Математическое моделирование динамики и устойчивости упругих элементов крыла Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 539.3: 533.6,517.9

А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ И УСТОЙЧИВОСТИ УПРУГИХ ЭЛЕМЕНТОВ КРЫЛА

Исследуются динамика и динамическая устойчивость упругого элемента (закрылка) крылового профиля. На основе построенного функционала получены достаточные условия устойчивости, налагающие ограничения на параметры механической системы. Предложен численноаналитический метод исследования динамики.

Упругий элемент крыла, условия устойчивости.

A.V. Ankilov, P.A. Velmisov WINGS ELASTIC ELEMENTS’ DYNAMICS AND STABILITY MATHEMATICAL MODELLING

This is a research of dynamics and dynamic stability of the elastic element (flap) of the wing profile. On the bases of the constructed functional the sufficient conditions of stability are obtained. These conditions impose a constraint on the parameters of the mechanical system. A numerically-analytical method of dynamics research is offered here.

Wing’s elastic element, stability conditions.

Введение

Исследуются динамика и динамическая устойчивость упругого элемента конструкции - модели крыла с закрылком, с учетом взаимодействия с дозвуковым потоком идеальной жидкости (газа). Определение устойчивости упругого тела соответствует концепции устойчивости динамических систем по Ляпунову. Предполагается, что линейная реакция на внешнее воздействие имеет запаздывание по времени. Для отыскания аэрогидродинамической нагрузки используются линейные асимптотические уравнения и методы теории функций комплексного переменного. Поведение упругого тела описывается нелинейной моделью. Исследование устойчивости основано на построении положительно определенного функционала, соответствующего полученной системе нелинейных интегродифференциальных уравнений с частными производными для функций деформаций элемента. Получены условия устойчивости, налагающие ограничения на скорость набегающего потока, изгибную жесткость элемента

и другие параметры механической системы. Исследование динамики упругого элемента основано на применении метода Галеркина.

Постановка задачи

Рассмотрим плоскую задачу аэрогидроупругости о малых колебаниях, возникающих при бесциркуляционном обтекании тонкостенной конструкции - модели крыла с упругим закрылком.

Пусть на плоскости xOy, в которой происходят совместные колебания упругого закрылка, крылу соответствует на оси Ox отрезок [а,Ь], а закрылку - отрезок [Ь,с] (на рис. 1 обозначено у = у / в , где в - малый параметр).

В бесконечно удаленной точке скорость газа равна V и имеет направление, совпадающее с направлением оси Ox. Будем считать, что прогиб упругого закрылка и возмущение однородного потока малы.

Введем обозначения: w(x,t) и u(x,t) - упругие перемещения закрылка в направлении осей Oy и Ox соответственно; ф(х,у^) - потенциал скорости возмущенного потока газа.

Предлагаемая математическая модель определяется следующими уравнениями и граничными условиями: потенциал скорости ф удовлетворяет уравнению Лапласа

Рис. 1. Крыловой профиль

линеаризованным граничным условиям

Ф± (хА і) = ііш Ф у (х У, і) = ВДх)

х є (а, Ь),

у^±0

Ф± (х,0, t) = wt (х, t) + Vwx (х, t), х е (Ь, с),

условию отсутствия возмущений в бесконечно удаленной точке

!Уф|^ (ф2 +Ф2 +Ф?)в =0; уравнения малых колебаний упругого закрылка имеют вид

- ЕЕ Г и'( х, t) + 2 w,2( х, t) 1 + Ми( х, t) = 0,

(1)

(2)

(3)

(4)

- ЕЕ

н'(х, і)| и'(х, і) + 2н'2(х, і)

+ Ен""(х, і) + Мй>(х, і) + в0н(х, і - т) + Р1і&(х, і) +

(5)

+ р2Н' '' ' (x, і) = Р(ф+(хАі) - Ф- (x,0, і))+ Р V(Ф+(x,0, і) - Ф- (x,0, і)), х є (Ь, С) •

Здесь и в дальнейшем штрих обозначает производную по х, а точка - производную по і; р - плотность газа; Е, Е, Ю, М - модуль упругости, площадь поперечного сечения, изгибная жесткость и погонная масса закрылка; р2, р1 - коэффициенты внутреннего и внешнего демпфирования; р0 - коэффициент жесткости основания; т - время запаздывания реакции основания; /± (х) - функции, определяющие форму верхней (+) и нижней (-) недеформируемых частей профиля.

Используя методы теории функций комплексного переменного [4], решение задачи можно свести к исследованию системы уравнений для неизвестных функций перемещений (и, н) закрылка, в которой правая часть второго уравнения системы (5) примет вид:

р с

р (Ф+(хАt) - Ф-(x,0, t))+ рV(Ф+(x,0, t) - Ф-(x,0, t)) = — |[Л(х1, t)+Уй' (х1, t)]К(х1, х)^х -

п Ь

--vрJ[w(xl,t)+^о]дкд1,х)/+ сх1)+у-(х1 )]^(х1,х е (Ь,c),

п Ь дх п а

где

К (х1, х) = 21п

У(х - а)(с - х1) + У(х1 - а)(с - х)

•х/(х - а)(с - х1) -^/(х1 - а)(с - х)

G(х х) = У(х-а)(с - х) + л/(х1 -а)(с - х1) х ^ х

1 д/( х - а)(с - х) (х - х1) ’ 1

Если профиль крыла симметричный, т.е. /+ (х) = - /(х), то получим однородную систему уравнений:

- ЕЕ( и'(х, t) + -2 w'2(х, t) ] + Ми(х, t) = 0,

- ЕЕ

w'(x,t)| и'(х,t) + — w'2(x,^

2

+ Е^"" (х, t) + МЛ(х, t) + Р0w(х, t - т) +

+ Р1Л(х, t) + +Р 2Л ' " '(х, t) = -Р|[Л(х1, t) + '(х1, t)]K (х—, х)ёх1 -

п Ь

-“РДЛ(х1,t) + '(х1,t)]дК^хх-^х-)ёх1, х е (Ь,с).

п Ь дх

Граничные условия на концах пластин при х = Ь или х = с могут иметь вид:

1) жесткое защемление (рис. 2 а):

л( х, t) = л " ( х, t )= и( х, t) = 0;

2) шарнирное неподвижное закрепление (рис. 2 б):

л( х, t) = л " (х, t) = и( х, t) = 0;

3) жесткое подвижное защемление (рис. 2 в):

л( х, t) = л ' (х, t) = и" (х, t) = 0;

4) шарнирное подвижное закрепление (рис. 2 г):

1 2

л(х, t) = л"(х, t) = и’(х, t) + ^л’ (х, t) = 0 .

(7)

(8 а) (8 б) (8 в)

(8 г)

Исследование устойчивости

Получим достаточные условия устойчивости решений системы интегро-дифференциальных уравнений (7) по отношению к возмущениям начальных условий.

Введем функционал

с I

п2

а б в

Рис. 2. Способы закреплений

Ф^)= \\М(и2 + Л2) + ЕМ"2 + ЕЕ| и' + 2лп ] +Р0л2 +Р0 Jdt1 jW2(x,+/(t)+J(t) , (9)

I^) = р\ёхjW(х, t)Л(х1, t)К(х1, х)^х1, 3^) = -—— \dx\w'(х, t)л’(х1, t)К(х1, х)^х. (10)

п Ь Ь п Ь Ь

рV2

Найдем производную от Ф по t

г

Ф^)= м 2М(ии + ММ) + 2£3м "Л " + 2ЕЕ| н '+1 м '2 |(й ' + м 'М ') + 2Р0мм +

Д , , ^ ,2 ; ^ (11)

+ в0 | М2(х, t)ё^ - в0 | М2(х, я)ёя >ёх +1^)+3^).

С учетом равенства л(х, t -т) = л(х, t) - { М(х, я)ёя, для функций л(х, t) и и(х, t),

,-Т

являющихся решениями системы уравнений (7), выражение для Ф(,) принимает вид:

Ф^^ 2{<| ЕЕйГ и' +1 м'2 I + ЕЕМ м'\и' +1 л' 2 I -Е3Мм""-Р0Мм + Р0М { М(х, я)ёя -

2

1 г

2

,-Т

-РМ2 -Р2ММ""(х,t)-рМ(х,,)|’(М(х1,t) + РМ'^,,))К(х1,х)ёх -

п Ь (12)

-—М( х, t) | (М( х1, t) + РМ'( х1, t)) дК (Xl, х) ^ + Е3м"М" + ЕЕй( и’ +1 л'2 | +

п Ь дх V 2 ]

+ ЕЕм"М'|и' + ■1 л'2| + 2Р0мм + Р0тМ2(х, t) -Р0 {М2(х, я)ёя|ёх +1^)+3(t) .

Пусть граничные условия на левых концах пластин при х = Ь и х = с имеют один из типов (8 а)-(8 г). Тогда, интегрируя по частям, получим

|Мм"" ёх = Мм"’]\Ь -1ММ'"ёх = -ММ"\сЬ +{М"м" ёх = {М" м" ёх, {ММ"" ёх = {М"2ёх,

Ь Ь Ь Ь Ь Ь

{й|и’ + -2м’21 ёх = и|и ’ + -2л'2] -{и'|и ' + -2л'2|ёх = -{и'|и ' + 2л'2|ёх,

^ -Г / " 1 " 2 Ц". . / , 1 , 21с / , 1 ,21. / , 1 ,21,

{ мм ^и + ] ёх = лл |и + | -{ м м |и + ] ёх = - м м |и + | ёх .

Меняя порядок интегрирования, проведем интегрирование по частям

|ёх|М(х,t)М(х1,t) дК(Xl,х) ёх1 = {ёх1 {М(х,,)М(х1,t) дК(Xl,х)ёх = {М(х,,)М(х1,,)К(х1,х) |Ь ёх1 -

Ь Ь дх Ь Ь дх Ь

с с с с

- {ёх^М" (х, t )М( х1, t) К ( х1, х)ёх = -{ёх {М" ( х1, t )М( х, t) К (х1, х)ёх1,

Ь Ь Ь Ь

где в последнем равенстве поменяли местами переменные интегрирования х и х1, учитывая, что К (х1, х) = К (х, х1) .

Аналогично получим

с с дК (х х) с с

{ёх{м(х, t)м’(х1, t)- ’ ёх1 = -{ёх{М’(х, t)м’(х1, t)К(х1, х)^ .

Ь Ь дх Ь Ь

Подставляя эти равенства в (12), получим

Ф(,) = {12Р0М { М(х, я)ёя + в0тМ2 (х, t) - в0 { М2 (х, я)ёя - Р1М2 - в2М" 21ёх -

Ь I г-т г-т J (13)

2р с Г с ^ 2рV2 с Г с ] . . ^ ;

-----{] М( х, t) {М( х1, t) К ( х1, х)ёх1 >ёх +-к М' ( х, t) {м' ( х1, t )К (х1, х)ёх1 >ёх +1 + 3.

п Ь У Ь } п Ь У Ь ]

Используя неравенство 2аЬ < а2 + Ь2, получим 2М(х, t)М(х, я) < М2 (х, t) + М2 (х, я). Подставляя эти оценки в (13), окончательно находим

Ф(,) < 2{{0тМ2(х, t) -Р1М2 -Р2М"2 }х - }р{Г М(х, t){М(х1, t)К(х1, х)ёх11 ёх +

+ 2р^7 {<{ М'(х, t){л '(х1, t)К (х1, х)ёх1 |>ёх +1 + 3.

Преобразуем интеграл I^):

с с

ё р с с р 1

1^) =----{ёх{М(х, ,)М(х1, ,)К (х1, х) ёх1 = — {ёх{м(х, ,)М(х1, ,)К (х1, х) ёх1 +

ёt п ь ь п ь ь

р с с

+— {ёх {М( х, t )М( х1, t) К (х1, х) ёх1.

п Ь Ь

Поскольку К(х1, х) = К(х, х1) , то, меняя сначала порядок интегрирования, а затем переменные х1 и х, будем иметь:

р с с р с с

—{ёх{м( х1, ,)М(х, ,)К ( х1, х)ёх1 = — {ёх{м( х, ,)М(х1, ,)К ( х1, х)ёх1. п Ь Ь 1 1 1 п Ь Ь 1 1 1 Для I^) , таким образом, получаем следующее выражение:

2рс с

I ^ ) = — {ёх{М( х, t )М( х1, t) К (х1, х) ёх1. (15)

п Ь Ь 1 1 1 Аналогично преобразованиям для I ^) найдем выражение для 3 ^)

2PV2 с с

3 ^) =-------------{ёх{М" (х, t )м " ( х1, t) К (х1, х)ёх1. (16)

п Ь Ь

Подставляя (15), (16) в правую часть (14), имеем

Ф(,)< 2{{Р0тМ2(х,^-Р1М2 -Р2М"2}ёх . (17)

Ь

Рассмотрим краевую задачу для уравнения у1¥ (х) = х), х е [Ь, с] с краевыми

условиями (8) [5, 6]. Эта задача является самосопряженной и полностью определенной. Действительно, интегрируя по частям, нетрудно убедиться, что

с с с

{и(х)уж (х)ёх = {у(х)и1У (х)ёх, {и(х)иш (х)ёх > 0,

Ь Ь Ь

для любых функций и(х) и и(х), удовлетворяющих рассматриваемым краевым условиям и имеющих на [Ь,с] непрерывные производные четвертого порядка. Для функции М(х, t) запишем неравенство Рэлея:

сс

{М(х, t)W1V (х, t)ёх > щ {М(х, t)М(х, t) ёх,

ЬЬ

где щ - наименьшее собственное значение рассматриваемой краевой задачи. Интегрируя по частям, представим это неравенство в виде:

с с

{М"2(х,{)ёх > щ{М2(х,()ёх. (18)

Ь Ь

Таким образом, с учетом (18) неравенство (17) примет вид

2 с

Ф(,) <---№ + щ,рг - Р0т)М'"2ёх. (19)

Й1 Ь

Пусть выполняется условие

в0т - в1 - Щ1в2 < 0 (20)

тогда Ф(,) < 0 . Интегрируя от 0 до t, получим:

Ф(,) <Ф(0). (21)

Докажем неотрицательность интегралов

С С С С

|ёх|н(х, {)н(х1, ^К(хь х)ёхь |ёх| н'(х, {)н'(х1, ^К(хь х)йХ1 . ь ь ь ь

Теорема 1. Пусть 1) функция /х) непрерывна на отрезке х е [а,с]; 2) функция К(х1,х,с) определена и непрерывна по х и х1 в области х е [а,с], х1 е [а,с] (за исключением, быть может, линии х = х1) и интегрируема в этой области; 3) функция К(х1,х,с) непрерывно

дК

дифференцируема по с и выполняется равенство ----------= ф(х, ё) • ф(т, ё); 4) для любого

дё

ае (с, ё], х, те (с, а) выполняется равенство К (а, т, а) = К (х, а, а) = 0; 5)

С С

Нш | ёх| К(х1, х, ё)ёх1 = 0, тогда повторный (собственный или несобственный) интеграл

неотрицателен

|ёх{/(х)/(х1)К(х1,х,ё)ёх1 > 0,

причем

\ 2

| ёх| /(х)/(х1 )К(х1, х, с)ёт = {[ { /(х)ф(х, а)ёх I ёа.

а а а\а У

Доказательство. Введем функцию

а а

I (а) = | ёх | / (х) / (х1 )К (х1, х, а) ёт.

а а

В силу условий 1 и 2 теоремы производная по параметру а от функции 1(а)существует [7]. Используя условия 3 и 4 теоремы, найдем ее по формуле Лейбница

д1 а а а а дК(Х Х а)

— = | / (а) / (х1)К (а, х, а)ёх1 +1 / (х) / (а)К (х1, а, а)ёх +1 ёх | / (х) / (х1)-----^— ёх1 =

да да

\

= | ёх| /(х)/(х1 )ф(х, а) • ф(х1, а)ёт = [ | /(х)ф(х, а)ёх I > 0.

(22)

В силу условия 5 теоремы Нш I (а) = 0. По условиям 1 и 2 теоремы равенство (22)

а^0

можно проинтегрировать по параметру а. Интегрируя от а до с, получим

I(с) = | ёх{ /(х)/(х1)К (х1, х, с)ёх1 = _[ | _[ /(х)ф(х, а)ёх| ёа > 0 .

2

(23)

Теорема 1 доказана.

Замечание. В теореме 1 в качестве параметра функции К(х\,х,с) взяли правую границу отрезка [а,с]. Аналогичную теорему можно доказать, если в качестве параметра взять левую границу этого отрезка.

Введем обозначение

0,х е [а,Ь];

/(х) =

н(х,t0), х е [Ь,с].

Ядро К(х1, х, с) = 1п

У(х - а)(с - х1) +У(х1 - а)(с - х)

У(х - а)(с - х1) - у/(х1 - а)(с - х)

где в качестве параметра

возьмем с, удовлетворяет условиям теоремы 1:

1)

л/х - а

дК = д/(х - а)(х1 - а) =

дс (с - а)^(с - х)(с - х1) У (с - а)(с - х) д/(с - а)(с - х1)

л/х1 - а

= ф( х, с) ^ф( Х1, с);

2) К (с, х, с) = 1п

4е-х

4е-х

= 0, К (х1, с, с) = 1п

л/с - х1

л/с - х1

= 0, Ух, у е (а, с) ;

3) по теореме о среднем найдутся числа 91 ^ 02, 0 <91,02 < 1, такие, что

с / а

2

с а

lim J dXJ h

n

У(x - a)(c - x.) +yj(x. - a)(c - x)

У(x - a)(c - x.) -д/(x. - a)(c - x)

dX. = lim(c - a)2hn

л/02(1 -9j) + л/9.(1-02)

V02(1 -9.) ^9,(1 -9,)

= 0.

Следовательно, по теореме 1 несобственный интеграл неотрицателен

JdXJ/(x)f (x, )K(x,, x,c)dx, = J J-

Vx - a f (x)

dx

i\a ‘

, д/(а- а)(а- х) Подставляя функцию /(х), получим

С С

|ёх| Н(х, t0 )н(х1, t0)К(х1, х) ёх1 > 0 .

ь ь

Так как интеграл неотрицателен при любом значении t = ^, то

сс

| ёх|Н(х, t)Н(х1, t)К(х1, х)ёХ1 > 0.

ьь

Аналогично,

сс

| ёх| н"(х, t)н"(х1, t)К(х1, х) ёх1 > 0.

da > 0.

(24)

(25)

Продолжим исследование функционала. Учитывая выражения (9), (10) и

неравенства (24), (25), оценим правую и левую части неравенства (21)

С о¥2 С С

Ф^)> | ЕЗн"2ёх-|ёх '(х, t)н'(х1, t)К(х1, х) ёх1,

п

Ф(0) < J^-M(U02 + w,2) + EJw02 + EF\ u'0 +—w021 +P0w021dx + PJdXJw(x,0)W(xj,0)K(x.,x)dx.,

ь [ V 2 J J п b b

(27)

где введены обозначения w0 = w(x,0), W0 = W(x,0), u'0 = и'(x,0), U0 = U(x,0), w0 = w'(x,0), w0 = w " (x,0).

c

Пусть K = sup KJ(x), KJ(x) = JK(x., x) dx., тогда, пользуясь очевидными

xe(b,c) b

неравенствами 2ab < a2 + Ь2, - 2ab >-(a2 + b2) и симметричностью ядра K(x.,x) ,

получим:

c c c c c

JdXJw(x,0)w(x.,0)K(x.,x)dx, < JdxJw2(x,0)K(x., x)dX, <JKw2(x,0)dx,

(26)

- JdXJw'(x,t)w'(x.,t)K(x.,x)dX. > -JdXJw '2(x,t)K(x.,x)dX. > -JKw '2(x,t)dx. b b b b b Таким образом, неравенства (26), (27) принимают вид

0(t) > J \EJw'2-w'2 j dx,

Ф(0)<JyM + pKJw02 + MU02 + EJw”02 + Ef|^u0 + -2w02'j +P0w02ldx.

(28)

(29)

Рассмотрим краевую задачу для уравнения у1У (х) = -А,у"" (х), х е [ь, с] с краевыми условиями (8 а)-(8 г). Эта задача является самосопряженной и полностью определенной. Из неравенства Рэлея получим

Jw " (x, t)dX > Jw ’ (x, t)dX,

где ^1 - наименьшее собственное значение рассматриваемой краевой задачи. Далее, воспользовавшись неравенством Буняковского, будем иметь

2

2(x, t) < (c - b) jw ' 2(x, t)dx . (31)

w (x,t) < (c-b)jw

Воспользовавшись (30), из (28) получим

Предполагая, что

Ф^ )> j ( EJX1 -^ ]w ' 2dx . (32)

EJX1 >pVK, (33)

П

и, учитывая (3!), из (32) получим

pV2 K j w2( x, t)

Ф(0>1 EJX. -^---------. (34)

V п J c - b

Таким образом, учитывая (21), (29), (34), получим неравенство

(Elk. - PV—KJw X*) < jj^M + — Jw02 + MU02 + E/w0ff 2 + EF(u0 + 2 w02) + p0w02 J dX. (35)

Из этого неравенства следует теорема.

Теорема 2. Пусть выполняются условия (20), (33). Тогда решение w(x,t) системы уравнений (7) устойчиво по отношению к возмущениям начальных значений w0,w'0,w'0 , U0, и0, если функция w(x,t) удовлетворяет краевым условиям (8 а)-(8 г).

Исследование динамики

Предположим, что закрепление концов упругого элемента шарнирное неподвижное (8 б). Построим решение системы уравнений (7) методом Галеркина для m приближений

m m -.у

( w(x, t) = £wk(t)sinkk(x -b), u(x, t) = £uk(t) sinkk(x - b), kk = пу - ь ). Невязки уравнений

k=. k=. /c b

системы (7) имеют вид

f m \ f m m \

A(uw)=EF( £k>k(t)sinkk(x-b))+EF\ £kkwk(t)sinkk(x-b))(ZPkwk(t)coskk(x-b) ]+

V k=1 J V k=1 JV k=1 J

+M V£ U k (t )sin kk (x - b) J, x e (b, c),

m m m

l2 (u, w)=EFI £ k2kwk(t) sin k k(x - b) I £ kkuk(t) cos k k(x - b) I+EFI £ kluk(t) sin kk(x - b) Jx

V k=. JV k=. J V k=. J

/ m \ 3 f m m \2

x V£ k kwk(t) c°s kk(x - b) )+EF ^ (£ k2kwk(t) sin k k(x - b) JV£k kwk(t) c°s kk(x - b) ) +

/ m \ Z' m \ Z'm \

+ej[ £ k4kwk(t) sin k k(x - b) J+M (£ wk(t )sin kk(x - b) J+P0 (£ wk(t) sin Pk(x - a) J+

Vk=. J V k=. J Vk=. J

f m \ f m Ло m

+p. (£ wk(t) sin kk(x - a) J+P2 (£e4 wk(t) sin kk(x - a) J—£ wk(t )h(x) -

V k=1 J V k=1 J п k=1

dV m dV2 m

—£ wk(t)Jk (x)+—£ wk(t)pk(x), x e(ь, c),

п k=1 п k=1

где

ik(x)=j sin kk(x.- ь)k(x., x)dx., pk(x)=Jkkcos kk(x.- ь) dK d1, x) dx.,

ь ь ox

Jk (x) = j

Х k cos Х k (x1 - b)K (x1, x) + sin Х k (x1 - b) (Xl, x)

дx

Составим систему уравнений

dx1.

JL.(u,w)sink;(x-b)dx = 0, JL2(u,w)sink(x-b)dx = 0, где i = 1,..,m .

(36)

Для ик ^), нк ^) получим систему из 2т обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

Для нахождения ик (0), ик (0), нк (0) , Нк (0) воспользуемся начальными условиями и(х,0) = ^(х), и(х,0) = g2(х), н(х,0) = g3(х), Н(х,0) = g4(х). Составим невязки

( т Л ( т Л

^(и (0),у) = [ £ ик (0>ш Хк (у - ь) I-gl(x), я2(ик(0), у) = 1 £ ик(0)81п Хк(х - ь) I-g 2(х),

k=1

k=1

k=1

R3(wk(0), x) = ( £ wk(0)sin kk(x - b))-g3(x^ R4(wk (0)x) = ( £ wk(0)sin kk(x - b))-g 4(x).

k=1

Начальные значения uk (0), Uk (0), wk (0), wk (0) находятся из условий ортогональности (i = 1,..,m):

c c

J R. (Uk (0), x) sin ki (x - b)dX = 0, J R2 (Uk (0), x) sin k (x - b)dx = 0,

ь b

cc

J R3 (wk (0), x) sin k t (x - b)dx = 0, J R4 (wk (0), x) sin k; (x - b)dx = 0.

ь b

Пример. Будем считать, что крыло находится в потоке воздуха, а закрылок изготовлен из алюминия. С помощью математической системы MathCAD для значений параметров a = 0, b = 2, c = 2,5, h = 0,005 (толщина пластинки), M = 42,4, E = 7-1010, EJ = 806,7, р = 1, F = 2,5-10-3 р0 = 4, р1 = 0,1, р2 =0,2, и (x,0) = (x - b)3(c - x),

U(x,0) = (x-b)4(c-x), w(x,0) = (x-b)3(c-x)3, w(x,0) = (x-b)4(c-x)4, получим графики

3 3 b + c

функций и (x, t) = £ ик (t)sin kk (x - b), w(x, t) = £ wk (t)sin kk (x - b) в точке X =

k=1

k=1

(рис. 3, 4):

Прогиб

упругого

элемента

различные

моменты

2

времени

w(

(x t0) =£wk(t0)sinkk(y - b) (x e[Ь,c]) (рис. 5).

k=1

Рис. 3. Деформации пластины w( x, t) в точке x = (b + c)/2

в

Рис. 4. Деформации пластины и( x, t) в точке x = (b + c)/2

to = 0

to = 0,2

to = 0,4

Рис. 5. Прогиб упругого элемента в момент времени ї0

Выполнено при поддержке гранта РФФИ-РА 07-01-91680.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вельмисов П. А. Устойчивость вязкоупругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии / П.А. Вельмисов, Ю.А. Решетников. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1994. 176 с.

2. Анкилов А.В. Устойчивость вязкоупругих элементов стенок проточных каналов / А.В. Анкилов, П.А. Вельмисов. Ульяновск: УлГТУ, 2000. 115 с.

3. Вельмисов П.А. Устойчивость вязкоупругих систем / П.А. Вельмисов, А.Д. Дроздов, В.Б. Колмановский. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1991. 180 с.

4. Лаврентьев М.А. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1987. 688 с.

5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи / Ф.Д. Гахов. М.: Наука, 1977. 640 с.

6. Коллатц Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. М.: Наука, 1968. 503 с.

7. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа / Г.М. Фихтенгольц. М.: Физматгиз, 2002. Т. 2. 440 с.

Анкилов Андрей Владимирович -

кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета

Вельмисов Петр Александрович -

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой «Высшая математика» Ульяновского государственного технического университета

Ankilov Andrey Vladimirovich -

Candidate of Sciences in Physics and Mathematics, Assistant Professor of the Department of «Higher Mathematics» of Ulyanovsk State Technical University

Velmisov Pyotr Aleksandrovich -

Doctor of Sciences in Physics and Mathematics, Professor, Head of the Department of «Higher Mathematics» of Ulyanovsk State Technical University

Статья поступила в редакцию 23.07.08, принята к опубликованию 26.11.08