t) = - Х1 cos Х10 sin Х12 + x2c3 + x3c4;
Х10 (t ) = Х5 sin хц + Х6 cos хц;
Хц( ) = X4 - tg X10 (x5 cos Хц - X6 sin Хц);
. / \ cos X11 sin X11
x12(t ) = x5--------x6----------,
cos X10 cos X10
где X1 = Vx, X2 = Vy , X3 = Vz , X4 = (Dx , X5 = COy , Xg = (Dz - проекции векторов
( );
X7 = X, X8 = Y, X9 = Z - координаты центра масс ЛА в земной системе координат (ЗСК); Х10 = Хц = у, Х12 =W - углы тангажа, крена и рыскания соответственно; u = Fx, u2 = Fy, u3 = Fz, u4 = Mx, u5 = My, u6 = Mz - суммарные
1/ 12 - II + 12 ITV (Ix + Iv -It)
силы и моменты в ССК; = 1/ m, ^ = v v z xy , a-$ = -x-y-—,
t t — t 2 t t — T2
1 xl y 1 xy LxLy xy
1V Txv 1 x1 z — Tx — 1XV • Tx „ = Ixy
a4 =-----’ a5 =---------Г ’ a6 =------------^ ; a7 = “----------------~T ’ a8 = T" ’
TT ___ т2 TT _ т2 tt _ т 2 7 7 _ 7^ I
1X1 v — 1 xy 1x1v Ixy 1X1 y 1 xy xl y xy z
Ix — Iv 1
a9 =-—, aio =—, Ix, Iy, Iz - моменты инерции самолета, g - ускорение
Tz Tz
свободного падения; m - масса аппарата;
c1 = sin x11 sin xj2 — sin xj0 cos x11 cos xj2; c2 = cos x11 sin xj2 + sin xj0 sin x11 cos xj2;
c3 = sin x11 cos x12 + sin xj0 cos x11 sin xj2; c4 = cos x11 cos xj2 — sin xj0 sin x11 sin xj2.
Синергетический синтез законов управления. Основываясь на теории иерархического синтеза [3], разобьем процедуру синтеза на два этапа: на первом этапе определим обобщенные законы управленияметодом аналитического
( ),
математические зависимости угловых положений управляющих поверхностей ЛА . , - . Компоненты искомого вектора управления входят линейно в первые шесть уравнений системы (1). Требуется найти в аналитической форме вектор управлений u, который обеспечит перевод объекта (1) из некоторого начального состояния в области допустимых значений фазовых координат на пересечение введенных притягивающих инвариантных многообразий, а затем в заданное состояние, определяемое сле-: , -
* * сти руления xi = Vx ; предотвращение бокового увода ЛА с полосы xg = Z ;
*
обеспечение дистанции пробега x-j = X , не превышающей длины ВПП. Процедура аналитического синтеза законов управления автопилота для модели объекта, аналогичного (1), методом АКАР подробно описана в работе [4] и в докладе не представлена. Полученные обобщенные законы управления Uj,...,U$ определяют пространственную ориентацию ЛА на ВПП.
Для определения вектора углов отклонения управляющих поверхностей как функции переменных состояния системы, запишем проекции результирующих векторов сил и моментов, действующих на ЛА, на оси ССК:
Fx = — G sin г? - X + Px + Nx; Fy = — G cos $cos y + Y + Py + Ny;
Fz = G cos -sin у + Z + Nz; (2)
M = M + M ; M = M + M ; M = M + MP + M ,
x xa xut* y ya Vм z za zP zui ’
где X,Y,Z,Mxa,Mya,Mza - составляющие аэродинамических сил и моментов по осям ССК (сила сопротивления, подъемная и боковая силы); Px, Py,Mzp - проекции силы тяги и момента силы тяги двигателей относительно осей ССК;
Nx, NyNz,Mxm Myw,Mш - составляющие суммарных сил и моментов от всех стоек шасси по осям ССК. Распишем правые части выражения (2) более подробно:
X — qS(Cy sin(a) - Cx cos(a)); Y — qS(Cy cos(a) + Cx sin(a));
(З)
7 = дЯС;; Мха = д51тх; Муа = дБ1ту; Мга = ,
где 5, I, Ъа - площадь, размах и средняя аэродинамическая хорда крыла, д - скоростной напор; Сх, Су , Сг , тх, ту , т^ - коэффициенты аэродинамических сил и ,
Сх = Сх И + С<РР + с3хП8п + ^ £ + Сх/?^| + ^Схг + ^Сх .„, + ^Схш ;
Cy — Cy (а) + ф + Лcyi+ ,,, ; Cz — cf 3 + ^ ".S,,
..
mx — m3 3 + mS S3 + m0 Sn + (mXfx X4 + m%y X5)l / 2 / V; my — m@ 3 + mSn Sn + (m®x X4 + m^y X5)l / 2 / V;
-y -y 3 + my' Sn + (m y^-4 1 ■ -y
S
vz\^j ' ,,vz^ ' "^z ' "^z
(4)
(5)
mz — mz (а)+ m^ ф + mz3 S3 + mfzX6b4/V + ЛmZi +Лmz ;
tgа — -Vy /Vx; sin3 — Vz /|V , где а, 3 -
; ф, Sn, 0э -
- углы атаки и скольжения;
углы отклонения стабилизатора, руля направления (PH) и элеронов; Л- добавки от шасси (ш), интерцепторов (і), тормозных щитков (т.щ.). Проекции силы и моментов от тяги равны: Рх = Р008^ ; Ру = Р8ІП^Л; ; Мр = Рхут, где (рдв - угол
установки двигателя; удв - плечо проекции силы тяги относительно центра масс
ЛА по оси ОУ. Из условия равновесия сил, приложенных к колесу, найдем силы, действующие на самолет от каждой стойки шасси в ССК [5]:
(б)
где A - матрица направляющих косинусов; Щі - число колес в тележке i-й
; Ski - -
молета; Єг - обжатие пневматика; Tyi, Txi, Tzi - сила обжатия пневматика, со, ( );
Nxi nki [Tzi sin(X12 - S ) - T,i cos(X12 - Ski )
Nyi —1 All nkiTyi (ЄІ )
Ni nki [Tzi cos(X12 - Ski ) + Txi sin(X12 - S )
T —
yi
\ТУІ (є) при є > 0
Txi №rpiTyi ; Tzi №ziTyi,
yi
[0 При < 0,
где ЦТ11 - коэффициент трения; ^ - коэффициент боковой силы колеса.
(7)
n n n n
MШ1 — S Nzi ' ryi - SNy ' rzi ; M yUl — SNxi ■ rzi - SNzi ' rxi;
i—1 i—1
x zi yi yi zi
І — 1 i—1
M„ — У N
. r - "У N • r
yi Xi Xi 'yi’
І —І І —І
(8)
где п - число стоек шасси; Тх;, Ту^ , Тгг- - координаты центров эквивалентных колес шасси в ССК относительно центра тяжести самолета.
Согласно [6], для самолета Бе-200ЧС-Е направление движения на пробеге выдерживается отклонением PH 8п, боковой ветер парируется отклонением элеронов 8Э, ручка управления двигателем - на режиме малого газа в течение всего пробега самолета. Тогда для системы уравнений (2)-(8) внешними управляющими
8п 8 , -
ментальные алгоритмы - внутренними управлениями. Для нахождения законов
8п 8
систему алгебраических уравнений [7]:
ОУу | ^^у п п
иА 8 дЯ1(</3+ т88 + т8п8п + т' *4 х I) + Ё' Гу1 -ЁИу< ‘ гъ,
^ ;=1 ;=1 (9)
8^ тУ‘х, + т^х, ^ ^
и5 = ^ (т33+ т/8п +---------—----------1) + Ё• гг; “Ё^ • гх;.
2* ;=1 ;=1
В результате получим математические зависимости углов отклонения управляющих поверхностей от обобщенных управляющих воздействий и4, и5:
8 8^(и5 _^Мх‘ ‘^ ‘Гх;)_Шу^3 2У (тУХХ4(1) + шГУх5(г)))/ту8;
3 = (т3у” и4 - т3 и5 + (т3 тДД - т^” тР Д) +
(10)
+[т8 (т/х 0) + ту х5 (г)) - т8 (т*х х4 (г) + т? х5 (г))] +
п п п п
+т8 (Е • Г3 - Е ^ • Гх1) + ту8 (Е Му1 • Гз - Е ^' гу;)) / (95т8> ту8).
181 181 181 ;81
(10) -ристики ЛА и шасси, аэродинамические коэффициенты, управления и4, и5, полу-
8п 8 .
Моделирование. Задав параметры синтезированных регуляторов, в программной среде Мар1е проведем моделирование замкнутой системы для следую-
* т х * * * * * _
щих инвариантов: х} = Ух =2 м/с, х2 8 хз 8 о м/с, х4 8 х5 8 хб 8 0 рад/с,
* * * * * х8 = 0 м, боковое смещение от оси ВПП х9 = 0 м, х 8 х 8 х 8 о рад. . 1-6
зависимости 8п 8 f (г) и 8Э8 f (г) , на рис. 7-10 - фазовые портреты системы.
. -тигает асимптотического предела в пространстве состояний. Фазовые траектории изображающей точки стремятся к аттракторам, отражающим желаемые технологические режимы системы.
Рис. 1. УХ = / (ґ\м/с
Рис. 2. С0у = / (ґ), Ус
Рис. 3. X = / (ґ), м
Рис. 4. Z = / (ґ)
Рис. 5. 3” = / (ґ)
Рис. 6. 3 = /(ґ)
Рис. 7. х =2, х9 =0
* 9
Рис. 8. Хп = Хі„ =0
"її
'12
99
Рис. 9. х = Хп =0
Рис. 10. Х9 =0
9 9
Рис. 11. Х4 = Х5 =0
99
Рис. 12. Х9 = Х12 =0
БИЕЛИОГРАФИЧЕСКИИ СПИСОК
1. Колесников АЛ. Синергетическая теория управления. - М.: Энергоатомиздат, 1994.
2. Брагазт В.Ф. Математическое моделирование динамики движения самолета при взлете
. - . , 1981.
3. . . //
Известия ТРТУ. - 2006. - № 6 (61). - С. 73-84.
4. Колесников АЛ., Кобзе в ВЛ. Динамика полета и управление: синергетический подход.
- Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2009.
XI
5. Никитина А.В., Сухинов А.И., Гармаш AM., Гузик В.Ф. Математический анализ. Ч. I: Учебное пособие. - Таганрог, Изд-во ТРТУ, 2005. - 96 с.
6. Самолет-амфибия Бе-200ЧС-Е. Руководство по летной эксплуатации.
7. Никитина А.В., Левченко М.Н Элементы дискретной математики: Учебное пособие. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2008. - 150 с.
Статью рекомендовал к опубликованию д.т.н. В.П. Асовский.
Крееренко Ольга Дмитриевна - ОАО «Таганрогский авиационный научно-технический комплекс им. Г.М. Бериева» (ТАНТК); e-mail: [email protected]; 347923, г. Таганрог, пл. Авиаторов, 1; тел.: 89034397446; отдел аэродинамики; ведущий инженер- конструктор.
- « »; e-mail:
[email protected]; 347900, г. Таганрог, ул. Греческая, 74; тел.: 89064526211; проектно; - .
Kreerenko Olga Dmitrievna - Beriev Aircraft Company; e-mail: [email protected]; 1, Aviatorov square, Taganrog, 347923, Russia; phone: 89034397446; aerodynamics department; lead design engineer.
Kreerenko Evgeniy Sergeevich - AVIAOK Internacional; e-mail: [email protected]; 74, Grecheskaya street, Taganrog, 347900, Russia; phone: 89064526211; RD department; design engineer.
УДК 519.876.5: 532.53
В.И. Ольгаренко, H.C. Захарченко, О.П. Кисаров, И.В. Ольгаренко
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕЧЕНИЙ В МИУССКОЙ ОРОСИТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ НА ИМИТАЦИОННОЙ
МОДЕЛИ
Рассмотрены вопросы создания и внедрения имитационных моделей в процесс разработки оперативных танов водораспределения в оросительных системах (ОС) при регулировании по принципу расчетного приращения объемов. Показано, что для обоснования применимости этого способа диспетчерского управления необходимы численные исследования течений в каналах ОС. Выполнено моделирование течений в Миусской ОС (Ростовская область) на основе одномерных уравнений Сен-Венана. Исследование течений на имитационной модели позволило обосновать допущения, принимаемые при указанном способе регулирования, и определить спектр допустимых для данной ОС режимов управления.
Течение; канал; система уравнений Сен-Венана; оперативное водораспределение; коэффициент разбаланса; цикл управления.
V.I. Olgarenko, N.S. Zakharchenko, O.P. Kisarov, I.V. Olgarenko
MATHEMATICAL MODELLING AND STUDY OF FLOWS ON THE MIUSSKAYA IRRIGATION SYSTEM SIMULATION MODEL
The problems of design and implementation of simulation models in the development of operational plans of water distribution in irrigation systems (IS) when regulating by estimated volume increment are described. It is shown that to justify the applicability of this method of dispatching management the numerical study of flows in channels is required. Simulation of flows in Miusskaya IS (Rostov region) channels based on one-dimensional Sen-Venan equations is done. Numerical study of flows made it possible to justify the assumptions made in the operational management of water distribution by selected method and to define the acceptable range for this management regimes.
Flow; channel; system of Sen-Venan equations; operational water distribution; the coefficient unbalance; cycle of management.
