CC BY
50
2004
Известия ТИНРО
Том 138
УДК 641.12(083.1)
В.А.Бураго
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРИНЦИПЫ ОПТИМИЗАЦИИ АМИНОКИСЛОТНОГО СОСТАВА КОМПОЗИЦИОННЫХ ПРОДУКТОВ ПИТАНИЯ
Для количественной оценки биологической ценности и сбалансированности аминокислотного состава белка принято использовать коэффициент, равный доле незаменимых аминокислот, усваиваемых организмом, т.е. находящихся в необходимой для этого пропорции. Повышение биологической ценности белка подразумевает увеличение данного коэффициента. В настоящей статье рассматривается задача проектирования продуктовых (сырьевых) композиций на основе принципа аминокислотной сбалансированности, исследуется математическое содержание процесса проектирования сбалансированного продукта, указываются свойства задачи, на основании которых может быть сформулирован эффективный алгоритм, ее решающий, приводятся иллюстративные примеры.
Burago V.A. Mathematical principles for optimization of amino acid content of composed food products // Izv. TINRO. — 2004. — Vol. 138. — P. 381-388.
The biological value of food protein is usually measured by a share of amino acids of a certain proportion required for assimilation , recommended by FAO/WHO. The more the digestible portion of indispensable amino acids (protein digestibility coefficient), the higher the biological value of protein. Mathematically, the problem of optimization of amino acid content is solved as a search for the highest value of this coefficient. The digestibility coefficient is a monotonically nonincreasing function along any radius coming out of the point of its maximal value, so the set of optimal points is unique and connected. Any solution necessarily belongs to this finite "set of possible solutions". The definition of this set is given. A few simple examples of optimal two- and three-component food compositions are presented, with checking properties of the sets of possible solutions.
Согласно представлениям, сформировавшимся в рамках теории рационального питания, структуру аминокислотного состава пищевых продуктов принято оценивать с позиций ее соответствия некоторому стандарту или "идеальному" белку. В качестве стандартного белка обычно рассматриваются рекомендации WHO/FAO (возможно, скорректированные с учетом специфических индивидуальных особенностей, например, для диет специального назначения). С этих позиций процедура оценки структуры аминокислотного состава формально сводится к проверке соответствия содержания незаменимых аминокислот в исследуемом продукте принятому стандарту. При этом незаменимая аминокислота, представленная в минимальных количествах, определяет (лимитирует) усвояемость белка в целом: все аминокислоты усваиваются организмом лишь в той степени, в которой главная лимитирующая аминокислота представлена в данном продукте (в долях от стандарта WHO/FAO). На основании этих представлений может быть определен коэффициент, оценивающий долю усвоения незаменимых аминокислот, — коэффициент использования белка (аминокислотной утилитар-
ности). Задача проектирования продуктов питания, сбалансированных по аминокислотному составу, предполагает решение математической задачи максимизации этого коэффициента.
Разумеется, комплексная оценка пищевой ценности реально вряд ли может быть сведена к единственному числовому показателю, поэтому общая формулировка задачи должна включать также дополнительные ограничения, учитывающие соотношения между заменимыми и незаменимыми аминокислотами, требования энергетического баланса и сбалансированности по другим показателям пищевой ценности. В настоящей статье рассматривается частный вариант данной проблемы в ситуации, когда на первую позицию выносится требование максимального соответствия проектируемого продукта некоторому эталону, сбалансированному по аминокислотному составу.
Собственно коэффициент утилитарности белка для целей оптимизации аминокислотного состава был введен более пятнадцати лет назад (Бражников, Рогов, 1984; Липатов, Рогов, 1987), тогда же указывалось на важность решения задачи его максимизации. Авторы первой из названных выше работ предприняли попытку детального математического анализа частного случая этой задачи: рассмотрение касалось лишь бинарных сырьевых композиций (Бражников и др., 1985). Алгоритм решения общей задачи (для произвольного числа ингредиентов) сформулирован не был.
Формулировка математической задачи оптимизации аминокислотного состава
Введем обозначения. Пусть х = (х1, х2, ..., х ) — рецептурный вектор долей варьируемых ингредиентов (для упрощения обозначений и формулировок ингредиенты с фиксированными весовыми долями в рецептурный вектор включать не будем); п — количество варьируемых ингредиентов; А — матрица, элементы которой А, равны содержанию /-той аминокислоты в ¿-том рецептурном ингредиенте; f. — количество этой же аминокислоты в идеальном белке, f = (/ f ..., fm)'. Тогда коэффициент использования белка равен:
ф(х)=тт
{ \
Ь.
/
У /
(1)
У У
где у = Ах — вектор массовых долей аминокислот исследуемого белка, — сумма весовых долей всех аминокислот стандартного белка, Xу. — такая же сумма для исследуемого белка. Отношение у./f определяет скор /-той аминокислоты, операция вычисления минимума устанавливает главную лимитирующую аминокислоту в исследуемом белке.
Очевидны свойства коэффициента использования белка:
фМ > о, (2)
Ф(*)1а^ = 1. (3)
Последнее свойство носит условный характер и выполняется лишь для тех рецептурных векторов х, для которых выполнено указанное в нем равенство (существование таких рецептов, разумеется, из (3) не следует). Возможно, менее очевидна, но несложно проверяется верхняя граница коэффициента (1):
фМ < 1, Ул. (4)
Для доказательства неравенства (4) достаточно заметить, что
/ \
У/
/ У
У / /
> тш . (5)
' /
/
Под оптимизацией рецептурного состава будем понимать задачу на максимум:
ф(х) ^ тах, (6)
при дополнительном ограничении в виде равенства
'x =q, (7)
i=1
где q — суммарная массовая доля варьируемых ингредиентов (разумеется, должно быть также выполнено условие неотрицательности — х > 0).
При решении задачи (6) будем считать набор исходных продуктов достаточно разнообразным в том смысле, что среди них присутствуют структурно разные ингредиенты, имеющие в своем составе различные удельные доли незаменимых аминокислот. Другими словами, для каждой аминокислоты в рассматриваемом рецепте найдется, по крайней мере, пара ингредиентов, в которых доли данной аминокислоты различны. Кроме того, сразу исключим из рассмотрения ингредиенты с нулевым суммарным содержанием аминокислот (подразумевается суммирование по аминокислотам, составляющим белковый эталон).
Математические свойства задачи
Рассмотрим некоторые свойства исследуемой задачи, обусловливающие ее математическую корректность.
Обозначим
a = J a=-f , (8)
J j 1mJ
где e. = (0, ..., 1, ... 0)' (единица — в j-той позиции), lm = (1, 1, ..., 1)' (нижний индекс указывает размерность вектора lm), и введем индикаторную функцию /.(x), равную единице для тех x, которым соответствует минимальное скалярное произведение a'x:
[1, если ajx = mina'tx, Ij (x) = \ i (9)
тогда
a j x
где ф j (x) = - 7
Ф( x) =1 I j (х)ф j (x), (10)
j=1
X
Легко заметить, что границы областей Z = {х : /,(х) = 1} состоят из фрагментов поверхностей первого порядка, а сами множества Z — выпуклые многогранники.
Строго говоря, множества ^ определены неоднозначно из-за неоднозначности определения минимума в (9), вследствие чего некоторые точки х формально оказываются одновременно в разных Z. Поскольку значения целевой функции не зависят от того, как будут разнесены граничные точки по смежным областям Z., коллизия может быть разрешена произвольно (например, в пользу множества с меньшим значением индекса).
Поскольку целевая функция непрерывна и задана на компактном множестве, то, по крайней мере, один оптимальный рецепт, на котором функция ф(х) достигает своего максимума, существует. Ниже будет показано, что множество точек, в которых достигается максимум, связно. Будет установлено также, что множество, в котором следует искать решение, изначально может быть сужено до некоторого конечного множества, элементы которого легко вычисляются.
Свойства монотонности. Сначала убедимся в монотонном изменении функций ф^.(х). Пусть х1 и х2 — произвольные точки, принадлежащие одному и тому же множеству Z, а., а2 — неотрицательные числа, дающие в сумме единицу,
и x = a{x{ + a2x2, тогда
a^a jXi + ага jX 2
ф7(х) =-j—г--J— = М1фу(х1) + W2$j(x2 ), (11)
ал x
где wi ~ai~0J-. Учитывая, что w. > 0 и wt + w2 = 1, из (11) получим следующие
Др xi
д x •
свойства:
1) в предположении, что ф/.(х1) = ф;.(х2) = c и x е [xp x2], функция ф. остается постоянной: ф.^) = с для всех точек x, составляющих рассматриваемый отрезок;
2) если ф.^) < ф..^), то ф.^) < ф.Ш < ф..^), причем знаки в последнем неравенстве можно изменить на строгие, если aj и a2 положительны, а в матрице нет нулевых строк;
3) индуктивно обобщая предыдущее свойство на произвольную выпуклую комбинацию x = X a.x., где Sa. = 1, a. > 0 и все x. лежат в Z, получаем:
min фj (—) < фj (X aj-j) < max фj (—). (12)
i i
Под "монотонностью" целевой функции в данном случае понимается выполнение неравенства вида
фЫ > min[ф(x1), ф(x2)], (13)
справедливого для произвольных x1, x2 (не обязательно принадлежащих одному Z.) при условии, что точка x принадлежит отрезку с вершинами xj и x2 (свойство квазивогнутости функции ф(x))•
Действительно, в рассматриваемых условиях
ф(х) = mm фj (х) = ттЦфj (Xi) + ^фj (X2 ))> ^1ф(Xi) + ^Ф(Х2), (14) j j
откуда и следует искомое неравенство (13).
Данное свойство объясняет поведение целевой функции, которая при движении вдоль любой прямой либо нигде не возрастает, либо сначала увеличивается, достигая наибольшего на данной прямой значения, а затем (при дальнейшем движении в выбранном направлении) ведет себя как монотонно убывающая функция.
Необходимое условие оптимальности. Пусть г — произвольный вектор единичной длины, определяющий направление коррекции текущего рецептурного вектора, t — действительное число, характеризующее величину шага, тогда производная по направлению г в предположении, что /.(x) = 1 не только в самой точке x, но и в некоторой ее малой окрестности, равна
1
G(х, z) = lim -t ^+0 t
X Ij ( X + tz^j ( X + tz) - X Ij ( X)ф j ( X)
L j=1 j=i
1 т 'Г '1
= ——2 ^ 7У(х)г'[аУа0 - а0а)]х. (15)
(а0 х) ] =1
Необходимым условием максимума является выполнение неравенства в(х,г) < 0, |г| = 1, 1'яг = 0, (16)
для всех допустимых направлений г.
Из условия (16) следует, в частности, что ни одна внутренняя точка не может быть решением рассматриваемой задачи.
Действительно, рассмотрим внутренние точки множества и§ (х*) = = {х :| х - х* |< 8} I {х: Гпх = д}, считая 5 настолько малым, что все рассматривае-
мые точки принадлежат одному и тому же множеству Z. = {х : I.(x) = 1}. Кроме того, пусть векторы x* и А таковы, что 0<|Л|<5 и l'А = 0, тогда x* ± Ае U5(x*) и Ij (x*) = Ij (x* ± А) = 1, т.е. для рецептов x, x* + А и x* - А главной лимитирующей является i-тая аминокислота.
Из вида производной по направлению (15) следует, что внутри рассматриваемой 5-окрестности точки x* всегда найдется такое направление z, для которого скалярное произведение z (аг-а0 — а0аг-)x* окажется положительным (следует выбрать нужный знак перед вектором z = А / |А| и достаточно малый шаг t), если только векторы А и (ai а'о — a0 a' )x* не являются ортогональными. Покажем, что при структурно различных ингредиентах последнее невозможно. Предположим обратное: пусть (а^а0 - a0a')x* = х • ln при некотором скалярном т (допуская и частный случай т = 0). Помножим последнее равенство слева на x*, тогда х • x*ln = x*(а,а0 -a0a')x* = 0, следовательно (аг-а0 — a0a')x* — нулевой вектор. Таким образом,
a0Х* л aix* m А /|7\
—^Aki = 7f Л Akj, (17)
J i lmJ j=1
т.е. удельная доля Ak i-той аминокислоты одинакова для всех ингредиентов (для всех k):
a .
^Г = const(k). (18)
Л Akj
j
Последнее противоречит предположению о структурной разнообразности ингредиентов, а следовательно, точка максимума не может быть внутренней точкой ни одного из множеств Z.. Данное обстоятельство отчасти объясняет известное эмпирическое "правило уравнивания скоров", которое заключается в следующей рекомендации: для улучшения сбалансированности аминокислотного состава рецептуры следует найти такие массовые доли ингредиентов, при которых происходит уравнивание основных (обычно двух главных) лимитирующих аминокислот.
Множество узловых точек. Теперь предположим, что точка x* находится на границе dZ.. При любом расположении точки x* найдутся такие вершины
Zi многогранника Z., что x* может быть представлена в виде выпуклой комбинации x* = Л akzk!). Тогда в силу свойства монотонности (12) верно одно из двух: либо max Фг- > m(|n Ф'(z — тогда x* заведомо не является решением
оптимизационной задачи (6, 7); либо max Ф' = m(|n (zk!)) — тогда x* может доставлять максимальное значение функции ф(х), но в любом случае не большее, чем лучшее из решений, соответствующих вершинам многогранников Zj.
Итак, максимальное значение рассматриваемого критерия с необходимостью принадлежит множеству узловых точек вида:
г= U {x: l'nx = q; x = b'2x =... = bin—1 x = 0}, (19)
{il, г'2,..., in—1}
где векторы b берутся из множества векторов, содержащих все орты е. = (0,..1,..0)', i = 1,...,n, и разности вида а. - а., /,/ = 1,...,m, . Ф j, а объединение вычисляется по всевозможным сочетаниям индексов . .2,..., для которых система уравнений в правой части (1 9) является определенной.
Примеры
Задача для случая бинарных смесей, хотя и громоздка, не требует сложной математики и в принципе допускает аналитическое (формульное) решение (см.
Бражников и др., 1985). Приведем результаты, полученные с помощью вычислительного алгоритма, использующего установленные выше свойства задачи. Сначала рассмотрим смесь двух продуктов, содержащих животные (говядина или кальмар) и растительные (рис) белки (результаты см. на рис. 1). Структурный аминокислотный состав для этих ингредиентов (в части незаменимых аминокислот) приведен в таблице (Химический состав ..., 1987). Содержания аминокислот указаны в граммах на 100 г белка (весовых процентах). Там же приведен состав белка, принимаемого в дальнейших вычислениях за эталон (Report ..., 1985).
Рис. 1. Коэффициент утилитарности аминокислотного состава сырьевых композиций: говядина — рис (А) и кальмар — рис (Б)
Fig. 1. Amino acid utility coefficient for raw stuff composition: beef — rice (А) and squid — rice (Б)
Характеристика ингредиентов и эталонного белка, % Characteristics of the ingredients and reference protein, %
Ингредиент Говядина Кальмар Рис Картофель (суш.) Смесь (20) Смесь (21) Смесь (22) Эталон
VAL 5,56 4,34 6,0 6,1 5,74 5,52 5,62 3,5
ILEU 4,20 2,18 4,71 4,3 4,41 3,99 3,91 2,8
LEU 7,95 7,77 8,86 6,39 8,31 8,55 7,59 6,6
LYS 8,54 10,56 3,71 6,75 6,59 5,66 6,67 5,8
MET+CYS 3,78 4,40 4,24 2,45 3,97 4,29 3,56 2,5
THR 4,32 3,04 3,43 4,86 3,95 3,32 3,91 3,4
TRY 1,13 1,67 1,43 1,39 1,25 1,50 1,48 1,1
PHE+TYR 7,81 3,61 9,43 9,39 8,46 7,77 7,95 6,3
Белок
(г/100 г
продукта) 18,6 18,0 7,0 5,6 11,1 8,5 7,4 -
Минималь-
ный скор 103 % 57 % 64 % 97 % 113 % 98 % 115 % -
(TRY) (PHE+TYR) (LYS) (LEU) (LYS, TRY) (LYS, THR) (LEU,LYS,THR)
Ф 0,76 0,49 0,49 0,74 0,85 0,77 0,90 1,0
Для композиции говядины с рисом усвояемость белка определяется содержанием в сырьевой смеси лизина и триптофана. Множество узловых точек показано на оси аргумента (рецептурное количество говядины). Своего максимального значения коэффициент ф может достигать лишь в одной из этих точек. Действительно, в точке х(1) = 35,7... на пропорции
говядина : рис = 35,7 : 64,3 (20)
содержание главных лимитирующих аминокислот уравнивается, а значение коэффициента ф становится максимальным (ф ~ 0,85).
Для кальмара и риса главными лимитирующими кислотами являются лизин, треонин и сумма фенилаланина и тирозина. На пропорции
кальмар : рис = 13,4 : 86,6 (21)
значение коэффициента ф становится максимальным (ф ~ 0,77). Впрочем, это значение почти не меняется, пока лимитирующей аминокислотой остается треонин. Адекватным оптимальным диапазоном значений для рецептурной доли кальмара в этой смеси является интервал от 13 до 37 %.
В целях более полного представления особенностей рассматриваемой задачи увеличим число ингредиентов. Для числа ингредиентов больше трех визуализация результатов или процесса решения затруднительна, поэтому рассмотрим сочетание трех сырьевых компонент: введем в композицию кальмар — рис (переменные х(1) и х(2)) третью компоненту — картофель (переменная х(3)). Проследим, насколько существенно влияет пропорция между этими ингредиентами на величину коэффициента использования белка.
Представим результаты расчетов графически. Трехмерный график поверхности ф(х(1), х(2), х(3)) построен на рис. 2 как функция переменных х(1) и х(2). Множество Г узловых точек изображено в проекции на координатную плоскость переменных х(1), х(2) (как множество точек пересечения показанных на рисунке прямых). Максимальное значение коэффициента утилитарности (ф ~ 0,90) достигается на пропорции
кальмар : рис : картофель = 10,4 : 36,3 : 53,3. (22)
Рис. 2. Коэффициент утилитарности аминокислотного состава сырьевой композиции кальмар — рис — картофель
Fig. 2. Amino acid utility coefficient for the composition squid — rice — potato
Таким образом, добавление к основному белковому ингредиенту продуктов с относительно невысоким содержанием белка позволяет для рассматриваемой композиции увеличить значение коэффициента ф приблизительно на центное содержание белка в смеси при этом снижается (сравнительно с белком, содержащимся в ингредиентах). Содержание белка для пропорции (22) равно 7,4 г на 100 г сырьевой смеси, т.е. заметно меньше максимального содержания белка в исходных ингредиентах.
Количество узловых точек быстро увеличивается с увеличением размерности рецептурного вектора, т.е. с ростом числа ингредиентов. Алгоритм оптимизации рецептурного состава, основанный на переборе всех узловых точек для
многокомпонентных продуктовых смесей, неэффективен. Полный набор узловых точек представлен на рис. 1-2 лишь в иллюстративных целях. В общем случае аналогичные вычисления необязательны и нецелесообразны.
Литература
Бражников А.М., Рогов И.А. О возможности проектирования комбинированных мясных продуктов // Мясная индустрия СССР. — 1984. — № 5. — С. 23-25.
Бражников А.М., Рогов И.А., Михайлов H.A., Сильченко М.Н. Возможные подходы к аналитическому проектированию комбинированных продуктов питания // Изв. вузов. Сер. Пищ. технол. — 1985. — № 3. — С. 22-27.
Липатов H.H., Рогов И.А. Методология проектирования продуктов питания с требуемым комплексом показателей пищевой ценности // Изв. вузов. Сер. Пищ. технол. — 1987. — № 2. — С. 9-15.
Химический состав пищевых продуктов. Кн. 2: Справочные таблицы содержания аминокислот, жирных кислот, витаминов, макро- и микроэлементов и углеводов / Под ред. И.М.Скурихина и М.Н.Волгарева. — М.: Агропромиздат, 1987.
Report of expert work group on energy and protein requirements: WHO technical report series. — WHO Publication C enter, Albany, N.Y., 12210, 1985. — № 724.
Поступила в редакцию 15.06.04 г.
