CC BY
44
298 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2008. №3(62).
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
УДК 622. 324
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ БЕЗВОДНОЙ ДОБЫЧИ ГАЗА ИЗ ГАЗ-ГАЗОГИДРАТНОГО ПЛАСТА
© 2008 Б.Д. Иванов1
В работе исследована математическая модель нового метода разработки газ-газогидратных залежей, основанного на десорбции газа из газового гидрата при сохранении двухфазного равновесия газо-гидрат-газ. При этом не происходит разложения газового гидрата и тем самым не выделяется вода из газогидрата, что является важным фактором в практике добычи природного газа. Получены уравнения фильтрации свободной газовой фазы с учетом десорбции газа из газо-гидрата при сохранении двухфазного равновесия газогидрат-газ. Методом конечных разностей получено численное решение. При этом определены параметры разработки газ-газогидратного пласта, их значения сравнены со значениями этих параметров, полученными из материального и теплового балансов. Совпадение результатов оказалось хорошим, что говорит о достоверности и правильности полученных результатов.
Ключевые слова: газ-газогидратный пласт, двуфазное равновесие, десорбция газа, метод конечных разностей.
Рассмотрим газ-газогидратную залежь в виде плоскорадиального пласта пористостью т, радиусом Я, мощностью Ь, в центре которого находится добывающая скважина с постоянным дебитом д^. Пласт заполнен свободным газом-метаном с газонасыщенностью (1 - в) и газовым гидратом метана КСЛ с гидратонасыщенностью в, вода отсутствует. Давление в пласте Р, температура Т. Проницаемость пласта по газу к^, вязкость газа ^. Газ считаем идеальным. Нас интересует десорбция метана из гидрата, поэтому процесс добычи газа будем производить таким образом, чтобы сохранялось двухфазное равновесие газ-гидрат и не происходило разложение газового гидрата. В полученной продукции основную часть составляет свободный газ залежи, и некоторая доля приходится на десорбированный газ из газо-гидрата метана. Целью данной работы является определение этой доли [1].
1 Иванов Борис Дмитриевич ([email protected]), кафедра теоретической физики Якутского государственного университета, 677000, г. Якутск, ул. Кулаковского 48.
Для этого применим уравнение неразрывности к свободному газу с учетом десорбции метана из газогидрата и уравнение теплопроводности для процесса десорбции метана из газогидрата. Так как нас интересует десорбция метана из газогидрата, то кондуктивным и конвективным теплопере-носом пренебрегаем, тем более, что изменения температуры очень малы.
(1)
дЛ Т у / \^gmr!дг\ Т дт!
дТ д0
Се/ре/1к = та^~^’ ^ где 0 = 01 + 302, — удельная теплота десорбции метана из гидрата а, в,
у — константы; эффективная объемная теплоемкость пласта определяется так се/ре/ = (1 - т)с*р* + т(1 - в)^р? + твснрн, где с* и р*, с§ и р?, сн и рн — удельные теплоемкости и плотности скелета горной породы, газа и гидрата соответственно. Здесь 01 и 02 — числа заполнения малых и больших полостей газогидрата метана КС-1.
• С]Р]
0=-------1—- (/=1,2; ] = А,В\ (3)
' (1 + СР)
где С — константа Ленгмюра для г-той полости ']-го состояния; Р] — давление в системе ”газ-гидрат” в состоянии ], А и В — начальное и конечное термодинамические состояния пласта. Константу Ленгмюра можно определить из эмпирических уравнений Нагата-Кобаяши, Пэрриша-Пра-усница или вычислить непосредственно с использованием потенциала сил межмолекулярного взаимодействия [3]. В дальнейшем используем уравнение Нагата-Кобаяши С] = ехр(а,- - Ьг • Т]), (г = 1,2; ] = А, В), где для гидрата метана имеем а\ = 9,204622; Ь\ = 0,3155 К-1; «2 = 8,386082; Ь2 = 0,02792 К-1 [2]. Размерность С] в МПа-1, Т] — в К.
р[ = Р° + а0] (] = А, В), (4)
где р^ — плотность газогидрата в состоянии ]; р^ = 795,337 кг/м3 —
плотность ”пустой” метастабильной газогидратной решетки КС-1; а =
= 30,738 кг/м3 — постоянная, 0] = 01 + 302 — числа заполнения газогидрата в состоянии .
Начальные и граничные условия примем в следующем виде
Р{х,0) = РА, ^ дг
др
= 0,
г=К
г=0 дг
где Б — площадь сечения скважины.
Таким образом, система уравнений (1)—(4) описывает в рассматриваемом приближении системы фильтрацию свободной газовой фазы при наличии процесса десорбции метана из газогидрата. Приведя эту систему
уравнений к одному нелинейному дифференциальному уравнению относительно давления, аппроксимируем его чисто-неявной трехточечной двухслойной разностной схемой, которую решаем сочетанием метода простых итераций и метода потоковой прогонки на каждом временном слое. Численные расчеты на ЭВМ проведены В. В. Поповым, за что выражаю ему глубокую благодарность. Вычисления проводились для кругового газ-газогидратного пласта со следующими параметрами: РА = 10,7 МПа,
= 0,6 м3/с; Ь=10 м; Я = 500 м; к§/^ = 6,065 • 10-9 м2/Па-с
к = 10-13 м2 — абсолютная проницаемость пласта; Урог = тУр1
Ьд = 1221,7 кДж/кг, ТА = 278 К; т = 0,3; с^=2310 Дж/(кг-К)
с§ = 2610 Дж/(кг-К); с* = 700 Дж/(кг-К); р* = 2650 кг/м3
СА = 1,54299 МПа-1; С^ = 1, 86698 МПа-1; 0А = 0,942900; 0А = 0,952328 Я = 8,3144 Дж/(моль-К); рА = 74,26662 кг/м3; рА = 912,13783 кг/м3 0А = 3,799884; у = 1,929544 кг-К/Дж.
Результаты некоторых вычислений для в = 0, 2; 0, 4; 0, 6 приведены на рисунках 1-5. Более подробные сведения см. [1].
Для характеристики процесса разработки газ-газогидратного пласта определим следующие параметры:
• Массовую долю десорбированного газа из гидрата к общей добыче газа газ-газогидратного пласта 6^ = АМд/АМ;
• Коэффициент газоотдачи газ-газогидратного пласта п = А М/М;
• Долю десорбированного газа к газу, первоначально содержащемуся в газогидрате (коэффициент десорбированной газоотдачи газогидрата) ф = АМд М
Здесь Мд — масса десорбированного газа при переходе системы газогид-рат-газ из состояния А (начальное) в состояние В (конечное) при неизменной гидратонасыщенности в; АМ = АМд + АМ§ — общая масса добытого газа при переходе из А в В, состоящее из добытого газа свободной газовой фа-( РА РВ '
18 ~ KL ~ ~гА ~ ~гК)У Рог
эВ „ 'М > ТВ, то и
(1 - в)уРА
Первоначальная масса газа в пласте равна — М = Урог а|30А н---------—-----
Первоначальная масса газа в газогидрате — М^ = УрОГ• ав0А. С учетом всего этого окончательно получим для коэффициентов следующие выражения
ав(0А - 0В)
•о и= '
РР
зы — А= (1 - Р)у^^- ~ Двурог и десорбированного газа из газогидрата
> ТВ,
ав0А +
АМд = ав • Урог • (0А - 0В), причем, т.к. РА > РВ и ТА > ТВ, то 0А > 0В.
рА рВ
ар(0А_0В) + (1_Ц___
, рА рВ
ар(0А_0В) + (1_Ц___ Т1 =---------------------Та-------
а|30А + (1 - Р)у—
— Ьйа = 0,2 —* ЬеЫ = 0,4 *— Ье4а = 0.6
“ч- Д 1Н.1МИК <1 П<1Де ПИЯ Д<1 ленмя
8 - : та НО
О.' *■
■ '-О
Т. су ТКИ
2£ 0 5С 0 7{ 0 10 00 12 50 15 00 17 50 20 00 2250 25
Рис. 1. Динамика давления пласта в процессе разработки газ-газогидратной залежи при в = 0,2, 0,4, 0,6
П7Р 1П
278,00 -277,90 - Дин.1 1ИК.1 1 змене ННЯ ¥в ,1 перл туры Л.1СТ.1 1
“Я \ 1 “ - "0 —■ ЬеДО.4
\ 00
>>
■ сутки
24 0 5С 0 7 50 10 00 12 50 15 00 17 50 20 00 2250 25
Рис. 2. Изменение температуры пласта в процессе разработки газ-газогидратной залежи при в = 0,2; 0,4; 0,6
Рис. 3. Динамика доли десорбированного газа из гидрата в общей добыче газа газ-газогидратной залежи
Рис. 4. Рост газоотдачи газ-газогидратного пласта в процессе его разработки
* ‘ ■
У
/ У
/ ■ У У — 0— Ьйа=0,2 ■ Ьйа=0,4 —*— Ьйа=0,6
/ **
К11
Л ^-0
0 г т, сут
250 5С о а 0 10 00 12 50 15 00 17 50 20 00 22 50 2500
Рис. 5. Рост газоотдачи газогидрата в процессе его разработки(десорбции)
е»
•4>=1-р-
Как видно из рис. 1 пластовое давление линейно падает со временем разработки. Температура же изменяется нелинейно со временем (см. рис. 2) и это изменение тем сильнее, чем больше гидратонасыщенность |3. Однако ввиду небольших изменений (десятые доли градуса) эта нелинейность мала. Из рис. 3 видно, что доля десорбированного газа пропорциональна времени разработки и с увеличением гидратонасыщенности в растет и достигает максимальной величины 20,38%, что уже не мало и представляет практический интерес. На рис. 4 представлена динамика коэффициентов газоотдачи газ-газогидратного пласта, которые линейно растут со временем разработки. На рис. 5 даны увеличение коэффициентов газоотдачи газового гидрата метана в процессе его разработки (десорбции), которые растут нелинейно со временем и тем больше, чем больше гидратонасыщенность р.
Уверенность в правильности полученных результатов придает совпадение конечных значений параметров разработки численного метода с теми значениями, которые получены из применения материального и теплового балансов при одинаковых начальных условиях (см. табл. 1), полученные в работе [1,3,4].
Результаты сравнения представлены в табл. 2.
Кроме того, точность численного метода можно оценить из материального баланса при постоянном дебите д§, когда имеем ДМ = qgtp0g следова-
Таблица 1
Результаты вычислений материального и теплового балансов
Параметры Г идратонасыщенность
0,2 0,4 0,6
Рв, МПа 4,64 4,55 4,43
АТ, К 0,288 0,545 0,787
Тв, К 277,712 277,455 277,213
0? 0,878417 0,877185 0,875114
е| 0,897254 0,896104 0,894230
ев 3,570177 3,545496 3,557805
6*, % 4,03 10,13 20,45
л, % 42,33 31,18 21,88
ДМ/Урог 35,03 28,46 21,84
Ф, % 6,05 6,17 6,37
Таблица 2
Относительная разница между численным и балансовым методами
Р Тв, К 6*, % Л, % А М/Уро1 Ф, %
0,2 0,003% 0,494% -0,166% -0,114% 0%
0,4 0,005% 0,686% -0,193% -0,106% 0%
0,6 0,013% -0,343% -0,229% -0,229% 0,157%
Д М gфg
тельно ----- = -----, где ъ — время разработки, — плотность газа при
^рог ^рог
атмосферном давлении. Для данного случая эти паpаметpы имеют следующие значения: qg = 0,6 м3/с = 51840 м3/сут; pg=0,6679 кг/м3. Данные, соответствующие различным в, и результаты вычислений приведены в табл. 3. В табл. 3 третий столбец определен численным методом, а четвертый столбец— балансовым методом. Пятый столбец представляет собой относительную разницу между ними.
В работе исследован новый метод разработки газ-газогидратных залежей, основанный на десорбции газа из газового гидрата при сохранении двухфазного равновесия газогидрат-газ. При этом не происходит разложения газового гидрата и тем самым не выделяется вода из газогидрата.
Это очень важный фактор в практике добычи природного газа. При разложении 1 кг чистого гидрата метана выделяется 0,872 кг жидкой воды, что может затруднить процесс разработки газогидратных залежей. Из полученных результатов видно, что падение пластового давления и рост коэффициента газоотдачи газ-газогидратного пласта происходят линейно со временем разработки, а изменение температуры пласта, увеличение коэффициента десорбированной газоотдачи газогидрата и доли десорбированно-
Таблица 3
Значения паpаметpов и результаты расчетов для баланса массы при двухфазном равновесии гидрат-газ
р г, сут. AM числен, метод ^рог gtp“ ^por относит, разность, %
0,2 2364 34,99 34,74 0,72
0,4 1922 28,43 28,24 0,66
0,6 1473 21,79 21,65 0,66
го газа в общей добыче зависят нелинейно от времени, хотя степень нелинейности у них разная: наибольшая у изменения температуры и наименьшая у bh, причем нелинейность увеличивается с увеличением р.
Литература
[1] Ларионов, В.Р. Перспективы практического использования газовых гидратов в горном деле / В.Р. Ларионов, С.М. Федосеев, Б.Д. Иванов. -Якутск, 1993. - 226 с.
[2] Nagata, J. Calculation of Dissociation Pressures of Gas Hydrates using the
Kihara Model / J. Nagata, R. Kobayashi // Ind. Eng. Chem. Fundamen. -1966. - V .5. - No. 3. - Р. 344-348.
[3] Иванов, Б.Д. Десорбция газа из гидратов при изменении равновесных
условий / Б.Д. Иванов, В.В. Попов, И.Л. Хабибуллин // Ресурсы нетрадиционного газового сырья и проблемы его освоения. - Л., 1990. -С. 195-201.
[4] Иванов, Б.Д. Десорбция газа из гидрата при фильтрации свободно-
го газа в условиях сохранности фазовых равновесий / Б.Д. Иванов, В.В. Попов // Нетрадиционные источники углеводородного сырья и проблемы его освоения: тезисы докладов. Т. 2. Международный симпозиум, 12-16 окт. 1992 г. СПб. - СПб, 1992. - С. 68.
Поступила в редакцию 24//V/2008; в окончательном варианте — 24//V/2008.
MATHEMATICAL MODELLING WATER-FREE RECOVERY OF GAS FROM GAS-GASHYDRATE STRATUM
© 2008 B.D. Ivanov2
In the paper the mathematical model of a new method of a gas-gashy-drate stratum mining based on a gas desorption from a gas hydrate in preservation of a diphase equilibrium of a gashydrate-gas is investigated.
At that there is no decomposition of a gas hydrate and by thus water from gashydrate is not allocated that is an important factor in a practice of recovery of natural gas. Equations of a filtration of a free gas phase in view of a gas desorption from a gashydrate in preservation of a diphase equilibrium gashydrate-gas are obtained. The numerical solution by mean of finite differences is obtained. Thus parameters of a gas-gashy-drate stratum mining are obtained and their values are compared with values of these parameters, obtained from material and thermal balances. Co-incidence of results has appeared good, that prove about reliability and correctness of the obtained results.
Keywords: gas-gashydrate stratum, diphase equilibrium, gas desorption, method of finite differences.
Paper received 24//V/2008. Paper accepted 24//V/2008.
2Ivanov Boris Dmitrievich ([email protected]), Theoretical Physics Dept., Yakutsk State University, Yakutsk, 677000, Russia.
