CC BY
21
КРАТКИЕ СООБЩЕНИЯ И ОБМЕН ОПЫТОМ
УДК 674.048.3
Л.А Баданина, Е.Ю. Варфоломеева
Баданина Лариса Александровна родилась в 1968 г., окончила в 1991 г. Ленинградский государственный университет, старший преподаватель кафедры высшей математики Архангельского государственной технического университета. Имеет 4 печатные работы в области математического моделирования процесса консервации древесины.
Варфоломеева Елена Юрьевна родилась в 1976 г., окончила в 1998 г. Архангельский государственный технический университет, младший научный сотрудник, аспирант кафедры лесопильно-строгальных производств. Имеет 8 печатных работ по проблемам защиты лесопродукции от биопоражения с учетом экологических требований разных стран.
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БИОПОРАЖЕНИЯ АНТИСЕПТИРОВАННЫХ ДРЕВЕСНЫХ ОБРАЗЦОВ ПРИ ЛАБОРАТОРНЫХ ИСПЫТАНИЯХ
По результатам микологических лабораторных испытаний антисептических препаратов разработана математическая модель биологического поражения древесных образцов, позволяющая оптимизировать рецептуру трехкомпонентных антисептиков.
древесина, антисептик, испытания, оптимизация, пропитка.
В целях снижения экологической опасности антисептиков для защиты древесины от гниения в последние годы разработаны препараты на основе нескольких малотоксичных компонентов, которые при совместном воздействии на грибы проявляют синергический эффект.
Обычно рецептуру новых многокомпонентных антисептиков подбирают по результатам лабораторных микологических испытаний по методике, предложенной лабораторией защиты древесины ЦНИИМОД. Опыты
Чащина Л.М., Поромова Т.М. Методика испытаний защитных средств против деревоокрашивающих и плесневых грибов // Сушка и защита древесины: Науч.тр. / ЦНИИМОД. - 1985. - С. 120-127.
проводили на образцах из заболонной сосновой древесины плотностью 0,48 ... 0,52 г/см3 и влажностью 80 ... 120 %. Образцы имели сечение 5 х 15 мм и длину вдоль волокон 180 мм. При испытаниях каждая серия состояла из 10 образцов. Для контроля в аналогичных условиях исследовали образцы, не пропитанные защитными препаратами.
В процессе эксперимента образцы сначала погружали в водный раствор исследуемых многокомпонентных антисептиков. Время выдержки 30 с. После подсушивания до исчезновения капельной влаги пропитанные образцы инфицировали суспензией спор чистых культур плесневых (4 вида) и деревоокрашивающих (4 вида) грибов, наиболее распространенных на территории России. Инфицированные образцы выдерживали 50 сут в эксикаторе с плотно закрытой крышкой при температуре (22 + 1) °С. Через каждые 10 сут образцы осматривали и оценивали обрастание их поверхности грибами. Обрастание выражали в процентах от общей площади образца.
Цель работы - разработать математическую модель для оптимизации рецептуры трехкомпонентных антисептиков с использованием микологических испытаний деревянных сортиментов в лабораторных условиях.
Рассмотрим результаты испытаний семи серий образцов, обработанных трехкомпонентным антисептиком. Образцы были испытаны в лаборатории защиты древесины ЦНИИМОД при одинаковых условиях и различались только процентным соотношением компонентов (Кь К2, К3) в рецептуре. Допустимое содержание компонентов Кь К2 и К3 соответственно равно 76...78, 11...13 и 9 ... 17 %.
В процессе испытаний измеряли два параметра: продолжительность выдержки в биологически агрессивной среде и процент пораженния грибами поверхности образцов (обрастание). Результаты приведены в таблице.
Математическая модель, описывающая зависимость биопоражения от соотношения трех компонентов в рассматриваемой композиции, представлена в виде поверхности. При реализации этой модели сначала для каждой серии образцов методом наименьших квадратов находили аналитическое задание функции Ж(Т) одной переменной. Эта функция связывает два параметра: продолжительность выдержки образцов в биологически агрессивной среде Т и процент пораженной грибами поверхности Ж.
Процентное соотношение Обрастание, %, образцов грибами
компонентов в антисептике при продолжительности выдержки, сут
K i K 2 K 3 10 20 30 40 50
77 13 10 0 3,0 4,5 5,5 6,0
76 12 17 0 2,3 3,7 4,7 5,6
78 11 11 0 3,3 3,6 5,0 5,7
76 11 13 0 2,4 3,6 4,9 5,8
76 13 11 0 2,2 4,0 4,3 5,4
78 12 10 0 2,6 3,8 4,8 5,6
78 13 9 0 2,5 4,1 4,6 5,7
По экспериментальным данным для образцов первой серии находили функцию Ж(Т), которая максимально приближается к точкам со следующими координатами (Ж; Т): (10; 0), (20; 3,0), (30; 4,5), (40; 5,5), (50; 6,0). Было установлено, что рассматриваемая зависимость лучше всего аппроксимируется логарифмической функцией
Ж = 3,783 1п Т - 8,534.
По аналогичной методике находили функции для остальных шести серий испытаний:
Ж = 3,454 1п Т - 8,001; Ж = 3,402 1п Т - 7,570;
Ж = 3,563 1п Т - 8,276; Ж = 3,310 1п Т - 7,611;
Ж = 3,440 1п Т- 7,856; Ж = 3,470 1п Т- 7,933.
В результате подстановки Т = е' получено семь уравнений прямых, угловые коэффициенты 2 (тангенс угла наклона) которых постоянны:
2! = 3,783; 22 = 3,454; 23 = 3,563; 24 = 3,440; 25 = 3,402; 26 = 3,310; 27 = 3,470.
Каждой паре компонентов К\ и К2 соответствует одно значение углового коэффициента 2, который находится в прямопропорциональной зависимости от величины показателя биопоражения. Процентное содержание третьего компонента определяют как
К 3 = 100 - К1 - К 2.
Введем трехмерные координаты: ось Ох - значения процентного сооотношения компонента Кь ось Оу - компонента К2, ось О^ - углового коэффициента, характеризующего биопоражение.
В результате получаем следующие точки (К 1; К 2; 2) в пространстве: (77; 13; 3,783), (76; 12; 3,454), (78; 11; 3,402), (76; 11; 3,563), (76; 13; 3,310), (78; 12; 3,440), (78; 13; 3,470). Затем по методу наименьших квадратов находим функцию двух переменных, которая наилучшим образом приближается к указанным точкам.
Искомую зависимость можно представить в виде квадратичной функции
2 = А К12 + В К22 + С К К2 + В К1 + Е К2 + (1)
где А, В, С, В, Е, ^ - коэффициенты, определенные методом наименьших
квадратов, А = - 0,016; В = 0,054; С = 0,090; В = 1,372; Е = - 8,220; ^ = 0.
В результате получена зависимость углового коэффициента 2 от процентного соотношения компонентов К 1 и К 2, т. е. установлена прямо-пропорциональная зависимость биопоражения от углового коэффициента. Поэтому для нахождения наименьшего значения функции 2 необходимо определить наименьшее значение функции (1) в прямоугольной области В: 76 < К1 < 78; 11 < К2 < 13.
Найдем частные производные по К и К2 и приравняем их к 0:
д1
дК j _ÖZ_
дКп
■ = 2AKi + СК2 + D = 0;
= 2АК2 + CK, + Е = 0.
Решив эту систему, получим критическую точку Е (77,116; 11,875).
Затем исследуем функцию на границе области. На прямой АО (К1 = 76) имеем критическое значение К2 = 12,334, а на прямой ВС (К1 = 78) - значение К2 = 11,511. Оба значения принадлежат исследуемой области. Далее определяем критические значения на прямых АВ и СО. При К2 = 11 получаем К1 = 74,806, при К2 = 13 имеем К1 = 79,090. Оба значения не принадлежат нашей области. Вычислим значения функции в трех критических точках и четырех угловых:
Z (77,116 ; 11,875) = 3,073; Z (76 ; 12,334) = 3,050; Z (78 ; 11,511) = 3,014;
2 (76 ; 11) = 3,210; 2 (78 ; 13) = 3,198; 2 (76 ; 13) = 3,042;
2 (78 ; 11) = 3,006.
Сравнивая семь значений 2, заключаем, что оптимальное содержание в антисептическом растворе компонента К \ должно составлять 78 %, а К 2 - 11 %. При этом угловой коэффициент равен 2 = 3,006.
Получена зависимость углового коэффициента 2 от К\ и К2:
2 = - 0,016 К !2 + 0,054 К22 + 0,09 Кх К2 + 1,372 Кх - 8,22 К2.
Графическое изображение поверхности представлено на рис. 1.
Линии уровня седлообразной поверхности, соответствующие значениям 2 = 3,05; 3,10; 3,15, изображены на рис. 2 (в области 76 < К1 < 78; 11< К2 < 13). Вдоль каждой линии процент биопоражения остается постоянным относительно содержания компонентов К\ и К2.
Рис. 1. Зависимость углового коэффициента 2 от содержания компонентов К 1 и К 2
Рис. 2. Линии уровня седлообразной поверхности
Вдоль прямой АС от седловой точки Е (77,116; 11,875) наблюдается рост углового коэффициента, а вдоль прямой BD - убывание. Минимальные значения функция принимает в заштрихованных областях ближе к точкам D (76; 13) и В (78; 11). Исходя из этого можно выделить два варианта оптимального содержания компонентов:
1. Для оптимизации рецептуры по результатам лабораторных испытаний образцов разработана математическая модель, которая устанавливает зависимость показателя биопоражения Z от содержания трех компонентов K1, K2, K3. Получена функция Z (K1, K2) двух аргументов, представляющая собой поверхность (рис. 1). Процентное содержание третьего компонента определено из соотношения K3 = 100 - K 1 - K 2. Зная зависимость Z (K1, K2) и содержание компонентов K1, K 2 в растворе, можно вычислить показатель поражения древесины грибами.
2. Определено оптимальное соотношение ингредиентов в трехком-понентном антисептике.
L.A. Badanina, E. Yu. Varfolomeeva
Mathematical Simulation of the Biological Infestation of Preserved Wooden Samples in Laboratory Tests
1) 76,0 < Ki < 76,2; 12,25 < K2 < 13,00;
2) 77,5 < K1 < 78,0; 11,00 < K2 < 12,50.
Выводы
Based on the results of mycological laboratory tests on preservatives the mathematical model of biological infestation of wooden samples is worked out that allows optimizing the formula of three-ingredient preservatives.
