CC BY
2MATHEMATICAL DERIVATION OF THE LAWS OF ECONOMICS AND THE THEORY OF INFORMATION FROM THE PRINCIPLE OF LEAST ACTION OF
PHYSICS
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ВЫВОД ЗАКОНОВ ЭКОНОМИКИ И ТЕОРИИ ИНФОРМАЦИИ ИЗ ПРИНЦИПА НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ ФИЗИКИ
Sayan M. Kombarov 1 2 ORCID 0000-0002-8649-1132
Саян Марленович Комбаров 1 2
1 Narxoz Unibersity, Kazakhstan 1 Университет Нархоз, Казахстан
2 Ecowatt LLP 2 ТОО "Эковатт"
Keywords: energy, action, price, money, market
The thesis of this paper is mathematical formulation of the laws of Economics with application of the principle of Least Action of classical mechanics. This paper is proposed as the rigorous mathematical approach to Economics provided by the fundamental principle of the physical science - the Principle of Least Action. This approach introduces the principle of Action into main stream economics and allows reconcile main principles Austrian School of Economics and the laws of market, such Say's law and marginal value and interest rate theory, with the modern results of mathematical economics, such as Capital Asset Pricing Model (CAPM), game theory and behavioral economics. This principle is well known in classical mechanics as the law of conservation of action that governs any closed system as a whole and all its components. Ludwig von Mises defined Economics is the science of Human Action. Action is introduced into Economics by the founder of Austrian School of Economic, Carl Menger. Production or acquisition of any goods, services and assets are results of purposeful acts in the form of expenditure of work and energy in the form of flow of money and material resources. Humans take them to achieve certain desired goals with given resources and time. Any economic good and service, financial, productive or real estate asset is the result of such action.
First of all, it is necessary to give mathematical definition of all economic goods, services and assets in the most general and abstract mathematical that can be consistently applied to the main relation of economic exchanges. That approach allows to derive and prove main laws of Economics, such as the law of marginal
Ключевые слова: энергия, человеческая деятельность, действие, цена, деньги, рынок
Тезисом доклада является математическая формулировка законов экономики с применением принципа наименьшего действия классической механики. Эта статья предлагается как строгий математический подход к экономике, обеспечиваемый фундаментальным принципом физической науки—принципом наименьшего действия. Этот подход вводит принцип действия в основную экономическую теорию и позволяет согласовать основные принципы австрийской школы экономики и законы рынка, такие как закон Сея и теория предельной стоимости и процентной ставки, с современными результатами математической экономики, такими как оценка капитальных активов. Модель (САРМ), теория игр и поведенческая экономика. Этот принцип хорошо известен в классической механике как закон сохранения действия, которым подчиняется всякая замкнутая система в целом и все ее компоненты. Людвиг фон Мизес определил экономику как науку о человеческой деятельности. Действие вводится в экономику основателем Австрийской школы экономики Карлом Менгером. Производство или приобретение любых товаров, услуг и активов являются результатом целенаправленных действий в виде затрат труда и энергии в виде движения денежных и материальных ресурсов. Люди используют их для достижения определенных желаемых целей с заданными ресурсами и временем. Любые экономические товары и услуги, финансовые, производственные или недвижимые активы являются результатом такого действия. Дается математическое определение всем экономическим товарам, услугам и активам в наиболее общем и абстрактном математическом виде, который можно последовательно применить к основному отношению экономических обменов. Такой подход позволяет вывести и доказать основные законы экономики, такие как закон предельной стоимости.
_64_
Kombarov S. M.
Mathematical Derivation of the Laws of Economics and the Theory of Information from the Principle of Least...
value.
Let us introduce the mathematical following definitions:
q - quantity of any good, service produced, productive, real estate or financial asset. It also can denote any quantity of information in general.
p - price of any such good, service or asset. v - velocity of individual money stock m. In the same way, we define Q as macroeconomic goods, service and assets as a whole, whereas V is the macroeconomic velocity of money stock M with which they circulate in the Economy. P is the macroe-conomic price level.
We must define each price and velocity in micro and macroeconomic form as the time differential of respectful quantity of q and m: p = dq/dt and v = dm/dt. P = dQ/dt and V = dM/dt.
Macroeconomic action A thus is the product of all mi-croeconomic individual money m circulating and present in the economy and the macroeconomic money velocity v squared.
A = J(MxV2/2)xdt. Kinetic energy K of the whole macroeconomic system is the sum of all kinetic energies k of individual money stocks m comprising the system:
K = MxV2/2 = Ik= Imxv2/2.
Both macroeconomic and microeconomic actions are defined in the same way as in classical mechanics as the product of "kinetic energy" of money and time dt summed in integral form for the whole period of time under consideration. Kinetic energy of money is the product of money M and its velocity V squared. Macroeconomic action A thus is the product of all microeconomic individual money m circulating and present in the economy and the macroeconomic money velocity v squared. A = J(MxV2/2)xdt.
Kinetic energy K of the whole macroeconomic system is the sum of all kinetic energies k of individual money stocks m comprising the system: K = MxV2/2 = £k= £mxv2/2.
The macroeconomic system is moving in accordance with Koenig's theorem as if its whole mass of money M is concentrated in the single point of its center of gravity moving with the velocity of V. Here we neglect rotation of individual masses around their common center of gravity.
Macroeconomic action is the sum of all microeco-nomic actions, defined as the product of individual
Введем следующие математические определения: q - количество произведенных товаров, услуг, производственных, недвижимых или финансовых активов. Это так же может определять некоторое количество информации в общем.
p - цена любого такого товара, услуги или актива. v - скорость обращения индивидуальной денежной массы m.
Точно так же мы определяем Q как макроэкономические товары, услуги и активы в целом, тогда как V — это макроэкономическая скорость денежной массы М, с которой они обращаются в экономике. P - макроэкономический уровень цен. Мы должны определить каждую цену и скорость в микро- и макроэкономической форме как разницу во времени соответствующих количеств q и m:
p = dq/dt и v = dm/dt. P = dQ/dt и V =dM/dt. И макроэкономические, и микроэкономические действия определяются так же, как и в классической механике, как произведение «кинетической энергии» денег и времени dt, суммированное в интегральной форме за весь рассматриваемый период времени.
Кинетическая энергия денег есть произведение денег M и их скорости V в квадрате.
А = J(MxV2/2)xdt. Кинетическая энергия K всей макроэкономической системы представляет собой сумму всех кинетических энергий k отдельных денежных запасов m, составляющих систему: K = MxV2/2 = Ek= Emxv2/2.
И макроэкономические, и микроэкономические действия определяются так же, как и в классической механике, как произведение «кинетической энергии» денег и времени dt, суммированное в интегральной форме за весь рассматриваемый период времени. Кинетическая энергия денег есть произведение денег M и их скорости V в квадрате. Таким образом, макроэкономическое действие A является произведением всех микроэкономических индивидуальных денег m, находящихся в обращении и присутствующих в экономике, и макроэкономической скорости обращения денег v в квадрате. А=J(MxV2/2)xdt.
Кинетическая энергия K всей макроэкономической системы представляет собой сумму всех кинетических энергий k отдельных денежных запасов m, составляющих систему:
K=MxV2/2=£k= Imxv2/2.
Макроэкономическая система движется в соответствии с теоремой Кенига так, как будто вся ее денежная масса М сосредоточена в единственной точке ее центра тяжести, движущегося со скоростью V. Здесь мы пренебрегаем вращением масс вокруг их общего центра тяжести.
Макроэкономическое действие представляет собой сумму
65
money and the velocity of their circulation squared. In mathematical terms: A = Xi(mxv2/2)xdt.
There are no potential forces in economics that can be expressed in mathematical terms involving and specific to variables q of economic goods, services and assets. All potential forces exerting humans to produce and spent money are invisible, in full compliance with the ideas of Adam Smith.
The conservation of Action that is represented as the sum of all various individual actions, in the form of money expense taken at or during specific period of time or moment, aimed at acquisition or creation of goods, services and assets from resources and materials, means that its variation is zero. These resources do not come into existence from void. This condition can be stipulated in the mathematical form as infinitely small variation of action being equal to zero: SA = 0.
Here symbol S denotes infinitely small variation of the
variable in front of which it stands.
Since, MxV = PxQ and Vxdt = dM = dQ, then A =
J(MxV2/2)xdt = J(PxQxV/2)xdt = J(PxQxdM)/2 =
J(PxQxdQ)/2.
Condition constancy of action means that its small variation SA = 0, or that SjPxQxdQ = 0. J(P+SP)x(Q+SQ)xdQ - J(PxQxdQ = J(PxQ + PxSQ + SPxQ + SPxSQ - PxQ)xdQ = 0.
If we neglect the product of two infinitely small variables SP and SQ, then the latter equation can be expressed as follows:
SA = J(PxSQ + SPxQ)xdQ = JS(PxQ)xdQ = 0.
Therefore, SP/P = - SQ/Q and AQ/AP =-P/Q. Multiplying this expression with the product AP2, we will find that AQxAP = -PxAP2/Q. If all variables P, Q and AP2 are greater, than zero, then AQxAP < 0.
As this condition must hold over the whole range of changes dQ in the macroeconomic variable Q, that are not equal to zero, then we must conclude that S(PxQ) = 0 and PxQ = Const or P = Const/Q.
Therefore, MxV = PxQ = Const.
The equation P = Const/Q is known in economics as the Law of marginal value. Total money supply M is equal to total supply of goods, services and assets Q with purchasing power Const/P that is equal to the supply of money. This equation gives us the prove of Say's law of market: M = Const/P = Q.
Macroeconomic supply of money M is balanced by the demand for money supplied by the total macroeco-nomic volume or quantity of all goods, services and assets Q.
всех микроэкономических действий, определяемую как произведение отдельных денег и квадрата скорости их обращения.
С математической точки зрения: А=Xf(mxv2/2)xdt
В экономике нет потенциальных сил, которые можно было бы выразить в математических терминах, связанных с переменными q экономических товаров, услуг и активов. Все потенциальные силы, заставляющие людей производить и тратить деньги, невидимы, в полном соответствии с идеями Адама Смита.
Сохранение действия, представленного как сумма всех различных индивидуальных действий в виде расхода денег в соответствующий момент или период времени, направленный на приобретение или создание товаров, услуг и активов из ресурсов и материалов, означает, что его вариация равна нулю. Эти ресурсы не возникают из пустоты. Это условие может быть сформулировано в математической форме как бесконечно малая вариация действия, равная нулю: 5A=0.
Здесь символ 5 обозначает бесконечно малую вариацию переменной, перед которой он стоит.
Поскольку MxV = PxQ и Vxdt = dM = dQ, то A = f(MxV2/2)xdt = f(PxQxV/2)xdt = f(PxQ xdM)/2 = f(PxQxdQ)/2.
Условие постоянства действия означает, что его малое изменение 5A = 0, или что 5fPxQxdQ = 0. f(P+5P)x(Q+5Q)xdQ - f(PxQxdQ = f(PxQ + Px5Q + 5PxQ + 5Px5Q - PxQ)xdQ = 0.
Если пренебречь произведением двух бесконечно малых переменных 5P и 5Q, то последнее уравнение можно выразить следующим образом: 5A=f(Px5Q + 5PxQ)xdQ=f5(PxQ)xdQ = 0.
Следовательно, 5P/P = - 5Q/Q и AQ/AP = -P/Q. Умножив это выражение на произведение AP2, найдем, что AQxAP = -PxAP2/Q. Если все переменные P, Q и AP2 больше нуля, то AQxAP < 0.
Поскольку это условие должно выполняться во всем диапазоне изменений dQ макроэкономической переменной Q, не равных нулю, то мы должны заключить, что 5(PxQ) = 0 и PxQ = Const или P = Const/Q. Следовательно, MxV = PxQ = Const.
Уравнение P = Const/Q известно в экономике как закон предельной стоимости. Общая денежная масса M равна общей сумме предложения товаров, услуг и активов Q с покупательной способностью Const/P, равной предложению денег. Это уравнение дает нам доказательство закона рынка Сея: М=Const/P = Q.
Макроэкономическое предложение денег М уравновешивается спросом на деньги, обеспечиваемым общим макроэкономическим объемом или количеством всех товаров, услуг и активов Q.
66
Kombarov S. M.
Mathematical Derivation of the Laws of Economics and the Theory of Information from the Principle of Least..
In the same way we can deal with the sum of microe-
conomic actions:
SA = 5£j(mxv2/2)xdt = 0.
Substituting in the same way, as for macroeconomic equation of action, p = dq/dt, m = dm/dt and mxv = pxq, we can find that SA = 5£j(pxq)xdq = 0.
Since, all variables q are independent, therefore each p =
Const/q = m and AqxAp < 0. This inequality explains so
called Giffen's paradox, when increase in the price Ap of
the commodity q leads to the increase in purchases of and
decline in the supply of q, so that Aq < 0.
Therefore, ^AqxAp < 0.
This expression is known as Hotelling's inequality.
Laws of supply and demand of the market in the macroe-conomic form are the same as in microeconomic form, which proves the fractal structure of economic laws.
Точно так же мы можем иметь дело с суммой микроэкономических действий: SA = 5£|(mxv2/2)xdt=0.
Подставляя так же, как и для макроэкономического уравнения действия, p=dq/dt, m=dm/dt и mxv=pxq, можно найти, что 5A=5^i(pxq)xdq = 0.
Так как все переменные q независимы, то каждое p=Const/q = m и AqxAp < 0. Это неравенство объясняет так называемый парадокс Гиффена, когда увеличение цены Ap товара q приводит к увеличению покупки и сокращения предложения q, так что Aq < 0.
Следовательно, ^AqxAp < 0. Это выражение известно, как неравенство Хотеллинга.
Законы спроса и предложения на рынке в макроэкономической форме такие же, как и в микроэкономической форме, что показывает фрактальную структуру законов экономики.
References / Библиография
1. 2. 3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
Ludwig von Mises. Human Action. Adam Smith. Wealth of Nations. Econophysics. Background and Applications in Economic, Finance and Sociophysics. Edited by Gheorghe Sävoiu, Ion Iorga Simän. Econophysics: from Game Theory and Information Theory to Quantum Mechanics Edward Jimeneza, Douglas Moyad. Paul A. Samuelson. Maximum Principles in Analytical Economics. Nobel Memorial Lecture. 1970. M. F. Osborne, The Stock Market and Finance from a Physicist's Viewpoint, Crossgar Press, 1977.
P. Mirowski, Physics and the Marginalist Revolution, Cambridge J. Econ. 8 (1984) 361. R. Landauer, Information Is Physical, Physics Today 44 (1990) 23.
Sayan Kombarov. 2021. Energy of Human Action.
Action in Economics: Mathematical Derivation of Laws of Economics from the Principle of Least Action in Physics. https://www avekon. org/?p=/conf/13/paperdetail&id=2498
1. 2. 3.
4.
5.
6.
7.
9.
10.
Людвиг фон Мизес. Действие человека. Адам Смит. Богатство народов. Эконофизика. Предыстория и приложения в экономике, финансах и социофизике. Под редакцией Георге Сэвою, Иона Йорга Симэна. Эконофизика: от теории игр и теории информации к квантовой механике Эдвард Хименеза, Дуглас Мойяд.
Пол А. Самуэльсон. Принципы максимума в аналитической экономике. Нобелевская мемориальная лекция. 1970.
М. Ф. Осборн, Фондовый рынок и финансы с точки зрения физика, Crossgar Press, 1977. П. Мировски, Физика и маржиналистская революция, Cambridge J. Econ.8 (1984) 361 Р. Ландауэр, Информация физична, Physics Today 44 (1990) 23.
Саян Комбаров. 2021. Энергия человеческого действия.
Action in Economics: Mathematical Derivation of Laws of Economics from the Principle of Least Action in Physics. https://www avekon. org/?p=/con#13/pa-perdetail&id=2498
67
